课件27张PPT。第二十三章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数第1课时 锐角的三角函
数——正切1课堂讲解正切函数的定义、
正切函数的应用、
坡度和坡角2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一.汽车的爬坡能力是指汽车在通常情况下满载时所能爬越的最大坡度.怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？
（来自教材）1知识点正切函数的定义知1－导在下图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，
斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面，坡面AB和A1B1哪
个更陡？你是怎样判断的？知1－导类似地，在下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？你又是
怎样判断的？知1－导如图，在锐角A的一边任取一点B,
过点B作另一边的垂线BC，垂足为
C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，
过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足
为C1，得到另一个Rt△AB1C1……
这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形
都相似.在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比
……究竟有怎样的关系？
（来自教材）1.正切的定义：如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么
∠A的对边与邻边的比便随之确定，
这个比叫做∠A的正切， 记作tan A，
即tan A＝
要点精析：(1)tan A表示锐角A的正切，一般省略“∠”， 但当
用三个字母表示角时，不能省略“∠”．如 tan∠ABC.
(2)∠A的范围与tan A的范围： ①0°＜∠A＜90°；②tan A＞0.
(3)tan A随着 ∠A的增大而增大，∠A越接近90°，tan A 的值
就增加得越快，tan A可以等于任何一个正数．
(4)正切值的大小由锐角的度数决定，与其在哪个直角三角形中
无关．知1－讲（来自《点拨》）知1－讲2. 拓展：根据正切的定义可得互余的两角的正切值的关系为：
若∠A＋∠B＝90°，则tan A·tan B＝1.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，
∠C的对边，则tan A＝ ，tan B＝ ，
∴tan A·tan B＝ ＝1.
3. 易错警示：正切是一个比值，不是一个角度，
所以它没有单位．（来自《点拨》）【例1 】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,
知1－讲（来自《点拨》），则tan A＝________．导引：由正切定义可知tan A＝ ，在本题已知两边之比
的情况下，可运用参数法，由 ，可设BC＝
15a，AB＝17a，从而可用勾股定理表示出第三边AC＝
，再用正切的定义求解得tan A＝总 结知1－讲（来自《点拨》）直角三角形中求锐角正切值的方法：
(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；
(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利用
勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义求解．1 (2015·包头)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边
BC的3倍，则tan B的值是( )知1－练（来自《典中点》）在△ABC中，AC＝5，BC＝4，AB＝3，那么下列各式正确
的是( )
A．tan A＝ B．tan A＝
C．tan B＝ D．tan B＝2 知1－练（来自《典中点》）3如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶3，则tan B的
值为( )2知识点正切函数的应用知2－讲【例2】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，
tan A＝ ， 求AB的长．
导引： 先根据∠A的正切值求出AC的长，再
利用勾股定理求AB的长．
解：∵在Rt△ABC中，tan A＝ ，BC＝9，∴AC＝12.
根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即122＋92＝AB2，
∴AB＝15.（来自《点拨》）总 结知2－讲（来自《点拨》）由定义法，即根据正切的定义，列出锐角的正切与对边、邻边
的关系式，将已知数据代入，可求得未知数据．已知正切与对
边可得到邻边；已知正切与邻边也可求得对边．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tan A＝0.6，
求AC和AB；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，
∠B，∠C的对边，c＝2，tan B＝ ，求a，b的值及△ABC的面积和周长.知2－练（来自《点拨》）2 (2015·山西)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，
B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )
知2－练（来自《典中点》）知2－练（来自《典中点》）3如图，P是边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则tan α的
值为( )知3－讲3知识点坡度和坡角 1．定义：如图，坡面的铅直高度h与水平
长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，
记作i，即i＝
2．坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记
作α，于是有i＝tan α＝（来自《点拨》）知3－讲3. 拓展：(1)坡度等于坡角的正切值，所以坡角越大，
坡度越大，坡面越陡．
(2)坡度一般写成1∶m的形式，比的前项是1，后项可
以是小数或带根号的数．
4. 易错警示：坡角和坡度是两个不同的概念：坡角是
斜坡与水平面的夹角，是个角度；坡度是坡角的正
切值，是个比值，没有单位．（来自《点拨》） 【例3】 如图是一座水库大坝横截面的一部分，若已知坝高h＝6 m，
迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为α，则tan α＝________．（来自《点拨》）知3－讲导引：如图，构造一个直角三角形，先借助
勾股定理求出迎水坡的水平距离，再
求坡度．过点A作AC垂直于水平面，
交水平线于点C，在 Rt△ABC中，AC＝6 m，AB＝10 m，由
勾股定理，得BC＝ ，所以tan α＝
总 结知3－讲（来自《点拨》）求解与坡度有关问题的方法：
首先应作辅助线构造直角三角形(一般是过斜面的上顶点作水平线的垂线)，如果铅直高度和水平宽度有一边未知，通常用勾股定理先求出未知边，再利用坡度公式i＝tan α＝ 来求解．1 计算图（一）、图（二）中坡面AB和A1B1的坡度.知3－练（来自教材）图（一）图（二）2 (中考·怀化)如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所
走的直线距离AB＝4 m，此时，他离地面的高度为h＝2 m，
则这个土坡的坡角∠A＝________．知3－练（来自《典中点》）知3－练（来自《典中点》）3如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC.
