第22章 一元二次方程 专题训练二 一元二次方程的解法总结 （含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册
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| 名称 | 第22章 一元二次方程 专题训练二 一元二次方程的解法总结 （含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 43.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-07 21:16:59 | ||
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文档简介
专题训练二 一元二次方程的解法总结
形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法
1.方程x2=36的根是 ( )
A.x1=x2=6
B.x1=x2=-6
C.x1=6,x2=-6
D.x1=,x2=-
2.方程(x+3)2=4的解是 ( )
A.x1=-1,x2=5
B.x1=1,x2=-5
C.x1=-1,x2=-5
D.x1=1,x2=5
3.若(a+b+1)(a+b-1)=15,则的值是 ( )
A.±2 B.2
C.±4 D.4
4.(2025武汉新洲区月考)已知3是一元二次方程2x2=p的一个根,则另一根是 .
5.用直接开平方法解下列方程:
(1)(3x-2)(3x+2)=8.
(2)(5-2x)2=9(x+3)2.
(3)-6=0.
(4)(x-m)2=n(n为正数).
若二次项系数为1,且一次项系数为偶数,可用配方法
6.关于x的一元二次方程x2-2x=1配方后可变形为 ( )
A.(x-1)2=1 B.(x-1)2=0
C.(x-1)2=2 D.(x-2)2=5
7.方程x2-2x-5=0的根是 .
8.利用配方法解一元二次方程x2-6x+7=0时,将方程配方为(x-m)2=n,则mn= .
9.用配方法解下列方程:
(1)x2-4x-2=0.
(2)x2+6x+8=0.
若方程移项后一边为0,另一边能分解成两个一次因式的积,可用因式分解
10.(易错题)方程x(x+3)=x+3的解是 ( )
A.x=1
B.x1=0,x2=-3
C.x1=1,x2=3
D.x1=1,x2=-3
11.已知代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数,则x的值是 ( )
A.-1或3 B.1或-3
C.1或3 D.-1和-3
12.若三角形两边的长分别是7和11,第三边的长是一元二次方程x2-25=2(x-5)2的一个实数根,则该三角形的周长是 ( )
A.23 B.23或33
C.24 D.24或30
13.用因式分解法解下列方程:
(1)-x2-x=.
(2)x(2x-1)=4x-2.
所有一元二次方程均可用公式法求解
14.如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解,那么必须满足的条件是 ( )
A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0
C.p2-4q>0 D.p2-4q<0
15.用公式法解一元二次方程3x2-4x=2时a、b、c的值分别为 ( )
A.3,-4,-2 B.3,-4,2
C.3,-2,4 D.3,4,-2
16.用公式法解下列方程:
(1)x2+3x-4=0.
(2)2x2-13x+15=0.
(3)x2-x=1.
一元二次方程的特殊解法——换元法
17.若实数x、y满足(x+y)(x+y-1)=2,则x+y的值为 ( )
A.-1 B.2
C.-1或2 D.-2或1
18.请阅读下面解方程(x2+1)2-2(x2+1)-3=0的过程.
解:设x2+1=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0.
解得y1=3,y2=-1.
当y=3时,x2+1=3,∴x=±.
当y=-1时,x2+1=-1,x2=-2,此方程无实数根.
∴原方程的根为x1=,x2=-.
我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程,达到了降次的目的,体现了转化的思想.
请用上述方法解下列方程:
(1)(2x+5)2-4(2x+5)+3=0.
(2)x4-8x2+7=0.
【详解答案】
1.C 2.C
3.B 解析:(a+b+1)(a+b-1)=15,变形,得[(a+b)+1][(a+b)-1]=15,即(a+b)2-1=15.移项,得(a+b)2=16,∴a+b=4或a+b=-4.又∵a+b≥0,∴a+b=-4舍去,∴a+b=4,则=2.故选B.
4.-3
5.解:(1)(3x-2)(3x+2)=8,∴9x2-4=8,
∴x2=,∴x=±,
∴x1=,x2=-.
(2)(5-2x)2=9(x+3)2,∴5-2x=
3(x+3)或5-2x=-3(x+3).
解得x1=-,x2=-14.
(3)-6=0,∴(x-4)2=9.
∴x-4=±3.解得x1=1,x2=7.
(4)(x-m)2=n(n为正数),
∴x-m=±.
解得x1=m+,x2=m-.
6.C
7.x1=+1,x2=-+1
8.6 解析:x2-6x+7=0,x2-6x=
-7,x2-6x+9=-7+9,(x-3)2=
2,则m=3,n=2,∴mn=3×2=6.
9.解:(1)移项,得x2-4x=2.
配方,得x2-4x+4=2+4.
即(x-2)2=6.
解得x1=2+,x2=2-.
(2)移项,得x2+6x=-8.
