人教A版（2019）选择性必修第一册 3.3.1 抛物线及其标准方程 教学设计

3.3.1 抛物线及其标准方程的教学设计及思考
一、教学内容解析
1.内容
本节课是人教A版选择性必修第一册第三章第三节第一课时《抛物线及其标准方程》
2.内容解析
抛物线是平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹，其中的定点、定直
线(不经过定点)是确定抛物线的几何要素，这一概念反映了抛物线的几何特征.根据抛物线的概念，类比椭圆、双曲线标准方程的获得过程，通过建立适当的平面直角坐标系，用坐标法推导抛物线的标准方程.由于焦点的位置不同，抛物线标准方程的形式也不同.此时，要根据抛物线的位置，充分运用坐标法，对方程的形式进行转化，获得焦点分别在轴负半轴、轴正半轴、轴负半轴上的抛物线的标准方程.通过抛物线的标准方程，结合抛物线的概念，可以研究抛物线的几何性质及其简单应用，特别是过焦点的直线的有关性质.上述过程体现了研究圆锥曲线的一般过程.
本节内容包含的核心思想方法还是坐标法，这在结合抛物线的几何特征，推导抛物线标准方程的过程中得到了充分展示.另外还有多种研究方法，例如，类比椭圆、双曲线的研究过程与方法；在观察图形特征的基础上，形成抛物线的概念；在坐标系中研究焦点位置不同的抛物线得到的标准方程不同，用到了分类讨论的思想；求解教科书中的两个例题时使用了待定系数法；对二次函数的图象为什么是抛物线的研究用到了化归与转化思想等等.
二、教学目标设置
1.目标
根据教学内容，以及学生现有的认知水平和能力，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：
（1）运用轨迹交点法，经历探索抛物线轨迹的过程，提高作图能力和分析问题、解决问题的能力；感知抛物线的几何特征，发展直观想象的素养.
（2）能类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单的问题，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展逻辑推理、数学运算等素养.
（3）通过合作学习，感受数学探索的快乐．
2.目标解析
（1）能通过绘制抛物线的过程，确定抛物线上的点满足的几何条件，明确抛物线的几何特征，形成抛物线的概念.
（2）能认识建立抛物线标准方程的过程与建立椭圆、双曲线标准方程的过程是类似的，能通过建立适当的坐标系，根据抛物线上的点满足的几何条件列出抛物线上的点的坐标满足的方程，化简列出的方程，得到抛物线的标准方程；并能用它解决简单的问题，进一步认识获得曲线的方程的方法.
三、教学策略分析
数学教学是数学思维活动的教学，而思维又是从问题开始的，所以本节课在总体上采用“问题驱动”策略，通过精心设计的三个问题，激发学生的求知欲，并通过观察、分析、自主探究、合作交流、抽象概括等活动，领悟定义的本质内涵，体会解决问题过程中思路的形成过程，感悟蕴涵其中的数学思想方法.同时借助多媒体辅助教学，增加教学的直观性，提高课堂教学效率.学生对抛物线的认知基础是对二次函数图象的直观感知，但是并不知道抛物线的几何特征.确定抛物线的几何要素是一个定点和一条定直线，这与确定椭圆与双曲线的几何要素不同.相比而言，椭圆与双曲线的几何特征在县体情境中较为明显，而抛物线的几何特征在具体情境中较为隐蔽，学生不容易发现.学生在初中阶段学习过一些特殊的轨迹，有一定的作图能力；初步了解几何绘图软件Geogebra，能根据需要进行简单操作．另外，授课班级的学生具有较强的求知欲，思维活跃，能积极参与数学活动和交流讨论．
四、教学重点、难点
教学重点： 抛物线的概念的形成.
教学难点：抛物线标准方程的推导.
