期中评估测试卷 （含答案） 2025-2026学年数学华东师大版九年级上册

期中评估测试卷
(总分:150分　时间:120分钟)
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项.
1.下列二次根式中,为最简二次根式的是 (　　)
A. B.
C. D.
2.已知线段a、b、c、d是成比例线段,其中b=3 cm,c=6 cm,d=9 cm,则线段a的长度为 (　　)
A.8 cm B.2 cm
C.4 cm D.1 cm
3.用配方法解一元二次方程x2+8x-10=0时,原方程可变形为 (　　)
A.(x+4)2=26 B.(x-4)2+8=0
C.(x-4)2=26 D.(x+4)2-8=0
4.若想在如图所示的方格纸上沿着网格线画出平面直角坐标系的x轴、y轴并标记原点,且以小方格边长作为单位长度,则下列哪一种画法可在方格纸的范围内标出(5,3)、(-4,-4)、(-3,4)、(3,-5)四点 (　　)
A B
C D
5.如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形,OA∶AD=1∶2,△ABC的周长为8,则△DEF的周长为 (　　)
A.8 B.16
C.24 D.32
6.(2024广安中考)若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 (　　)
A.m<0且m≠-1 B.m≥0
C.m≤0且m≠-1 D.m<0
7.(2024湖北中考)如图,点A的坐标是(-4,6),将线段OA绕点O顺时针旋转90°,点A的对应点的坐标是 (　　)
A.(4,6) B.(6,4)
C.(-6,-4) D.(-4,-6)
8.已知xy<0,化简二次根式x的正确结果是 (　　)
A. B.-
C. D.-
9.实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示,则-|2a+b|的化简结果为 (　　)
A.2b-a B.2b+a
C.3a-2b D.a+b
10.(新定义试题)定义[x]表示不超过实数x的最大整数,如[1.4]=1,[-1.2]=-2,[-3]=-3,则方程2[x]=x2的解为 (　　)
A.0或 B.0或2
C.2或 D.0或或2
二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.
第11题图　　第12题图　　第15题图
11.如图,l1∥l2∥l3,BC=2 cm,=3,则AB的长为　　　　.
12.如图,在长为30 m,宽为20 m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路,已知剩余田地的面积为468 m2,求道路的宽度.设道路的宽度为x m,则可列方程为　　　　　　　　.
13.已知m、n是方程x2+3x-6=0的两根,则(m+2)(n+2)的值为　　　　.
14.已知实数x、y满足y=2-3,则3x-2y+1的值为　　　　.
15.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于O,E为OD的中点,连结AE并延长交CD于点F,则DF∶FC=　　　　.
16.(2024河北中考)如图,△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,点A、C1、C2、C3是线段CC4的五等分点,点A、D1、D2是线段DD3的四等分点,点A是线段BB1的中点.
(1)△AC1D1的面积为　　　　.
(2)△B1C4D3的面积为　　　　.
三、解答题:本大题共6小题,共46分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(6分)计算:
(1).
(2)(3-)(3+)+(2-1)2.
18.(6分)(2025南阳镇平县月考)先化简,再求值:(a+)(a-)-a(a-1),其中a2=9.
19.(8分)用适当方法解下列方程:
(1)4(x-1)2=36. (2)2x2+7x+3=0.
(3)4x2-x-9=0. (4)(x+2)2-2(x+2)-3=0.
20.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,点E、F分别在AC、CD上,且∠1=∠2.
(1)求证:AD∥EF.
(2)当CE∶AE=3∶5,CF=6时,求BC的长.
21.(8分)在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图所示,每个小正方形的边长为1,以原点O为位似中心,在第一象限内,对△ABC进行位似变换,得到△DEF(点A、B、C分别对应点D、E、F),且△ABC与△DEF的相似比为2∶1.其中点B的坐标为(4,2).
(1)画出△DEF.
(2)点E的坐标为　　　　.