若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，顶宽是3米，路基高是
4米，则路基的下底宽是( )
A．7米 B．9米 C．12米 D．15米正切函数的本质是：
在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值，是角度的函数，当角度确定时，比值也唯一确定；
正切值的大小与锐角的大小有关，与其所在的直角三角形边的大小无关．必做：1.完成教材P114练习T2，T3
2.补充：《典中点》P92-P93T4，T7-T9，T12-
T15必做：1.完成教材P114练习T2，T3
2.补充：《点拨》P165-P167举一反三T2-T5，
《点拨》P173-P174ⅢT5，T6，T14课件17张PPT。第二十三章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数第2课时 锐角的三角函数——
正弦与余弦1课堂讲解正弦函数、余弦函数、
锐角三角函数的取值范围
2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点正弦函数 如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即
sinA=
知1－讲（来自教材）【例1】如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=12,BC=5.求∠A的正弦函数值.
知1－讲 解： 在Rt△ABC中,AC=12,BC=5，∠C=90°，
2 (2014·贵阳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，
BC＝5，则sin A的值为( ) 知1－练（来自《典中点》）1把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角
A的正弦值( )
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍 D．不能确定3 如图，P是∠ α 的边OA上一点，点P的坐标为(12，5)，
则∠ α 的正弦值为( ) 知1－练（来自《典中点》）知1－练（来自《典中点》）4(2014·威海)在如图所示的网格中，小正方形的边长
均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是( )2知识点余弦函数知2－讲如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即
cosA=知2－讲【例2】 求例1中∠A的余弦函数值、正切函数值.
解： 如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，AB=10，AC=6，求sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB.
知2－练（来自教材）12如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=8，CD⊥AB,
求sin∠ACD、cos∠BCD. 3 (2015·温州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝5，BC＝3，那么cos A的值等于( )知2－练（来自《典中点》）知2－练（来自《典中点》）4(2015·丽水)如图，点A为∠ α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos α的值，错误的是( )知3－讲3知识点锐角三角函数的取值范围1.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数．
要点精析：在锐角三角函数的概念中，∠A是自变量，其取值范
围是0°＜∠A＜90°.三个比值是因变量，当∠A确定时，三个比
值 (正弦、余弦、正切)分别唯一确定，因此，锐角三角函数是以
角为自变量，以比值为因变量的函数．
2.锐角三角函数的取值范围：
00（θ是锐角）.1 若α是锐角，sin α＝3m－2，则m的取值范围是( )
A. ＜m＜1 B．2＜m＜3
C．0＜m＜1 D．m＞2 如果0°＜∠A＜90°，并且cos A是方程(x+ )(x－
0.35)＝0的一个根，那么cosA的值是______．知3－练（来自《典中点》）求锐角三角函数值的三种方法：
(1)在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求出．
(2)利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角(若
该角的三角函数值知道或者易求)．
(3)利用互余的两个角间的特殊关系求．必做：1.完成教材P116练习T3，T4
2.补充：《典中点》P94-P95T5，T6，T9，
T10，T13-T16必做：1.完成教材P116练习T3，T4
2.补充：《点拨》P173-P174ⅢT1-T4，T7-T13课件21张PPT。第二十三章 解直角三角形23.1 锐角的三角函数第4课时 一般锐角的三角
函数值1课堂讲解用计算器求已知锐角的三角函数值、
已知锐角的三角函数值用计算器求锐角2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点用计算器求已知锐角的三角函数值问 题上节课我们学习了几个特殊角的三角函数值,但如果是任意的一个锐角,如何求它的三角函数值呢?比如让你求sin36°的值.知1－导知识点知1－讲
利用计算器求锐角三角函数值：
①当锐角的大小以度为单位时，可先按
然后从高位到低位输入表示度数的数(可以是整数，也可以是小数)，最后按 ，就可以在显示屏上显示出结果；
②当锐角的大小以度、分、秒为单位时要借助 键计算，按键顺序是： (或 )、度数、 、分数、 、秒数、（来自《点拨》）【例1】 求sin 40°的值（精确到0.000 1）.
