第22章 一元二次方程 单元测试卷（含答案）2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

第22章　一元二次方程 测试卷
(总分:150分　时间:120分钟)
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项.
1.下列方程是一元二次方程的是 (　　)
A.3x2-=1 B.x2+4=(x-1)(x-2)
C.a(a-1)=0 D.x2+2xy=4
2.将方程2x2=-3x+5化为一元二次方程的一般形式后,二次项系数、一次项系数、常数项分别是 (　　)
A.2,3,-5 B.-2,3,5
C.2,-3,5 D.2,3,5
3.若2是关于x的一元二次方程ax2-bx+2=0的根,则代数式2 025+2a-b的值为 (　　)
A.2 022 B.2 023
C.2 024 D.2 025
4.(2024兰州中考)关于x的一元二次方程9x2-6x+c=0有两个相等的实数根,则c= (　　)
A.-9 B.4
C.-1 D.1
5.电脑病毒传播快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,则下面所列方程中正确的是 (　　)
A.x(x+1)=81 B.1+x+x2=81
C.(1+x)2=81 D.1+(1+x)2=81
6.(2024通辽中考)如图,小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍,其面积为15 m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成),则BC的长为 (　　)
A.5 m或6 m B.2.5 m或3 m
C.5 m D.3 m
7.若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是 (　　)
A　B　C　D
8.(数学文化)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.根据题意可列方程为3x(x-1)=6 210,其中x表示 (　　)
A.剩余椽的数量 B.这批椽的数量
C.剩余椽的运费 D.每株椽的价钱
9.已知a、b是一元二次方程x2+x-8=0的两个实数根,则代数式a2+2a+b的值为 (　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
10.对于一元二次方程,我国古代数学家还研究过其几何解法.以方程x(x+6)=72为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是:如图,将四个长为x+6,宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形,则大正方形的边长是x+6+x,面积是四个长方形的面积与中间小正方形的面积之和,即4×72+62,据此易得x==6.小明用此方法解关于x的方程x(3x-n)=24,其中3x-n>x构造出同样的图形,已知小正方形的面积为4,则n的值为 (　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
11.若m为一元二次方程x2-2x-5=0的一个根,则3m2-6m-18的值为　　　　.
12.已知关于x的一元二次方程x2+2x-3=0的两根分别为x1、x2,则x1+x2+x1x2的值为　　　　.
13.(传统文化)如图,在一幅长为65 cm,宽为30 cm的《中秋帖》矩形书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,设金色纸边的宽为x cm,如果要使整个挂图的面积是2 450 cm2,那么x满足的方程是　　　　　　　　　.
14.关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2+2m-8=0有一个根为0,则m的值为　　　　.
15.对于实数a、b、c、d,规定一种运算=ad-bc,如=1×(-2)-0×2=-2,那么当=27时,则x=　　　　.
16.一商店销售某种商品,当每件利润为30元时,平均每天可售出20件,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,当每件商品的单价降低　　　　元时,该商店销售这种商品每天的利润为800元.
三、解答题:本大题共6小题,共46分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(6分)解下列方程:
(1)x2-2x-8=0.　
　　　　　　
(2)x2+7x=24+2x.
18.(6分)(2025广州天河区月考)已知关于x的一元二次方程x2-4x-m+1=0(m为实数)的一个根是-1,求m的值及方程的另一个根.
19.(6分)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)如果方程的两个实数根为x1、x2,且(2x1+x2)(x1+2x2)=3,求m的值.
20.(8分)在等腰三角形ABC中,三边长分别为a、b、c,其中a=5,若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,求△ABC的周长.
21.(10分)为了让学生养成热爱读书的习惯,某学校抽出一部分资金用于购买图书.已知2022年该学校用于购买图书的费用为5 000元,2024年用于购买图书的费用是7 200元.
(1)求2022—2024年购买图书资金的平均增长率.
(2)按此增长率,计算2025年用于购买图书的费用.
