2026年中考数学一轮复习 代数式（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026年中考数学一轮复习 代数式（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 438.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-08 06:42:17 | ||
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文档简介
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2026年中考数学一轮复习 代数式
一．选择题（共13小题）
1．设x1、x2、x3，…，x40是正整数，且x1+x2+x3+ +x40＝58，则x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值为（ ）
A．400，47 B．400.94 C．7200，94 D．200，94
2．已知甲、乙两等差级数的项数均为6，甲、乙的公差相等，且甲级数的和与乙级数的和相差．若比较甲、乙的首项，较小的首项为1，则较大的首项为何？（ ）
A． B． C．5 D．10
3．对于数列a1，a2，a3，…，已知|a1|＝1，对于每一个k＝1，2，…，|ak+1|＝|ak+1|．
（1）若n＝2019，则|a1+a2+…+an|最小可能值为x；
（2）若n＝2020，则|a1+a2+…+an|最小可能值为y．
则x+y＝（ ）
A．2020 B．100 C．87 D．44
E．无法确定
4．设x1，x2，x3，…，x40是正整数，且x1+x2+x3+…+x40＝58，则x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值为（ ）
A．400，94 B．200，94 C．400，47 D．200，47
5．如图，作边长为4的等边△OA1B1，延长A1B1至点A2，使得B1A2A1B1，再以B1A2为边作等边△B1A2B2．延长A2B2至点A3，使得B2A3＝2A2B2，再以B2A3为边作等边△B2A3B3，以此类推…．若点C、C1、C2、C3…分别是OA1、A1B1、A3B2、A3B3…的中点，则CC2021的长度为（ ）
A．6058 B．6060 C．6062 D．6064
6．如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．形如a1a2…an﹣1anan﹣1…a2a1的自然数（其中n为正整数，a1≤a2≤…an﹣1≤an，a1＞0，a1，a2，…an为0，1，…，9中的数字）称为“单峰回文数”，例如123454321，不超过5位的“单峰回文数”共有（ ）个．
A．273 B．219 C．429 D．129
8．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（ ）
A．363 B．361 C．359 D．357
10．2008年9月25日，中国国家主席胡锦涛在酒泉卫星发射中心“问天阁”为执行神舟7号飞行任务的航天员壮行．3天后，神舟7号巡天归来，在太空中留下了中国人骄人的足迹．根据这些事实和数据，我们发现有可能存在这样的等式：神舟7号问天×3＝问天神舟7号．上述等式中，每个汉字代表从0到9中的不同自然数（其中7已经被使用）．要使得等式成立，则神舟7号＝（ ）
A．2075 B．3075 C．3076 D．3078
11．有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论：
①b3＝2a+5；
②当a＝2时，第3项为16；
③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；
④第2022项为（a+2022）2；
⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2；
以上结论正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤
12．某果园引入了m个采摘机器人，这些机器人被分为两组，每组的工作效率不同．第一组有n个机器人，每个机器人平均8秒采摘一个苹果；第二组包含剩余的机器人，每个机器人平均6秒采摘一个苹果．同时，果园内还有10名熟练的采摘工人，他们每个人平均5秒采摘一个苹果．机器人与工人同时工作1小时，则这m个机器人比这10名工人多采摘的苹果个数是（ ）
A．120（m﹣2n）﹣720 B．600m﹣150n﹣7200
C．600m+450n﹣7200 D．120m﹣150n﹣720
13．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积是（ ）
A． B． C． D．1
二．填空题（共13小题）
14．七位数，这里数码a，b，c，d，e，f是0或1，所有这样的七位数的和是 ．
15．下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的，如果第一个图形的周长为5，那么第2017个图形的周长是 ．
16．已知一列数的和x1+x2+……+x2019（1+2+…+2019），|x1﹣3x2+1|＝|x2﹣3x3+2|＝…＝|x2018﹣3x2019+2018|＝|x2019﹣3x1+2019|，则x1﹣2x2﹣3x3＝ ．
17．不改变多项式﹣3x+2y﹣4+xy﹣x2﹣y2的值，把二次项放在带“﹣”的括号内，一次项放在带“+”的括号内，常数项单独放，得 ．
18．已知：（n＝1，2，3，…），记b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2），…，bn＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣an），则通过计算推测出bn的表达式bn＝ ．（用含n的代数式表示）
19．如果代数﹣2y2+y﹣1的值为7，那么代数式4y2﹣2y+5的值为 ．
20．从1，2，…，2008中选出总和为1009000的1004个数，并且这1004个数中的任意两数之和都不等于2009．则这1004个数的平方和等于 ．
参考公式：12+22+…+n2n（n+1）（2n+1）．
21．甲、乙、丙三人到某单人小火锅店就餐，该店共有m种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种分量，价格分别为a元、b元和3元，3＜b＜a≤8，a、b都为正整数．每个人都选择了所有m种配菜，而且对于每一种配菜，三个人在分量上的选择都各不相同．结账时，甲乙两人都花费了53元且两人在大盘菜的花费上各不相同，而丙共花费了54元，那么丙在大盘菜上花费 元．
22．有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，相继依次操作下，则从数串：3，9，8开始操作第100次时所产生的那个新数串的所有数之和是 ．
23．认真观察下列式子：2，请仔细分析上面式子的规律，用含自然数n（n≥1）的代数式表示上面的等式，正确的结果是 ．
24．图中共有九个小三角形，它们的顶点处各有一个小圆圈，在十个圆圈内分别填上10个自然数，这10个自然数的和为30，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等（所有数字不全相等），则符合上述填法的共有 种．
25．已知如图三角形数表中每个*代表一个数（不一定相同），并且每一个数都等于它底下一行分处它两侧的相邻两数之和（即凡具有形状的，必有a＝b+c）．则表中15个*的所代表的数的倒数之和为： ．
26．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2根图案需10根小木棒…，依次规律，拼搭第9个图案需要小木棒 根．
三．解答题（共11小题）
27．当a＝4，时，求下列代数式的值．
（1）4ab．
（2）a2+ab﹣b2．
28．一根弹簧长12cm，在弹性限度（总长不超过20cm）内，每挂质量为1kg的物体，弹簧伸长0.5cm．
（1）代数式0.5x+12表示的实际意义是 ；
（2）这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？
29．如图，在数轴上的A点表示数a，B点表示数b，a、b满足（a+2）2+|b﹣5|＝0．
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ．
（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①当t＝1时，乙小球到原点的距离＝ ；
当t＝3时，乙小球到原点的距离＝ ．
②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明．
（3）现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．
30．为改善居民居住条件，让人民群众生活更方便更美好，国家出台了改造提升城镇老旧小区政策．在我市“老城换新颜”小区改造中，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）：
（1）用含m，n的代数式表示广场（阴影部分）的面积S；
（2）若m＝60米，n＝50米，求出该广场（阴影部分）的周长．
31．问题情境：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x2+x＝0，求x2+x+186的值．我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+186＝186．
仿照上面的解题方法解答：若b2+2ab＝8，求2b2+4ab的值．
32．知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．理解应用：若关于x的多项式2m2﹣3x﹣m（3﹣5x）的值与x的取值无关，求m的值．
33．码头到货100t，现有甲、乙两装卸作业组同时开始卸货．甲组卸货at，需要时间为（3a+1）小时；乙组卸货bt，需要时间为（2b+3）小时．问当他们一起卸完所有的货物时，甲组卸货多少吨？
34．A，B两地相距s千米，甲、乙两人驾车分别以a千米/小时，b千米/小时的速度从A地到B地，且甲用的时间较少．
（1）用代数式表示甲比乙少用的时间；
（2）当s＝180，a＝72，b＝60时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义．
35．观察下列等式：
①52﹣（22+32）＝2×2×3；
②82﹣（32+52）＝2×3×5；
③112﹣（42+72）＝2×4×7；
④ 2﹣[42+（﹣2）2]＝ ×4×（﹣2）；……
（1）观察等式规律，把等式④补充完整；
（2）请你仿写一个与上面各等式不同的等式；
（3）用含有a，b的等式表示上述规律．
36．某商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价750元，电磁炉每台定价200元，元旦期间商场决定开展促销活动，商场向客户提供了两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款；
A公司欲购买微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）
（1）若按方案一购买，顾客需付款多少元；若按方案二购买，顾客需付款多少元；（用含x的式子表示）
（2）若x＝50，通过计算说明哪种购买方式更合算？
（3）当x＝50时，你能给出一种更省钱的购买方式吗？试写出你的购买方式，并计算需付款多少元？
37．为丰富校园体育生活，学校增设羽毛球兴趣小组，需要采购某品牌羽毛球拍30支，羽毛球x筒（x＞30）．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍定价100元/支，羽毛球20元/筒．现甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案：
甲商店：买一支羽毛球拍送一筒羽毛球；
乙商店：羽毛球拍与羽毛球均按九折销售．
（1）到甲商店购买，需要支付 元；到乙商店购买，需要支付 元．（用含x的代数式表示）（2）若x＝100，请通过计算说明学校去哪个商店购买较为优惠；
（3）若x＝100，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并算出需要支付的总钱数．
2026年中考数学一轮复习 代数式
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．设x1、x2、x3，…，x40是正整数，且x1+x2+x3+ +x40＝58，则x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值为（ ）
A．400，47 B．400.94 C．7200，94 D．200，94
【答案】B
【分析】把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值是存在的．
①设x1≤x2≤…≤x40，由（x1﹣1）2+（x2+1）2＞x12+x22，所以，当x1＞1时，把x1调到1，这时，x12+x22+…+x402将增大，所以可以求出最大值．②若存在两数xi，xj，使得xj﹣xi≥2（1≤i＜j≤40），根据（xi+1）2+（xj﹣1）2＝xi2+xj2﹣2（xi﹣xj﹣1）＜x12+x22，所以在x1，x2，x3，…，x40中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，这时，x12+x22+x32+…+x402将减小，可以求出最小值．
【解答】解：把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x12+x22+…+x402的最大值和最小值是存在的．
不妨设x1≤x2≤…≤x40，若x1＞1，则x1+x2＝（x1﹣1）+（x2+1），
且（x1﹣1）2+（x2+1）2＝x12+x22+2（x2﹣x1）+2＞x12+x22，
所以，当x1＞1时，把x1调到1，这时，x12+x22+x32+…+x402将增大；
同样，可把x2，x3…x39逐步调至1，这时，x12+x22+x32+…+x402将增大，
于是，当x1，x2…x39均为1，x40＝19时，x12+x22+x32+…+x402将取最大值，
即A＝1×39+192＝400．
若存在两数xi，xj，使得xj﹣xi≥2（1≤i＜j≤40），
则（xi+1）2+（xj﹣1）2＝xi2+xj2﹣2（xi﹣xj﹣1）＜x12+x22，
所以在x1，x2，x3，…，x40中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，
这时，x12+x22+x32+…+x402将减小，
所以当有22个是1，18个是2时x12+x22+x32+…+x402将取最小值，
即B＝1×22+22×18＝94，
故最大值为400，最小值为94．
故选：B．
【点评】①本题综合了数的拆分以及不等式的性质，属于有理数的综合运算，总的来说比较难，要求平时对基本的知识非常熟练地掌握．
②本题作为选择题有其特殊的解法，一般情况下如果做不出来或者没有思路可以采用赋值法，然后进行排除找到答案．
2．已知甲、乙两等差级数的项数均为6，甲、乙的公差相等，且甲级数的和与乙级数的和相差．若比较甲、乙的首项，较小的首项为1，则较大的首项为何？（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【分析】设甲、乙两等差级数中乙级数的首项较小，令b1＝1，较大的首项为a1，设两等差级数的公差为d，根据甲级数的和与乙级数的和相差列出方程，解方程即可．
【解答】解：设甲、乙两等差级数中乙级数的首项较小，令b1＝1，较大的首项为a1，设两等差级数的公差为d，则
∵甲级数的和为6a1d＝6a1+15d，
乙级数的和为6×1d＝6+15d，
∴（6a1+15d）﹣（6+15d），
∴6a1﹣6，