五、教学支持条件
为了突破难点，落实重点，采取了以下措施：首先，让学生使用几何绘图软件Geogebra在课后对教材113页的例6和125页的例5做进一步探究，得到一般性结论并利用信息技术验证：如果动点到定点的距离与到定直线（不过点）的距离之比为，当时，点的轨迹是椭圆，当时，点的轨迹双曲线。其次，老师利用几何画板画出“动点到定点的距离与到定直线（不过点）的距离相等”，并总结出利用轨迹交点法得到轨迹的基本步骤．进一步加深对抛物线的直观认识．最后，让学生分享从中发现的抛物线的几何特征，也为后续课程的学习打好基础．本节课的效果评价以当堂反馈为主，学生通过小组合作探究，上台展示分享小组成果，引导学生在操作中观察，在合作中发现。
六、教学过程设计
本节课以探究合作为主要的学习方式，教学过程分为“旧知回顾”，“新知探究”，“新知应用”，“课堂小结”四个环节。
引导语：我们知道，用一个平面截圆锥可以得到不同的截口曲线：圆、椭圆、双曲线、抛物线。前面几节课我们学习了椭圆与双曲线的概念、标准方程以及它们的简单几何性质和实际应用（PPT展示知识结构图）。
【设计意图】在结构教学法的指引下，牢固树立单元教学意识，引导学生站在整体的高度系统地认识所学知识，促进学生数学知识的结构化和思维的结构化.在结构视角下，学生很容易回顾已学和发现未学，自然地引出课题.
旧知回顾
大家还记得这两道题吗？（PPT展示教材例题截图）
展示数学兴趣小组的探究成果：由动点M的轨迹的特殊情况猜想出一般性结论并借助信息技术探究点的轨迹（相当于完成教材116-117页的信息技术应用）.通过探究可以发现，如果动点到定点的距离与到定直线（不过点）的距离之比为，当时，点的轨迹是什么？当时，点的轨迹又是什么？（演示学生的探究成果）那么，当时，点的轨迹又会是什么呢？
【设计意图】教师出示例6和例5，从学生已经接触的实例出发，激发学生探究问题的兴趣;利用已学的椭圆、双曲线知识，带领学生由已知问题过渡到未知情形，引出本节课内容：抛物线.一方面，从学生已有知识和经验出发，引导学生回忆所学内容，对已经研究了什么做到心中有数，对接着要研究什么做一定铺垫，应该怎么研究做到目标明确，思路清晰，方法得当.另一方面，展示数学兴趣小组的课后探究成果，让学生初步了解信息技术在数学学习中的应用以及培养学生善于思考，勇于探索的学习精神。
新知探究
1、形成概念
问题1：当动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等时，动点的轨迹会是什么呢？
师生活动：教师出示问题1，利用信息技术工具进行操作（演示几何画板），拖动点，观察动点的轨迹.
追问:（1）动点是如何获得的？
（2）线段和线段的几何意义分别是什么？
（3）变化的量有哪些？变化顺序如何？变化中是否存在不变的关系？
（4）当直线经过点时，线段的垂直平分线与过点的定直线的垂线是什么位置关系？
师生活动:四个追问是让学生在利用信息技术工具操作的过程中从思维层面对问题1进行分析.
对于追问（1）,学生分析与点相关的点与直线，发现点是定直线的垂线与线段的垂直平分线的交点，其中点在直线上运动，随之产生了动点.
对于追问（2），学生分析出线段是点与定点间的距离，线段是点到定直线的距离.教师一定要让学生说出定点和定直线,而不仅仅是点和直线，只有这样，学生的思维活动才能聚焦到确定抛物线的几何特征上来.
对于追问（3），学生应在分析前两个追问的基础上梳理变化的量及其变化顺序，可以发现和的大小随点的变化而变化，但是始终有.
对于追问（4），学生发现线段的垂直平分线与过点的定直线的垂线平行，即不能获得点,也就明白了为什么要求定直线不经过定点.
在上述基础上，让学生总结并完善抛物线的概念.
抛物线：我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.
【设计意图】通过对问题1的探究及其四个追问，引导学生发现确定抛物线的几何要素，认识抛物线的几何特征，抽象得出抛物线的概念，发展学生的数学抽象的素养.
建立方程
问题2：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你能推出抛物线的标准方程吗？
追问：（1）求曲线方程的步骤是什么？
（2）回顾椭圆、双曲线标准方程的推导时如何建系的？
（3）观察抛物线的几何特征，如何建系？
师生活动:学生观察抛物线形状，教师引导学生直观发现抛物线的对称性，建立平面直角坐标系，小组合作，自主推导抛物线的方程.一般来说，会有以下三种情况：
方案一 方案二 方案三
图3
展示学生所求的三种不同形式的抛物线方程：设点到直线的距离为，
方案一：，方案二：，方案三：.
