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15.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
第15章 轴对称
人教版(新教材)数学八年级上册
探索等边三角形的性质定理和判定定理.
能运用等边三角形的性质定理和判定定理进行计算和证明.
在探索和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
判定
性质
判定
性质
复习引入
依据
图形的轴对称
定义
性质
画轴对称的图形
研究轴对称图形
数形结合
坐标与轴对称
等腰三角形
从一般 到特殊
等边三角形
复习引入
问题1 什么样的三角形是等边三角形
答：三边都相等的三角形是等边三角形.
问题2 等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
答：从边的角度：两腰相等；
从角的角度：等边对等角；
从对称性的角度：轴对称图形、三线合一．
合作探究
探究 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论
等腰三角形
两腰相等
等边对等角
轴对称图形
三线合一
等边三角形
三条边相等
三个角相等
轴对称图形
三线合一
定义
性质
一条对称轴
三条对称轴
底边上的中线
底边上的高
顶角平分线
一边上的中线
同一边上的高
对角平分线
定义
性质
(一般)
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴BC =AC，BC =AB．
∴∠A =∠B，∠A =∠C ．
∴∠A =∠B =∠C ．
∵∠A +∠B +∠C =180°，
∴∠A =60°．
∴∠A =∠B =∠C =60°．
合作探究
等边三角形的性质:
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
符号语言
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C =60°．
已知：△ABC 是等边三角形.
求证：∠A =∠B =∠C=60°.
合作探究
探究 一个三角形满足什么条件才是等边三角形
等腰三角形
两腰相等
等角对等边
等边三角形
三条边相等
三个角相等
定义
判定
定义
判定
证明：∵∠A =∠B，∠A =∠C ，
∴BC =AC，BC =AB．
∴BC =AC=AB．
∴ △ABC 是等边三角形．
合作探究
等边三角形的判定1:
三个角都相等的三角形是等边三角形.
符号语言
∵∠A =∠B =∠C，
∴△ABC 是等边三角形．
已知：在△ABC中，∠A =∠B =∠C.
求证：△ABC是等边三角形.
合作探究
探究 一个等腰三角形满足什么条件才是等边三角形
答：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
证明：∵AB=AC，
∴∠C =∠B ．
∵∠A +∠B +∠C =180°， ∠A =60°，
∴∠C =∠B=60°，
∴∠A =∠B =∠C =60°，
∴ △ABC 是等边三角形．
合作探究
等边三角形的判定2:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
若∠B=60°，
结论还成立吗？
符号语言
∵△ABC是等腰三角形，∠A =60°，
∴△ABC 是等边三角形．
已知：在△ABC中，AB=AC，∠A =60°.
求证：△ABC是等边三角形.
典例分析
例4 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.
证明: ∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴△ADE是等边三角形.
答 三条对称轴交于一点.
巩固练习
1.画出等边三角形的三条对称轴，你能发现什么
答 与BD相等的线段：
CD，AE，BE，AF，CF，DE，DF.
巩固练习
2.如图，在等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段 证明你的结论.
请同学们完成证明.
巩固练习
3.如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
A
巩固练习
4.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，DE//AB，AD=3，CE=5，则AC的长为( )
A．9 B．8 C．6 D．7
B
归纳总结
等边三角形的性质与判定 性质 等边三角形的 都相等，并且每一个角都等于 .
判定
三个角
60°
两边相等
两角相等
三边相等
三角相等
一个角是60°
一般
三角形
等腰
三角形
等边
三角形
感受中考
1.(2025·北京)如图，∠MON=100°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B.若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为( )
A.80°
B.100°
C.110°
D.120°
B
感受中考
2.(2024·山东泰安)如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是( )
A.45° B.39° C29° D.21°
B
感受中考
3.(2023·甘肃武威)如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC=( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
C
感受中考
4.(2020·江苏常州)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F.若△AFC是等边三角形，则∠B= °.
30
感受中考
5.（2020·浙江台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 ．
6
小结梳理
判定
性质
判定
性质
依据
图形的轴对称
定义
性质
画轴对称的图形
研究轴对称图形
数形结合
坐标与轴对称
等腰三角形
从一般 到特殊
等边三角形
布置作业
必做题：习题15.3 第5，11，13题.
1
探究性作业：习题15.3 第10题.
