人教A版（2019）选择性必修第一册 3.2.1 双曲线及其标准方程 课件（共29张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教A版（2019）选择性必修第一册 3.2.1 双曲线及其标准方程 课件（共29张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 10.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-06 15:06:29 | ||
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文档简介
3.2.1 双曲线及其标准方程
人教版选择性必修第一册 第三章 第二节
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
椭圆及其标准方程
圆锥曲线
椭圆的简单几何性质
椭圆
双曲线
双曲线及其标准方程
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
一
二
三
目标与素养
理解双曲线的几何特征及定义，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.
经历双曲线标准方程的推导过程，掌握双曲线的标准方程，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.
能利用双曲线的标准方程解决问题，达到数学运算的核心所有水平学业质量水平二的层次.
双曲线的定义，几何特征与标准方程
双曲线标准方程推导及标准方程的问题
重点
难点
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
复习回顾，类比学习
我们知道，平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆.一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么?下面我们先用信息技术探究一下.
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
探究1：如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内, 取定点F1, F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.
创设情境，引入新课
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
A
B
P
F1
F2
M
M1
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|PA|-|PB|
<|F1F2|<|AB|，那么两圆相交;
所以，其交点M的轨迹是椭圆;
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
如图，在|AB|<|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下, 让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的轨迹是什么形状?
我们发现，在|AB| <
|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下,
让点P在线段AB外运动时，
当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|;
当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
A
B
P
F1
F2
M
M1
当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
A
B
P
F1
F2
M
M1
当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|;
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
总之，点M与两个定点F1，F2距离的差的绝对值|AB|是一个常数(|AB|<|F1F2|)，这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
一、双曲线定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
符号表述：||MF1|-|MF2||=2a＜|F1F2|=2c
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
平面内与两定点的距离的差等于常数2a (2a<|F1F2| )的
轨迹是什么？
|MF2|-|MF1|=2a，图形为双曲线的左支.
|MF1|-|MF2|=2a，图形为双曲线的右支；
问1：
与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a=|F1F2|时 )的轨迹是什么？
在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线.
问2：
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
问3：
与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a>|F1F2| )时的轨迹是什么？
不存在
问4：
当||MF1|-|MF2||= 2a=0时，
M点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 。
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
建立直角坐标系
列等式
设点坐标
代入坐标
化简方程
求曲线方程的一般步骤是什么？
探究2：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，
则有F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, aF1
F2
M
x
y
O
我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图).
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
????={????|||????????1|?|????????2||=2????，0<2????<|????1????2|}.
因为|????????1|=(????+????)2+????2，|????????2|=(?????????)2+????2,
所以(????+????)2+????2?(?????????)2+????2=±2????. ①
?
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得
(????2?????2)????2?????2????2=????2(????2?????2)，两边同时除以????2(????2?????2)，得 ????2????2?????2????2?????2=1.
?
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
从上述过程中可以看到，双曲线上任意一点的坐标
(x，y)都是方程②的解；
类比椭圆标准方程的建立过程 , 令b2=c2-a2 , 其中b＞0,
代入上式得：
????2????2?????2????2=1(????>0，????>0).②
?
以方程②的解为坐标的点(x，y)与双曲线的两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
二、双曲线的标准方程
我们称方程②是双曲线的方程，这个
方程叫做双曲线的标准方程.
它表示焦点在 x 轴上，两个焦点分别是 F1(- c，0)，F2(c，0)的双曲线，
这里c2=a2+b2 ．
????2????2?????2????2=1(????>0，????>0).②
?
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
思考： 类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程, 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
这个方程也是双曲线的标准方程.
如图，双曲线的焦距为 2c ，焦点
分别是 F1(0，- c)，F2(0，c)．a ，b 的
意义同上，这时双曲线的方程是
看x2，y2前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴上------焦点跟着正项走.
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
双曲线两种标准方程的特点
如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
小试牛刀.判断正误.
(1)在双曲线标准方程????2????2?????2????2=1中，????>0，????>0，且????≠????.( )
(2)方程????22?????23=1表示焦点在????轴上的双曲线.( )
(3)方程????????2+????????2=1(????????<0)表示双曲线.( )
?