追问:（1）类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，每个方程的推导过程是否满足抛物线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系？
三种不同形式的抛物线方程哪个更简单？为什么？
三种不同形式的抛物线方程是否有联系？
师生活动:当学生思考如何建系时，一般会出现将坐标系的原点选在定点、线段的
中点、定直线上三种情况.无论是哪一种情况，追问（1）是必不可少的步骤，也容易被学生忽略.当学生分别得到自己推出的方程后，教师提出追问（2），要求学生对它们进行比较，以确定哪个方程更适合作为抛物线的标准方程，之后，教师再提出追问（3），从联系的角度让学生思考三种不同形式的抛物线方程怎样互相转换（平移变换）.
在学生充分思考与推导的基础上,对比分析三种不同形式的抛物线方程及其联系，由学生确定将作为抛物线的标准方程，同时写出其焦点坐标和准线方程.
【设计意图】通过问题2及其六个追问，注重学生思维的发生点，让学生类比椭圆与双曲线标准方程的推导方法，自主推导抛物线的标准方程，体验类比方法，提升逻辑推理、数学运算等素养.一般情况下，以图形的对称轴或定直线为坐标轴、将定点置于坐标轴上，都是很好地利用了图形的几何特征的。在建立抛物线标准方程的过程中，从已有的经验出发，根据抛物线的对称性，学生容易想到以过定点且与定直线垂直的直线为x轴（或y轴），但y轴（或x轴）如何选呢？这是一个需要探索的问题。大多数学生想到的可能是以定直线为y轴（或x轴），这时可以放手让学生去尝试，将这样的坐标系下推导出的抛物线方程与教材中的建系方法下得出的方程进行比较，发现以定直线为坐标轴得出的方程不是最简单的，从而改进建立坐标系的方法。
（三）新知应用
问题3：类比椭圆、双曲线选择不同的坐标系，抛物线的标准方程又有哪些不同的形式？
师生活动:在已获得抛物线的方程的基础上，让学生类比椭圆、双曲线标准方程的不同形式，再分别获得开口向左、上、下的抛物线的标准方程，确定相应的焦点坐标和准线方程，并将结论填写在下面的表中。
图 形 标准方程 焦点坐标 准线方程
追问:（1）你是如何得到抛物线的另外三种形式的标准方程的？
你能由抛物线的标准方程直接写出抛物线的焦点坐标和准线方程吗？
你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.
师生活动:对于追问（1），部分学生可能会利用抛物线的定义重新演算，再现标准方程的推导过程，部分学生可能会类比椭圆和双曲线的标准方程建立过程，善于发现另外三种形式的图形与第一种图形之间的对称关系，从而快速获得正确结果；对于追问（2），教师引导学生从特殊的抛物线的标准方程如：写出它们的焦点坐标从而学生自主总结出由抛物线的标准方程写出其焦点坐标一般性步骤：1.将抛物线的方程化成标准形式，2.“定位”：看一次项系数，3.“定量”：一次项系数的，4.写出焦点坐标。再请另外一位同学口述根据抛物线的标准方程写出其准线方程的一般性步骤。在追问（2）的基础上引出追问（3）就水到渠成了，选择将变形为，求焦点坐标、准线方程.
【设计意图】与椭圆、双曲线标准方程不同，抛物线只有一条对称轴，根据定点与定直线的相对位置可区分出4种不同情况，得出4个标准方程。为此，教材设置了一个“探究”，教学时让学生通过独立思考、合作交流、小组展示等手段了解知识的来龙去脉，通过严谨细致的分析，展现知识的发生、发展形成的过程，进一步加强过程性教学。
通过问题3及其三个追问，类比椭圆与双曲线不同形式的标准方程，利用表格的形式呈现抛物线不同形式（焦点位置的不同）的标准方程，同时对比记忆，有助于形成良好的知识网络，培养学生解决数学问题时的观察、类比、分析、计算能力．引导学生总结出方程特点后，给出例题和当堂检测来加深学生对本节课知识的理解，并通过当堂检测检验本节课的学习效果，达到了堂堂清的目的。
（四）课堂小结
（1）抛物线的几何特征是什么？
（2）抛物线的标准方程如何获得？
（3）抛物线的标准方程有哪些不同的形式？
师生活动：由师生共同总结本节课的收获，引导学生回顾本节课所学知识和学习过程.
【设计意图】深化学生对本节课的认识，让学生梳理数学知识、感悟数学思想、体会数学研究方法.
七、课后作业
基本作业：课本133页 第1题、第2题、第3题
选做作业：（1）请同学们类比探究椭圆和双曲线的简单几何性质的过程，借助抛物线的标准方程探究抛物线的简单几何性质,下节课小组汇报成果.
