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15.3.1 等腰三角形(第2课时) 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生已经学习了轴对称和等腰三角形的性质的基础上，进一步探索等腰三角形的判定方法，这为我们提供了证明两条线段相等的新方法。
2. 内容分析
本节课的内容是探索等腰三角形的判定方法，其知识基础源于学生已掌握的轴对称知识和等腰三角形的性质，形成了 “性质→判定” 的逆向思维链条，共同完善了等腰三角形的知识体系。等腰三角形的判定为证明两条线段相等提供了新途径。等腰三角形的轴对称性，不仅是性质推导的依据，也是判定定理发现的直观支撑，体现了轴对称在几何研究中的价值。此外，内容还包含尺规作图的实践环节，将三线合一的应用与作图操作结合，强化了理论与实践的联系。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并理解等腰三角形的判定定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索并理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。
（2）能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形。
（3）在探索和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）学生通过轴对称直观感知 “等角对等边” 的规律，理解环节则要明确定理的题设（两个角相等）与结论（这两个角所对的边相等），避免与性质定理混淆；运用判定定理进行简单证明是能力落脚点，需掌握定理的规范表述和推理格式，能在具体几何情境中识别 “角等” 条件，进而推导 “边等” 结论。
（2）尺规作图 “已知底边及底边上的高线作等腰三角形”，本质是三线合一的应用实践，培养学生运用几何知识解决作图问题的能力。
（3）在探究过程中，学生需经历观察、猜想、验证、证明的完整思维流程，锻炼逻辑推理能力；在表述证明思路或与他人交流时，需清晰、有条理地运用几何语言，从而提高数学表达能力，养成严谨的思维习惯。
三、教学问题诊断分析
判定定理与性质定理的混淆
学生易因二者均涉及 “边等” 与 “角等” 的关系，出现性质与判定的颠倒使用，尤其在复杂几何题中，难以准确区分 “由边推角” 和 “由角推边” 的逻辑方向。在教学中可采取如下措施：明确列出性质定理（等边→等角）和判定定理（等角→等边）的条件、结论、用途，并结合具体例题标注 “已知什么，要证什么，用哪个定理”。开展 “反向提问” 训练：给出 “若一个三角形是等腰三角形，则______”（性质）和 “若一个三角形有两个角相等，则______”（判定），让学生填充结论并说明依据，强化逻辑方向的区分。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能准确区分等腰三角形的性质定理和判定定理。
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.等腰三角形具备什么样的性质？
2.怎样判断一个三角形是不是等腰三角形？
设计意图：展示等腰三角形 “性质” 与 “判定” 的互逆关系。通过提问引导学生主动回忆等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一 ）和判定方法（定义），唤醒学生已有的知识储备，为后续知识的深入探究或应用做好铺垫。
（二）合作探究
思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系
答 如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等.
符号语言 如图 ，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.
证明 作△ABC的角平分线AD.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC.
追问 你还有其他证法吗？
证明 作BC边上的高AD.
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC.
等腰三角形的判定:
有两个角相等的三角形是等腰三角形.简写成“等角对等边”.
符号语言 ∵在△ABC 中，∠B =∠C，
∴AB =AC．
设计意图：引导学生从 “边→角” 的正向认知，过渡到 “角→边” 的逆向探究，促使学生主动探索等腰三角形判定定理。使学生经历完整的判定定理的生成过程，深化对几何定理科学性、严谨性的认知。鼓励学生尝试不同的辅助线添加方式，培养学生思维的灵活性与开放性。
（三）典例分析
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
符号语言 已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC.
求证：AB=AC.
分析 要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2.所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.
证明 ∵AD//BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C.
又 AD平分∠CAE.
∴∠1=∠2.
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形.
分析 根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上.由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
作法 如图.
(1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点 D.
(3)在MN上取一点C，使DC=h.
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
设计意图：例 2 将平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定定理联系起来，构建 “平行线 + 角平分线 → 等腰三角形” 的逻辑链条，完善知识体系。例 3 衔接等腰三角形的性质（三线合一 ）与尺规作图，将理论知识转化为实践操作 。通过 “分析性质 → 设计步骤 → 规范作图” 的流程，强化 “性质指导作图，作图验证性质” 的双向联系，提升知识的综合应用能力。
（四）巩固练习
1．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形.
解 ∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=72°.
∴∠2=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°.
∴∠1=∠A+∠2=36°+36°=72°.
∵∠ABC=∠C，∠1=∠C，∠A=∠2，
∴△ABC，△BCD，△ABD都是等腰三角形.
2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗 为什么
解 由折叠的性质得：∠1=∠2，
∵AB∥CD,
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴△AEC是等腰三角形.
3.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥CD，OA=OB.求证OC=OD.
解 ∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D.
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∴∠C=∠D，
∴OC=OD.
4.上午8时，一条船从海岛A出发，以15 n mile/h的速度向正北航行，10时到达海岛B处.从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°.求海岛B与灯塔C的距离.
解 由题意得：AB=15×2=30( n mile).
∵∠C=∠NBC-∠NAC=84°-42°=42°，
∴∠C=∠NAC，
∴BC=AB=30( n mile)，
∴海岛B与灯塔C的距离是30 n mile.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
感受中考
1．（2025·吉林）如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ D ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川眉山）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（ A ）
A．4 B．5 C．6 D．8
第1题图 第2题图 第3题图
3．（浙江衢州）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 200 m．
4．（2022·广东广州）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B = ∠C，BD = CE，求证：△ABD≌△ACE.
证明：∵∠B=∠C，
∴AC=AB，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
5．（2025·四川自贡）如图，，．求证：．
证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理轴对称的相关知识及联系，将零散知识串联，构建清晰、完整的知识网络，强化对图形的轴对称相关知识的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题15.3 第2，6，8题.
2.探究性作业：等腰三角形的性质2“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”的逆命题是真命题吗？请分小组探索讨论，下节课分享交流.
五、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