配方,得x2+6x+32=-8+32,
即(x+3)2=1.解得x1=-2,x2=-4.
10.D
11.A 解析:∵代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数,∴(3-x)+(-x2+3x)=0,∴(3-x)(1+x)=0.∴3-x=0或1+x=0.解得x=3或-1.故选A.
12.B 解析:原方程整理,得(x+5)·(x-5)-2(x-5)2=0.∴(x-5)·[(x+5)-2(x-5)]=0,即(x-5)·(-x+15)=0.解得x1=5,x2=15.∵三角形两边的长分别是7和11,∴11-7<第三边的长<7+11.∴4<第三边的长<18.∴7、11、5和7、11、15都能组成三角形.∴该三角形的周长是7+11+5=23或7+11+15=33.故选B.
13.解:(1)原方程整理,得-x2-x-=0,即x2+x+=0,
因式分解,得=0,
∴x1=x2=-.
(2)x(2x-1)=4x-2,
移项,得x(2x-1)-(4x-2)=0,
因式分解,得(2x-1)(x-2)=0,
∴2x-1=0或x-2=0,
解得x1=,x2=2.
14.A 15.A
16.解:(1)∵a=1,b=3,c=-4,
∴Δ=b2-4ac=32-4×1×(-4)=25>0,
∴x=,∴x1=-4,x2=1.
(2)∵a=2,b=-13,c=15,∴Δ=
b2-4ac=(-13)2-4×2×15=49>0,
∴x=,∴x1=,x2=5.
(3)原方程化为2x2-x-4=0,
∵a=2,b=-1,c=-4,∴Δ=b2-
4ac=(-1)2-4×2×(-4)=33>0,
∴x=,
∴x1=,x2=.
17.C 解析:设x+y=a,方程变为a(a-1)=2.整理,得a2-a-2=0,即(a-2)(a+1)=0.∴a-2=0或a+1=0.解得a1=2,a2=-1.
∴x+y=2或-1.故选C.
18.解:(1)设2x+5=y,则原方程化为(y-3)(y-1)=0,解得y1=1,y2=3,
当y=1时,2x+5=1,解得x=-2;
当y=3时,2x+5=3,解得x=-1.
∴原方程的根为x1=-2,x2=-1.
(2)设x2=y,则原方程化为(y-7)·(y-1)=0,解得y1=1,y2=7,
当y=1时,x2=1,解得x=±1;
当y=7时,x2=7,解得x=±.
∴原方程的根为x1=1,x2=-1,
x3=,x4=-.
形如(x+m)2=n(n≥0)的方程可用直接开平方法
1.方程x2=36的根是 ( )
A.x1=x2=6
B.x1=x2=-6
C.x1=6,x2=-6
D.x1=,x2=-
2.方程(x+3)2=4的解是 ( )
A.x1=-1,x2=5
B.x1=1,x2=-5
C.x1=-1,x2=-5
D.x1=1,x2=5
3.若(a+b+1)(a+b-1)=15,则的值是 ( )
A.±2 B.2
C.±4 D.4
4.(2025武汉新洲区月考)已知3是一元二次方程2x2=p的一个根,则另一根是 .
5.用直接开平方法解下列方程:
(1)(3x-2)(3x+2)=8.
(2)(5-2x)2=9(x+3)2.
(3)-6=0.
(4)(x-m)2=n(n为正数).
若二次项系数为1,且一次项系数为偶数,可用配方法
6.关于x的一元二次方程x2-2x=1配方后可变形为 ( )
A.(x-1)2=1 B.(x-1)2=0
C.(x-1)2=2 D.(x-2)2=5
7.方程x2-2x-5=0的根是 .
8.利用配方法解一元二次方程x2-6x+7=0时,将方程配方为(x-m)2=n,则mn= .
9.用配方法解下列方程:
(1)x2-4x-2=0.
(2)x2+6x+8=0.
若方程移项后一边为0,另一边能分解成两个一次因式的积,可用因式分解
10.(易错题)方程x(x+3)=x+3的解是 ( )
A.x=1
B.x1=0,x2=-3
C.x1=1,x2=3
D.x1=1,x2=-3
11.已知代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数,则x的值是 ( )
A.-1或3 B.1或-3
C.1或3 D.-1和-3
12.若三角形两边的长分别是7和11,第三边的长是一元二次方程x2-25=2(x-5)2的一个实数根,则该三角形的周长是 ( )
A.23 B.23或33
C.24 D.24或30
13.用因式分解法解下列方程:
(1)-x2-x=.
(2)x(2x-1)=4x-2.
所有一元二次方程均可用公式法求解
14.如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解,那么必须满足的条件是 ( )
A.p2-4q≥0 B.p2-4q≤0
C.p2-4q>0 D.p2-4q<0
15.用公式法解一元二次方程3x2-4x=2时a、b、c的值分别为 ( )
A.3,-4,-2 B.3,-4,2
C.3,-2,4 D.3,4,-2
16.用公式法解下列方程:
(1)x2+3x-4=0.