∴a1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差级数，掌握等差级数的求和公式是解题的关键．
3．对于数列a1，a2，a3，…，已知|a1|＝1，对于每一个k＝1，2，…，|ak+1|＝|ak+1|．
（1）若n＝2019，则|a1+a2+…+an|最小可能值为x；
（2）若n＝2020，则|a1+a2+…+an|最小可能值为y．
则x+y＝（ ）
A．2020 B．100 C．87 D．44
E．无法确定
【答案】D
【分析】逐层分析ak（k＝1，2，3，…）的值有可能是多少，取每个ak的值求和，找规律得到x；再求x+y的值．
【解答】解：∵|a1|＝1；
∴a1＝1或a1＝﹣1；
∵|a2|＝|a1+1|；
∴|a2|＝2或0；
∴a2＝±2或0；
同理a3＝±3或±1，a4＝±4或±2或0，a5＝±5或±3或±1，…，a2019＝±2019或±2017或…或±1，
当a1值为﹣1，a2＝0时，a1+a2值为﹣1；当a1值为1，a2＝2时，a1+a2值为3；当a1值为1，a2＝﹣2时，a1+a2值为﹣1；
当a1值为﹣1，a2＝0，a3＝﹣1时，a1+a2+a3值为﹣2；当a1值为1，a2＝﹣2，a3＝﹣1时，a1+a2+a3值为﹣2；当a1值为﹣1，a2＝0，a3＝1时，a1+a2+a3值为0；当a1值为﹣1，a2＝2，a3＝1时，a1+a2+a3值为0；当a1值为1，a2＝2，a3＝﹣3时，a1+a2+a3值为0；当a1值为1，a2＝2，a3＝3时，a1+a2+a3值为6；
以此类推发现：奇数个求和时，a1+a2+…+ak（k+1），
a1+a2+…+ak﹣1（k+1）+1×2，
a1+a2+…+ak﹣2（k+1）+1×2，
a1+a2+…+ak﹣3（k+1）+1×2+3×2，
a1+a2+…+ak﹣4（k+1）+1×2+3×2，
…，
偶数个求和时，a1+a2+…+akk，
a1+a2+…+ak﹣1k，
a1+a2+…+ak﹣2k+2×2，
a1+a2+…+ak﹣3k+2×2，
a1+a2+…+ak﹣4k+2×2+4×2，
a1+a2+…+ak﹣5k+2×2+4×2，
…，
∴a1+a2+a3+…+a2019的值为﹣1010+2×（1+3+5+…+2n﹣1）＝﹣1010+2n2，
当n＝22时，|a1+a2+a3+…+a2019|＝﹣1010+2×222＝42此时最小；
a1+a2+a3+…+a2020的值为﹣1010+2×（2+4+…+2m）＝﹣1010+2m（m+1）；
当m＝22时，|a1+a2+a3+…+a2020|＝﹣1010+2×22×23＝2此时最小；
∴x＝42，y＝2；
∴x+y＝44．
故选：D．
【点评】本题考查数字分层分析，找规律求和．
4．设x1，x2，x3，…，x40是正整数，且x1+x2+x3+…+x40＝58，则x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值为（ ）
A．400，94 B．200，94 C．400，47 D．200，47
【答案】A
【分析】把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值是存在的．
①设x1≤x2≤…≤x40，由（x1﹣1）2+（x2+1）2＞x12+x22，所以，当x1＞1时，把x1调到1，这时，x12+x22+…+x402将增大，所以可以求出最大值．②若存在两数xi，xj，使得xj﹣xi≥2（1≤i＜j≤40），根据（xi+1）2+（xj﹣1）2＝xi2+xj2﹣2（xi﹣xj﹣1）＜x12+x22，所以在x1，x2，x3，…，x40中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，这时，x12+x22+x32+…+x402将减小，可以求出最小值．
【解答】解：把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x12+x22+…+x402的最大值和最小值是存在的．
不妨设x1≤x2≤…≤x40，若x1＞1，则x1+x2＝（x1﹣1）+（x2+1），
且（x1﹣1）2+（x2+1）2＝x12+x22+2（x2﹣x1）+2＞x12+x22，
所以，当x1＞1时，把x1调到1，这时，x12+x22+x32+…+x402将增大；
同样，可把x2，x3…x39逐步调至1，这时，x12+x22+x32+…+x402将增大，
于是，当x1，x2…x39均为1，x40＝19时，x12+x22+x32+…+x402将取最大值，
即A＝1×39+192＝400．
若存在两数xi，xj，使得xj﹣xi≥2（1≤i＜j≤40），
则（xi+1）2+（xj﹣1）2＝xi2+xj2﹣2（xi﹣xj﹣1）＜x12+x22，
所以在x1，x2，x3，…，x40中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，
这时，x12+x22+x32+…+x402将减小，
所以当有22个是1，18个是2时x12+x22+x32+…+x402将取最小值，
即B＝1×22+22×18＝94，
故最大值为400，最小值为94．
故选：A．
【点评】①本题综合了数的拆分以及不等式的性质，属于有理数的综合运算，总的来说比较难，要求平时对基本的知识非常熟练地掌握．
②本题作为选择题有其特殊的解法，一般情况下如果做不出来或者没有思路可以采用赋值法，然后进行排除找到答案．
5．如图，作边长为4的等边△OA1B1，延长A1B1至点A2，使得B1A2A1B1，再以B1A2为边作等边△B1A2B2．延长A2B2至点A3，使得B2A3＝2A2B2，再以B2A3为边作等边△B2A3B3，以此类推…．若点C、C1、C2、C3…分别是OA1、A1B1、A3B2、A3B3…的中点，则CC2021的长度为（ ）
A．6058 B．6060 C．6062 D．6064
【答案】C
【分析】根据题意可得△OA1B1，△B2A3B3，…．都是边长为4的等边三角形，△B1A2B2，△B3 A4B4，…．都是边长为2的等边三角形，根据点C、C1、C2、C3…分别是OA1、A1B1、A3B2、A3B3…的中点，可得CC1OB14＝2＝C2C3＝C4C5＝…，利用中位线可得C1C2＝C3C4＝C5C6＝…＝4，求出CC2k＝6k，进而可得结果．
【解答】解：根据题意可知：△OA1B1，△B2A3B3，…．都是边长为4的等边三角形，
△B1A2B2，△B3 A4B4，…．都是边长为2的等边三角形，
∵点C、C1、C2、C3…分别是OA1、A1B1、A3B2、A3B3…的中点，
∴CC1OB14＝2＝C2C3＝C4C5＝…，
∵B1A2A1B1＝B1C1＝2，
∵B2A3＝2A2B2，
∴B2A3＝2B2C2＝2A2B2，
∴C1C2＝2B1B2＝4，
同理：C3C4＝C5C6＝…＝4，
∴CC2＝CC1+C1C2＝2+4＝6，
∴CC2＝C2C4＝…＝C2kC2k+2＝6，
∴CC4＝CC2+C2C4＝2×6，
∴CC6＝CC4+C4C6＝2×6+6＝3×6，
∴CC2k＝6k，
∴CC2021＝CC2020+C2020C2021＝1010CC2+CC1＝1010×6+2＝6062．
故选：C．
【点评】本题考查了图形规律探究，等边三角形的性质，解决本题的关键事实根据图形特点找到特殊情况总结规律．
6．如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+kk（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【解答】解：因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+kk（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时p是整数，且使0k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤10，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7mt（t+1），
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，
即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3．
故选：D．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．
7．形如a1a2…an﹣1anan﹣1…a2a1的自然数（其中n为正整数，a1≤a2≤…an﹣1≤an，a1＞0，a1，a2，…an为0，1，…，9中的数字）称为“单峰回文数”，例如123454321，不超过5位的“单峰回文数”共有（ ）个．
A．273 B．219 C．429 D．129
【答案】B
【分析】根据“单峰回文数”的定义确定一位的“单峰回文数”有9个；三位的“单峰回文数”有45个；五位的“单峰回文数”有165个即可确定不超过5位的“单峰回文数”共有9+45+165＝219．
【解答】解：∵一位的“单峰回文数”有9个：1、2、3…9；
两位的“单峰回文数”有9个：11、22、33…99；
三位的“单峰回文数”有45个：111、…191共9个，222…292共8个，依次减少1个，总共为9+8+7+…+1＝45；
四位的“单峰回文数”有45个：9+8+7+…+1＝45；
五位的“单峰回文数”有165个：1+3+6+10+15+21+28+36+45＝165；
根据定义，不可能出现两位和四位的数，只能出现奇位数．
∴不超过5位的“单峰回文数”共有9+45+165＝219．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型﹣数字的变化类，解决本题的关键是5位的“单峰回文数”的确定．
8．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；
②根据运算规则可知最大值是4；
③根据运算规则可知最小值是0；
④根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值，进而分析得出即可．
【解答】解：①根据题意可以得出：|1﹣2|＝|﹣1|＝1，
|1﹣3|＝|﹣2|＝2，
|2﹣4|＝|﹣2|＝2，
故①符合题意
②对于1，2，3，4，按如下次序输入：1、3、2、4，可得：|1﹣3|﹣2|﹣4|＝4，
全部输入完毕后显示的结果的最大值是4
故②符合题意；
③对于1，2，3，4，按如下次序输入：1、3、4、2，可得：|1﹣3|﹣4|﹣2|＝0，
全部输入完毕后显示的结果的最小值是0，
故③符合题意；
④∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，
a
，
b
，全部输入完毕后显示的最后结果设为
k
，
k
的最大值为10，
∴设
b
为较大数字，当
a
＝1时，|
b﹣|
a
﹣2|＝|
b
﹣1|＝10，
解得：
b
＝11，
故此时任意输入后得到的最小数为：|2﹣|11﹣1|＝8，
设
b
为较大数字，当
b
＞
a
＞2时，|
b﹣|
a
﹣2|＝|
b﹣
a
+2|＝10，
则
b﹣
a
+2＝10，即
b﹣
a
＝8，则
a﹣
b
＝﹣8，
故此时任意输入后得到的最小数为：|
a﹣|
b
﹣2|＝|
a﹣
b
+2|＝6，
综上所述：
k
的最小值为6．
故④符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了整数的奇偶性问题以及含有绝对值的函数最值问题．
9．将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（ ）
A．363 B．361 C．359 D．357
【答案】A
【分析】根据数字的变化类寻找每一行数字的变化规律即可求解．
【解答】解：观察所给数阵，得每一行的变化规律如下：
第一行的第一个数：1×0+1＝1
第二行的第一个数：2×1+1＝3
第三行的第一个数：3×2+1＝7
…
第n行的第一个数：n （n﹣1）+1
∴第19行的第一个数：19×18+1＝343
∴第19行的第11个数：343+10×2＝363
故选：A．
【点评】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找每一行数字的变化规律．
10．2008年9月25日，中国国家主席胡锦涛在酒泉卫星发射中心“问天阁”为执行神舟7号飞行任务的航天员壮行．3天后，神舟7号巡天归来，在太空中留下了中国人骄人的足迹．根据这些事实和数据，我们发现有可能存在这样的等式：神舟7号问天×3＝问天神舟7号．上述等式中，每个汉字代表从0到9中的不同自然数（其中7已经被使用）．要使得等式成立，则神舟7号＝（ ）
A．2075 B．3075 C．3076 D．3078
【答案】C
【分析】根据题意，设神舟7号＝A，问天＝B，可得（A×100+B）×3＝B×10000+A，化简299A÷3.25＝9997B÷3.25可得92A＝3076B进而可得结果．
【解答】解：根据题意，设神舟7号＝A，问天＝B，
∵神舟7号问天×3＝问天神舟7号．
∴（A×100+B）×3＝B×10000+A，
300A+3B＝10000B+A，
299A＝9997B，
∵299A÷3.25＝9997B÷3.25，
92A＝3076B，
∴．
∴A＝3076．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
11．有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论：
①b3＝2a+5；
②当a＝2时，第3项为16；
③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；
④第2022项为（a+2022）2；
⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2；
以上结论正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤
【答案】A
【分析】根据题意可以得出规律，第n项为（a+n﹣1）2，bn＝2a+2n﹣1，根据规律逐项求解判断即可．
【解答】解：由题意可知，第一项为（a+0）2，第二项为（a+1）2，
∴b1＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，
∴b2＝2a+3，
∴b3＝2a+3+2＝2a+5，故①正确，
∴第三项为a2+2a+1+2a+3＝（a+2）2，
当a＝2时，第三项为16，故②正确，
∴第四项为（a+2）2+2a+5＝（a+3）2，
∴b4＝2a+7，
∴第五项为（a+3）2+2a+7＝（a+4）2，
..．
∴bn＝2a+2n﹣1，
∴第n项为（a+n﹣1）2，
∴第2022项为（a+2021）2故④错误，
若第四项与第五项的和25，
则（a+3）2+（a+4）2＝25，
解得a＝0或a＝﹣7，故③错误，
当n＝k时，b1+b2+…+bk
＝（2a+1）+（2a+3）+…+（2a+2k﹣1）
＝2ka+[1+3+5+…+（2k﹣1）]
＝2ka+k2，
故⑤正确，
故正确的为：①②⑤，
故选：A．
【点评】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律时解答此题的关键，难度较大．
12．某果园引入了m个采摘机器人，这些机器人被分为两组，每组的工作效率不同．第一组有n个机器人，每个机器人平均8秒采摘一个苹果；第二组包含剩余的机器人，每个机器人平均6秒采摘一个苹果．同时，果园内还有10名熟练的采摘工人，他们每个人平均5秒采摘一个苹果．机器人与工人同时工作1小时，则这m个机器人比这10名工人多采摘的苹果个数是（ ）
A．120（m﹣2n）﹣720 B．600m﹣150n﹣7200
C．600m+450n﹣7200 D．120m﹣150n﹣720
【答案】B
【分析】根据第一组每个机器人平均8秒采摘一个苹果，算出1小时每个机器人采摘多少个苹果，再用乘法表示出第一组n个机器人采摘多少个苹果；用同样的方法表示出第二组机器人采摘多少个苹果和10名采摘工人采摘多少个苹果；最后用减法即可表示出结果．
【解答】解：第一组机器人采摘：3600÷8×n＝450n（个）；
第二组机器人采摘：3600÷6×（m﹣n）＝（600m﹣600n）个；
采摘工人采摘：3600÷5×10＝7200（个），
