人教A版（2019）选择性必修第一册 3.1.1 椭圆及其标准方程 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
3.1.1椭圆及其标准方程课时）数函
观察情境
生活中，你是否注意过这样一类图形？
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征 我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而研究椭圆的几何性质
探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线
在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
动画演示
通过动画演示可知，画出的轨迹是椭圆.
在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是：
移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和是定值, 并且这个定值大于两定点间的距离，即
由此可得椭圆的定义.
平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距.
1. 椭圆的定义:
思考 动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？
① 在平面内----(这是前提条件)；
② 动点M到两个定点F1, F2的距离之和是常数；
动点M的轨迹是线段F1F2 ；
动点M没有轨迹 .
F1
F2
M


③
下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系, 建立椭圆的方程.
下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，推导椭圆方程，并通过方程研究椭圆的性质.
F1
F2
M


x
y
O
如图示, 建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点, 椭圆的焦距为2c(c>0), M与F1, F2的距离的和等于常数2a(a>0), 则
(x,y)
由定义知：
化简整理得
由椭圆定义知：
为了使方程形式更简单：
①
我们把方程①叫做椭圆的标准方程.
思考1 观察图, 你能从中找出表示a,b,c的线段吗？
由图可知，
2. 椭圆的标准方程:
F1
F2
M


x
y
O
(x,y)
如图示, 若椭圆的焦点在x轴上, 则椭圆的标准方程为
其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), c2＝a2－b2.
F1
F2
P


x
y
O
c
a
b
思考2 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
(x,y)
(焦点在x轴上)
(焦点在y轴上)
定义 焦点位置
图形
方程
特点 共同点 不同点
椭圆的标准方程:
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
焦点在x轴上
焦点在y轴上
例1
解1: (定义法)
解2: (待定系数法)
例1
(3) 求椭圆的标准方程，要先定“位”，
1. 求椭圆标准方程的主要方法有：
a, b, c 满足的关系有：
根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值.
用定义寻找a, b, c的方程；
(1) 定义法：
(2) 待定系数法：
待定系数法更为常用，是解此类问题的通法.
即求 a, b 的大小 .
即确定焦点的位置；
其次是定“量”，
y
O
F1
F2
x
A
B
(1)由题意
故△AF1B的周长为：
解：


y
O
F1
F2
x
A
B
(2) 如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长不会有变化.
仍然成立.

∴△AF1B的周长为：
设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
由点M是线段PD的中点，得
例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？
x
y
P
M
O

D

解1：(相关点代入法)
x
y
P
M
O

D

解2：(参数法)
∵ P 在圆 x2 + y2 = 4 上，
∴ 可设P(2cosθ, 2sinθ),
消去参数θ，得
∴点M的轨迹是一个椭圆 .
设 点M的坐标为(x, y),
由题意有
例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？
x
y
P
M
O

D

解2：(参数法)
∵ P 在圆 x2 + y2 = 4 上，
∴ 可设P(2cosθ, 2sinθ),
消去参数θ，得
∴点M的轨迹是一个椭圆 .
设 点M的坐标为(x, y),
由题意有
例2 如图，在圆 上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD, D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？
椭圆的标准方程
说明：椭圆的参数方程是椭圆方程的另外一种表现形式，它的优越性在于将曲线上点的横, 纵坐标 (两个变量) 用同一个参数θ表示，这样就能将椭圆上点的很多问题转化为函数问题解决，很好地将几何问题代数化.
椭圆的参数方程：
椭圆的参数方程
(1) 椭圆 的参数方程是
参数方程：
(2) 圆x2＋y2＝r2的参数方程是
(3) 圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程是
y
x
M
P
M0
N
O
解1：
设 P(x, y),
则
∵点M在圆C2上,
故点P的轨迹C的方程为
【变式1】已知圆 圆 点O为坐标原点, 点M是圆C2上的一动点, 线段OM交圆C1于N, 过点M作x轴的垂线交x轴于M0, 过点N作M0M的垂线交M0M于P. 当动点M在圆C2上运动时, 求点P的轨迹C的方程.
设 P(x, y),
可设
则由点M, N分别在圆C2 , C1上，
消去参数θ, 得
∴ 点P的轨迹C的方程为
y
x
M
P
M0
N
O
解2：
【变式1】已知圆 圆 点O为坐标原点, 点M是圆C2上的一动点, 线段OM交圆C1于N, 过点M作x轴的垂线交x轴于M0, 过点N作M0M的垂线交M0M于P. 当动点M在圆C2上运动时, 求点P的轨迹C的方程.
【变式2】求与圆(x＋3)2＋y2=4外切, 且与圆(x－3)2＋y2=100内切的动圆圆心的轨迹方程．
解：
故动圆圆心的轨迹方程为
设动圆的圆心为M(x, y), 半径为r, 它与已知圆O1, O2切于Q, P 两点, 则
y
x
O1
O2
P
M
Q
O
思考 由例2我们发现，可以由圆通过 “压缩” 得到椭圆. 你能由圆通过 “拉伸” 得到椭圆吗 如何 “拉伸” 由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗
x
y
P
M
O

D

x
y
P
M
O

D

例3
x
y
B
M
O
A

解: 设点M (x, y)，由A(-5, 0), B(5, 0)，可得
4. 已知A, B两点的坐标分别是(－1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么 为什么
解：设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得
直线AM的斜率为
直线BM的斜率为
总结：解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
1.直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.
2.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．