(2)2x2-13x+15=0.
(3)x2-x=1.
一元二次方程的特殊解法——换元法
17.若实数x、y满足(x+y)(x+y-1)=2,则x+y的值为 ( )
A.-1 B.2
C.-1或2 D.-2或1
18.请阅读下面解方程(x2+1)2-2(x2+1)-3=0的过程.
解:设x2+1=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0.
解得y1=3,y2=-1.
当y=3时,x2+1=3,∴x=±.
当y=-1时,x2+1=-1,x2=-2,此方程无实数根.
∴原方程的根为x1=,x2=-.
我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程,达到了降次的目的,体现了转化的思想.
请用上述方法解下列方程:
(1)(2x+5)2-4(2x+5)+3=0.
(2)x4-8x2+7=0.
【详解答案】
1.C 2.C
3.B 解析:(a+b+1)(a+b-1)=15,变形,得[(a+b)+1][(a+b)-1]=15,即(a+b)2-1=15.移项,得(a+b)2=16,∴a+b=4或a+b=-4.又∵a+b≥0,∴a+b=-4舍去,∴a+b=4,则=2.故选B.
4.-3
5.解:(1)(3x-2)(3x+2)=8,∴9x2-4=8,
∴x2=,∴x=±,
∴x1=,x2=-.
(2)(5-2x)2=9(x+3)2,∴5-2x=
3(x+3)或5-2x=-3(x+3).
解得x1=-,x2=-14.
(3)-6=0,∴(x-4)2=9.
∴x-4=±3.解得x1=1,x2=7.
(4)(x-m)2=n(n为正数),
∴x-m=±.
解得x1=m+,x2=m-.
6.C
7.x1=+1,x2=-+1
8.6 解析:x2-6x+7=0,x2-6x=
-7,x2-6x+9=-7+9,(x-3)2=
2,则m=3,n=2,∴mn=3×2=6.
9.解:(1)移项,得x2-4x=2.
配方,得x2-4x+4=2+4.
即(x-2)2=6.
解得x1=2+,x2=2-.
(2)移项,得x2+6x=-8.
配方,得x2+6x+32=-8+32,
即(x+3)2=1.解得x1=-2,x2=-4.
10.D
11.A 解析:∵代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数,∴(3-x)+(-x2+3x)=0,∴(3-x)(1+x)=0.∴3-x=0或1+x=0.解得x=3或-1.故选A.
12.B 解析:原方程整理,得(x+5)·(x-5)-2(x-5)2=0.∴(x-5)·[(x+5)-2(x-5)]=0,即(x-5)·(-x+15)=0.解得x1=5,x2=15.∵三角形两边的长分别是7和11,∴11-7<第三边的长<7+11.∴4<第三边的长<18.∴7、11、5和7、11、15都能组成三角形.∴该三角形的周长是7+11+5=23或7+11+15=33.故选B.
13.解:(1)原方程整理,得-x2-x-=0,即x2+x+=0,
因式分解,得=0,
∴x1=x2=-.
(2)x(2x-1)=4x-2,
移项,得x(2x-1)-(4x-2)=0,
因式分解,得(2x-1)(x-2)=0,
∴2x-1=0或x-2=0,
解得x1=,x2=2.
14.A 15.A
16.解:(1)∵a=1,b=3,c=-4,
∴Δ=b2-4ac=32-4×1×(-4)=25>0,
∴x=,∴x1=-4,x2=1.
(2)∵a=2,b=-13,c=15,∴Δ=
b2-4ac=(-13)2-4×2×15=49>0,
∴x=,∴x1=,x2=5.
(3)原方程化为2x2-x-4=0,
∵a=2,b=-1,c=-4,∴Δ=b2-
4ac=(-1)2-4×2×(-4)=33>0,
∴x=,
∴x1=,x2=.
17.C 解析:设x+y=a,方程变为a(a-1)=2.整理,得a2-a-2=0,即(a-2)(a+1)=0.∴a-2=0或a+1=0.解得a1=2,a2=-1.
∴x+y=2或-1.故选C.
18.解:(1)设2x+5=y,则原方程化为(y-3)(y-1)=0,解得y1=1,y2=3,
当y=1时,2x+5=1,解得x=-2;
当y=3时,2x+5=3,解得x=-1.
∴原方程的根为x1=-2,x2=-1.
(2)设x2=y,则原方程化为(y-7)·(y-1)=0,解得y1=1,y2=7,
当y=1时,x2=1,解得x=±1;
当y=7时,x2=7,解得x=±.
∴原方程的根为x1=1,x2=-1,
x3=,x4=-.