滚动练习 第22章　一元二次方程 （含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

滚动练习 第22章　一元二次方程
一、选择题
1.下列方程是一元二次方程的是 (　　)
A.x2=x B.2x+1=0
C.(x-1)x=x2 D.x+=2
2.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的常数项是0,则a的值为 (　　)
A.1 B.-1
C.1或-1 D.
3.(2024上海中考)以下一元二次方程有两个相等实数根的是 (　　)
A.x2-6x=0 B.x2-9=0
C.x2-6x+6=0 D.x2-6x+9=0
4.用配方法解一元二次方程x2-6x-5=0,此方程可化为 (　　)
A.(x-3)2=4 B.(x-3)2=14
C.(x-9)2=4 D.(x-9)2=14
5.若关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 (　　)
A.m<- B.m>-
C.m<-4 D.m>-4
6.已知关于x的一元二次方程x2+4x+3=0的两根分别为a、b,则的值为 (　　)
A. B.
C.- D.-
7.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1、x2,下列说法:①若a、c异号,则方程ax2+bx+c=0一定有实数根;②若b=a+c,则方程ax2+bx+c=0一定有实数根;③若a=1,b=2,c=3,则方程ax2+bx+c=0一定有实数根.其中结论正确的个数有 (　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
8.某电影上映第一天票房约3亿元,假设以后每天票房按相同的增长率增长,第三天的票房收入约4亿元,若设增长率为x,则下列方程正确的是 (　　)
A.3(1+x)3=4 B.3(1+x)2=4 C.3(1+2x)2=4 D.3(1-x)2=4
二、填空题
9.(2025武威凉州区期末)关于x的方程x2+mx+6=0的一个根为-2,则另一个根是　　　　.
10.定义新运算“※”,规则:a※b=ab-a-b,如1※2=1×2-1-2=-1.若x2+x-1=0的两根分别为x1、x2,则x1※x2=　　　　.
11.(数学文化)数学家塔比·伊本·库拉在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法.例如:可以用如图来解关于x的方程x2+mx=n,其中四边形ABFE为长方形,四边形ABCD为正方形,且DE=m,BF×CD=n,则几何图形中的某条线段的长就是方程x2+mx=n的一个正根,则这个方程的正根是线段　　　　的长.(写出一个即可)
三、解答题
12.用适当的方法解下列方程:
(1)x2-4x-5=0.
(2)2x2-5x-3=0.
(3)(x+4)2=2x+8.
13.阅读下面的例题:
解方程:x2-|x|-2=0.
解:①当x≥0时,原方程化为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1(不符合题意,舍去);
②当x<0时,原方程化为x2+x-2=0,
解得x1=1(不符合题意,舍去),x2=-2.
综上,原方程的根是x1=2,x2=-2.
请参照例题解方程:x2-|x-3|-3=0.
14.(2024南充中考)已知x1、x2是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围.
(2)若k<5,且k、x1、x2都是整数,求k的值.
15.已知x1、x2是关于x的一元二次方程(m+2)x2+2(m-2)x+m+10=0的两实数根.
(1)m的取值范围是　　　　　　　.
(2)已知等腰三角形ABC的底边BC=4,若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
(3)阅读材料:若△ABC三边的长分别为a、b、c,那么可以根据秦九韶-海伦公式可得S△ABC=
,其中p=.如图,在(2)的条件下,若∠BAC和∠ABC的平分线交于点I,根据以上信息,求△BIC的面积.
【详解答案】
1.A　解析:A.x2=x是一元二次方程,符合题意;B.2x+1=0是一元一次方程,不符合题意;C.(x-1)x=x2是一元一次方程,不符合题意;D.x+=2不是整式方程,不符合题意.故选A.
2.B　解析:由题意,得
解得a=-1.故选B.