知1－讲（来自教材）解：∴sin40°=0.642 8.0.642 787 6094sin0=【例2】求值：（精确到0.000 1）知1－讲解：
（1）cos 34°35′；（2）tan 66°15′17″.（1）coscos34D.M，S35D.M，S=（34+35÷60）=∴cos34°35′=0.823 3.
（来自教材）知1－讲（2）tantan66D.M，S15D.M，S=（66+15÷60）=∴tan66°15′17″=2.273 2.+17÷6300D.M，S171 用计算器计算，并填写下表中的各个三角函数值. 知1－练（来自教材）2用计算器求三角函数值：（精确到0.000 1）
（1）sin10°； （2）cos50°18′；
（3）tan13°12′； （4）sin14°36′.知1－练（来自《典中点》）3用科学计算器求sin 9°的值，以下按键顺序正确的
是( )
A. B.
C. D.
知1－练（来自《典中点》）4(2015·威海)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是( )A. 5÷tan26°＝ B. 5÷sin26°＝
C. 5 ×cos26 ° ＝ D.5 ×tan26 ° ＝知1－练（来自《典中点》）5下列各式不成立的是( )
A．sin 50°＜sin 89°
B．cos 1°＜cos 88°
C．tan 22°＜tan 45°
D．cos23°＞sin 23°2知识点已知锐角的三角函数值用计算器求锐角知2－讲已知锐角三角函数值求锐角的度数：
如果是特殊角(30°， 45°，60°)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数．求角的度数要先按 键，将 、 、 转化成它们的第二功能键；当三角函数值为分数时，应先化成小数．知2－讲【例3】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的
锐角：
(1)sin A＝0.516 8(结果精确到0.01°)；
(2)cos A＝0.675 3(结果精确到1″)；
(3)tan A＝0.189(结果精确到1°)．
导引：已知锐角三角函数值，利用计算器求锐角的度数
时要注意先按 键．知2－讲（来自《点拨》）解：(1)依次按键：
，显示结果为：31.117 845 56，即∠A≈31.12°.(2)依次按键：，显示结果为：47°31′21.18″，即∠A≈47°31′21″.(3)依次按键：，显示结果为：10.702 657 49，即∠A≈11°.总 结知2－讲（来自《点拨》）计算器直接计算出的角的单位是度，而不是度、分、
秒，因此若要得到用度、分、秒表示的角度，可以
借助 和 键． 已知三角函数值，用计算器求锐角A和B：（精确到
1′）
（1）sinA=0.708 3,sinB=0.568 8；
（2）cosA=0.829 0,cosB=0.993 1；
（3）tanA=0.913 1,tanB=31.80.知2－练（来自教材）已知β为锐角，且tan β＝3.387，则β约等于( )
A．73°33′ B．73°27′
C．16°27′ D．16°21′
在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科
学计算器求∠A约等于( )
A．24°38′ B．65°22′
C．67°23′ D．22°37′知2－练（来自《典中点》）3知2－练（来自《典中点》）4如果∠A为锐角，cos A＝ ，那么( )
A．0°<∠A<30°
B．30°<∠A<45°
C．45°<∠A<60°
D．60°<∠A<90°1.利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为：先
按 键或 键或 键，再按角度值，最后按
键就求出相应的三角函数值．
2．已知锐角的三角函数值也可求相应的锐角，按键顺序
为：先按 键，再按 键或 键或 键，
然后输入三角函数值，最后按 键就求出相应角度．必做：1.完成教材P122练习T4，T5
2.补充：《典中点》P98T7，T8必做：1.完成教材P122练习T4，T5
2.补充：《点拨》P183-P184ⅢT1-T13，T16，
T18课件31张PPT。第二十三章 解直角三角形23.2 解直角三角形及其应用第1课时 解直角三角形及
方位角的应用1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升已知两边解直角三角形、
已知一边及一锐角解直角三角形、
已知一边及一锐角的三角函数值解直角三角形、
方位角1知识点已知两边解直角三角形知1－讲【例1】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝ ，解这
个直角三角形．
导引：先画出Rt△ABC，标注已知量，根据勾股定理求出
斜边长，然后根据正切的定义求出∠A的度数，再利
用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数．知1－讲（来自《点拨》）如图所示，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，a＝6，b＝解：∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.总 结知1－讲（来自《点拨》）本题运用数形结合思想和定义法解题．已知两条直角边，