(3)线段AC上一点(x,y)经过变换后对应的点的坐标为　　　　.
22.(10分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+2=0.
(1)求证:无论m取何值,原方程总有两个实数根.
(2)若x1、x2是原方程的两根,且|x1-x2|=3,求m的值.
四、解答题:本大题共5小题,共50分.解答时,应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
23.(8分)如图,把矩形ABCD对折,折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似,已知AB=4.
(1)求AD的长.
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.
24.(10分)某商店对最新款台灯的销量进行统计,经统计,7月份台灯的销售量为300个,9月份台灯的销售量为507个.
(1)求该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率.
(2)若该款台灯的进价为30元,当售价为40元时,月销售量为600个,在此基础上售价每上涨1元,月销售量就会减少10个,为了实现每月10 000元的销售利润,而且尽可能让顾客得到实惠,则每个台灯的售价应定为多少元
25.(10分)某数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB的高度,设计了以下三个方案:
方案一:如图1,在操场上点C处放一面平面镜,从点C处后退1 m到点D处,恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像;再将平面镜向后移动4 m(即FC=4 m)放在F处,从点F处向后退1.8 m到点H处,恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像,测得眼睛距地面的高度ED、GH为1.5 m,已知点B、C、D、F、H在同一水平线上,且GH⊥FH,ED⊥CD,AB⊥BH(平面镜的大小忽略不计).
方案二:如图2,利用标杆CD测量灯柱的高度.已知标杆CD高1.5 m,测得DE=2 m,CE=2.5 m.
方案三:如图3,利用三角板的边CE保持水平,并且边CE与点M在同一直线上.已知两条边CE=0.4 m,EF=0.2 m,测得边CE离地面的距离DC=0.3 m.
三种方案中,方案　　　　不可行,请根据可行的方案求出灯柱的高度.
图1　图2　图3
26.(10分)如图,在矩形ABCD中,AB=5 cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1 cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向终点C以2 cm/s的速度移动,当点Q运动到点C时,两点停止运动.设运动时间为t s(0(1)当t为何值时,PQ的长度等于5 cm
(2)连结PC,是否存在t的值,使得△PQC的面积等于8 cm2 若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
27.(12分)观察下面的式子:
S1=1+,S2=1+,S3=1+,…,Sn=1+.
(1)计算:=　　　　,=　　　　;猜想:=　　　　(用含n的代数式表示).
(2)计算:S=+…+(用含n的代数式表示).
【详解答案】
1.A　解析:A.是最简二次根式,符合题意;B.中含有分数,故不是最简二次根式,不符合题意;C.中含有能开得尽方的因数,故不是最简二次根式,不符合题意;D.,不是最简二次根式,不符合题意.故选A.
2.B　解析:∵线段a、b、c、d是成比例线段,∴a∶b=c∶d,即a∶3=6∶9,∴a=2 cm.故选B.
3.A　解析:∵x2+8x-10=0,∴x2+8x=10∴x2+8x+16=10+16,即(x+4)2=26.故选A.
4.D　解析:A.坐标系中不能表示出点(3,-5),不符合题意;B.坐标系中不能表示出点(5,3)、(3,-5),不符合题意;C.坐标系中不能表示出点(5,3),不符合题意;D.坐标系中能表示出各点,符合题意.故选D.
5.C　解析:∵OA∶AD=1∶2,∴OA∶OD=1∶3,∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形,∴△ABC∽△DEF,AB∥DE,∴△AOB∽△DOE,∴,∴△ABC的周长∶△DEF的周长=1∶3,∵△ABC的周长为8,∴△DEF的周长为24.故选C.
6.A　解析:∵关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,∴
解得m<0且m≠-1.故选A.
7.B　解析:如图所示,设点A经旋转后对应的点为B,
分别过点A和点B作x轴的垂线,垂足分别为M和N,由旋转可知,OA=OB,∠AOB=90°,∴∠AOM+∠BON=∠A+∠AOM=90°,∴∠A=∠BON.
