北师大2025版数学八年级上册 1.2 一定是直角三角形吗 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
1.2 一定是直角三角形吗
第一章 勾股定理
北师大版2024·八年级上册
章节导读
1.1.1探索勾股定理
1.1.2 验证勾股定理
1.2一定是直角三角形吗？
1.3勾股定理的应用
勾股定理的初步认识
利用勾股定理进行计算
勾股定理的简单应用
勾股定理的验证
勾股定理的逆定理
勾股数
立体图形中两点之间的最短距离
勾股定理的实际应用
学 习 目 标
1
2
1.探索并证明勾股定理的逆定理.
2.能运用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形.
知识回顾
1.勾股定理的前提条件是什么？
直角三角形
两直角边的平方和等于斜边的平方
条件：在Rt△ABC 中，∠C = 90°.
结论：a2+b2 = c2.
A
B
C
c
a
b
知识回顾
A
B
C
c
a
b
2.反过来，如果一个三角形满足了“两直角边的平方和等于斜边的平方”，那么它一定是直角三角形吗？
条件：△ABC 中 a2+b2 = c2.
？
结论：Rt△ABC ，∠C=90°.
新知探究
下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c：
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.
问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
是
新知探究
这三组数在数量关系上有什么相同点？
下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c：
① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17.
① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252，
③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172.
a2 + b2 = c2
新知探究
思考：从上述问题中，能发现什么结论吗？
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
新知探究
？
A　
B　
C　
a
b
c
如图，已知△ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
∠C是直角　
△ABC是直角三角形　
△ABC≌△ A′B′C′
新知探究
简要说明：
作一个直角∠MC1N，
在 C1M 上截取 C1B1 = a = CB，
在 C1N 上截取 C1A1 = b = CA，
连接 A1B1.
在 Rt△A1C1B1中，由勾股定理，得 A1B12 = a2 + b2 = AB2.
所以 A1B1 = AB. 所以△ABC≌△A1B1C1 (SSS).
所以∠C =∠C1 = 90°.
所以△ABC 是直角三角形.
a
c
b
A
C
B
b
C1
M
N
B1
A1
新知探究
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足a2+b2 =c2，
那么这个三角形是直角三角形.
A
C
B
a
b
c
特别说明：
符号语言：
在△ABC 中，若 a2 + b2 = c2
则△ABC 是直角三角形.
新知探究
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数.
A
B
C
c
a
b
常见的勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数 k（k 为正整数），得到一组新数，这组数同样是勾股数.
典例分析
你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？
方法技巧
例1.一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
典例分析
解：在△ABD中，AB2 + AD2 = 9+16= 25=BD2，
所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.
在△BCD 中，BD2 + BC2 = 25+144=169 = CD2，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角.
因此，这个零件符合要求.
D
A
B
C
4
3
5
13
12
典例分析
根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
方法技巧
例2.下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a = 15，b = 8，c = 17；
解：因为 152+82 = 289，172 = 289，所以 152+82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角.
(2) a = 13，b = 14，c = 15；
解：因为 132 + 142 = 365，152 = 225，所以 132 + 142 ≠ 152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
典例分析
根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
方法技巧
例2.下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(3) a∶b∶c = 3∶4∶5.
解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k。
因为 a2 + b2 = (3k)2 + (4k)2 = 25k2，c2 = (5k)2 = 25k2，
所以 a2 + b2 = c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C 是直角.
小明
方法技巧
利用勾股定理的逆定理，找出三边之间的关系，并求求CD的长
利用勾股定理及其逆定理求线段长
题型一
题型探究
小明
例3.如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求 CD 的长.
A
B
D
C
勾股定理的逆定理
△ABD为直角三角形
△ACD为直角三角形
求CD
方法技巧
勾股定理在实际生活中的运用
题型一
题型探究
小明
解：因为AB ＝13，AD ＝12，BD＝5，
所以 AD2＋BD2 ＝122＋52＝169＝132＝AB2.
所以△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝ 90°.
所以∠ADC ＝ 180°－∠ADB＝ 90°.
所以△ACD 是直角三角形.
根据勾股定理，
得 CD2 ＝AC2－AD2＝152－122＝81，
所以 CD ＝ 9.
A
B
D
C
利用勾股定理的逆定理，找出三边之间的关系，并求求CD的长
课堂小结
一定是直角三角形吗
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c
变式训练
1.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
A
变式训练
2.若△ABC 的三边 a，b，c满足a2 +b2 +c2 +50=6a+8b+10c. 试判断 △ABC 的形状.
解：因为 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c，
所以 a2 - 6a + 9 + b2 -8b+16+c2 -10c+25=0，
即 (a－3) + (b－4) + (c－5) = 0.
所以 a = 3，b = 4，c = 5.
所以 a2 + b2 = c2.
所以△ABC 是直角三角形.
变式训练
3.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD的面积.
解：连接BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理,
得 BD2=AB2+AD2，∴BD=5m，
又∵ CD=12cm，BC=13cm
∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.
S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD = BD CD－ AB AD
= (5×12－3×4)=24 m2．
C
B
A
D
感谢聆听!