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
例1 已知双曲线的焦点F1(-5, 0), F2(5, 0), 双曲线上一点P与F1 , F2的距离差的绝对值等于6, 求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
所以，双曲线的标准方程为
由 2c=10，2a=6 . 即 c=5，a=3，
因此 b2=c2-a2=25-9=16.
应用举例，解难释疑
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
分析 : 先根据题意判断轨迹的形状. 由声速及A, B两处听到炮弹爆炸声的时间差, 可知A, B两处与爆炸点的距离的差为常数. 所以爆炸点在以A, B为焦点的双曲线上 . 因为爆炸点离A处比离B处远 , 所以爆炸点在靠近B处双曲线的一支上.
例2 已知A, B两地相距800m, 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s, 且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程.
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
解：如图，建立平面直角坐标系????????????，使????，????两点在????轴上，并且原点????与线段????????的中点重合.
?
设炮弹爆炸点????的坐标为(????,????)，
则|????????|?|????????|=340×2=680，即2????=680，????=340.
?
又|????????|=800，所以2????=800，????=400，????2=????2?????2=44400.
?
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为????2115600?????244400=1(????≥340).
?
因为|????????|?|????????|=680>0，所以点的轨迹是双曲线的右支，
因此????≥340.
?
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
归纳感悟，总结提升
求双曲线标准方程的方法
一种方法：
二类方程:
三个意识：
求美意识， 求简意识，联系意识
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
教科书习题3.2 第1、2题.
基础巩固
分层作业,激发新疑
能力提升
已知圆????1：(????+3)2+????2=1和圆????2：(?????3)2+????2=9，动圆????同时与圆????1及圆????2相外切，求动圆圆心????的轨迹方程.
?
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
拓展探究：如图设 A，B 两点的坐标分别
为(-5, 0)，(5, 0)，直线 AM，BM 相交于点
M，且它们的斜率之积是 ????????，试求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1 例 3 比较，你有什么发现？
人教版选择性必修第一册 第三章 第二节
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
椭圆及其标准方程
圆锥曲线
椭圆的简单几何性质
椭圆
双曲线
双曲线及其标准方程
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
一
二
三
目标与素养
理解双曲线的几何特征及定义，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.
经历双曲线标准方程的推导过程，掌握双曲线的标准方程，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.
能利用双曲线的标准方程解决问题，达到数学运算的核心所有水平学业质量水平二的层次.
双曲线的定义，几何特征与标准方程
双曲线标准方程推导及标准方程的问题
重点
难点
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
复习回顾，类比学习
我们知道，平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆.一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么?下面我们先用信息技术探究一下.
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
探究1：如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内, 取定点F1, F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆.
创设情境，引入新课
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
A
B
P
F1
F2
M
M1
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果|PA|-|PB|
<|F1F2|<|AB|，那么两圆相交;
所以，其交点M的轨迹是椭圆;
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
如图，在|AB|<|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下, 让点P在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件?两圆的交点M的轨迹是什么形状?
我们发现，在|AB| <
|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下,
让点P在线段AB外运动时，
当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|;
当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
A
B
P
F1
F2
M
M1
当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
A
B
P
F1
F2
M
M1
当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|;
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
总之，点M与两个定点F1，F2距离的差的绝对值|AB|是一个常数(|AB|<|F1F2|)，这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
一、双曲线定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
符号表述：||MF1|-|MF2||=2a＜|F1F2|=2c
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
平面内与两定点的距离的差等于常数2a (2a<|F1F2| )的
轨迹是什么？
|MF2|-|MF1|=2a，图形为双曲线的左支.
|MF1|-|MF2|=2a，图形为双曲线的右支；
问1：
与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a=|F1F2|时 )的轨迹是什么？
在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线.
问2：
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
问3：
与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a>|F1F2| )时的轨迹是什么？
不存在
问4：
当||MF1|-|MF2||= 2a=0时，
M点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 。
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
建立直角坐标系
列等式
设点坐标
代入坐标
化简方程
求曲线方程的一般步骤是什么？
探究2：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，
双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，
则有F1(-c , 0) , F2 (c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a
F2
M
x
y
O
我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图).