m个机器人比这10名工人多采摘的苹果：600m﹣600n﹣（7200﹣450n）＝（600m﹣150n﹣7200）个．
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
13．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据观察数列，可得，每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序数对表示的数，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：每三个数一循环，1、，则前7排共有1+2+3+4+5+6+7＝28个数，
因此（8，2）在排列中是第28+2＝30个，
30÷3＝10，（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，
即（8，2）表示的数是，
前2014排共有1+2+3…+2014＝（1+2014）×2014÷2＝2029105个数，
因此（2014，2014）在排列中是第2029105个，
2029105÷3＝676368…1，
（2014，2014）表示的数正好是第676369轮的一个数，
即（2014，2014）表示的数是1，
1，
故选：B．
【点评】本题考查了数字的变化类，利用了数字的变化规律．
二．填空题（共13小题）
14．七位数，这里数码a，b，c，d，e，f是0或1，所有这样的七位数的和是 67555552 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于数码a，b，c，d，e，f是0或1，这样的七位数的个数为26＝64，且a，b，c，d，e，f取值为0或1的次数都为32，则可知所有七位数的和＝32+32×10+32×100+32×1000+32×10000+32×100000+64×1000000．
【解答】解：∵七位数，这里数码a，b，c，d，e，f是0或1，
∴这样的七位数的个数为26＝64，且a，b，c，d，e，f取值为0或1的次数都为32，
∴这样的七位数的和＝32+32×10+32×100+32×1000+32×10000+32×100000+64×1000000＝67555552．
故答案为：67555552．
【点评】本题考查了排列组合的知识．解题关键是将所得七位数各数位上的数分别相加，可以简便计算．
15．下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的，如果第一个图形的周长为5，那么第2017个图形的周长是 6053 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知图形得出每增加一个小梯形其周长就增加3，据此可得答案．
【解答】解：∵第1个图形的周长为2+3＝5，
第2个图形的周长为2+3×2＝8，
第3个图形的周长为2+3×3＝11，
…
∴第2017个图形的周长为2+3×2017＝6053，
故答案为：6053．
【点评】本题主要考查图形的变化类，根据已知图形得出每增加一个小梯形其周长就增加3是解题的关键．
16．已知一列数的和x1+x2+……+x2019（1+2+…+2019），|x1﹣3x2+1|＝|x2﹣3x3+2|＝…＝|x2018﹣3x2019+2018|＝|x2019﹣3x1+2019|，则x1﹣2x2﹣3x3＝ ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【分析】先将绝对值内的所有式子相加，从而出现x1+x2+……+x2019，再代入求出结果，根据结果结合题目进行分析即可．
【解答】解：因为x1﹣3x2+1+x2﹣3x3+2+…+x2018﹣3x2019+2018+x2019﹣3x1+2019
＝x1+x2+……+x2019﹣3（x1+x2+……+x2019）+（1+2+3+…+2019）
（1+2+…+2019）﹣3（1+2+…+2019）+（1+2+…+2019）
＝0．
因为多个绝对值内式子累加等于0，且各项式子绝对值均相等，
只可能是各项之间两两互为相反数或均为0，
又因为是2019个式子，为奇数个，不存在两两互为相反数，
所以只可能是各项均为0，
即所以绝对值内的2019个式子相加等于0，
且它们的绝对值相等，
所以|x1﹣3x2+1|＝|x2﹣3x3+2|＝…＝|x2018﹣3x2019+2018|＝|x2019﹣3x1+2019|＝0，
所以x2＝3x3﹣2，
所以x1＝3x2﹣1＝3（3x3﹣2）﹣1＝9x3﹣7，
所以x1﹣2x2﹣3x3＝9x3﹣7﹣2（3x3﹣2）﹣3x3＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
17．不改变多项式﹣3x+2y﹣4+xy﹣x2﹣y2的值，把二次项放在带“﹣”的括号内，一次项放在带“+”的括号内，常数项单独放，得 ﹣（x2+y2﹣xy）+（﹣3x+2y）﹣4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意列出相应的式子即可．
【解答】解：根据题意得：﹣（x2+y2﹣xy）+（﹣3x+2y）﹣4．
故答案为：﹣（x2+y2﹣xy）+（﹣3x+2y）﹣4
【点评】此题考查了去括号与添括号，熟练掌握去括号与添括号法则是解本题的关键．
18．已知：（n＝1，2，3，…），记b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2），…，bn＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣an），则通过计算推测出bn的表达式bn＝ ．（用含n的代数式表示）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意按规律求解：b1＝2（1﹣a1）＝2×（1），
b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2）（1），
…．所以可得：bn的表达式bn．
【解答】解：根据以上分析bn＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣an）．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b值时要先算出a的值，要注意a中n的取值．
19．如果代数﹣2y2+y﹣1的值为7，那么代数式4y2﹣2y+5的值为 ﹣11 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目中的条件，可以通过转化得到所求代数式的值．
【解答】解：∵代数式﹣2y2+y﹣1的值为7，
∴﹣2y2+y﹣1＝7，
∴﹣2y2+y＝8，
∴2y2﹣y＝﹣8，
∴4y2﹣2y＝﹣16，
∴4y2﹣2y+5＝﹣16+5＝﹣11，
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查代数式求值，解答本题的关键是明确代数式求值的方法．
20．从1，2，…，2008中选出总和为1009000的1004个数，并且这1004个数中的任意两数之和都不等于2009．则这1004个数的平方和等于 1351373940 ．
参考公式：12+22+…+n2n（n+1）（2n+1）．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，首先要选取符合要求的1004个数，然后再求它们的平方之和即可．
【解答】解：将1，2，…，2008分成1004组：{1，2008}，{2，2007}，…，{1004，1005}，
∵从1，2，…，2008中选出总和为1009000的1004个数，并且这1004个数中的任意两数之和都不等于2009，
∴从1004组中选取所有的偶数，则2+4+6+…+20081009020，
∴将1004换成1005，1006换成1003，1008换成1001，1010换成999，
∴（2+4+6+…+2008）﹣（1004+1006+1008+1010）+（1005+1003+1001+999）＝1009000，
∴符合要求的1004个数就是2，4，6，…，2008，其中1004换成1005，1006换成1003，1008换成1001，1010换成999，
∴这1004个数的平方和是：（22+42+62+…+20082）﹣（10042+10062+10082+10102）+（10052+10032+10012+9992）
＝22×（12+22+32+…+10042）+（10052﹣10042）+（10032﹣10062）+（10012﹣10082）+（9992﹣10102）
＝41004×（1004+1）×（2×1004+1）+（1005+1004）×（1005﹣1004）+（1003+1006）×（1003﹣1006）+（1001+1008）×（1001﹣1008）+（999+1010）×（999﹣1010）
1004×1005×2009+2009×1+2009×（﹣3）+2009×（﹣7）+2009×（﹣11）
＝2×1004×335×2009+2009×[1+（﹣3）+（﹣7）+（﹣11）]
＝1351414120+2009×（﹣20）
＝1351414120﹣40180
＝1351373940，
故答案为：1351373940．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出符合要求的数字．
21．甲、乙、丙三人到某单人小火锅店就餐，该店共有m种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种分量，价格分别为a元、b元和3元，3＜b＜a≤8，a、b都为正整数．每个人都选择了所有m种配菜，而且对于每一种配菜，三个人在分量上的选择都各不相同．结账时，甲乙两人都花费了53元且两人在大盘菜的花费上各不相同，而丙共花费了54元，那么丙在大盘菜上花费 21 元．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以53+53+54＝160应是每一种菜品的总价的整数倍，即（3+a+b）m＝160，根据题意求出整数解，推出a＝8，b＝5，m＝10或a＝7，b＝6，m＝10，设丙选了大盘菜x份，中盘菜y份，分两种情形分别构建方程求解即可．
【解答】解：由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以53+53+54＝160应是每一种菜品的总价的整数倍，
即（3+a+b）m＝160，
∵3＜b＜a≤8，a、b都为正整数，
可知：a＝8，b＝5，m＝10或a＝7，b＝6，m＝10，
设丙选了大盘菜x份，中盘菜y份．
由题意8x+5y+3（10﹣x﹣y）＝54，
∴5x+2y＝24，
∴x＝2，y＝7（舍弃不合题意）或x＝4，y＝2（舍弃不合题意），
或7x+6y+3（10﹣x﹣y）＝54，
∴4x+3y＝24，
∴x＝3，y＝4，
3×7＝21．
故答案为21，
【点评】本题考查列代数式，二元一次方程的整数解等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
22．有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，相继依次操作下，则从数串：3，9，8开始操作第100次时所产生的那个新数串的所有数之和是 520 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，计算可得第1次操作后所得数串为：3，6，9，﹣1，8；进而可得第2次操作后所得数串；分析可得其规律，运用规律可得答案．
【解答】解：一个依次排列的n个数组成一个数串：a1，a2，a3，…，an，
依题设操作方法可得新增的数为：a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，an﹣an﹣1，
所以，新增数之和为：（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）＝an﹣a1，
原数串为3个数：3，9，8，
第1次操作后所得数串为：3，6，9，﹣1，8，
根据（*）可知，新增2项之和为：6+（﹣1）＝5＝8﹣3，
第2次操作后所得数串为：
3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，
根据（*）可知，新增2项之和为：3+3+（﹣10）+9＝5＝8﹣3，
按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：
（3+9+8）+100×（8﹣3）＝520，
故答案为：520．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，理解每一次操作的方法是前提，得出每一次操作以后所产生的那个新数串的所有数之和的规律是关键．
23．认真观察下列式子：2，请仔细分析上面式子的规律，用含自然数n（n≥1）的代数式表示上面的等式，正确的结果是 n ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知：等号左边规律为根号外的数字n和根号里的分子相同是n，分母是n2+1，等号右边根号中减号前是n减号后的分数与等号前的分数一样，故用含自然数n（n≥1）的代数式表示上面的等式，正确的结果是n．
【解答】解：通过找规律可知：等式左边的第n项为：根号外的数字n和根号里的分子相同是n，分母是n2+1，等号右边根号中减号前是n减号后的分数与等号前的分数一样．所以第n个等式为：n．
【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是此类题目中的难点．
24．图中共有九个小三角形，它们的顶点处各有一个小圆圈，在十个圆圈内分别填上10个自然数，这10个自然数的和为30，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等（所有数字不全相等），则符合上述填法的共有 11 种．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意和图形可知，十个圆圈内的数是由3个数构成，设两个数分别是x，y，z，可得方程4x+3y+3z＝30，得出符合条件的自然数解即可．
【解答】解：由题意得，十个圆圈内的数是由3个数构成，
设两个数分别是x，y，z，则
4x+3y+3z＝30，
当x＝0时，y＝0，z＝10；
当x＝0时，y＝1，z＝9；
当x＝0时，y＝2，z＝8；
当x＝0时，y＝3，z＝7；
当x＝0时，y＝4，z＝6；
当x＝0时，y＝5，z＝5；
当x＝3时，y＝0，z＝6；
当x＝3时，y＝1，z＝5；
当x＝3时，y＝2，z＝4；
当x＝3时，y＝3，z＝3（舍去）；
当x＝6时，y＝0，z＝2；
当x＝6时，y＝1，z＝1．
故符合上述填法的共有11种．
故答案为：11．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化，解题根据是得出十个圆圈内的数是由3个数构成，得出三元一次方程．
25．已知如图三角形数表中每个*代表一个数（不一定相同），并且每一个数都等于它底下一行分处它两侧的相邻两数之和（即凡具有形状的，必有a＝b+c）．则表中15个*的所代表的数的倒数之和为： 300 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，分别求出这15个数，然后，解出它们的倒数之和即可．
【解答】解：根据题意得，
第二行依次为：、，
第三行依次为：、、，
第四行依次为：、、、，
第五行依次为：、、、、，
第六行依次为：、、、、、；
∴15个*的所代表的数的倒数之和为：2+3+6+12+12+4+5+20+30+20+30+60+60+30+6＝300．
故答案为：300．
【点评】本题主要考查了数字的变化，找出规律写出各数，是解答的关键．
26．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2根图案需10根小木棒…，依次规律，拼搭第9个图案需要小木棒 108 根．
【答案】见试题解答内容