在△AOM和△OBN中,
∴△AOM≌△OBN,∴BN=MO,ON=AM.∵点A的坐标为(-4,6),∴BN=MO=4,ON=AM=6,∴点B的坐标为(6,4).故选B.
8.C　解析:∵xy<0,∴x和y异号,
∵>0,∴y<0,x>0,∴x=x·.故选C.
9.D　解析:由数轴可知,a<0b,∴=-a,2a+b<0,
∴-|2a+b|=-a+2a+b=a+b.故选D.
10.D　解析:∵2[x]=x2,x2≥0,
∴x≥0.
①当0≤x<1时,则[x]=0,∴2[x]=0,即x2=0,解得x=0;
②当1≤x<2时,则[x]=1,∴2[x]=2,即x2=2,解得x=或x=-(舍);
③当2≤x<3时,则[x]=2,∴2[x]=4,即x2=4,解得x=2或x=-2(舍);
④当x≥3时,2[x]≤2x综上所述,方程的解为x=0或x=2或x=.故选D.
11.4 cm　解析:∵l1∥l2∥l3,
∴.∵BC=2 cm,=3,
∴=3,∴AB=4 cm.
12.(30-2x)(20-x)=468　解析:∵长方形田地的长为30 m,宽为20 m,且道路的宽度为x m,
∴剩余田地可合成长为(30-2x)m,宽为(20-x)m的长方形.
根据题意得(30-2x)(20-x)=468.
13.-8　解析:∵m、n是方程x2+3x-6=0的两根,
∴m+n=-3,mn=-6,
∴(m+2)(n+2)=mn+2(m+n)+4=-6+2×(-3)+4=-6-6+4=-8.
14.19　解析:∵实数x、y满足y=
2-3,∴
解得x=4,∴y=-3,∴3x-2y+1=3×4-2×(-3)+1=19.
15.1∶2　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,OD=OB,
∴△DEF∽△BEA,∴,
∵E为OD的中点,
∴DE=OE=OD=OB,
∴BE=3DE,∴,
∴DF∶CD=1∶3,
∴DF∶FC=1∶2.
16.(1)1　(2)7　解析:如图,连结B1D1、B1D2、B1C2、B1C3、C3D3.
(1)∵△ABC的面积为2,AD为BC边上的中线,
∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=×2=1,∵点A、C1、C2、C3是线段CC4的五等分点,∴AC=AC1=C1C2=C2C3=C3C4=CC4,∵点A、D1、D2是线段DD3的四等分点,
∴AD=AD1=D1D2=D2D3=DD3,
在△AC1D1和△ACD中,
∴△AC1D1≌△ACD,∴=S△ACD=1,∴△AC1D1的面积为1.
(2)∵点A是线段BB1的中点,
∴AB=AB1=BB1,
在△AB1D1和△ABD中,
∴△AB1D1≌△ABD,
∴=S△ABD=1,
∠B1D1A=∠BDA,
由(1)得△AC1D1≌△ACD,
∴∠C1D1A=∠CDA,
∵∠BDA+∠CDA=180°,
∴∠B1D1A+∠C1D1A=180°,
∴C1、D1、B1三点共线,
∴=1+1=2,
∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4,
∴=4=4×2=8,
∵AD1=D1D2=D2D3,=1,
∴=3=3×1=3,
在△AC3D3和△ACD中,
=3=,∠C3AD3=∠CAD,
∴△C3AD3∽△CAD,
∴=32=9,
∴=9S△CAD=9×1=9,
∵AC1=C1C2=C2C3=C3C4,
∴×9=12,
∴=12+3-8=7,
∴△B1C4D3的面积为7.
17.解:(1)原式=+6-1=5-+6-1=4-+6.
(2)原式=9-7+12-4+1=15-4.
18.解:(a+)(a-)-a(a-1)=a2-3-a2+a=a-3.