解直角三角形的一般步骤是：
(1)根据c＝ 求出斜边的长；
(2)根据tan A＝ 求出∠A的度数；
(3)利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数.知1－讲【例2】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝ ，解
这个直角三角形．导引：先画出Rt△ABC，标注已知量，根据勾股定理求
出另一条直角边，然后根据正弦(或余弦)的定义
求出∠A的度数，再利用∠B＝90°－∠A求出∠B
的度数．知1－讲（来自《点拨》）如图所示，在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，a＝5，c＝解：∴∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°.总 结知1－讲（来自《点拨》）本题运用数形结合思想和定义法解题，已知一直角边和
斜边解直角三角形的一般步骤是：
(1)根据a＝ 或b＝ 求出另一直角边；
(2)根据sin A＝ （或cosA ＝ ）求出∠A的度数；
(3)利用∠B＝90°－∠A求出∠B的度数．
2 (2015·兰州)如图，在△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB，
则cos A＝( )知1－练（来自《典中点》）1根据下面条件，解直角三角形：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，b＝3.（来自教材）知1－练（来自《典中点》）3如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tan B＝
( )2知识点已知一边及一锐角解直角三角形知2－讲【例3】 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝ ，∠A
＝60°，解这个直角三角形．导引：先根据∠B＝90°－∠A求出∠B的
度数，然后根据sin A＝ ，求
出BC的长，再运用勾股定理求出AC的长．知2－讲（来自《点拨》）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°－60°＝30°.解：总 结知2－讲（来自《点拨》）本题运用数形结合思想和定义法解题．已知斜边和一锐角
解直角三角形的一般步骤是：
(1)根据∠A＋∠B＝90°求出另一锐角；
(2)根据sin A＝ 求出a的值；
(3)根据cos A＝ 求出b的值或根据勾股定理求出b的值．知2－讲【例4】 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，
∠B＝42°6′.解这个直角三角形(精确到0.01)．导引：先根据∠A＋∠B＝90°求出∠A的度数，再根据cos B
＝ 求出AB的长，最后根据tan B＝ 求出 AC
的长．知2－讲（来自《点拨》）在Rt△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，
∴∠A＝90°－42°6′＝47°54′.
∵cos B＝ ，∴cos 42°6′＝ ，
∴AB＝ ≈20.22.解：∵tan B＝ ，∴AC＝BC·tan B＝15·tan 42°6′≈13.55.总 结知2－讲（来自《点拨》）本题运用数形结合思想和定义法求解．已知一直角边和
一锐角解直角三角形的一般步骤是：
(1)根据∠A＋∠B＝90°，求出另一锐角；
(2)当已知一锐角和其邻边时，运用余弦的定义求出斜边，
运用正切的定义求出其对边；当已知一锐角和其对边
时，运用正弦的定义求出斜边，运用勾股定理求出其
邻边．知2－练（来自《典中点》）1根据下面条件，解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝30，∠B＝80°；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，∠A＝40°.
2(2014·杭州)在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，∠A
＝40°，BC＝3，则AC等于( )
A．3sin 40° B．3sin 50°
C．3tan 40° D．3tan 50°（来自教材）知2－练（来自《典中点》）3如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，P
是BC边上的动点，则AP的长不可能是( )A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7知3－讲3知识点已知一边及一锐角的函数值解直角三角形【例5】(中考·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上
的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B
＝ ，AD＝1.