【分析】分析可得：第1个图案需要小木棒1×（1+3）＝4根，第二个图案需要2×（2+3）＝10根，第三个图案需要3×（3+3）＝18根，第四个图案需要4×（4+3）＝28根，…，继而即可找出规律，求出第9个图案需要小木棒的根数．
【解答】解：根据题意：第1个图案需要小木棒1×（1+3）＝4根，
第二个图案需要2×（2+3）＝10根，
第三个图案需要3×（3+3）＝18根，
第四个图案需要4×（4+3）＝28根，
…，
第9个图案需要小木棒的根数＝9×（9+3）＝108根．
故答案为：108．
【点评】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．
三．解答题（共11小题）
27．当a＝4，时，求下列代数式的值．
（1）4ab．
（2）a2+ab﹣b2．
【答案】（1）﹣24；
（2）．
【分析】将已知数值分别代入各代数式中计算即可．
【解答】解：（1）当a＝4，b时，
4ab
＝4×4×（）
＝﹣24；
（2）当a＝4，b时，
a2+ab﹣b2
＝42+4×（）﹣（）2
＝16﹣6
．
【点评】本题考查代数式求值，将已知数值代入代数式中并进行正确的计算是解题的关键．
28．一根弹簧长12cm，在弹性限度（总长不超过20cm）内，每挂质量为1kg的物体，弹簧伸长0.5cm．
（1）代数式0.5x+12表示的实际意义是 挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度 ；
（2）这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？
【答案】（1）挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度；
（2）16．
【分析】（1）根据题意得出代数式0.5x+12表示的实际意义是挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度；
（2）设这根弹簧最多可挂质量为x千克的物体，根据题意列出方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）代数式0.5x+12表示的实际意义是挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度；
故答案为：挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度；
（2）设这根弹簧最多可挂质量为x千克的物体，根据题意得：
0.5x+12＝20，
解得：x＝16，
答：这根弹簧最多可挂质量为16千克的物体．
【点评】此题主要考查了代数式的实际意义和一元一次方程的解法，理解题意并根据题意列出相应的关系式是解题的关键．
29．如图，在数轴上的A点表示数a，B点表示数b，a、b满足（a+2）2+|b﹣5|＝0．
（1）点A表示的数为 ﹣2 ，点B表示的数为 5 ．
（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①当t＝1时，乙小球到原点的距离＝ 2 ；
当t＝3时，乙小球到原点的距离＝ 4 ．
②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明．
（3）现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．
【答案】（1）﹣2，5；
（2）①2，4；②能，当或t＝7时，甲、乙两小球到原点的距离相等；
（3）的值是定值，这个定值为2．
【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b的值，由此即可得；
（2）①当t＝1时，乙小球运动的距离为3，再利用OB的长减去3即可得；当t＝3时，乙小球运动的距离为9，再利用9减去OB的长即可得；
②先求出乙小球从点B运动到原点O所需时间为秒，再分两种情况：和，分别建立方程，解方程即可得；
（3）先求出AB＝7，点E表示的有理数为，再分两种情况：①和②，分别求出OP，EF，代入计算即可得．
【解答】解：（1）∵（a+2）2+|b﹣5|＝0，
∴a+2＝0，b﹣5＝0，
解得a＝﹣2，b＝5，
则点A表示的数为﹣2，点B表示的数为5，
故答案为：﹣2，5．
（2）①∵点B表示的数为5，
∴OB＝5，
当t＝1时，乙小球运动的距离为1×3＝3，
则乙小球到原点的距离为5﹣3＝2，
当t＝3时，乙小球运动的距离为3×3＝9，
则乙小球到原点的距离为9﹣5＝4，
故答案为：2，4；
②假设甲、乙两小球到原点的距离能相等，
乙小球从点B运动到原点O所需时间为（秒），
当时，则2t﹣（﹣2）＝5﹣3t，
解得，符合题设；
当时，2t﹣（﹣2）＝3t﹣5，
解得t＝7，符合题设；
综上，当或t＝7时，甲、乙两小球到原点的距离相等．
（3）由（1）可知，AB＝5﹣（﹣2）＝7，点P从点B运动到点O，再从点O运动到点B所需时间为（秒），
∵点E是OB的中点，点B表示的数为5，
∴点E表示的有理数为，
①如图，当时，则运动t秒后，点P表示的有理数为5﹣3t，
∴OP＝5﹣3t，
∵点F是AP的中点，点A表示的数为﹣2，
∴点F表示的有理数为，
∴，
∴；
②如图，当时，则运动t秒后，点P表示的有理数为3t﹣5，
∴OP＝3t﹣5，
∵点F是AP的中点，点A表示的数为﹣2，
∴点F表示的有理数为，
∴，
∴，
综上，的值是定值，这个定值为2．
【点评】本题考查了偶次方和绝对值的非负性、一元一次方程的应用、数轴、整式加减的应用、线段中点等知识点，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
30．为改善居民居住条件，让人民群众生活更方便更美好，国家出台了改造提升城镇老旧小区政策．在我市“老城换新颜”小区改造中，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）：
（1）用含m，n的代数式表示广场（阴影部分）的面积S；
（2）若m＝60米，n＝50米，求出该广场（阴影部分）的周长．
【答案】（1）广场面积是3.5mn；
（2）广场周长560米．
【分析】（1）用大长方形面积减去小长方形的面积，再利用整式的混合运算法则进行计算即可求解；
（2）根据周长的定义用含m，n的代数式表示出该广场（阴影部分）的周长，再把m＝60米，n＝50米，代入代数式，即可求解．
【解答】解：（1）由图知，S＝2m×2n﹣（2n﹣0.5n﹣n）×m＝4mn﹣0.5mn＝3.5mn，
答：广场面积是3.5mn；
（2）C＝2×2n+2m×2+2m＝4n+6m，
当m＝60米，n＝50米时，原式＝4×50+6×60＝560（米），
答：广场周长560米．
【点评】本题考查了整式混合运算的应用及求代数式的值，解题的关键在于数形结合，利用代数式正确表示出几何图形的周长和面积．
31．问题情境：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x2+x＝0，求x2+x+186的值．我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+186＝186．
仿照上面的解题方法解答：若b2+2ab＝8，求2b2+4ab的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵b2+2ab＝8，
∴2b2+4ab
＝2（b2+2ab）
＝2×8
＝16．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
32．知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．理解应用：若关于x的多项式2m2﹣3x﹣m（3﹣5x）的值与x的取值无关，求m的值．
【答案】．
【分析】由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（5m﹣3）x+2m2﹣3m，令x的系数为0，即可求出．
【解答】解：2m2﹣3x﹣m（3﹣5x）
＝2m2﹣3x﹣3m+5mx
＝（5m﹣3）x+2m2﹣3m，
∵其值与x的取值无关，
∴5m﹣3＝0，
解得，
即：当时，多项式2m2﹣3x﹣m（3﹣5x）的值与x的取值无关．
【点评】本题主要考查了合并同类项、代数式求值、多项式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
33．码头到货100t，现有甲、乙两装卸作业组同时开始卸货．甲组卸货at，需要时间为（3a+1）小时；乙组卸货bt，需要时间为（2b+3）小时．问当他们一起卸完所有的货物时，甲组卸货多少吨？
【答案】甲组卸货40.4t．
【分析】设甲组卸货x t，需要时间（3x+1）小时，乙组卸货（100﹣x）t，需要时间[2（100﹣x）+3]小时，根据他们一起卸完所有的货物，甲和乙用的时间相等即可列出方程，解方程即可．
【解答】解：设甲组卸货x t，则乙组卸货（100﹣x）t，需要时间[2（100﹣x）+3]小时，根据他们一起卸完所有的货物，甲和乙用的时间相等即可列出方程为：3x+1＝2（100﹣x）+3，
x＝40.4．
答：甲组卸货40.4t．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
34．A，B两地相距s千米，甲、乙两人驾车分别以a千米/小时，b千米/小时的速度从A地到B地，且甲用的时间较少．
（1）用代数式表示甲比乙少用的时间；
（2）当s＝180，a＝72，b＝60时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义．
【答案】（1）（）h．
（2）0.5 （h）．
这个值表示的实际意义是甲从A地到B地用的时间比乙少0.5小时．
【分析】（1）先根据时间，分别求出乙、甲从A地到B地的时间，再相减．
（2）将数据代入（1）中所得代数式求值，并说明实际意义．
【解答】解：（1）因为A，B两地相距s千米，甲、乙两人驾车的速度分别为a千米/小时，b千米/小时，时间，
所以甲用的时间为t甲，乙用的时间为t乙，
所以甲比乙少用的时间为（）h．
（2）因为s＝180，a＝72，b＝60，
所以（1）中代数式的值为3﹣2.5＝0.5 （h）．
这个值表示的实际意义是甲从A地到B地用的时间比乙少0.5小时．
【点评】本题考查了在真实生活情境下列代数式，并求代数式的值的相关知识，根据时间、路程与速度之间的数量关系列代数式是解题的关键．
35．观察下列等式：
①52﹣（22+32）＝2×2×3；
②82﹣（32+52）＝2×3×5；
③112﹣（42+72）＝2×4×7；
④ 2 2﹣[42+（﹣2）2]＝ 2 ×4×（﹣2）；……
（1）观察等式规律，把等式④补充完整；
（2）请你仿写一个与上面各等式不同的等式；
（3）用含有a，b的等式表示上述规律．
【答案】（1）2，2；
（2）72﹣（32+42）＝2×3×4（答案不唯一）；
（3）（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab．
【分析】（1）根据题目中的几个等式的变化特点，即可写出第④个等式；
（2）根据题目中的几个等式的变化特点求解即可；
（3）根据题目中的式子，归纳规律并验证猜想是否正确即可．
【解答】解：（1）由发现可知④22﹣[42+（﹣2）2]＝2×4×（﹣2）；
（2）根据题意得，72﹣（32+42）＝2×3×4；
（3）根据题意得，
原式＝a2+2ab+b2﹣a2﹣b2
＝2ab．
∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab．
【点评】本题考查数字的变化规律、完全平方公式等知识，明确题意、发现题目中数字的变化特点、列出相应的式子是解答本题的关键．
36．某商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价750元，电磁炉每台定价200元，元旦期间商场决定开展促销活动，商场向客户提供了两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款；
A公司欲购买微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）
（1）若按方案一购买，顾客需付款多少元；若按方案二购买，顾客需付款多少元；（用含x的式子表示）
（2）若x＝50，通过计算说明哪种购买方式更合算？
（3）当x＝50时，你能给出一种更省钱的购买方式吗？试写出你的购买方式，并计算需付款多少元？
【答案】（1）方案一：（200x+11000）元，方案二：（160x+12000）元；
（2）按方案二购买较为合算；
（3）先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉，再按方案二购买30台电磁炉；19800元．
【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x＝40代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；
（3）根据题意考可以得到先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉．
【解答】解：（1）方案一：750×20+200×（x﹣20）＝（200x+11000）元；
方案二：（750×20+200x）×80%＝（160x+12000）元；
（2）方案一：当x＝50时，原式＝200×50+11000＝21000（元）．
方案二：当x＝50时，原式＝160×50+12000＝20000（元），
∵21000＞20000，
∴按方案二购买较为合算；
（3）先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉，再按方案二购买30台电磁炉．
此时需付款：20×750+30×200×80%＝19800（元）
答：先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉，再按方案二购买30台电磁炉，此时需付款19800元．
【点评】本题主要考查列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式．
37．为丰富校园体育生活，学校增设羽毛球兴趣小组，需要采购某品牌羽毛球拍30支，羽毛球x筒（x＞30）．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍定价100元/支，羽毛球20元/筒．现甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案：
甲商店：买一支羽毛球拍送一筒羽毛球；
乙商店：羽毛球拍与羽毛球均按九折销售．
（1）到甲商店购买，需要支付 （2400+20x） 元；到乙商店购买，需要支付 （18x+2700） 元．（用含x的代数式表示）（2）若x＝100，请通过计算说明学校去哪个商店购买较为优惠；
（3）若x＝100，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并算出需要支付的总钱数．
【答案】（1）（2400+20x），（18x+2700）；
（2）甲商店；
（3）能，方案见解析，支付的总钱数4260元．
【分析】（1）根据甲、乙商店的优惠规则按照需要进行正确列式，化简即可得出答案．
（2）根据x的值代入代数式，化简后比较大小即可得出答案．
（3）第二问已经算出了只买甲商店和只买乙商店花的钱数，只需要考虑两种商店混合买的情况，即可得更为省钱的购买方案，计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：到甲商店购买，需要支付[3000+20（x﹣30）]＝（2400+20x）元，
到乙商店购买，需要支付（18x+2700）元，
故答案为：（2400+20x），（18x+2700）；
（2）当x＝100时，到甲商店需要支付：3000+20×（100﹣30）＝4400（元），
到乙商店需要支付：18×100+2700＝4500（元），
∵4400＜4500，
∴到甲商店购买较为优惠；
（3）能，
购买方案：先在甲商店购买30只羽毛球拍，送30筒羽毛球，再在乙商店购买70筒羽毛球，
∴支付的总钱数：30×100+70×20×0.9＝4260（元）．