（2）你能否对椭圆、双曲线、抛物线的轨迹进行统一性定义？说说你的想法.
【设计意图】考查学生对本节课知识和内容掌握情况，巩固和深化理解.利用分层作业，激发学生学习数学的积极性和兴趣.
附：板书设计
抛物线及其标准方程
多媒体投影区 1.抛物线的定义2.抛物线的标准方程 例1练习1例2练习2
反思与改进：
1、基于整体观念提升单元教学设计的能力
《普通高中数学课程标准(2017版))(以下简称(标准》)在实施意见中指出:教师的教学设计要以教材为蓝本，以《标准)为指向，以单元式主题为抓手，紧扣数学内容主线，把单元式主题教学设计的理念贯彻课堂教学设计的始终，创设合适的教学情境，提出有指引性、符合学生心理认知的问题，激发学生的思维，引导学生从整体上把握数学内容，本节课是人教A版选择性必修第一册第三章第三节第一课时《抛物线及其标准方程》，我们知道解析几何的教学，一方面，应从几何角度关注图形，认识图形的几何特征；另一方面，要建立代数方程，用代数工具研究几何性质．在这一章的教学中，我们借助信息技术研究了椭圆、双曲线，让学生首先充分认识图形，尽可能充分地感受并发现其几何特征，进而体会解析几何数形结合、几何与代数并重的特点．本节课是抛物线的第1课时，主要内容是借助几何绘图软件，探索抛物线的轨迹，引出抛物线的定义，直观感受、发现抛物线的几何特征．在这个过程中，学生学习和运用轨迹交点法，提升作图能力，感悟解决问题的策略．同时让学生学会类比探究椭圆、双曲线的定义及标准方程的过程，整个单元的教学过程应围绕“学生通过观察(直观感知动点的轨迹)——形成概念(发现图形的几何特征)——建立方程(独立思考建系的原则及图形之间的关系)——新知应用(巩固提高）——课堂小结（再现知识的产生及发展的过程）——课后作业（自主对新知做进一步探究）”的学习过程掌握知识，提升能力。如：上课伊始，呈现本单元的知识结构图，展示学生课后探究成果，课后作业的布置兼顾知识点的训练之外，让学生对新知做进一步探究并在下节课给全班同学汇报成果。而且在整节课的教学中，不断类比椭圆与双曲线的探究过程，围绕章引言提出的用平面截圆锥可以获得哪些截口曲线逐一展开教学，本节课我的设计理念遵循以下原则，以学生为主体，以独立思考、合作探究为手段，以能力提高为目的。所以在本节课的教学中，我不断为学生提供思考及合作的探究性活动，让学生充分发挥他们的聪明才智，通过层层递进的问题串，启发学生参与到问题中进行思考探究，让学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题、解决问题，培养学生的创新精神和实践能力。通过本节课的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，进一步体会数形结合的思想．
2、基于学情分析提升单元教学设计的能力
本节课从学生的认知起点与整体水平出发，计算机辅助课堂教学使数形结合的数学思想得到传递，信息技术手段恰当地利用也更有助于学生对新知识的理解和掌握。师生共同诠释和描述抛物线的形成，使学生对知识的发生、发展以及延伸的过程有更深刻的理解。突出学生的主体地位放开让学生讨论如何建立抛物线的方程，以美学的观点告诉学生，我们应该如何建立抛物线的标准方程，铺垫引入、引导探究、获得新知、深入探索，推导方程非常流畅。但是，本节课仍有一些缺憾，新课程倡导 “以学生发展为本”的基本理念，引导学生自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识和数学应用意识。让每个学生发表见解，相互启迪，实现学生与学生之间的互动，从而得到能力上的提升。在今后的教学中我觉得：给孩子一些权利，让他自己去选择；给孩子一些机会，让他自己去把握；给孩子一些困难，让他自己去面对；给孩子一些问题，让他自己去解决；给孩子一些条件，让他自己去创造。一节数学课的教学设计，应立足于问题引导学习，将教学重心前移，适度延长知识的发生发展过程；应保证学生思考的力度，在关键点上给学生提供发表见解的机会，促进他们在解决矛盾冲突的过程中、建立知识之间内在联系的过程中领悟本质；应紧扣学情，遵循学生的数学思维发展水平和认知规律，等等.只有这样才可能打造精品课堂，实现精致教学.