北师大2025版数学八年级上册 1.3 勾股定理的应用 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
1.3 勾股定理的应用
第一章 勾股定理
北师大版2024·八年级上册
学 习 目 标
1
2
1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离．（重点）
2.能够运用勾股定理解决实际生活中的问题.
知识回顾
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
C
B
A
AC+CB>AB（两点之间线段最短）
思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
新知探究
问题：装修工人李叔叔想要检测雕塑底座正面的 BC 边是否垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
解：连接对角线 AC，只要分别量出AB、BC、AC 的长度即可.
AB2 + BC2 = AC2
△ABC 为直角三角形
新知探究
（2）如果量得 AD 长是 30 cm，AB 长是 40 cm，BD 长是 50 cm，那么 AD 边垂直于 AB 边吗？
解：AD2 + AB2 = 302 + 402 = 502 = BD2，
故∠DAB=90°，
即 AD 边垂直于 AB 边.
新知探究
（3）若随身只有一个长度为 20 cm 的刻度尺，能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗？
解：在 AD 上取点 M，使 AM = 9 cm，在 AB 上取点 N 使 AN = 12 cm，测量 MN 是否为 15 cm，若是，就垂直；若不是，就不垂直.
N
M
典例分析
你能根据题意画出图形吗？在你画的图形中存在一个怎样的三角形？
方法技巧
例1. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
典例分析
解：设水池的水深 AC 为 x 尺，
则这根芦苇长 AD = AB = (x + 1) 尺.
在直角三角形 ABC 中，BC = 5 尺，
由勾股定理，得 BC2 + AC2 = AB2，
即 52+x2=(x+1)2，
25 + x2 = x2 + 2x + 1，
2x=24，
∴ x=12，x+1=13.
答：水池深 12 尺，这根芦苇长 13 尺.
归纳总结
（1）先将立体图形的表面展开；（立体→平面）
（2）再作两点之间的连线；（构造直角三角形）
（3）运用勾股定理求出两点之间的距离.
立体图形
平面图形
直角三角形模型
展开
勾股定理
典例分析
根据勾股定理及其逆定理，构造一个直角三角形，求最短路线，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
方法技巧
例2.某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航” 号每小时航行16 海里，“海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
小明
典例分析
方法技巧
解：设“远航”号轮船为 Q，“海天”号轮船为 R，根据题意可画出如图 1-3-5 的示意图，由题意可得RP=18 海里，PQ =24 海里，QR=30海里 .
因为 182+242=302，所以△ RPQ 是直角三角形，
且∠RPQ =90° .
因为“远航”号沿东北方向航行，
所以“海天”号沿西北方向航行 .
根据勾股定理及其逆定理，构造一个直角三角形，求最短路线，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
方法技巧
利用勾股定理的逆定理，找出三边之间的关系，并求求CD的长
利用勾股定理及其逆定理求最值
题型一
题型探究
小明
例3.如图是一个滑梯示意图，若将滑道 AC 水平放置，则刚好与 AB 一样长. 已知滑梯的高度 CE=3m，CD=1m，试求滑道 AC 的长.
故滑道 AC 的长为 5 m.
解：设滑道 AC 的长为 x m，则AB的长也为x m，AE 的长为(x-1) m.
在 Rt△ACE 中，∠AEC = 90°，
由勾股定理得 AE2 + CE2 = AC2，
即 (x - 1)2 + 32 = x2，
解得 x = 5.
课堂小结
勾股定理的应用
立体图形中两点之间的最短路程问题
勾股定理的实际应用问题
变式训练
1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC 折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE 的长为（ ）
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm
B
变式训练
2.如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准四边形ABCD四个角都应是直角，他在挖完后测量发现 AB＝CD＝6m，AD＝BC＝8m，AC＝BD＝10 m，请你帮他看一下挖的地基是否合格.
解：因为AD2＋CD2＝82＋62＝100＝102＝AC2，
所以△ACD 是直角三角形，∠ADC ＝ 90°.
同理，∠BAD ＝∠ABC ＝∠BCD ＝ 90°，
所以四边形ABCD 四个角都是直角，
所以王叔叔所挖的地基合格.
变式训练
3.学过勾股定理后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆 AB 的高度，得到如下信息：
①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长 2 m；
② 将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1m，到旗杆的距离CE为 9 m(如图) .
根据以上信息，求旗杆AB 的高度 .
变式训练
解：设AB＝x m，则易得AE＝(x－1)m，AC＝(x＋2)m.
在Rt△ACE中，根据勾股定理，
得AC2＝AE2＋CE2，
所以(x＋2)2＝(x－1)2＋92，解得x＝13.
故旗杆AB的高度为13 m.
感谢聆听!