【点评】本题主要考查列有理数的四则混合运算，代数式，代数式求值及应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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2026年中考数学一轮复习 代数式
一．选择题（共13小题）
1．设x1、x2、x3，…，x40是正整数，且x1+x2+x3+ +x40＝58，则x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值为（ ）
A．400，47 B．400.94 C．7200，94 D．200，94
2．已知甲、乙两等差级数的项数均为6，甲、乙的公差相等，且甲级数的和与乙级数的和相差．若比较甲、乙的首项，较小的首项为1，则较大的首项为何？（ ）
A． B． C．5 D．10
3．对于数列a1，a2，a3，…，已知|a1|＝1，对于每一个k＝1，2，…，|ak+1|＝|ak+1|．
（1）若n＝2019，则|a1+a2+…+an|最小可能值为x；
（2）若n＝2020，则|a1+a2+…+an|最小可能值为y．
则x+y＝（ ）
A．2020 B．100 C．87 D．44
E．无法确定
4．设x1，x2，x3，…，x40是正整数，且x1+x2+x3+…+x40＝58，则x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值为（ ）
A．400，94 B．200，94 C．400，47 D．200，47
5．如图，作边长为4的等边△OA1B1，延长A1B1至点A2，使得B1A2A1B1，再以B1A2为边作等边△B1A2B2．延长A2B2至点A3，使得B2A3＝2A2B2，再以B2A3为边作等边△B2A3B3，以此类推…．若点C、C1、C2、C3…分别是OA1、A1B1、A3B2、A3B3…的中点，则CC2021的长度为（ ）
A．6058 B．6060 C．6062 D．6064
6．如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．形如a1a2…an﹣1anan﹣1…a2a1的自然数（其中n为正整数，a1≤a2≤…an﹣1≤an，a1＞0，a1，a2，…an为0，1，…，9中的数字）称为“单峰回文数”，例如123454321，不超过5位的“单峰回文数”共有（ ）个．
A．273 B．219 C．429 D．129
8．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（ ）
A．363 B．361 C．359 D．357
10．2008年9月25日，中国国家主席胡锦涛在酒泉卫星发射中心“问天阁”为执行神舟7号飞行任务的航天员壮行．3天后，神舟7号巡天归来，在太空中留下了中国人骄人的足迹．根据这些事实和数据，我们发现有可能存在这样的等式：神舟7号问天×3＝问天神舟7号．上述等式中，每个汉字代表从0到9中的不同自然数（其中7已经被使用）．要使得等式成立，则神舟7号＝（ ）
A．2075 B．3075 C．3076 D．3078
11．有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论：
①b3＝2a+5；
②当a＝2时，第3项为16；
③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；
④第2022项为（a+2022）2；
⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2；
以上结论正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤
12．某果园引入了m个采摘机器人，这些机器人被分为两组，每组的工作效率不同．第一组有n个机器人，每个机器人平均8秒采摘一个苹果；第二组包含剩余的机器人，每个机器人平均6秒采摘一个苹果．同时，果园内还有10名熟练的采摘工人，他们每个人平均5秒采摘一个苹果．机器人与工人同时工作1小时，则这m个机器人比这10名工人多采摘的苹果个数是（ ）
A．120（m﹣2n）﹣720 B．600m﹣150n﹣7200
C．600m+450n﹣7200 D．120m﹣150n﹣720
13．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积是（ ）
A． B． C． D．1
二．填空题（共13小题）
14．七位数，这里数码a，b，c，d，e，f是0或1，所有这样的七位数的和是 ．
15．下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的，如果第一个图形的周长为5，那么第2017个图形的周长是 ．
16．已知一列数的和x1+x2+……+x2019（1+2+…+2019），|x1﹣3x2+1|＝|x2﹣3x3+2|＝…＝|x2018﹣3x2019+2018|＝|x2019﹣3x1+2019|，则x1﹣2x2﹣3x3＝ ．
17．不改变多项式﹣3x+2y﹣4+xy﹣x2﹣y2的值，把二次项放在带“﹣”的括号内，一次项放在带“+”的括号内，常数项单独放，得 ．
18．已知：（n＝1，2，3，…），记b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2），…，bn＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣an），则通过计算推测出bn的表达式bn＝ ．（用含n的代数式表示）
19．如果代数﹣2y2+y﹣1的值为7，那么代数式4y2﹣2y+5的值为 ．
20．从1，2，…，2008中选出总和为1009000的1004个数，并且这1004个数中的任意两数之和都不等于2009．则这1004个数的平方和等于 ．
参考公式：12+22+…+n2n（n+1）（2n+1）．
21．甲、乙、丙三人到某单人小火锅店就餐，该店共有m种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种分量，价格分别为a元、b元和3元，3＜b＜a≤8，a、b都为正整数．每个人都选择了所有m种配菜，而且对于每一种配菜，三个人在分量上的选择都各不相同．结账时，甲乙两人都花费了53元且两人在大盘菜的花费上各不相同，而丙共花费了54元，那么丙在大盘菜上花费 元．
22．有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，相继依次操作下，则从数串：3，9，8开始操作第100次时所产生的那个新数串的所有数之和是 ．
23．认真观察下列式子：2，请仔细分析上面式子的规律，用含自然数n（n≥1）的代数式表示上面的等式，正确的结果是 ．
24．图中共有九个小三角形，它们的顶点处各有一个小圆圈，在十个圆圈内分别填上10个自然数，这10个自然数的和为30，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等（所有数字不全相等），则符合上述填法的共有 种．
25．已知如图三角形数表中每个*代表一个数（不一定相同），并且每一个数都等于它底下一行分处它两侧的相邻两数之和（即凡具有形状的，必有a＝b+c）．则表中15个*的所代表的数的倒数之和为： ．
26．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2根图案需10根小木棒…，依次规律，拼搭第9个图案需要小木棒 根．
三．解答题（共11小题）
27．当a＝4，时，求下列代数式的值．
（1）4ab．
（2）a2+ab﹣b2．
28．一根弹簧长12cm，在弹性限度（总长不超过20cm）内，每挂质量为1kg的物体，弹簧伸长0.5cm．
（1）代数式0.5x+12表示的实际意义是 ；
（2）这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？
29．如图，在数轴上的A点表示数a，B点表示数b，a、b满足（a+2）2+|b﹣5|＝0．
（1）点A表示的数为 ，点B表示的数为 ．
（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①当t＝1时，乙小球到原点的距离＝ ；
当t＝3时，乙小球到原点的距离＝ ．
②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明．
（3）现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．
30．为改善居民居住条件，让人民群众生活更方便更美好，国家出台了改造提升城镇老旧小区政策．在我市“老城换新颜”小区改造中，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）：
（1）用含m，n的代数式表示广场（阴影部分）的面积S；
（2）若m＝60米，n＝50米，求出该广场（阴影部分）的周长．
31．问题情境：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x2+x＝0，求x2+x+186的值．我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+186＝186．
仿照上面的解题方法解答：若b2+2ab＝8，求2b2+4ab的值．
32．知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．理解应用：若关于x的多项式2m2﹣3x﹣m（3﹣5x）的值与x的取值无关，求m的值．
33．码头到货100t，现有甲、乙两装卸作业组同时开始卸货．甲组卸货at，需要时间为（3a+1）小时；乙组卸货bt，需要时间为（2b+3）小时．问当他们一起卸完所有的货物时，甲组卸货多少吨？
34．A，B两地相距s千米，甲、乙两人驾车分别以a千米/小时，b千米/小时的速度从A地到B地，且甲用的时间较少．
（1）用代数式表示甲比乙少用的时间；
（2）当s＝180，a＝72，b＝60时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义．
35．观察下列等式：
①52﹣（22+32）＝2×2×3；
②82﹣（32+52）＝2×3×5；
③112﹣（42+72）＝2×4×7；
④ 2﹣[42+（﹣2）2]＝ ×4×（﹣2）；……
（1）观察等式规律，把等式④补充完整；
（2）请你仿写一个与上面各等式不同的等式；
（3）用含有a，b的等式表示上述规律．
36．某商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价750元，电磁炉每台定价200元，元旦期间商场决定开展促销活动，商场向客户提供了两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款；
A公司欲购买微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）
（1）若按方案一购买，顾客需付款多少元；若按方案二购买，顾客需付款多少元；（用含x的式子表示）
（2）若x＝50，通过计算说明哪种购买方式更合算？
（3）当x＝50时，你能给出一种更省钱的购买方式吗？试写出你的购买方式，并计算需付款多少元？
37．为丰富校园体育生活，学校增设羽毛球兴趣小组，需要采购某品牌羽毛球拍30支，羽毛球x筒（x＞30）．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍定价100元/支，羽毛球20元/筒．现甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案：
甲商店：买一支羽毛球拍送一筒羽毛球；
乙商店：羽毛球拍与羽毛球均按九折销售．
（1）到甲商店购买，需要支付 元；到乙商店购买，需要支付 元．（用含x的代数式表示）（2）若x＝100，请通过计算说明学校去哪个商店购买较为优惠；
（3）若x＝100，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并算出需要支付的总钱数．
2026年中考数学一轮复习 代数式
参考答案与试题解析
一．选择题（共13小题）
1．设x1、x2、x3，…，x40是正整数，且x1+x2+x3+ +x40＝58，则x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值为（ ）
A．400，47 B．400.94 C．7200，94 D．200，94
【答案】B
【分析】把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值是存在的．
①设x1≤x2≤…≤x40，由（x1﹣1）2+（x2+1）2＞x12+x22，所以，当x1＞1时，把x1调到1，这时，x12+x22+…+x402将增大，所以可以求出最大值．②若存在两数xi，xj，使得xj﹣xi≥2（1≤i＜j≤40），根据（xi+1）2+（xj﹣1）2＝xi2+xj2﹣2（xi﹣xj﹣1）＜x12+x22，所以在x1，x2，x3，…，x40中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，这时，x12+x22+x32+…+x402将减小，可以求出最小值．
【解答】解：把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x12+x22+…+x402的最大值和最小值是存在的．
不妨设x1≤x2≤…≤x40，若x1＞1，则x1+x2＝（x1﹣1）+（x2+1），
且（x1﹣1）2+（x2+1）2＝x12+x22+2（x2﹣x1）+2＞x12+x22，
所以，当x1＞1时，把x1调到1，这时，x12+x22+x32+…+x402将增大；
同样，可把x2，x3…x39逐步调至1，这时，x12+x22+x32+…+x402将增大，
于是，当x1，x2…x39均为1，x40＝19时，x12+x22+x32+…+x402将取最大值，
即A＝1×39+192＝400．
若存在两数xi，xj，使得xj﹣xi≥2（1≤i＜j≤40），
则（xi+1）2+（xj﹣1）2＝xi2+xj2﹣2（xi﹣xj﹣1）＜x12+x22，
所以在x1，x2，x3，…，x40中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，
这时，x12+x22+x32+…+x402将减小，
所以当有22个是1，18个是2时x12+x22+x32+…+x402将取最小值，
即B＝1×22+22×18＝94，
故最大值为400，最小值为94．
故选：B．
【点评】①本题综合了数的拆分以及不等式的性质，属于有理数的综合运算，总的来说比较难，要求平时对基本的知识非常熟练地掌握．
②本题作为选择题有其特殊的解法，一般情况下如果做不出来或者没有思路可以采用赋值法，然后进行排除找到答案．
2．已知甲、乙两等差级数的项数均为6，甲、乙的公差相等，且甲级数的和与乙级数的和相差．若比较甲、乙的首项，较小的首项为1，则较大的首项为何？（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【分析】设甲、乙两等差级数中乙级数的首项较小，令b1＝1，较大的首项为a1，设两等差级数的公差为d，根据甲级数的和与乙级数的和相差列出方程，解方程即可．
【解答】解：设甲、乙两等差级数中乙级数的首项较小，令b1＝1，较大的首项为a1，设两等差级数的公差为d，则
∵甲级数的和为6a1d＝6a1+15d，
乙级数的和为6×1d＝6+15d，
∴（6a1+15d）﹣（6+15d），
∴6a1﹣6，
∴a1．
故选：A．
【点评】本题考查了等差级数，掌握等差级数的求和公式是解题的关键．
3．对于数列a1，a2，a3，…，已知|a1|＝1，对于每一个k＝1，2，…，|ak+1|＝|ak+1|．
（1）若n＝2019，则|a1+a2+…+an|最小可能值为x；
（2）若n＝2020，则|a1+a2+…+an|最小可能值为y．
则x+y＝（ ）
A．2020 B．100 C．87 D．44
E．无法确定
【答案】D
【分析】逐层分析ak（k＝1，2，3，…）的值有可能是多少，取每个ak的值求和，找规律得到x；再求x+y的值．
【解答】解：∵|a1|＝1；
∴a1＝1或a1＝﹣1；
∵|a2|＝|a1+1|；
∴|a2|＝2或0；
∴a2＝±2或0；