2
谢谢观看！
人教版八年级上册/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科
15.3.2 等边三角形(第1课时 等边三角形的性质和判定) 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生学习了轴对称和等腰三角形的性质和判定的基础上，探索等边三角形的性质和判定方
法。
2. 内容分析
等边三角形与等腰三角形是 “特殊与一般” 的关系：等边三角形具备等腰三角形的所有性质（“等边对等角”，“三线合一”），但由于三边相等，其角的性质更为特殊（三个角均为 60°），且对称轴数量更多（三条）。这种特殊性使得等边三角形的判定方法也呈现出多样化 —— 既可以基于“三边相等”直接判定，也可以通过“三角相等”或“有一个角为 60°的等腰三角形”进行推导。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索等边三角形的性质定理和判定定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索等边三角形的性质定理和判定定理。
（2）能运用等边三角形的性质定理和判定定理进行计算和证明。
（3）在探索和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）通过对比等腰三角形，发现等边三角形 “三边相等” 所对应的 “三角相等（均为 60°）”“三条三线合一（每条边上的中线、高与所对角的平分线重合）” 等特征；探索判定时，要明确 “三边相等”“三角相等”“有一个角为 60°的等腰三角形” 这三种判定方法的逻辑依据，理解其与等腰三角形判定定理的联系与区别。理解层面需让学生清晰界定性质与判定的题设和结论，避免混淆。
（2）运用性质和判定定理进行计算和证明，是知识应用的具体体现。计算层面需能利用 “三角均为 60°” 解决角度计算问题，利用 “三线合一” 解决线段长度或位置关系问题；证明层面则要能在几何情境中识别等边三角形的特征，选择合适的判定方法证明三角形为等边三角形，或利用性质证明角相等、线段相等，培养灵活运用知识的能力。
（3）在探究过程中，学生需经历观察、猜想、验证、证明的完整思维流程，锻炼逻辑推理能力；在表述证明思路或与他人交流时，需清晰、有条理地运用几何语言，从而提高数学表达能力，养成严谨的思维习惯。
三、教学问题诊断分析
1.等边三角形与等腰三角形的概念混淆
学生易忽视二者的包含关系，错误认为 “等边三角形不是等腰三角形”，或在应用性质时混淆 “三线合一” 的范围，导致在复杂图形中无法准确调用性质。在教学中可以设计 “概念对比表”：从边的特征、角的特征、对称轴数量、包含关系等方面对比，明确二者的联系与区别。开展 “反例辨析” 活动，结合具体图形说明理由，强化概念理解的准确性。
2.判定方法选择困难
面对具体问题时，学生可能不清楚何时用 “三边相等” 判定，何时用 “三角相等” 或 “有一个角为 60° 的等腰三角形” 判定。在教学中可采取以下措施：设计 “条件辨析” 题组：让学生在对比中明确不同条件下的判定方法。总结判定方法的适用场景：当已知边的关系时，优先考虑 “三边相等”；已知角的关系时，优先考虑 “三角相等”；在等腰三角形的背景下，优先考虑 “有一个角为 60° 的等腰三角形”，帮助学生建立判定的选择标准。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能运用等边三角形的性质定理和判定定理进行计算和证明。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 什么样的三角形是等边三角形
答 三边都相等的三角形是等边三角形.
问题2 等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
答 从边的角度：两腰相等；从角的角度：等边对等角；从对称性的角度：轴对称图形、三线合一．
等边三角形是特殊的等腰三角形.对于等边三角形，我们同样从它的边、角关系出发，研究它的性质和判定.
设计意图：回顾等边三角形的定义，梳理等腰三角形的核心性质，为后续从“等腰三角形到等边三角形”的研究搭建知识桥梁，为学生自主探索等边三角形的性质与判定提供方向指引。
（二）合作探究
探究 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论
猜想 等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°.
符号语言 已知：△ABC 是等边三角形.求证：∠A =∠B =∠C=60°.
证明 ∵△ABC 是等边三角形，
∴BC =AC，BC =AB．
∴∠A =∠B，∠A =∠C ．
∴∠A =∠B =∠C ．
∵∠A +∠B +∠C =180°，
∴∠A =60°．
∴∠A =∠B =∠C =60°．
定理的符号语言 ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C =60°．
探究 一个三角形满足什么条件才是等边三角形
猜想 等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
符号语言 已知：在△ABC中，∠A =∠B =∠C.求证：△ABC是等边三角形.
证明 ∵∠A =∠B，∠A =∠C ，
∴BC =AC，BC =AB．
∴BC =AC=AB．
∴ △ABC 是等边三角形．
定理的符号语言 ∵∠A =∠B =∠C，
∴△ABC 是等边三角形．
探究 一个等腰三角形满足什么条件才是等边三角形
答 有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形.
猜想 等边三角形的判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
符号语言 已知：在△ABC中，AB=AC，∠A =60°.求证：△ABC是等边三角形.
证明 ∵AB=AC，
∴∠C =∠B ．
∵∠A +∠B +∠C =180°， ∠A =60°，
∴∠C =∠B=60°，
∴∠A =∠B =∠C =60°，
∴ △ABC 是等边三角形．
定理的符号语言 ∵△ABC是等腰三角形，∠A =60°，
∴△ABC 是等边三角形．
追问 若∠B=60°，结论还成立吗？
设计意图：从 “边、角、对称性” 的维度类比等腰三角形推导等边三角形的性质，让学生深刻体会两者的联系与区别。先探究 “一个三角形满足什么条件是等边三角形”，再探究 “一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形”，让学生体会不同的条件起点下不同的判定路径。
（三）典例分析
例4 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形.
证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴△ADE是等边三角形.
（四）巩固练习
1．画出等边三角形的三条对称轴，你能发现什么
答 三条对称轴交于一点.
2.如图，在等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段 证明你的结论.
答 与BD相等的线段：CD，AE，BE，AF，CF，DE，DF.
（请同学们完成证明.）
3．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（ A ）
A． B． C． D．
第2题图 第3题图 第4题图
4．如图，在中，，AD平分，，，，则AC的长为（ B ）
A．9 B．8 C．6 D．7
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
感受中考
1．（2025·北京）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ B ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东泰安）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（ B ）
A． B． C． D．
3．（2023·甘肃武威）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ C ）
A． B． C． D．
第1题图 第2题图 第3题图
4．（2020·江苏常州）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则 30 °．
5．（2020·浙江台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是 6 ．
第4题图 第5题图
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理轴对称的相关知识及联系，将零散知识串联，构建清晰、完整的知识网络，强化对图形的轴对称相关知识的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题15.3 第5，11，13题.
2.探究性作业：习题15.3 第10题.
五、教学反思
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