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15.1.2 线段的垂直平分线(第1课时) 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学习了轴对称的概念和性质的基础上，研究线段垂直平分线的性质和判定。
2. 内容分析
本节课是轴对称及其性质的知识延伸，核心是探究线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）和判定（到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上）。通过从性质到判定的推理，既巩固轴对称的性质，又建立起几何图形中“位置关系”与“数量关系”的联系，为后续学习等腰三角形等知识奠定基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
（2）了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
（3）在探究和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）学生通过折纸、测量等动手操作或观察轴对称图形，直观感知性质和判定的存在；“证明”则需要学生运用全等三角形等已学知识，将直观发现转化为严谨的几何证明，理解性质与判定的推导过程，实现从感性认识到理性认知的提升。
（2）通过线段垂直平分线的性质定理与其逆命题（即判定定理）的对比，让学生明确原命题和逆命题的定义，学会从已知命题中构造逆命题，并通过实例（如“对顶角相等”的逆命题不成立）理解原命题和逆命题真假性的独立性。
（3）在探究过程中，学生需经历观察、猜想、验证、证明的完整思维流程，锻炼逻辑推理能力；在表述证明思路或与他人交流时，需清晰、有条理地运用几何语言，从而提高数学表达能力，养成严谨的思维习惯。
三、教学问题诊断分析
1.对性质与判定的逻辑关系理解模糊
学生可能混淆“性质是由位置关系推数量关系”“判定是由数量关系推位置关系”，需通过对比实例强化理解两者的互逆关系。
2.证明过程不规范
在证明性质或判定时，学生可能遗漏全等三角形证明的关键步骤或几何语言表述混乱，需通过板书示范和纠错练习，规范证明的书写格式与逻辑链条。
3.原命题与逆命题的转化困难
部分学生难以准确写出一个命题的逆命题，需从“条件”与“结论”的互换入手，结合具体命题拆解结构，降低转化难度。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：探索并证明线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。
四、教学过程设计
（一）复习引入
轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质.
我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线.角的平分线的性质反映了角的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线上的点与线段两个端点的距离的关系.
设计意图：回顾 “轴对称图形” 与 “两个图形成轴对称” 的区别、联系和性质，引导学生从轴对称的整体知识过渡到线段垂直平分线这一具体内容，启发逻辑思维。类比 “角平分线的性质” 研究 “线段垂直平分线的性质”，渗透类比学习法，培养自主学习与知识迁移能力。
（二）合作探究
探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现
发现 如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、线段P2A与P2B、线段P3A与P3B......都是重合的，因此P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B.
猜想 线段的垂直平分线有以下性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
信息技术验证
已知 直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.
求证 PA=PB.
证明 当点P与点C重合时，显然成立.
当点P与点C不重合时，
∵l⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB.
又AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA=PB.
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
符号语言 ∵ 直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，
∴ PA=PB .
思考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗 即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢
解 点P在线段AB的垂直平分线上.理由如下：
过点P作PC⊥AB于点C，
∴∠ACP=∠BCP=90°.
在Rt△ACP和Rt△BCP中，
∴ Rt△ACP≌Rt△BCP(HL).
∴ AC=BC，
∴PC垂直平分AB，即点P在线段AB的垂直平分线上.
线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
符号语言 ∵ PA=PB，
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上 .
线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
思考 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系
答 这两个命题的题设、结论正好相反.
我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
追问 你还学习过其他具有类似关系的命题吗
思考 如果原命题成立，那么它的逆命题也成立吗？
答 如果原命题成立，那么它的逆命题不一定成立.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.
设计意图：让学生亲身经历线段的垂直平分线性质的形成过程，从直观操作感知重合，到信息技术测量验证，再到严谨的几何证明 ，多环节夯实对性质的理解。引导学生将性质的“题设与结论互换”，探究逆命题，让学生理解二者的互逆关系，完善线段的垂直平分线的知识体系。
（三）典例分析
例1 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.AB，AC，CE的长度有什么关系 AB+BD与DE有什么关系
解 AB=AC=CE，AB+BD=DE.理由如下：
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC.
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE，
∴AB=AC=CE.
∴AB+BD=CE+DC=DE.
例2 如图，AB=AC，MB=MC.直线 AM是线段BC的垂直平分线吗 为什么
解 直线 AM是线段BC的垂直平分线.理由如下：
∵AB=AC，MB=MC，
∴点A和点M都在线段BC的垂直平分线上，
∴直线 AM是线段BC的垂直平分线.
例3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1)两直线平行，同位角相等；
逆命题 同位角相等，两直线平行. （成立）
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
逆命题 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数也相等. （不成立）
(3)全等三角形的对应角相等.
逆命题 对应角相等的两个三角形全等. （不成立）
设计意图：通过具体应用，强化学生对线段垂直平分线的性质和判定的理解与掌握，实现从“知识记忆”到“知识运用”的转化。让学生针对不同原命题写出逆命题并判断真假。既巩固“逆命题”的 概念，又让学生体会到原命题与逆命题的真假性无必然联系，深化对命题逻辑关系的认知。
（四）巩固练习
1．如图，的边的垂直平分线交于点，连接．若，，则 3 ．
2．如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，
则 ．
第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，，，下列结论一定正确的是（ C ）
A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分
4．下列命题的逆命题是真命题的是（ D ）
A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等
C．如果，那么 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
感受中考
1．（2025·四川）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（ C ）
A．21 B．14 C．13 D．9
2．（2025·江苏）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ C ）
A．5 B．6 C．7 D．8
第1题图 第2题图 第3题图
3．（山东）如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ C ）
A． B．平分 C． D．
4．（2022·上海）下列说法正确的是（ A ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理线段的垂直平分线的定义、性质和判定，并展望新知（线段的垂直平分线的画法），将零散知识串联，构建清晰、完整的知识网络，强化对线段的垂直平分线相关知识的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题15.1 第4，5，6题.