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
????={????|||????????1|?|????????2||=2????，0<2????<|????1????2|}.
因为|????????1|=(????+????)2+????2，|????????2|=(?????????)2+????2,
所以(????+????)2+????2?(?????????)2+????2=±2????. ①
?
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得
(????2?????2)????2?????2????2=????2(????2?????2)，两边同时除以????2(????2?????2)，得 ????2????2?????2????2?????2=1.
?
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
从上述过程中可以看到，双曲线上任意一点的坐标
(x，y)都是方程②的解；
类比椭圆标准方程的建立过程 , 令b2=c2-a2 , 其中b＞0,
代入上式得：
????2????2?????2????2=1(????>0，????>0).②
?
以方程②的解为坐标的点(x，y)与双曲线的两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
二、双曲线的标准方程
我们称方程②是双曲线的方程，这个
方程叫做双曲线的标准方程.
它表示焦点在 x 轴上，两个焦点分别是 F1(- c，0)，F2(c，0)的双曲线，
这里c2=a2+b2 ．
????2????2?????2????2=1(????>0，????>0).②
?
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
思考： 类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程, 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
这个方程也是双曲线的标准方程.
如图，双曲线的焦距为 2c ，焦点
分别是 F1(0，- c)，F2(0，c)．a ，b 的
意义同上，这时双曲线的方程是
看x2，y2前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴上------焦点跟着正项走.
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
双曲线两种标准方程的特点
如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1
F2
y
O
M(x,y)
x
y
O
M(x,y)
F1
F2
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
小试牛刀.判断正误.
(1)在双曲线标准方程????2????2?????2????2=1中，????>0，????>0，且????≠????.( )
(2)方程????22?????23=1表示焦点在????轴上的双曲线.( )
(3)方程????????2+????????2=1(????????<0)表示双曲线.( )
?
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
例1 已知双曲线的焦点F1(-5, 0), F2(5, 0), 双曲线上一点P与F1 , F2的距离差的绝对值等于6, 求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
所以，双曲线的标准方程为
由 2c=10，2a=6 . 即 c=5，a=3，
因此 b2=c2-a2=25-9=16.
应用举例，解难释疑
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
分析 : 先根据题意判断轨迹的形状. 由声速及A, B两处听到炮弹爆炸声的时间差, 可知A, B两处与爆炸点的距离的差为常数. 所以爆炸点在以A, B为焦点的双曲线上 . 因为爆炸点离A处比离B处远 , 所以爆炸点在靠近B处双曲线的一支上.
例2 已知A, B两地相距800m, 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s, 且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程.
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
解：如图，建立平面直角坐标系????????????，使????，????两点在????轴上，并且原点????与线段????????的中点重合.
?
设炮弹爆炸点????的坐标为(????,????)，
则|????????|?|????????|=340×2=680，即2????=680，????=340.
?
又|????????|=800，所以2????=800，????=400，????2=????2?????2=44400.
?
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为????2115600?????244400=1(????≥340).
?
因为|????????|?|????????|=680>0，所以点的轨迹是双曲线的右支，
因此????≥340.
?
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
归纳感悟，总结提升
求双曲线标准方程的方法
一种方法：
二类方程:
三个意识：
求美意识， 求简意识，联系意识
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
教科书习题3.2 第1、2题.
基础巩固
分层作业,激发新疑
能力提升
已知圆????1：(????+3)2+????2=1和圆????2：(?????3)2+????2=9，动圆????同时与圆????1及圆????2相外切，求动圆圆心????的轨迹方程.
?
———教育集团————
学高为师
身正为范
办负责任的学校，做负责任的老师，培养有责任感的学生
拓展探究：如图设 A，B 两点的坐标分别
为(-5, 0)，(5, 0)，直线 AM，BM 相交于点
M，且它们的斜率之积是 ????????，试求点M 的轨迹方程，并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1 例 3 比较，你有什么发现？