(1)求BC的长；
(2)求tan ∠DAE的值．知3－讲解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1.
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sin B＝ ，AD＝1，
∴AB＝ ＝3，∴BD＝ ，
∴BC＝BD＋DC＝知3－讲（来自《典中点》）(2)∵AE是BC边上的中线，∴CE＝ BC＝∴DE＝CE－CD＝
∴tan ∠DAE＝2 如图，在△ABC中，AC＝5，cos B＝ ，sin C
＝ ，则△ABC的面积是( )
A. B．12
C．14 D．21知3－练（来自《典中点》）1(2015·滨州)如图，菱形ABCD的边长为15，
sin∠BAC＝ ，则对角线AC的长
为________．4知识点方位角知4－讲方向角问题：指北或指南方向线(或者指东或指西方向线)
与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图中的目
标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，
北偏西70°.特别地，像目标方向线OD表示南偏西45°通常
称目标方向线OD为西南方向．同理还有东北方向、西北
方向、东南方向．知4－讲【例6】如图，一船以20 的速度向东航行，在A处测
得灯塔C在北偏东60°的方向上，继续航行1 h到达B
处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上.已知灯塔C
四周10n mile内有暗礁，问这船继续向东航行是否安
全？知4－讲（来自教材）分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线
的距离是否大于10n mile.解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x n mile.
在Rt△ACD中，AD= .
在Rt△BCD中,BD= .
由AB=AD-BD,得
AB= 即
解方程，得
答：这船继续向东航行是安全的.知4－练（来自《典中点》）1(2015·南充)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，
距离灯塔2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯
塔的正东位置，则海轮航行的距离AB长是( )
A．2海里 B．2sin 55°海里
C．2cos 55°海里 D．2tan 55°海里2 如图，一只船以每小时20千米的速度向正东航行，起
初船在A处看见一灯塔B在船的北偏东60°方向上，2小
时后，船在C处看见这个灯塔在船的北偏东45°方向上，
则灯塔B到船所在的航线AC的距离是( )知4－练（来自《典中点》）A．(18＋ )千米
B．(19＋ )千米
C．(20＋ )千米
D．(21＋ )千米知4－练（来自《典中点》）3(2015·吉林)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，
距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．
(1)在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离(结果取整数)；
(2)用方向和距离描述灯塔P相
对于B处的位置．
(参考数据：sin 53°≈0.80，
cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，
≈1.41)的边角关系
直角三角形解直角三角形解直角三角形实际应用知一边一锐角解直角三角形知两边解直角
三角形添设辅助线解直角三角形知斜边一锐角解直角三角形知一直角边一锐角解直角三角形知两直角边解直角三角形知一斜边一直角解直角三角形直接抽象出直角三角形抽象出图形，再添设辅助线求解必做：1.完成教材P125练习T2，T3，P128练习T2
2.补充：《典中点》P101-P102T7，T11-T17必做：1.完成教材P125练习T2，T3，P128练习T2
2.补充：《点拨》P196-P198ⅢT1-T3，T6-T10课件16张PPT。第二十三章 解直角三角形23.2 解直角三角形及其应用第3课时 坡角在解直角三
角形中的应用1课堂讲解坡角的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升如图,一段路基的横断面是梯形,高为4.2米,上底的宽是12.51米,路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°.求路基下底的宽.(精确到0.1米) 知识点坡角的应用如图是一段斜坡的横断面，建筑学中通常把斜坡起止点A、B的高度差h与它们的水平距离l的比叫做坡度（或坡比），通常用字母i表示，
即： i=h:l ，表示坡度时，一般把比的前项取作1，如 ，如果把
图中斜坡AB与水平线AC的夹角记作α，那么 ，这就是说坡度等于锐角α的正切。知－讲知识点【例1】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC,路基顶
宽BC=9.8 m,路基高BE=5.8 m,斜坡AB的坡度i=1?1.6，斜坡CD
的坡度i′=1?2.5，求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1 m）
与斜坡的坡角α和β（精确到1 °）的值.知－讲知－讲（来自教材）解：过点C作CF⊥AD于点F，得
CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β.
∵BE=5.8 m,
∴AE=1.6×5.8=9.28(m),DF=2.5×5.8=14.5(m).
∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6(m).