3.D　解析:x2-6x=0的根为x=0或x=6,∴x2-6x=0有两个不相等的实数根,故A不符合题意;x2-9=0的根为x=3或x=-3,∴x2-9=0有两个不相等的实数根,故B不符合题意;由x2-6x+6=0知Δ=36-24=12>0,∴x2-6x+6=0有两个不相等的实数根,故C不符合题意;由x2-6x+9=0知Δ=36-36=0,∴x2-6x+9=0有两个相等的实数根,故D符合题意.故选D.
4.B　解析:∵x2-6x=5,∴x2-6x+9=5+9,即(x-3)2=14.故选B.
5.B　解析:∵关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根,∴Δ>0,
∴(-1)2+4m>0,∴m>-.故选B.
6.D　解析:根据根与系数的关系得a+b=-4,ab=3,
所以=-.故选D.
7.C　解析:Δ=b2-4ac,当a、c异号时,ac<0,所以Δ>0,所以此时方程ax2+bx+c=0一定有实数根,所以①正确;当b=a+c时,Δ=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,则方程ax2+bx+c=0一定有实数根,所以②正确;当a=1,b=2,c=3时,Δ=22-4×1×3=-8<0,所以方程没有实数根,所以③错误.故选C.
8.B　解析:依题意,得3(1+x)2=4.故选B.
9.-3　解析:设方程x2+mx+6=0的另一个根为x2,∵-2是方程x2+mx+6=0的一个根,∴-2x2=6,∴x2=-3.
10.0　解析:∵x2+x-1=0的两根分别为x1、x2,∴x1+x2=-1,x1x2=-1.∴x1※x2=x1x2-x1-x2=x1x2-(x1+x2)=0.
11.AB(答案不唯一)　解析:设正方形ABCD的边长为x,则AB=CD=BC=x,∵BF=BC+CF=BC+DE=x+m,∴BF×CD=(x+m)×x=n,∴x2+mx=n,则方程x2+mx=n的其中一个正根为AB的长.(答案不唯一)
12.解:(1)x2-4x-5=0,(x-5)(x+1)=0,x-5=0或x+1=0,∴x1=5,x2=-1.
(2)2x2-5x-3=0,(2x+1)(x-3)=0,2x+1=0或x-3=0,∴x1=-,x2=3.
(3)(x+4)2=2x+8,x2+8x+16=2x+8,x2+6x+8=0,(x+2)(x+4)=0,x+2=0或x+4=0,∴x1=-2,x2=-4.
13.解:①当x≥3时,原方程可化为x2-(x-3)-3=0,解得x1=0(不符合题意,舍去),x2=1(不符合题意,舍去);
②当x<3时,原方程可化为x2+x-3-3=0,解得x1=-3,x2=2.
综上所述,原方程的根是x1=-3,x2=2.
14.解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,∴Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k+1)=4k2-4k2+4k-4=4k-4>0,解得k>1.
(2)∵1综上所述,k的值为2.
15.解:(1)m≤-1且m≠-2　解析:由题意得Δ=b2-4ac=[2(m-2)]2-4(m+2)(m+10)≥0,且m+2≠0,
解得m≤-1且m≠-2.
(2)由题意知,x1、x2恰好是等腰三角形ABC的腰长,∴x1=x2,
∵x1、x2是关于x的一元二次方程(m+2)x2+2(m-2)x+m+10=0的两实数根,
∴Δ=b2-4ac=[2(m-2)]2-4(m+2)(m+10)=0,m≠-2,解得m=-1,
∴x2-6x+9=0,解得x1=x2=3,
∵BC=4,∴△ABC的周长为3+3+4=10.
(3)由(2)知△ABC的三边长为3、3、4,∴p==5,
∴S△ABC==
=2,
如图,过点I分别作IF⊥AB,ID⊥BC,IE⊥AC,垂足分别为F、D、E,
∵I是△ABC角平分线的交点,
∴IF=ID=IE,∴S△ABC=AB·
IF+BC·ID+AC·IE=ID·
(AB+BC+AC)=ID×(3+4+3)=5ID=2,解得ID=,
∴S△BIC=BC·ID=×4×.