∵a2=9,∴a=±3,
当a=3时,原式=3-3=0;
当a=-3时,原式=-3-3=-6.
19.解:(1)4(x-1)2=36,即(x-1)2=9,
∴x-1=3或x-1=-3,
∴x1=4,x2=-2.
(2)2x2+7x+3=0,
∴a=2,b=7,c=3,
∴Δ=b2-4ac=72-4×2×3=25,
∴x=,
∴x1=-,x2=-3.
(3)4x2-x-9=0,
∴a=4,b=-1,c=-9,
∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×4×(-9)=145,
∴x=,
∴x1=,x2=.
(4)(x+2)2-2(x+2)-3=0,
设x+2=t,则方程变形为t2-2t-3=0,
∴t2-2t=3,
∴t2-2t+1=4,即(t-1)2=4,
∴t-1=2或t-1=-2,
∴t=3或t=-1,
则x+2=3或x+2=-1,
解得x1=1,x2=-3.
20.解:(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的高,∴∠1=∠CAD,
∵∠1=∠2,∴∠CAD=∠2,
∴EF∥AD.
(2)∵EF∥AD,∴,∵CE∶AE=3∶5,CF=6,∴,
解得FD=10,∴CD=CF+DF=6+10=16,∵AB=AC,AD是BC边上的高,∴BD=CD,∴BC=2CD=32.
21.解:(1)如图所示,△DEF即为所求.
(2)(2,1)
(3)
22.解:(1)证明:∵Δ=(m+3)2-4(m+2)=(m+1)2,
∴无论m取何值,Δ≥0,
∴原方程总有两个实数根.
(2)∵x1、x2是原方程的两根,
∴x1+x2=-(m+3),x1x2=m+2,
∵|x1-x2|=3,
∴-2x1x2=9,
∴(x1+x2)2-4x1x2=9,
即[-(m+3)]2-4(m+2)=9,
化简可得m2+2m-8=0,
解得m=2或m=-4.
23.解:(1)由已知得MN=AB,MD=AD=BC,∵矩形DMNC与矩形ABCD相似,∴,
∴AD2=AB2,
∵AB=4,∴AD=4.
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为.
24.解:(1)设月平均增长率为x,
依题意得300(1+x)2=507,解得x=0.3=30%或x=-2.3(舍去),
∴月平均增长率为30%.
(2)设每个台灯的售价应定为a元,
依题意得(a-30)[600-10(a-40)]=10 000,
整理得(a-50)(a-80)=0,
解得a1=50,a2=80,
∵尽可能让顾客得到实惠,
∴a=50,
∴每个台灯的售价应定为50元.
25.解:二、三
选择方案一.
∵∠ECD=∠ACB,∠EDC=∠ABC,
∴△ABC∽△EDC,∴,
∴AB==1.5BC,
设BC=x m,则AB=1.5x m,
∵∠AFB=∠GFH,∠ABF=∠GHF,
∴△ABF∽△GHF,∴,
∵AB=1.5x m,BF=BC+CF=(4+x)m,GH=1.5 m,FH=1.8 m,
∴,解得x=5,
∴AB=1.5x=7.5 m.
答:灯柱的高度为7.5 m.
26.解:(1)由题意得BQ=2t cm,AP=t cm,∴PB=AB-AP=(5-t)cm,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,在Rt△PBQ中,由勾股定理得PQ2=PB2+BQ2,
∴(5-t)2+(2t)2=52,
解得t1=0(舍去),t2=2,
∴当t=2时,PQ的长度等于5 cm.
(2)存在.
由题意得CQ=BC-BQ=(6-2t)cm,
∵△PQC的面积等于8 cm2,
∴CQ·PB=8,
∴(6-2t)(5-t)=8,
解得t=1或t=7(舍去),∴当t=1时,△PQC的面积等于8 cm2.
27.解:(1)　　
(2)S=+…+=1++1++1++…+1+=n+1-+…+=n+1-.