由 ，得
α≈32°，β≈21°.
答：铁路路基下底宽为33.6 m，斜坡的坡角分别为
32°和21°.知－练（来自教材）1如图，水库大坝的横断面是四边形ABCD，BC∥AD,坝顶
宽为6 m,坝高为23 m,斜坡AB的坡度i=1?3,斜坡CD的坡度
i′=1?2.5，求：
（1）斜坡AB的坡角α的值（精确到1°）；
（2）坝底宽AD和斜坡AB的值（精确到0.1 m）.知－练（来自《典中点》）2(2015·邵阳)如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 000米，则他实际上升了________米．知－练（来自《典中点》）3(2014·凉山州)拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比
是1∶ ，坝高BC＝10 m，则坡面AB的长度是( )
A．15 m B．20 m
C．10 m D．20 m知－练（来自《典中点》）4(2015·济宁)如图，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝3 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC
的高度为( )
A．5米 B．6米
C．8米 D．(3＋ )米知－讲【例2】（广东）如图所示，小山岗的斜坡AC的坡度tan α＝ ，
在与山脚C距离200 m的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，
求小山岗的高AB(结果取整数，参考数据：sin 26.6°≈
0.45， cos 26.6°≈0.89，
tan 26.6°≈0.50)．导引：设小山岗的高AB为x m，
则tan α＝ ，
又∵在Rt△ABD中，tan 26.6°＝ ，而BD＝BC
＋DC，∴可得关于x的方程，解之即可求得AB的长．知－讲解：设小山岗的高AB为x m，
在Rt△ABC中，tan α＝ ，
∴BC＝ x m．∴BD＝DC＋BC＝
∵在Rt△ABD中，tan ∠ADB＝ ，
tan 26.6°≈0.50，
≈0.50，解得x≈300.
答：小山岗的高AB约为300 m.知－练（来自《点拨》）1（实际应用题）如图，梯形ABCD是拦水坝的横断面，AD
∥BC，斜坡CD的坡度i＝1∶ ，∠B＝60°，AB＝6 m，
AD＝4 m．求拦水坝的横断面ABCD的面积(结果精确到0.1
m2，参考数据： ≈1.732， ≈1.414)．1.坡角是坡面与水平面间的夹角；坡度(或坡比)是坡面
的铅垂高度与水平长度的比．
2．坡度与坡角的关系是坡度越大，坡角就越大，坡面
就越陡；坡角的正切值等于坡比．必做：1.完成教材P129练习T2，P131习题T5
2.补充：《典中点》P106T4-T6必做：1.完成教材P129练习T2，P131习题T5
2.补充：《点拨》P193举一反三T4,
P196-P198ⅢT4，
课件22张PPT。第二十三章 解直角三角形23.2 解直角三角形及其应用第2课时 视角在解直角三角
形中的应用1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升仰角的应用、
俯角的应用
上海东方明珠塔于1994 年10 月1 日建成，在各国广播电视塔的排名榜中，当时其高度列亚洲第一、世界第三．与外滩的“万国建筑博览群”隔江相望．在塔顶俯瞰上海风景，美不胜收．运用本章所学过的知识，能测出东方明珠塔的高度来吗？
为了测量东方明珠塔的高度，小亮和同学们在距离东方明珠塔200 米处的地面上，用高1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为60°48 ′．根据测量的结果，小亮画了一张示意图，其中AB表示东方明珠塔，DC为测角仪的支架，DC=1.20米，CB=200米，∠ADE=60°48 ′.
根据在前一学段学过的长方形对边相等的有关知识，你能求出AB 的长吗？1知识点仰角的应用 在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角（angle of elevation）；当视线在水
平线下方时叫做俯角（angle of depression）.知1－讲知1－讲【例1】如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他
站在距离水杉树8 m的E处，测得树顶的仰角∠ACD
=52°，已知测角器的架高CE=1.6 m，问树高AB为
多少米？（精确到0.1 m）知1－讲
解：在Rt△ACD中，∠ACD=52°，CD=EB=8 m.
由tan∠ACD= ，得
AD=CD·tan∠ACD
=8×tan52°
=8×1.279 9≈10.2（m）.
由DB=CE=1.6 m，得
AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8（m）.