同理a3＝±3或±1，a4＝±4或±2或0，a5＝±5或±3或±1，…，a2019＝±2019或±2017或…或±1，
当a1值为﹣1，a2＝0时，a1+a2值为﹣1；当a1值为1，a2＝2时，a1+a2值为3；当a1值为1，a2＝﹣2时，a1+a2值为﹣1；
当a1值为﹣1，a2＝0，a3＝﹣1时，a1+a2+a3值为﹣2；当a1值为1，a2＝﹣2，a3＝﹣1时，a1+a2+a3值为﹣2；当a1值为﹣1，a2＝0，a3＝1时，a1+a2+a3值为0；当a1值为﹣1，a2＝2，a3＝1时，a1+a2+a3值为0；当a1值为1，a2＝2，a3＝﹣3时，a1+a2+a3值为0；当a1值为1，a2＝2，a3＝3时，a1+a2+a3值为6；
以此类推发现：奇数个求和时，a1+a2+…+ak（k+1），
a1+a2+…+ak﹣1（k+1）+1×2，
a1+a2+…+ak﹣2（k+1）+1×2，
a1+a2+…+ak﹣3（k+1）+1×2+3×2，
a1+a2+…+ak﹣4（k+1）+1×2+3×2，
…，
偶数个求和时，a1+a2+…+akk，
a1+a2+…+ak﹣1k，
a1+a2+…+ak﹣2k+2×2，
a1+a2+…+ak﹣3k+2×2，
a1+a2+…+ak﹣4k+2×2+4×2，
a1+a2+…+ak﹣5k+2×2+4×2，
…，
∴a1+a2+a3+…+a2019的值为﹣1010+2×（1+3+5+…+2n﹣1）＝﹣1010+2n2，
当n＝22时，|a1+a2+a3+…+a2019|＝﹣1010+2×222＝42此时最小；
a1+a2+a3+…+a2020的值为﹣1010+2×（2+4+…+2m）＝﹣1010+2m（m+1）；
当m＝22时，|a1+a2+a3+…+a2020|＝﹣1010+2×22×23＝2此时最小；
∴x＝42，y＝2；
∴x+y＝44．
故选：D．
【点评】本题考查数字分层分析，找规律求和．
4．设x1，x2，x3，…，x40是正整数，且x1+x2+x3+…+x40＝58，则x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值为（ ）
A．400，94 B．200，94 C．400，47 D．200，47
【答案】A
【分析】把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值是存在的．
①设x1≤x2≤…≤x40，由（x1﹣1）2+（x2+1）2＞x12+x22，所以，当x1＞1时，把x1调到1，这时，x12+x22+…+x402将增大，所以可以求出最大值．②若存在两数xi，xj，使得xj﹣xi≥2（1≤i＜j≤40），根据（xi+1）2+（xj﹣1）2＝xi2+xj2﹣2（xi﹣xj﹣1）＜x12+x22，所以在x1，x2，x3，…，x40中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，这时，x12+x22+x32+…+x402将减小，可以求出最小值．
【解答】解：把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x12+x22+…+x402的最大值和最小值是存在的．
不妨设x1≤x2≤…≤x40，若x1＞1，则x1+x2＝（x1﹣1）+（x2+1），
且（x1﹣1）2+（x2+1）2＝x12+x22+2（x2﹣x1）+2＞x12+x22，
所以，当x1＞1时，把x1调到1，这时，x12+x22+x32+…+x402将增大；
同样，可把x2，x3…x39逐步调至1，这时，x12+x22+x32+…+x402将增大，
于是，当x1，x2…x39均为1，x40＝19时，x12+x22+x32+…+x402将取最大值，
即A＝1×39+192＝400．
若存在两数xi，xj，使得xj﹣xi≥2（1≤i＜j≤40），
则（xi+1）2+（xj﹣1）2＝xi2+xj2﹣2（xi﹣xj﹣1）＜x12+x22，
所以在x1，x2，x3，…，x40中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，
这时，x12+x22+x32+…+x402将减小，
所以当有22个是1，18个是2时x12+x22+x32+…+x402将取最小值，
即B＝1×22+22×18＝94，
故最大值为400，最小值为94．
故选：A．
【点评】①本题综合了数的拆分以及不等式的性质，属于有理数的综合运算，总的来说比较难，要求平时对基本的知识非常熟练地掌握．
②本题作为选择题有其特殊的解法，一般情况下如果做不出来或者没有思路可以采用赋值法，然后进行排除找到答案．
5．如图，作边长为4的等边△OA1B1，延长A1B1至点A2，使得B1A2A1B1，再以B1A2为边作等边△B1A2B2．延长A2B2至点A3，使得B2A3＝2A2B2，再以B2A3为边作等边△B2A3B3，以此类推…．若点C、C1、C2、C3…分别是OA1、A1B1、A3B2、A3B3…的中点，则CC2021的长度为（ ）
A．6058 B．6060 C．6062 D．6064
【答案】C
【分析】根据题意可得△OA1B1，△B2A3B3，…．都是边长为4的等边三角形，△B1A2B2，△B3 A4B4，…．都是边长为2的等边三角形，根据点C、C1、C2、C3…分别是OA1、A1B1、A3B2、A3B3…的中点，可得CC1OB14＝2＝C2C3＝C4C5＝…，利用中位线可得C1C2＝C3C4＝C5C6＝…＝4，求出CC2k＝6k，进而可得结果．
【解答】解：根据题意可知：△OA1B1，△B2A3B3，…．都是边长为4的等边三角形，
△B1A2B2，△B3 A4B4，…．都是边长为2的等边三角形，
∵点C、C1、C2、C3…分别是OA1、A1B1、A3B2、A3B3…的中点，
∴CC1OB14＝2＝C2C3＝C4C5＝…，
∵B1A2A1B1＝B1C1＝2，
∵B2A3＝2A2B2，
∴B2A3＝2B2C2＝2A2B2，
∴C1C2＝2B1B2＝4，
同理：C3C4＝C5C6＝…＝4，
∴CC2＝CC1+C1C2＝2+4＝6，
∴CC2＝C2C4＝…＝C2kC2k+2＝6，
∴CC4＝CC2+C2C4＝2×6，
∴CC6＝CC4+C4C6＝2×6+6＝3×6，
∴CC2k＝6k，
∴CC2021＝CC2020+C2020C2021＝1010CC2+CC1＝1010×6+2＝6062．
故选：C．
【点评】本题考查了图形规律探究，等边三角形的性质，解决本题的关键事实根据图形特点找到特殊情况总结规律．
6．如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+kk（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
【解答】解：因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+kk（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时p是整数，且使0k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤10，设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7mt（t+1），
由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，
即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3．
故选：D．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．
7．形如a1a2…an﹣1anan﹣1…a2a1的自然数（其中n为正整数，a1≤a2≤…an﹣1≤an，a1＞0，a1，a2，…an为0，1，…，9中的数字）称为“单峰回文数”，例如123454321，不超过5位的“单峰回文数”共有（ ）个．
A．273 B．219 C．429 D．129
【答案】B
【分析】根据“单峰回文数”的定义确定一位的“单峰回文数”有9个；三位的“单峰回文数”有45个；五位的“单峰回文数”有165个即可确定不超过5位的“单峰回文数”共有9+45+165＝219．
【解答】解：∵一位的“单峰回文数”有9个：1、2、3…9；
两位的“单峰回文数”有9个：11、22、33…99；
三位的“单峰回文数”有45个：111、…191共9个，222…292共8个，依次减少1个，总共为9+8+7+…+1＝45；
四位的“单峰回文数”有45个：9+8+7+…+1＝45；
五位的“单峰回文数”有165个：1+3+6+10+15+21+28+36+45＝165；
根据定义，不可能出现两位和四位的数，只能出现奇位数．
∴不超过5位的“单峰回文数”共有9+45+165＝219．
故选：B．
【点评】本题考查了规律型﹣数字的变化类，解决本题的关键是5位的“单峰回文数”的确定．
8．有一台特殊功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1﹣x2|的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是|1﹣2|＝1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．有如下结论：①依次输入1，2，3，4，则最后输出的结果是2；②若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个输入，全部输入完毕后显示的结果的最大值是4；③若将1，2，3，4这4个整数任意地一个一个地输入，全部输入完毕后显示的结果的最小值是0；④若随意地一个一个地输入三个互不相等的正整数2，a，b，全部输入完毕后显示的最后结果设为k，若k的最大值为10，那么k的最小值是6．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①根据题意每次输入都是与前一次运算结果求差后取绝对值，将已知数据输入求出即可；
②根据运算规则可知最大值是4；
③根据运算规则可知最小值是0；
④根据题意可得出只有3个数字，当最后输入最大值时结果得到的值最大，当首先将最大值输入则结果是最小值，进而分析得出即可．
【解答】解：①根据题意可以得出：|1﹣2|＝|﹣1|＝1，
|1﹣3|＝|﹣2|＝2，
|2﹣4|＝|﹣2|＝2，
故①符合题意
②对于1，2，3，4，按如下次序输入：1、3、2、4，可得：|1﹣3|﹣2|﹣4|＝4，
全部输入完毕后显示的结果的最大值是4
故②符合题意；
③对于1，2，3，4，按如下次序输入：1、3、4、2，可得：|1﹣3|﹣4|﹣2|＝0，
全部输入完毕后显示的结果的最小值是0，
故③符合题意；
④∵随意地一个一个的输入三个互不相等的正整数2，
a
，
b
，全部输入完毕后显示的最后结果设为
k
，
k
的最大值为10，
∴设
b
为较大数字，当
a
＝1时，|
b﹣|
a
﹣2|＝|
b
﹣1|＝10，
解得：
b
＝11，
故此时任意输入后得到的最小数为：|2﹣|11﹣1|＝8，
设
b
为较大数字，当
b
＞
a
＞2时，|
b﹣|
a
﹣2|＝|
b﹣
a
+2|＝10，
则
b﹣
a
+2＝10，即
b﹣
a
＝8，则
a﹣
b
＝﹣8，
故此时任意输入后得到的最小数为：|
a﹣|
b
﹣2|＝|
a﹣
b
+2|＝6，
综上所述：
k
的最小值为6．
故④符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了整数的奇偶性问题以及含有绝对值的函数最值问题．
9．将全体正奇数排成一个三角形数阵如下，按照以上排列的规律，第19行第11个数是（ ）
A．363 B．361 C．359 D．357
【答案】A
【分析】根据数字的变化类寻找每一行数字的变化规律即可求解．
【解答】解：观察所给数阵，得每一行的变化规律如下：
第一行的第一个数：1×0+1＝1
第二行的第一个数：2×1+1＝3
第三行的第一个数：3×2+1＝7
…
第n行的第一个数：n （n﹣1）+1
∴第19行的第一个数：19×18+1＝343
∴第19行的第11个数：343+10×2＝363
故选：A．
【点评】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是寻找每一行数字的变化规律．
10．2008年9月25日，中国国家主席胡锦涛在酒泉卫星发射中心“问天阁”为执行神舟7号飞行任务的航天员壮行．3天后，神舟7号巡天归来，在太空中留下了中国人骄人的足迹．根据这些事实和数据，我们发现有可能存在这样的等式：神舟7号问天×3＝问天神舟7号．上述等式中，每个汉字代表从0到9中的不同自然数（其中7已经被使用）．要使得等式成立，则神舟7号＝（ ）
A．2075 B．3075 C．3076 D．3078
【答案】C
【分析】根据题意，设神舟7号＝A，问天＝B，可得（A×100+B）×3＝B×10000+A，化简299A÷3.25＝9997B÷3.25可得92A＝3076B进而可得结果．
【解答】解：根据题意，设神舟7号＝A，问天＝B，
∵神舟7号问天×3＝问天神舟7号．
∴（A×100+B）×3＝B×10000+A，
300A+3B＝10000B+A，
299A＝9997B，
∵299A÷3.25＝9997B÷3.25，
92A＝3076B，
∴．
∴A＝3076．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
11．有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到5个结论：
①b3＝2a+5；
②当a＝2时，第3项为16；
③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；
④第2022项为（a+2022）2；
⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2；
以上结论正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤
【答案】A
【分析】根据题意可以得出规律，第n项为（a+n﹣1）2，bn＝2a+2n﹣1，根据规律逐项求解判断即可．
【解答】解：由题意可知，第一项为（a+0）2，第二项为（a+1）2，
∴b1＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，
∴b2＝2a+3，
∴b3＝2a+3+2＝2a+5，故①正确，
∴第三项为a2+2a+1+2a+3＝（a+2）2，
当a＝2时，第三项为16，故②正确，
∴第四项为（a+2）2+2a+5＝（a+3）2，
∴b4＝2a+7，
∴第五项为（a+3）2+2a+7＝（a+4）2，
..．
∴bn＝2a+2n﹣1，
∴第n项为（a+n﹣1）2，
∴第2022项为（a+2021）2故④错误，
若第四项与第五项的和25，
则（a+3）2+（a+4）2＝25，
解得a＝0或a＝﹣7，故③错误，
当n＝k时，b1+b2+…+bk
＝（2a+1）+（2a+3）+…+（2a+2k﹣1）
＝2ka+[1+3+5+…+（2k﹣1）]
＝2ka+k2，
故⑤正确，
故正确的为：①②⑤，
故选：A．
【点评】本题主要考查数据的规律类问题，准确找出题目中的两组数据的规律时解答此题的关键，难度较大．
12．某果园引入了m个采摘机器人，这些机器人被分为两组，每组的工作效率不同．第一组有n个机器人，每个机器人平均8秒采摘一个苹果；第二组包含剩余的机器人，每个机器人平均6秒采摘一个苹果．同时，果园内还有10名熟练的采摘工人，他们每个人平均5秒采摘一个苹果．机器人与工人同时工作1小时，则这m个机器人比这10名工人多采摘的苹果个数是（ ）
A．120（m﹣2n）﹣720 B．600m﹣150n﹣7200
C．600m+450n﹣7200 D．120m﹣150n﹣720
【答案】B
【分析】根据第一组每个机器人平均8秒采摘一个苹果，算出1小时每个机器人采摘多少个苹果，再用乘法表示出第一组n个机器人采摘多少个苹果；用同样的方法表示出第二组机器人采摘多少个苹果和10名采摘工人采摘多少个苹果；最后用减法即可表示出结果．
【解答】解：第一组机器人采摘：3600÷8×n＝450n（个）；
第二组机器人采摘：3600÷6×（m﹣n）＝（600m﹣600n）个；
采摘工人采摘：3600÷5×10＝7200（个），