22.(10分)综合实践:如何用最少的材料设计花园
【情境】如图,小王打算用篱笆围一个矩形花园ABCD,其中一边靠墙,墙长为10 m,现可用的篱笆总长为20 m.
【项目解决】
目标1:确定面积与边长关系.
当篱笆全部用完,且围成矩形花园ABCD的面积为32 m2时,求BC的长.
目标2:探究最少的材料方案.
现要围成面积为 m2的矩形花园,设所用的篱笆为m m.
(1)若m=14,能成功围成吗 若能,求出AB的长;若不能,请说明理由.
(2)若要成功围成,则m的最小值为　　　　,此时AB=　　　　m.
四、解答题:本大题共5小题,共50分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.(8分)已知关于x的一元二次方程(c+a)x2+2bx+c-a=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.
(1)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)已知a∶b∶c=3∶4∶5,求该一元二次方程的根.
24.(10分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于6 cm2
(2)在(1)的条件下,△PBQ的面积能否等于8 cm2 说明理由.
25.(10分)已知平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两个实数根.
(1)若AB的长为5,求m的值.
(2)当m为何值时,平行四边形ABCD是菱形 求出此时菱形的边长.
26.(10分)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1、x2,且|x1-x2|=1,那么称这样的方程为“邻近根方程”,例如,一元二次方程x2-x=0的两个根是x1=0,x2=1,|0-1|=1,则方程x2-x=0是“邻近根方程”.
(1)判断方程2x2-6x+13=0是否是“邻近根方程”.
(2)若关于x的方程2x2+bx+c=0(b、c是常数)是“邻近根方程”,求3b2-4c2的最大值.
27.(12分)宁陵酥梨以其皮薄多汁、酥脆甘甜、口感细腻等特点而闻名;荥阳柿子以果实新鲜洁净、果形整齐、果肉金黄、含糖量高等特点而闻名.这两种水果深受当地及外来游客的喜爱.某超市为了更好地推销这两种特产,将它们精装打包在一起售卖.一箱混合的酥梨和柿子成本价为80元,超市要求售价不低于100元.根据市场行情,若按照每箱100元的售价进行销售,一个月能销售1 000箱;若每箱的售价每上涨5元,则月销售量就会减少50箱.
根据上面材料,解答下列问题.
(1)当售价定为120元时,该混装水果的月销售量为　　　　箱,月销售利润为　　　　元.
(2)根据物价部门规定:利润不能超过成本价的50%.要使每月销售利润恰好达到27 000元,则该混装水果的售价应定为每箱多少元
【详解答案】
1.C　解析:对于选项A,方程3x2-=1不符合一元二次方程的定义,∴选项A不符合题意;对于选项B,将方程x2+4=(x-1)(x-2),整理得3x+2=0,该方程不符合一元二次方程的定义,∴选项B不符合题意;对于选项C,将方程a(a-1)=0,整理得a2-a=0,符合一元二次方程的定义,∴选项C符合题意;对于选项D,x2+2xy=4不符合一元二次方程的定义,∴选项D不符合题意.故选C.
2.A　解析:整理,得2x2+3x-5=0,
∴该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2,3,-5.故选A.
3.C　解析:把x=2代入一元二次方程ax2-bx+2=0,得22a-2b+2=0,4a-2b+2=0,4a-2b=-2,2a-b=-1,∴2 025+2a-b=2 025+(-1)=2 025-1=2 024.故选C.
4.D　解析:∵关于x的一元二次方程9x2-6x+c=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-6)2-4×9×c=0,解得c=1.故选D.
5.C　解析:每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,列方程得1+x+x(1+x)=81,即(1+x)2=81.故选C.
6.C　解析:设BC的长为x m,则AB的长为(10+1-x)m,根据题意得,
(10+1-x)x=15,解得x=5或x=6>5.5(舍去).故选C.
7.B　解析:∵方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=4-4(kb+1)>0,
解得kb<0,即k、b异号,
当k>0,b<0时,一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限,
当k<0,b>0时,一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限.故选B.