答：树高AB为11.8 m.（来自教材）知1－练（来自《典中点》）1(2015·长沙)如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，
在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为
α，则树OA的高度为( )
A. 米
B．30sin α米
C．30tan α米
D．30cos α米知1－练（来自《典中点》）2(2015·聊城)湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为( )(参考数据：sin 41.5°≈0.663，cos 41.5°≈0.749，
tan 41.5°≈0.885)
A．34米 B．38米
C．45米 D．50米知1－讲【例2】解决本章引言所提问题.如图，某校九年级学生要测量
当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他
们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C,D两处
地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°
和30°，同时量得CD为50 m.
已知测角器高为1 m,问
电视塔的高度为多少米？
（精确到1 m）知1－讲
解：设AB1=x m.
在Rt△AC1B1中，由∠AC1B1=45°，得
C1B1=AB1.
在Rt△AD1B1中，由∠AD1B1=30°，得
tan∠AD1B1= ，即
解方程，得x=25( +1) ≈68.
∴AB=AB1+B1B≈68+1=69(m) .
答：电视塔的高度为69 m.（来自教材）知1－练（来自《典中点》）1(2015·衡阳)如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处
用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，
再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端
A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为( )
A．50 米
B．51米
C．(50 ＋1)米
D．101米知1－练（来自《典中点》）2(2015·德州)如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC
相距38 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆
底部B的仰角为45°，则旗杆的高度约为________m．
(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°
≈0.64，tan 50°≈1.19)知2－讲2知识点俯角的应用【例3】（云南，实际应用题）如图所示．某同学在楼房的A处
测得荷塘的一端B处的俯角为30°，荷塘另一端点D与
点C，B在同一条直线上，已知AC＝32 m， CD
＝16 m， 求荷塘宽BD为多少米？
(取 ≈1.73，结果保留整数)导引：将相关量转化为直角三角形ABC
中的有关元素，然后选择合适的
边角关系求得BD的长即可.（来自《点拨》）知2－讲解：由题意可得∠ABC＝30°.
在Rt△ABC中，∵tan ∠ABC＝ .
∴BC＝
∴BD＝BC－CD＝32 －16≈32×1.73－16≈39(m)．
答：荷塘宽BD约为39 m.知2－练（来自教材）1如图，飞机的飞行高度AB=1000 m,从飞机上测得到地面着
陆点C的俯角为18°，求飞机到着陆点的距离AC的值（精
确到1 m）.知2－练（来自《典中点》）2(2015·哈尔滨)如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方
地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上
看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机所在的A处与指
挥台B的距离为( )
A．1 200 m
B．1 200 m
C．1 200 m
D．2 400 m知2－练（来自《典中点》）3(2015·东营)4月26日，2015黄河口(东营)国际马拉松比赛
拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直
播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处
的俯角为30°，B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处
的高度CD为200米，点A、D、
B在同一直线上，则A、B
两点的距离是________米．知2－练（来自《典中点》）4(2015·潍坊)观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其
高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A处观测观光塔
顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B处观测观光
塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高
AB约是45 m，根据以上观测数据可
求观光塔的高CD是________m.1.(1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角,而不是
与铅垂线所夹的角; (2)仰角和俯角都是锐角.
2.解答含有仰角、俯角问题的方法：
(1)仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．
(2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和测量点到物体的水平距离，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
(3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
必做：1.完成教材P126练习T2，P128练习T1
2.补充：《典中点》P105T8-T11必做：1.完成教材P126练习T2，P128练习T1
2.补充：《点拨》P196-P198ⅢT5，T12-T14课件19张PPT。第二十三章 解直角三角形第3课时 30°，45°，60°角的
三角函数值23.1 锐角的三角函数1课堂讲解30°，45°，60°角的三角函数值、
由特殊三角函数值求角、
同角(余角)三角函数间的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A=30°，∠B=60°.
设BC=1，则AB=2，AC= （为什么？）.
于是有
sin 30°= ，cos 30°= ，tan 30°= ;
sin 60°= ，cos 60°= ，tan 60°= .
如图(2)，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A=∠B=45°.
设BC=1，则AC=1,AB= （为什么？）.
于是有
sin 45°= ，cos 45°= ，
tan 45°= .