m个机器人比这10名工人多采摘的苹果：600m﹣600n﹣（7200﹣450n）＝（600m﹣150n﹣7200）个．
故选：B．
【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
13．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据观察数列，可得，每三个数一循环，根据有序数对的表示方法，可得有序数对表示的数，根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：每三个数一循环，1、，则前7排共有1+2+3+4+5+6+7＝28个数，
因此（8，2）在排列中是第28+2＝30个，
30÷3＝10，（8，2）表示的数正好是第10轮的最后一个，
即（8，2）表示的数是，
前2014排共有1+2+3…+2014＝（1+2014）×2014÷2＝2029105个数，
因此（2014，2014）在排列中是第2029105个，
2029105÷3＝676368…1，
（2014，2014）表示的数正好是第676369轮的一个数，
即（2014，2014）表示的数是1，
1，
故选：B．
【点评】本题考查了数字的变化类，利用了数字的变化规律．
二．填空题（共13小题）
14．七位数，这里数码a，b，c，d，e，f是0或1，所有这样的七位数的和是 67555552 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于数码a，b，c，d，e，f是0或1，这样的七位数的个数为26＝64，且a，b，c，d，e，f取值为0或1的次数都为32，则可知所有七位数的和＝32+32×10+32×100+32×1000+32×10000+32×100000+64×1000000．
【解答】解：∵七位数，这里数码a，b，c，d，e，f是0或1，
∴这样的七位数的个数为26＝64，且a，b，c，d，e，f取值为0或1的次数都为32，
∴这样的七位数的和＝32+32×10+32×100+32×1000+32×10000+32×100000+64×1000000＝67555552．
故答案为：67555552．
【点评】本题考查了排列组合的知识．解题关键是将所得七位数各数位上的数分别相加，可以简便计算．
15．下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的，如果第一个图形的周长为5，那么第2017个图形的周长是 6053 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据已知图形得出每增加一个小梯形其周长就增加3，据此可得答案．
【解答】解：∵第1个图形的周长为2+3＝5，
第2个图形的周长为2+3×2＝8，
第3个图形的周长为2+3×3＝11，
…
∴第2017个图形的周长为2+3×2017＝6053，
故答案为：6053．
【点评】本题主要考查图形的变化类，根据已知图形得出每增加一个小梯形其周长就增加3是解题的关键．
16．已知一列数的和x1+x2+……+x2019（1+2+…+2019），|x1﹣3x2+1|＝|x2﹣3x3+2|＝…＝|x2018﹣3x2019+2018|＝|x2019﹣3x1+2019|，则x1﹣2x2﹣3x3＝ ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【分析】先将绝对值内的所有式子相加，从而出现x1+x2+……+x2019，再代入求出结果，根据结果结合题目进行分析即可．
【解答】解：因为x1﹣3x2+1+x2﹣3x3+2+…+x2018﹣3x2019+2018+x2019﹣3x1+2019
＝x1+x2+……+x2019﹣3（x1+x2+……+x2019）+（1+2+3+…+2019）
（1+2+…+2019）﹣3（1+2+…+2019）+（1+2+…+2019）
＝0．
因为多个绝对值内式子累加等于0，且各项式子绝对值均相等，
只可能是各项之间两两互为相反数或均为0，
又因为是2019个式子，为奇数个，不存在两两互为相反数，
所以只可能是各项均为0，
即所以绝对值内的2019个式子相加等于0，
且它们的绝对值相等，
所以|x1﹣3x2+1|＝|x2﹣3x3+2|＝…＝|x2018﹣3x2019+2018|＝|x2019﹣3x1+2019|＝0，
所以x2＝3x3﹣2，
所以x1＝3x2﹣1＝3（3x3﹣2）﹣1＝9x3﹣7，
所以x1﹣2x2﹣3x3＝9x3﹣7﹣2（3x3﹣2）﹣3x3＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
17．不改变多项式﹣3x+2y﹣4+xy﹣x2﹣y2的值，把二次项放在带“﹣”的括号内，一次项放在带“+”的括号内，常数项单独放，得 ﹣（x2+y2﹣xy）+（﹣3x+2y）﹣4 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意列出相应的式子即可．
【解答】解：根据题意得：﹣（x2+y2﹣xy）+（﹣3x+2y）﹣4．
故答案为：﹣（x2+y2﹣xy）+（﹣3x+2y）﹣4
【点评】此题考查了去括号与添括号，熟练掌握去括号与添括号法则是解本题的关键．
18．已知：（n＝1，2，3，…），记b1＝2（1﹣a1），b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2），…，bn＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣an），则通过计算推测出bn的表达式bn＝ ．（用含n的代数式表示）
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意按规律求解：b1＝2（1﹣a1）＝2×（1），
b2＝2（1﹣a1）（1﹣a2）（1），
…．所以可得：bn的表达式bn．
【解答】解：根据以上分析bn＝2（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣an）．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题中表示b值时要先算出a的值，要注意a中n的取值．
19．如果代数﹣2y2+y﹣1的值为7，那么代数式4y2﹣2y+5的值为 ﹣11 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题目中的条件，可以通过转化得到所求代数式的值．
【解答】解：∵代数式﹣2y2+y﹣1的值为7，
∴﹣2y2+y﹣1＝7，
∴﹣2y2+y＝8，
∴2y2﹣y＝﹣8，
∴4y2﹣2y＝﹣16，
∴4y2﹣2y+5＝﹣16+5＝﹣11，
故答案为：﹣11．
【点评】本题考查代数式求值，解答本题的关键是明确代数式求值的方法．
20．从1，2，…，2008中选出总和为1009000的1004个数，并且这1004个数中的任意两数之和都不等于2009．则这1004个数的平方和等于 1351373940 ．
参考公式：12+22+…+n2n（n+1）（2n+1）．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，首先要选取符合要求的1004个数，然后再求它们的平方之和即可．
【解答】解：将1，2，…，2008分成1004组：{1，2008}，{2，2007}，…，{1004，1005}，
∵从1，2，…，2008中选出总和为1009000的1004个数，并且这1004个数中的任意两数之和都不等于2009，
∴从1004组中选取所有的偶数，则2+4+6+…+20081009020，
∴将1004换成1005，1006换成1003，1008换成1001，1010换成999，
∴（2+4+6+…+2008）﹣（1004+1006+1008+1010）+（1005+1003+1001+999）＝1009000，
∴符合要求的1004个数就是2，4，6，…，2008，其中1004换成1005，1006换成1003，1008换成1001，1010换成999，
∴这1004个数的平方和是：（22+42+62+…+20082）﹣（10042+10062+10082+10102）+（10052+10032+10012+9992）
＝22×（12+22+32+…+10042）+（10052﹣10042）+（10032﹣10062）+（10012﹣10082）+（9992﹣10102）
＝41004×（1004+1）×（2×1004+1）+（1005+1004）×（1005﹣1004）+（1003+1006）×（1003﹣1006）+（1001+1008）×（1001﹣1008）+（999+1010）×（999﹣1010）
1004×1005×2009+2009×1+2009×（﹣3）+2009×（﹣7）+2009×（﹣11）
＝2×1004×335×2009+2009×[1+（﹣3）+（﹣7）+（﹣11）]
＝1351414120+2009×（﹣20）
＝1351414120﹣40180
＝1351373940，
故答案为：1351373940．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出符合要求的数字．
21．甲、乙、丙三人到某单人小火锅店就餐，该店共有m种配菜可以选择，每种配菜都有大盘菜、中盘菜、小盘菜这三种分量，价格分别为a元、b元和3元，3＜b＜a≤8，a、b都为正整数．每个人都选择了所有m种配菜，而且对于每一种配菜，三个人在分量上的选择都各不相同．结账时，甲乙两人都花费了53元且两人在大盘菜的花费上各不相同，而丙共花费了54元，那么丙在大盘菜上花费 21 元．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以53+53+54＝160应是每一种菜品的总价的整数倍，即（3+a+b）m＝160，根据题意求出整数解，推出a＝8，b＝5，m＝10或a＝7，b＝6，m＝10，设丙选了大盘菜x份，中盘菜y份，分两种情形分别构建方程求解即可．
【解答】解：由题意，三人各不相同，说明每一种菜的各类都被三人吃了，所以53+53+54＝160应是每一种菜品的总价的整数倍，
即（3+a+b）m＝160，
∵3＜b＜a≤8，a、b都为正整数，
可知：a＝8，b＝5，m＝10或a＝7，b＝6，m＝10，
设丙选了大盘菜x份，中盘菜y份．
由题意8x+5y+3（10﹣x﹣y）＝54，
∴5x+2y＝24，
∴x＝2，y＝7（舍弃不合题意）或x＝4，y＝2（舍弃不合题意），
或7x+6y+3（10﹣x﹣y）＝54，
∴4x+3y＝24，
∴x＝3，y＝4，
3×7＝21．
故答案为21，
【点评】本题考查列代数式，二元一次方程的整数解等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
22．有依次排列的3个数：3，9，8，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，6，9，﹣1，8，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也产生一个新数串：3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，相继依次操作下，则从数串：3，9，8开始操作第100次时所产生的那个新数串的所有数之和是 520 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，计算可得第1次操作后所得数串为：3，6，9，﹣1，8；进而可得第2次操作后所得数串；分析可得其规律，运用规律可得答案．
【解答】解：一个依次排列的n个数组成一个数串：a1，a2，a3，…，an，
依题设操作方法可得新增的数为：a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，an﹣an﹣1，
所以，新增数之和为：（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）＝an﹣a1，
原数串为3个数：3，9，8，
第1次操作后所得数串为：3，6，9，﹣1，8，
根据（*）可知，新增2项之和为：6+（﹣1）＝5＝8﹣3，
第2次操作后所得数串为：
3，3，6，3，9，﹣10，﹣1，9，8，
根据（*）可知，新增2项之和为：3+3+（﹣10）+9＝5＝8﹣3，
按这个规律下去，第100次操作后所得新数串所有数的和为：
（3+9+8）+100×（8﹣3）＝520，
故答案为：520．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，理解每一次操作的方法是前提，得出每一次操作以后所产生的那个新数串的所有数之和的规律是关键．
23．认真观察下列式子：2，请仔细分析上面式子的规律，用含自然数n（n≥1）的代数式表示上面的等式，正确的结果是 n ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知：等号左边规律为根号外的数字n和根号里的分子相同是n，分母是n2+1，等号右边根号中减号前是n减号后的分数与等号前的分数一样，故用含自然数n（n≥1）的代数式表示上面的等式，正确的结果是n．
【解答】解：通过找规律可知：等式左边的第n项为：根号外的数字n和根号里的分子相同是n，分母是n2+1，等号右边根号中减号前是n减号后的分数与等号前的分数一样．所以第n个等式为：n．
【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出分式的符号的变化规律是此类题目中的难点．
24．图中共有九个小三角形，它们的顶点处各有一个小圆圈，在十个圆圈内分别填上10个自然数，这10个自然数的和为30，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等（所有数字不全相等），则符合上述填法的共有 11 种．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意和图形可知，十个圆圈内的数是由3个数构成，设两个数分别是x，y，z，可得方程4x+3y+3z＝30，得出符合条件的自然数解即可．
【解答】解：由题意得，十个圆圈内的数是由3个数构成，
设两个数分别是x，y，z，则
4x+3y+3z＝30，
当x＝0时，y＝0，z＝10；
当x＝0时，y＝1，z＝9；
当x＝0时，y＝2，z＝8；
当x＝0时，y＝3，z＝7；
当x＝0时，y＝4，z＝6；
当x＝0时，y＝5，z＝5；
当x＝3时，y＝0，z＝6；
当x＝3时，y＝1，z＝5；
当x＝3时，y＝2，z＝4；
当x＝3时，y＝3，z＝3（舍去）；
当x＝6时，y＝0，z＝2；
当x＝6时，y＝1，z＝1．
故符合上述填法的共有11种．
故答案为：11．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化，解题根据是得出十个圆圈内的数是由3个数构成，得出三元一次方程．
25．已知如图三角形数表中每个*代表一个数（不一定相同），并且每一个数都等于它底下一行分处它两侧的相邻两数之和（即凡具有形状的，必有a＝b+c）．则表中15个*的所代表的数的倒数之和为： 300 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，分别求出这15个数，然后，解出它们的倒数之和即可．
【解答】解：根据题意得，
第二行依次为：、，
第三行依次为：、、，
第四行依次为：、、、，
第五行依次为：、、、、，
第六行依次为：、、、、、；
∴15个*的所代表的数的倒数之和为：2+3+6+12+12+4+5+20+30+20+30+60+60+30+6＝300．
故答案为：300．
【点评】本题主要考查了数字的变化，找出规律写出各数，是解答的关键．
26．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2根图案需10根小木棒…，依次规律，拼搭第9个图案需要小木棒 108 根．
【答案】见试题解答内容
【分析】分析可得：第1个图案需要小木棒1×（1+3）＝4根，第二个图案需要2×（2+3）＝10根，第三个图案需要3×（3+3）＝18根，第四个图案需要4×（4+3）＝28根，…，继而即可找出规律，求出第9个图案需要小木棒的根数．
