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15.3.1 等腰三角形(第1课时) 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生已经学习了三角形的基本概念、全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步研究特殊的三角形——等腰三角形，研究等腰三角形的底角、底边上的中线、顶角平分线、底边上的高所具有的性质。
2. 内容分析
本节课内容围绕等腰三角形的底角、底边上的中线、顶角平分线、底边上的高展开：底角的关系是角的特殊性体现，而底边上的中线、顶角平分线、底边上的高的性质则是线段特殊性的核心，且这两类特殊性通过等腰三角形的轴对称性紧密关联 —— 正是因为等腰三角形是轴对称图形，才使得上述角和线段具有了 “重合” 或 “相等” 的特殊关系。同时，对这些性质的研究包含 “探索” 和 “证明” 两个层次，探索过程依赖轴对称直观感知，证明过程则需借助全等三角形的知识进行逻辑推导，体现了从直观到抽象、从感性到理性的认知过程。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明等腰三角形的两个性质。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解等腰三角形的概念；探索并证明等腰三角形的两个性质。
（2）能利用性质证明两个角相等或两条线段相等；结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
（3）在探索和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）理解等腰三角形的概念是基础，需明确 “两边相等” 这一核心特征，同时能区分腰、底边、顶角、底角等相关概念；探索并证明等腰三角形的两个性质是核心，学生在探索环节需要通过折叠等轴对称操作发现 “等边对等角”“三线合一” 的规律，证明环节则需将直观发现转化为严谨的几何推理，培养从操作到论证的思维转换能力。
（2）利用性质证明角或线段相等，本质是让学生掌握新的几何推理工具，丰富证明思路；体会轴对称的作用是思维层面的提升，旨在让学生认识到轴对称不仅是图形的性质，更是研究几何问题的重要方法——通过轴对称可以发现图形的对称元素，为性质探索提供方向，为证明提供辅助线添加思路。
（3）在探究过程中，学生需经历观察、猜想、验证、证明的完整思维流程，锻炼逻辑推理能力；在表述证明思路或与他人交流时，需清晰、有条理地运用几何语言，从而提高数学表达能力，养成严谨的思维习惯。
三、教学问题诊断分析
1.概念理解的混淆
学生易混淆等腰三角形的 “腰与底边”“顶角与底角”，尤其在非标准放置的等腰三角形中，难以准确识别各元素，导致后续性质应用时对应关系出错。在教学中可提供多种变式的等腰三角形图形（如不同顶角大小、不同放置方向），让学生标注腰、底边、顶角、底角，通过对比辨析明确概念的本质。
2.性质应用的局限性
在利用性质证明角或线段相等时，学生仍习惯依赖全等三角形，未能主动联想到等腰三角形的性质，导致解题过程繁琐；对于 “三线合一” 的应用，难以根据具体问题灵活选择 “一线” 作为条件推导其他 “两线” 的性质。在教学中可设计 “一题多解” 对比练习：如证明 “等腰三角形两底角的平分线相等”，要求学生分别用全等三角形和等腰三角形性质证明，通过对比感受性质的简便性，引导学生主动运用新工具。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：熟练利用性质证明两个角相等或两条线段相等。
四、教学过程设计
（一）复习引入
有些几何图形是轴对称图形，利用它们的轴对称性，可以帮助我们研究图形的性质，本节我们利用轴对称研究等腰三角形.我们知道，有两边相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质，还有一些特殊的性质.
设计意图：通过呈现 “图形的轴对称” 知识框架，唤醒学生对轴对称知识的记忆，明确其在研究新图形（等腰三角形 ）时的价值，让学生理解本节课是轴对称知识在特殊三角形研究中的应用延伸。
（二）合作探究
探究 如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来.将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角.
重合的线段 AB和AC → 等腰三角形的两个腰相等
BD和CD → AD是底边上的中线
重合的角 ∠B和∠C → 等腰三角形的两个底角相等
∠BAD和∠CAD → AD是顶角的平分线
∠ADB和∠ADC → AD是底边上的高
探究 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗 说一说你的猜想.
猜想1 等腰三角形的两个底角相等.
符号语言 如图 ，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.
证明 作底边BC的中线AD，则BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠B=∠C.
猜想2：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.
符号语言 如图 ，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线.
求证：AD是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线.
证明 ∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS).
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC边上的高，AD是∠BAC的平分线.
追问 这样可以证明猜想2吗？
符号语言 如图 ，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高.
求证：AD是BC边上的中线，AD是∠BAC的平分线.
证明 ∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
AB=AC，AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∴AD是BC边上的中线，AD是∠BAC的平分线.
符号语言 如图 ，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线.
求证：AD是BC边上的中线，AD是BC边上的高.
证明 ∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD是BC边上的中线，AD是BC边上的高.
等腰三角形的性质:
等腰三角形的两个底角相等.简写成“等边对等角”.
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.简写成“三线合一”.
思考 在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？
答 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.
设计意图：从直观操作入手，引导学生自主观察重合的线段和角，基于重合的线段和角，引导学生猜想等腰三角形的性质，将直观操作的发现上升到理性猜想。对猜想的证明旨在让学生体会几何证明的严谨性，提升逻辑推理与演绎证明能力。通过思考 “折痕”“辅助线” 的作用，引导学生将之前的操作、证明与图形的对称性关联，完善对等腰三角形的认知，体会轴对称在几何研究中的价值，为后续利用轴对称研究其他图形埋下伏笔。
（三）典例分析
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，BD=BC=AD.求△ABC 各角的度数.
解 ∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.
解得x=36°.
所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
设计意图：通过题目中多组等边关系，引导学生反复调用 “等边对等角” 的性质，识别并推导相等角，强化对等腰三角形核心性质的理解与运用，让学生熟练掌握 “边相等→角相等” 的逻辑转化。引入未知数 x ，将几何关系转化为代数方程，体现 “几何问题代数化” 的建模思想。
（四）巩固练习
1．如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
答 （1）底角的度数为75°，（2）底角的度数为30°.
2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数.
解 ∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB.
∵∠BAD=26°，
∴∠B=∠ADB=(180°-∠BAD)=77°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=103°.
∵AD=DC，
∴∠C=∠DAC.
∴∠C=(180°-∠ADC)=38.5°.
3.求证 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
符号语言 如图 ，在△ABC中，CD是AB边上的中线，CD=AB.
求证：△ABC是直角三角形.
解 ∵CD是AB边上的中线，CD=AB，
∴AD=BD=AB=CD.
∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD.
∵BD=CD，
∴∠B=∠BCD.
∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°，
∴2∠ACD+2∠BCD=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形.
4．如图，在中，，平分，，，、为垂足，则下列四个结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分．其中正确的为 ①②③ （填序号）．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
感受中考
1．（2025·江苏扬州）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ B ）
A． B． C． D．平分
2．（2024·广东广州）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（ C ）
A．18 B． C．9 D．
3．（2023·浙江台州）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（ A ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（2022·山东烟台）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（ A ）
A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
5．（2025·四川南充）如图，在五边形中，．
(1)求证：．
(2)求证：．
证明：（1），
．
．
在与中，
．
（2）∵，
．
，
．
，
．
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理轴对称的相关知识及联系，并展望新知（等腰三角形的判定），将零散知识串联，构建清晰、完整的知识网络，强化对图形的轴对称相关知识的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题15.3 第1，3，4题.
2.探究性作业：（1）习题15.3 第14题. （2）课本第89页 活动3.
五、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