2.探究性作业：习题15.1 第8，13题.
五、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共29张PPT)
15.1.2 线段的垂直平分线
(第1课时)
第15章 轴对称
人教版(新教材)数学八年级上册
探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
在探究和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
复习引入
轴对称图形 两个图形成轴对称
图形
区别 具有的性质 之间的位置关系
联系 把一个轴对称图形 . ，这两个图形关于这条轴对称. 把成轴对称的两个图形 ，它就是一个轴对称图形.
沿对称轴分成两个
看成一个整体
一个图形
两个图形
图形
复习引入
轴对称图形 两个图形成轴对称
图形
性质 1.成轴对称的两个图形 .
2.成轴对称的两个图形中，连接对称点
的线段被对称轴 .
线段的垂直平分线 经过线段 并且 于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线. 轴对称图形具有类似的性质.
中点
垂直平分
全等
垂直
复习引入
角的平分线
定义
画法
判定
性质
线段的垂直平分线
角有两条边
线段有两个端点
合作探究
探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l上，分别比较点P1，P2，P3，…与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现
发现 如果把线段AB沿直线l对折，线段P1A与P1B、
线段P2A与P2B、线段P3A与P3B......都是重合的，
因此P1A=P1B，P2A=P2B，P3A=P3B.
猜想 线段的垂直平分线有以下性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
合作探究
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
信息技术验证
已知
求证
合作探究
直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.
PA=PB.
证明 当点P与点C重合时，显然成立.
当点P与点C不重合时，
∵l⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB.
又AC=BC，PC=PC，
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA=PB.
合作探究
线段垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
∵直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，
∴ PA=PB .
解：点P在线段AB的垂直平分线上.理由如下：
过点P作PC⊥AB于点C，
∴∠ACP=∠BCP=90°.
在Rt△ACP和Rt△BCP中，
∴ Rt△ACP≌Rt△BCP(HL).
∴ AC=BC，
∴PC垂直平分AB，即点P在线段AB的垂直平分线上.
合作探究
思考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗 即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢
合作探究
线段垂直平分线的判定:
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
∵PA=PB，
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上 .
线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合.
答：这两个命题的题设、结论正好相反.
合作探究
思考 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
题设
结论
你还学习过其他具有类似关系的命题吗
我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.
答：如果原命题成立，那么它的逆命题不一定成立.
合作探究
思考 如果原命题成立，那么它的逆命题也成立吗？
原命题成立，逆命题成立.
原命题：两直线平行，内错角相等.
逆命题：内错角相等，两直线平行.
原命题成立，逆命题不成立.
原命题：对顶角相等.
逆命题：相等的角是对顶角.
互逆定理
原定理：
逆定理：
典例分析
例1 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.AB，AC，CE的长度有什么关系 AB+BD与DE有什么关系
解 AB=AC=CE，AB+BD=DE.理由如下：
∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC.
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC=CE，
∴AB=AC=CE.
∴AB+BD=CE+DC=DE.
典例分析
例2 如图，AB=AC，MB=MC.直线 AM是线段BC的垂直平分线吗
为什么
解 直线 AM是线段BC的垂直平分线.理由如下：
∵AB=AC，MB=MC，
∴点A和点M都在线段BC的垂直平分线上，
∴直线 AM是线段BC的垂直平分线.
例3 写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立.
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)全等三角形的对应角相等.
典例分析
逆命题 同位角相等，两直线平行.
逆命题 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数也相等.
逆命题 对应角相等的两个三角形全等.
成立
不成立
不成立
巩固练习
1.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC=8，CD=5，则BD = .
3
巩固练习
2.如图，在△ABC中，∠A=40°，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC= .
10°
巩固练习
3.如图，AC=AD，BC=BD，下列结论一定正确的是（ ）
A.CD平分∠ACB B.CD垂直平分AB
C.AB垂直平分CD D.AB与CD互相垂直平分
C
巩固练习
4.下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．全等三角形的面积相等
C．如果x>0，那么x2>0
D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D
归纳总结
线段的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点与 的距离相等.
判定 与线段两个端点距离相等的点在 上. 这条线段两个端点
这条线段的垂直平分线
互逆命题
互逆定理
感受中考
1.(2025·四川)如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点 D，则△BDC的周长为（ ）
A.21 B.14 C.13 D.9
C
感受中考
2.(2025·江苏)如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点 D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则△AEG的周长为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
C
感受中考
3.(山东)如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A. AB=AD B.AC平分∠BCD C.AB=BD D. △BEC≌△DEC
C
感受中考
4.（2022·上海）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题
B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题
D．假命题的逆命题一定是假命题
A
小结梳理
定义
画法
判定
性质
线段的垂直平分线
布置作业
必做题：习题15.1 第4，5，6题.
1
探究性作业：习题15.1 第8，13题.
2
谢谢观看！
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