8.B　解析:∵每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,∴所列方程中的x表示这批椽的数量,3(x-1)表示一株椽的价钱,所用的等量关系为单价×数量=总价.故选B.
9.A　解析:∵a、b是一元二次方程x2+x-8=0的两个实数根,∴a+b=-=-1,ab==-8.∴a=-1-b,∴a2+2a+b=a2+a+(a+b)=a(a+1)+(a+b)=a(-1-b+1)+(a+b)=-ab+a+b=8-1=7.故选A.
10.C　解析:由题意可知,将四个长为(3x-n),宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形,则大正方形的边长是(3x-n+x),面积是四个长方形的面积与中间小正方形的面积之和,∵x(3x-n)=24,小正方形的面积为4,∴大正方形的面积为4×24+4=100,∴大正方形的边长为10,∴3x-n+x=4x-n=10,∴n=4x-10,∴小正方形的边长为3x-n-x=10-2x,∵3x-n>x,即10-2x>0,∴(10-2x)2=4,
∴x=4,∴n=4×4-10=6.故选C.
11.-3　解析:∵m为一元二次方程x2-2x-5=0的一个根,∴m2-2m-5=0,∴m2-2m=5,∴3m2-6m-18=3(m2-2m)-18=3×5-18=-3.
12.-5　解析:∵关于x的一元二次方程x2+2x-3=0的两根分别为x1、x2,∴x1+x2=-2,x1x2=-3,∴x1+x2+x1x2=-2+(-3)=-5.
13.(65+2x)(30+2x)=2 450　解析:金色纸边的宽为x cm,则挂图的长为(65+2x)cm,宽为(30+2x)cm,根据题意得(65+2x)(30+2x)=2 450.
14.-4　解析:∵关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2+2m-8=0有一个根为0,∴m-2≠0且m2+2m-8=0,解得m=-4.
15.22　解析:∵=27,
∴(x+1)(x-1)-(x+2)(x-3)=27,∴x2-1-(x2-3x+2x-6)=27,
∴x2-1-x2+3x-2x+6=27,
解得x=22.
16.10　解析:设商品单价降低x元时,该商店销售这种商品每天的利润为800元,由题意,得(30-x)(20+2x)=800,整理,得x2-20x+100=0,解得x1=x2=10,∴当每件商品的单价降低10元时,该商店销售这种商品每天的利润为800元.
17.解:(1)x2-2x-8=0,
(x-4)(x+2)=0,
∴x-4=0或x+2=0,
∴x1=4,x2=-2.
(2)x2+7x=24+2x,
x2+5x-24=0,
(x+8)(x-3)=0,
∴x+8=0或x-3=0,
∴x1=-8,x2=3.
18.解:∵关于x的一元二次方程x2-4x-m+1=0(m为实数)的一个根是-1,
∴(-1)2-4×(-1)-m+1=0,
∴m=6,
设方程的另一个根为x2,
∵-1+x2=4,∴x2=5,
∴m=6,方程的另一个根为5.
19.解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根,
∴Δ=(2m-1)2-4×1×m2≥0,
即-4m+1≥0,解得m≤,
∴m的取值范围为m≤.
(2)∵x1、x2是一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0的两个实数根,
∴x1+x2=1-2m,x1·x2=m2,
∵(2x1+x2)(x1+2x2)=3,
∴2+5x1x2+2=3,
∴2(x1+x2)2+x1x2=3,
∴2(1-2m)2+m2=3,
整理得9m2-8m-1=0,
解得m1=-,m2=1,
又∵m≤,∴m=-.
20.解:∵关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,
∴(b+2)2-4(6-b)=0,
即b2+8b-20=0,
解得b=2或b=-10(舍去).
①当c=b=2时,b+c=2+2<5,构不成三角形,此种情况不成立;
②当c=a=5时,能构成三角形,此时△ABC的周长为5+5+2=12.
故△ABC的周长是12.