【解答】解：根据题意：第1个图案需要小木棒1×（1+3）＝4根，
第二个图案需要2×（2+3）＝10根，
第三个图案需要3×（3+3）＝18根，
第四个图案需要4×（4+3）＝28根，
…，
第9个图案需要小木棒的根数＝9×（9+3）＝108根．
故答案为：108．
【点评】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．
三．解答题（共11小题）
27．当a＝4，时，求下列代数式的值．
（1）4ab．
（2）a2+ab﹣b2．
【答案】（1）﹣24；
（2）．
【分析】将已知数值分别代入各代数式中计算即可．
【解答】解：（1）当a＝4，b时，
4ab
＝4×4×（）
＝﹣24；
（2）当a＝4，b时，
a2+ab﹣b2
＝42+4×（）﹣（）2
＝16﹣6
．
【点评】本题考查代数式求值，将已知数值代入代数式中并进行正确的计算是解题的关键．
28．一根弹簧长12cm，在弹性限度（总长不超过20cm）内，每挂质量为1kg的物体，弹簧伸长0.5cm．
（1）代数式0.5x+12表示的实际意义是 挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度 ；
（2）这根弹簧最多可挂质量为多少的物体？
【答案】（1）挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度；
（2）16．
【分析】（1）根据题意得出代数式0.5x+12表示的实际意义是挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度；
（2）设这根弹簧最多可挂质量为x千克的物体，根据题意列出方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）代数式0.5x+12表示的实际意义是挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度；
故答案为：挂上质量x千克的物体后，弹簧的总长度；
（2）设这根弹簧最多可挂质量为x千克的物体，根据题意得：
0.5x+12＝20，
解得：x＝16，
答：这根弹簧最多可挂质量为16千克的物体．
【点评】此题主要考查了代数式的实际意义和一元一次方程的解法，理解题意并根据题意列出相应的关系式是解题的关键．
29．如图，在数轴上的A点表示数a，B点表示数b，a、b满足（a+2）2+|b﹣5|＝0．
（1）点A表示的数为 ﹣2 ，点B表示的数为 5 ．
（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以3个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．
①当t＝1时，乙小球到原点的距离＝ 2 ；
当t＝3时，乙小球到原点的距离＝ 4 ．
②试探究：甲、乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由；若能，请计算说明．
（3）现将小球乙看成动点P，当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试判断的值是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出该定值．
【答案】（1）﹣2，5；
（2）①2，4；②能，当或t＝7时，甲、乙两小球到原点的距离相等；
（3）的值是定值，这个定值为2．
【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出a，b的值，由此即可得；
（2）①当t＝1时，乙小球运动的距离为3，再利用OB的长减去3即可得；当t＝3时，乙小球运动的距离为9，再利用9减去OB的长即可得；
②先求出乙小球从点B运动到原点O所需时间为秒，再分两种情况：和，分别建立方程，解方程即可得；
（3）先求出AB＝7，点E表示的有理数为，再分两种情况：①和②，分别求出OP，EF，代入计算即可得．
【解答】解：（1）∵（a+2）2+|b﹣5|＝0，
∴a+2＝0，b﹣5＝0，
解得a＝﹣2，b＝5，
则点A表示的数为﹣2，点B表示的数为5，
故答案为：﹣2，5．
（2）①∵点B表示的数为5，
∴OB＝5，
当t＝1时，乙小球运动的距离为1×3＝3，
则乙小球到原点的距离为5﹣3＝2，
当t＝3时，乙小球运动的距离为3×3＝9，
则乙小球到原点的距离为9﹣5＝4，
故答案为：2，4；
②假设甲、乙两小球到原点的距离能相等，
乙小球从点B运动到原点O所需时间为（秒），
当时，则2t﹣（﹣2）＝5﹣3t，
解得，符合题设；
当时，2t﹣（﹣2）＝3t﹣5，
解得t＝7，符合题设；
综上，当或t＝7时，甲、乙两小球到原点的距离相等．
（3）由（1）可知，AB＝5﹣（﹣2）＝7，点P从点B运动到点O，再从点O运动到点B所需时间为（秒），
∵点E是OB的中点，点B表示的数为5，
∴点E表示的有理数为，
①如图，当时，则运动t秒后，点P表示的有理数为5﹣3t，
∴OP＝5﹣3t，
∵点F是AP的中点，点A表示的数为﹣2，
∴点F表示的有理数为，
∴，
∴；
②如图，当时，则运动t秒后，点P表示的有理数为3t﹣5，
∴OP＝3t﹣5，
∵点F是AP的中点，点A表示的数为﹣2，
∴点F表示的有理数为，
∴，
∴，
综上，的值是定值，这个定值为2．
【点评】本题考查了偶次方和绝对值的非负性、一元一次方程的应用、数轴、整式加减的应用、线段中点等知识点，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
30．为改善居民居住条件，让人民群众生活更方便更美好，国家出台了改造提升城镇老旧小区政策．在我市“老城换新颜”小区改造中，某小区规划修建一个广场（平面图形如图所示）：
（1）用含m，n的代数式表示广场（阴影部分）的面积S；
（2）若m＝60米，n＝50米，求出该广场（阴影部分）的周长．
【答案】（1）广场面积是3.5mn；
（2）广场周长560米．
【分析】（1）用大长方形面积减去小长方形的面积，再利用整式的混合运算法则进行计算即可求解；
（2）根据周长的定义用含m，n的代数式表示出该广场（阴影部分）的周长，再把m＝60米，n＝50米，代入代数式，即可求解．
【解答】解：（1）由图知，S＝2m×2n﹣（2n﹣0.5n﹣n）×m＝4mn﹣0.5mn＝3.5mn，
答：广场面积是3.5mn；
（2）C＝2×2n+2m×2+2m＝4n+6m，
当m＝60米，n＝50米时，原式＝4×50+6×60＝560（米），
答：广场周长560米．
【点评】本题考查了整式混合运算的应用及求代数式的值，解题的关键在于数形结合，利用代数式正确表示出几何图形的周长和面积．
31．问题情境：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x2+x＝0，求x2+x+186的值．我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+186＝186．
仿照上面的解题方法解答：若b2+2ab＝8，求2b2+4ab的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵b2+2ab＝8，
∴2b2+4ab
＝2（b2+2ab）
＝2×8
＝16．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
32．知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．理解应用：若关于x的多项式2m2﹣3x﹣m（3﹣5x）的值与x的取值无关，求m的值．
【答案】．
【分析】由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（5m﹣3）x+2m2﹣3m，令x的系数为0，即可求出．
【解答】解：2m2﹣3x﹣m（3﹣5x）
＝2m2﹣3x﹣3m+5mx
＝（5m﹣3）x+2m2﹣3m，
∵其值与x的取值无关，
∴5m﹣3＝0，
解得，
即：当时，多项式2m2﹣3x﹣m（3﹣5x）的值与x的取值无关．
【点评】本题主要考查了合并同类项、代数式求值、多项式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
33．码头到货100t，现有甲、乙两装卸作业组同时开始卸货．甲组卸货at，需要时间为（3a+1）小时；乙组卸货bt，需要时间为（2b+3）小时．问当他们一起卸完所有的货物时，甲组卸货多少吨？
【答案】甲组卸货40.4t．
【分析】设甲组卸货x t，需要时间（3x+1）小时，乙组卸货（100﹣x）t，需要时间[2（100﹣x）+3]小时，根据他们一起卸完所有的货物，甲和乙用的时间相等即可列出方程，解方程即可．
【解答】解：设甲组卸货x t，则乙组卸货（100﹣x）t，需要时间[2（100﹣x）+3]小时，根据他们一起卸完所有的货物，甲和乙用的时间相等即可列出方程为：3x+1＝2（100﹣x）+3，
x＝40.4．
答：甲组卸货40.4t．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
34．A，B两地相距s千米，甲、乙两人驾车分别以a千米/小时，b千米/小时的速度从A地到B地，且甲用的时间较少．
（1）用代数式表示甲比乙少用的时间；
（2）当s＝180，a＝72，b＝60时，求（1）中代数式的值，并说明这个值表示的实际意义．
【答案】（1）（）h．
（2）0.5 （h）．
这个值表示的实际意义是甲从A地到B地用的时间比乙少0.5小时．
【分析】（1）先根据时间，分别求出乙、甲从A地到B地的时间，再相减．
（2）将数据代入（1）中所得代数式求值，并说明实际意义．
【解答】解：（1）因为A，B两地相距s千米，甲、乙两人驾车的速度分别为a千米/小时，b千米/小时，时间，
所以甲用的时间为t甲，乙用的时间为t乙，
所以甲比乙少用的时间为（）h．
（2）因为s＝180，a＝72，b＝60，
所以（1）中代数式的值为3﹣2.5＝0.5 （h）．
这个值表示的实际意义是甲从A地到B地用的时间比乙少0.5小时．
【点评】本题考查了在真实生活情境下列代数式，并求代数式的值的相关知识，根据时间、路程与速度之间的数量关系列代数式是解题的关键．
35．观察下列等式：
①52﹣（22+32）＝2×2×3；
②82﹣（32+52）＝2×3×5；
③112﹣（42+72）＝2×4×7；
④ 2 2﹣[42+（﹣2）2]＝ 2 ×4×（﹣2）；……
（1）观察等式规律，把等式④补充完整；
（2）请你仿写一个与上面各等式不同的等式；
（3）用含有a，b的等式表示上述规律．
【答案】（1）2，2；
（2）72﹣（32+42）＝2×3×4（答案不唯一）；
（3）（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab．
【分析】（1）根据题目中的几个等式的变化特点，即可写出第④个等式；
（2）根据题目中的几个等式的变化特点求解即可；
（3）根据题目中的式子，归纳规律并验证猜想是否正确即可．
【解答】解：（1）由发现可知④22﹣[42+（﹣2）2]＝2×4×（﹣2）；
（2）根据题意得，72﹣（32+42）＝2×3×4；
（3）根据题意得，
原式＝a2+2ab+b2﹣a2﹣b2
＝2ab．
∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab．
【点评】本题考查数字的变化规律、完全平方公式等知识，明确题意、发现题目中数字的变化特点、列出相应的式子是解答本题的关键．
36．某商场销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价750元，电磁炉每台定价200元，元旦期间商场决定开展促销活动，商场向客户提供了两种优惠方案．
方案一：买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二：微波炉和电磁炉都按定价的80%付款；
A公司欲购买微波炉20台，电磁炉x台（x＞20）
（1）若按方案一购买，顾客需付款多少元；若按方案二购买，顾客需付款多少元；（用含x的式子表示）
（2）若x＝50，通过计算说明哪种购买方式更合算？
（3）当x＝50时，你能给出一种更省钱的购买方式吗？试写出你的购买方式，并计算需付款多少元？
【答案】（1）方案一：（200x+11000）元，方案二：（160x+12000）元；
（2）按方案二购买较为合算；
（3）先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉，再按方案二购买30台电磁炉；19800元．
【分析】（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x＝40代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；
（3）根据题意考可以得到先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉；再按方案二购买20台电磁炉．
【解答】解：（1）方案一：750×20+200×（x﹣20）＝（200x+11000）元；
方案二：（750×20+200x）×80%＝（160x+12000）元；
（2）方案一：当x＝50时，原式＝200×50+11000＝21000（元）．
方案二：当x＝50时，原式＝160×50+12000＝20000（元），
∵21000＞20000，
∴按方案二购买较为合算；
（3）先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉，再按方案二购买30台电磁炉．
此时需付款：20×750+30×200×80%＝19800（元）
答：先按方案一购买20台微波炉，则可送20台电磁炉，再按方案二购买30台电磁炉，此时需付款19800元．
【点评】本题主要考查列代数式和求代数式的值的相关的题目，解题的关键是认真分析题目并正确的列出代数式．
37．为丰富校园体育生活，学校增设羽毛球兴趣小组，需要采购某品牌羽毛球拍30支，羽毛球x筒（x＞30）．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍定价100元/支，羽毛球20元/筒．现甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案：
甲商店：买一支羽毛球拍送一筒羽毛球；
乙商店：羽毛球拍与羽毛球均按九折销售．
（1）到甲商店购买，需要支付 （2400+20x） 元；到乙商店购买，需要支付 （18x+2700） 元．（用含x的代数式表示）（2）若x＝100，请通过计算说明学校去哪个商店购买较为优惠；
（3）若x＝100，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并算出需要支付的总钱数．
【答案】（1）（2400+20x），（18x+2700）；
（2）甲商店；
（3）能，方案见解析，支付的总钱数4260元．
【分析】（1）根据甲、乙商店的优惠规则按照需要进行正确列式，化简即可得出答案．
（2）根据x的值代入代数式，化简后比较大小即可得出答案．
（3）第二问已经算出了只买甲商店和只买乙商店花的钱数，只需要考虑两种商店混合买的情况，即可得更为省钱的购买方案，计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：到甲商店购买，需要支付[3000+20（x﹣30）]＝（2400+20x）元，
到乙商店购买，需要支付（18x+2700）元，
故答案为：（2400+20x），（18x+2700）；
（2）当x＝100时，到甲商店需要支付：3000+20×（100﹣30）＝4400（元），
到乙商店需要支付：18×100+2700＝4500（元），
∵4400＜4500，
∴到甲商店购买较为优惠；
（3）能，
购买方案：先在甲商店购买30只羽毛球拍，送30筒羽毛球，再在乙商店购买70筒羽毛球，
∴支付的总钱数：30×100+70×20×0.9＝4260（元）．
【点评】本题主要考查列有理数的四则混合运算，代数式，代数式求值及应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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