1知识点30°，45°，60°角的三角函数值特殊角的三角函数值：知1－讲三角函数α知1－讲说明：由上表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的
三角函数值求出相应的锐角．
要点精析：(1)特殊角的三角函数值必须熟练记住，既能由角得值，
又能由值得角．记忆这个结果，可以结合三角形三边的大小关系，
也可以结合数值的特征，30°，45°，60°的正弦值分母都是2，分
子分别为 而它们的余弦值分母都是2，分子正好相反，分
别为 ；其正切值分别为 或记作
(2)对于其他相关角的三角函数值，往往用定义求解，如15°，22.5°，
75°，36°等．
(3)等边三角形、等腰直角三角形及与30°，45°角相联系的
其他三角形问题，常常要用特殊角的三角函数值解答．（来自《点拨》）知1－讲（来自教材）【例1】求下列各式的值：
（1）2sin 60°+3tan 30°+tan 45°；
（2）cos245°+tan 60°cos 30°.
解：（1）2sin 60°+3tan 30°+tan 45°（2）cos245°+tan 60°cos 30°
知1－练（来自教材）1填空：α三角函数 2 (2014·天津)cos60°的值等于( )知1－练（来自《典中点》）3(2015·滨州)下列运算：sin30°＝ π0＝π，2－2＝－4，
其中运算结果正确的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．14(2014·包头)计算sin245°＋cos 30°·tan 60°，其结果是( )2知识点由特殊三角函数值求角知2－讲 【例2】 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若
则∠C的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
导引：先根据绝对值及平方的非负性，得sin A＝ ，cos B
＝ ；再根据特殊角的三角函数值，求得∠A＝30°，
∠B ＝60°；最后利用三角形内角和定理，求得∠C＝
180°－ 30°－60°＝90°.D（来自《点拨》） (2015·酒泉)已知α、β均为锐角，且满足知2－练（来自《典中点》）1则α＋β＝________．2(2015·庆阳)在△ABC中，若角A，B满足则∠C的大小是( )
A．45° B．60° C．75° D．105°知2－练（来自《典中点》）3在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝ ，cos B＝ ，
则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定知3－讲3知识点同角（余角）三角函数间的关系 1. 同角的正弦、余弦、正切的关系：同角的正弦与余弦值的比等于
该角的正切值，即 在Rt△ABC中，∠C＝90°， a，b，
c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则sin A＝ cos A＝ ．
∴tan A＝
2．任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值.
即sinα＝cos (90°－α)或cos α＝sin (90°－α)；
3．任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数，
即tan α·tan(90°－α)＝1.（来自《点拨》）【例3】计算：sin 2 1°＋sin 2 2°＋…＋sin 2 88°＋ sin 2 89°.
（来自《点拨》）知3－讲导引：通过观察可知，运用互余两角的正弦值、余弦值之间
的关系：sin α＝cos (90°－α)将原式变形，再根据
sin 2 α＋cos 2 α＝1求解．解：原式＝sin 2 1°＋sin 2 2°＋…＋sin 2 45°＋cos 2 44°
＋… ＋cos 2 2°＋cos 2 1°＝(sin 2 1°＋cos 2 1°)＋
(sin 2 2°＋ cos 2 2°)＋…＋(sin 2 44°＋cos 2 44°)＋
sin 2 45°＝44＋
总 结知3－讲（来自《点拨》）灵活运用sin 2 α＋cos 2 α＝1与sin α＝cos (90°－α)
(0°＜α＜90°)是解答本题的关键．1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝ ，则sin B的值
是( ) 2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝ ，则cos A的值
为( )知3－练（来自《典中点》）3 已知α、β都是锐角，如果sin α＝cos β，那么α与β之间满足的关系是( )
A．α＝β B．α＋β＝90°
C．α－β＝90° D．β－α＝90°知3－练（来自《典中点》）巧记特殊锐角三角函数值的方法:
(1)三角板记忆法：借助如图所示的三角板记忆．
(2)特点记忆法：30°，45°，60°角的正弦值记为 余弦
值相反，正切值记为
(3)口诀记忆法：1，2，3；3，2，1；3，9，27；弦比2，切比3，分
子根号别忘添．
必做：1.完成教材P118练习T2
2.补充：《典中点》P96-P97T4，T5，T9，
T10，T14-T18必做：1.完成教材P118练习T2
2.补充：《点拨》P178-P179ⅢT1-T18