21.解:(1)设2022—2024年购买图书资金的平均增长率为x,
根据题意得5 000(1+x)2=7 200,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去),
答:2022—2024年购买图书资金的平均增长率为20%.
(2)7 200×(1+20%)=8 640(元).
答:按此增长率,2025年用于购买图书的费用为8 640元.
22.解:目标1:设AB的长为x m,∵可用的篱笆总长为20 m,
∴BC的长为(20-2x)m.
根据题意得x(20-2x)=32,
整理得x2-10x+16=0,
解得x1=2,x2=8,
当x=2时,20-2x=20-2×2=16>10,不符合题意;
当x=8时,20-2x=20-2×8=4<10,符合题意.
故BC的长为8 m.
目标2:(1)不能围成面积为 m2的矩形花园,理由如下:
假设能围成面积为 m2的矩形花园,设AB的长为y m,则BC的长为(14-2y)m,
根据题意得y(14-2y)=,
整理得4y2-28y+81=0,
∵Δ=(-28)2-4×4×81=-512<0,
∴原方程没有实数根,∴假设不成立,即不能围成面积为 m2的矩形花园.
(2)18　　解析:设AB的长为a m,则BC的长为(m-2a)m,
根据题意得a(m-2a)=,
整理得4a2-2ma+81=0,
∵Δ=(-2m)2-4×4×81≥0,m>0,
∴m≥18,∴m的最小值为18.
当m=18时,原方程为4a2-36a+81=0,
解得a1=a2=,
当a=时,18-2a=18-2×=9<10,符合题意,∴AB= m.
23.解:(1)△ABC为直角三角形.理由如下:
∵方程(c+a)x2+2bx+c-a=0有两个相等的实数根,
∴Δ=4b2-4(c+a)(c-a)=0,
即c2=a2+b2.
∵a、b、c分别为△ABC三边的长,
∴△ABC为直角三角形.
(2)∵a∶b∶c=3∶4∶5,
∴设a=3t,b=4t,c=5t,
∴原方程可化为4x2+4x+1=0,
解得x1=x2=-.
24.解:(1)设经过x s后△PBQ的面积等于6 cm2,
则×(5-x)×2x=6,
整理得x2-5x+6=0,
解得x=2或x=3.
故2 s或3 s后△PBQ的面积等于6 cm2.
(2)不能.理由如下:设经过y s后△PBQ的面积为8 cm2,则×(5-y)×2y=8,整理得y2-5y+8=0,因为Δ=25-32=-7<0,所以此方程无实数解.故△PBQ的面积不能等于8 cm2.
25.解:(1)∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2-8x+m=0的两个实数根,AB的长为5,
∴把x=5代入x2-8x+m=0,
得52-8×5+m=0,
解得m=15.
(2)∵平行四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∴方程x2-8x+m=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-8)2-4m=0,∴m=16,
此时方程为x2-8x+16=0,
∴x1=x2=4,
∴AB=AD=4,即菱形的边长为4.
故当m=16时,平行四边形ABCD是菱形,菱形的边长是4.
26.解:(1)∵Δ=(-6)2-4×2×13=4>0,∴x=,
∴x1=,x2=,
∴|x1-x2|==1,
∴方程2x2-6x+13=0是“邻近根方程”.
(2)设一元二次方程两个实数根为x1、x2,根据根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=,
∵|x1-x2|=1,
∴(x1-x2)2=1,
∴(x1+x2)2-4x1x2=1,
即-4×=1,
∴b2=8c+4,
∴3b2-4c2=3(8c+4)-4c2=-4c2+24c+12=-4(c-3)2+48,
∴当c=3时,3b2-4c2有最大值,最大值为48.
27.解:(1)800　32 000
(2)该混装水果的售价应定为每箱x元,且x≤80×(1+50%)=120,由题意可得(x-80)=27 000,
整理得x2-280x+18 700=0,
解得x1=110,x2=170(不合题意,舍去),
答:该混装水果的售价应定为每箱110元.