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15.3.2 等边三角形（第2课时 含30°角的直角三角形） 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课在学习了轴对称、等边三角形的性质及判定的基础上，探究直角三角形的一条特殊性质，它反映了直角三角形中的边角关系．本节课是等边三角形性质的简单运用，同时也为九年级学习锐角三角函数作了一定的知识储备。
2. 内容分析
本节课的核心内容是探究含30°角的直角三角形的边角性质，其知识体系处于承上启下的关键位置。“承上”体现在对已有知识的调用：借助等边三角形“三边相等”的性质，可推导出30°角所对直角边是斜边的一半。整个探究过程体现了“转化”思想—— 将未知的直角三角形问题转化为已知的等边三角形问题，同时强化了几何图形之间的联系，凸显了知识的系统性。“启下”则表现为该性质为九年级锐角三角函数中“30°角的正弦值” 等知识奠定基础，搭建了从特殊到一般的边角关系研究桥梁。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并理解含30°角的直角三角形的性质。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索并理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算。
（2）经历探索、发现、猜想、证明的过程，体会转化思想。
（3）在探索和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）探索环节需引导学生通过构造等边三角形（如延长直角边），直观感知30°角所对直角边与斜边的数量关系；理解环节要明确定理的适用条件（直角三角形、一个锐角为 30°）和结论（30°角所对的直角边等于斜边的一半），避免忽略“直角三角形”这一前提。能依据该性质推导线段的倍分关系，解决边长问题。
（2）通过将含30°角的直角三角形补成(或分割)为等边三角形的过程，让学生认识到未知图形可转化为已知图形进行研究，在图形构造与性质推导过程中，培养学生通过联想旧知解决新知的思维习惯。
（3）在探究过程中，学生需经历观察、猜想、验证、证明的完整思维流程，锻炼逻辑推理能力；在表述证明思路或与他人交流时，需清晰、有条理地运用几何语言，从而提高数学表达能力，养成严谨的思维习惯。
三、教学问题诊断分析
性质理解的局限性
学生易忽略性质成立的前提 “直角三角形”，在非直角三角形中错误应用该性质解题；或混淆“30° 角所对的直角边”与“30°角相邻的直角边”，导致边的对应关系出错。在教学中可采取以下措施：设计“反例对比”练习，让学生判断正误，明确“直角三角形”是性质应用的前提。利用“图形标注法”，在含30°角的直角三角形中，用不同颜色标注30°角、其所对的直角边和斜边，通过多次标注和对应练习，强化边与角的对应关系，避免混淆。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：熟练应用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算。
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题1 将等边三角形对折，可以得到一个三角形，这个三角形有什么特点？
答 ∠D=90°，∠B=60°，∠A=30°.
问题2这个三角形的边之间有什么关系？
设计意图：通过呈现等边三角形和其对折后得到的三角形，促使学生思考等边三角形对折后，边和角的数量关系变化，培养学生的猜想与探究思维。
（二）合作探究
探究 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论 再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗 证明你的结论.
猜想 在Rt△ABC中，如果∠A=30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半.
信息技术验证
分析 要证明BC=AB，只要证明2BC=AB.为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可.
证明 如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，
∴AB=AD.
又∵∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB.
又BD=2BC，
∴BC=AB.
追问 你还有其他证明方法吗？
证明 如图，作∠BCE =60°，
交AB于E，连接CE，
则∠ACE =90°-60°=30°.
在△ABC 中，
∵∠ACB=90°，∠A =30°，
∴∠B =60°．
在△BCE 中，
∵∠BCE=60°，∠B =60°，
∴△BCE 是等边三角形．
∴BC =BE =CE．
在△ACE 中，
∵∠A=30°，∠ACE =30°，
∴CE =AE．
∴BC =BE =CE =AE．
∴BC =BE =AE =AB．
含30°的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
符号语言 ∵在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，
∴BC =AB．
设计意图：通过 “观察，测量，猜想，验证，证明“等活动，强化证明逻辑，突出转化思想。设置 “信息技术验证” 环节，用数据支撑猜想的合理性；通过 “构造辅助线证明”，引导学生运用等边三角形的知识，严谨推导结论；鼓励学生尝试不同的证明方法，培养创新思维。
（三）典例分析
例5 图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°·求立柱BC，DE的长.
解 ∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，
∴BC=AB，DE=AD.
∴BC=×7.4=3.7(m)
又 AD=AB，
∴DE=AD=×3.7=1.85(m).
答：立柱BC的长是 3.7 m，DE的长是1.85 m.
设计意图：本题将抽象的几何性质转化为实际问题的解决工具，强化学生对该性质的理解与掌握，实现知识从 “理论” 到 “实践” 的跨越，培养学生的几何模型识别能力，让学生学会从实际问题中抽象出几何图形，运用几何知识解决问题，增强数学建模意识。
（四）巩固练习
1．如图，在中，，，，则的长为（ C ）
A．30 B．15 C．12 D．10
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度 边AB与BC之间有什么关系
解 ∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°.
∵∠B=2∠A，
∴∠A+2∠A=90°，
∴∠A=30°，∠B=60°.
∴AB=2BC.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∠B和∠A各是多少度
解 延长BC至点D，使DC=BC.
∴AC垂直平分BD，BD=2BC.
∴AB=AD.
∵AB=2BC，
∴AB=BD，
∴AB=BD=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BAC=90°-∠B=30°.
4．如图，在等边中，D是的中点，于点E，于点F，已知，则的长为（ C ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．如图，在等腰三角形中，，点，在等腰三角形的内部，连接，使，且平分．若，则 ．
第4题图 第5题图
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
感受中考
1．（2023·贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ B ）
A． B． C． D．
2．（2024·内蒙古）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（ B ）
A．8 B．16 C．12 D．24
3．（2022·内蒙古）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（ C ）
A．2 B．2 C．4 D．4+2
第1题图 第2题图 第3题图
4．（2023·吉林）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．
5．（2021·广东广州）如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若，则AD的长为 2 ．
第4题图 第5题图
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题15.3 第7，12题.
2.探究性作业：习题15.3 第15题.
五、教学反思
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