课件24张PPT。第二十二章 相似形22.1 比例线段第3课时 比例的性质1课堂讲解基本性质、合比性质、等比性质、
黄金分割2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点基本性质知1－导两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果 ,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到 呢?
知1－讲比例的基本性质：
（1）如果 ，那么
（2）如果 ，那么
知1－讲（来自《点拨》）【例1】已知 ，那么下列式子一定成立的是( )
A．3x＝2y B．xy＝6 C. D.
导引：由比例的基本性质，得2x＝3y，所以A，B均不正
确．由D可得3x＝2y，所以D不正确．由C，可得2x＝3y，
所以C正确.点拨：比例的基本性质可记为“分子、分母交叉乘，积
相等”.C
知1－讲【例2】〈一题多解〉已知 ，求 的值．
导入： 根据已知得 ，然后代入求值；也可以通过设参
数的方法，即a=3k,b=4k,然后代入求值.解法一：由已知得 ，故解法二：因为 所以设a=3k,b=4k,
则
知1－讲点拨：根据比例的基本性质，可以进行比例式 与
等积式ad＝bc之间的转化．其中由 只能得到
ad＝bc；而由等积式ad＝bc得到的比例式不是唯一的，
共可得到以下8种：
（来自《点拨》）总 结知1－讲（来自《点拨》）利用比例的基本性质进行相关计算时，常用的方法有两种：一是用含有其中一个字母的代数式表示出另一个字母，然后运用代入法求值；二是运用参数法，即根据比例式设出合适的未知数，然后用含此未知数的代数式表示出相应字母，再代入求值，这也是运用比例的基本性质求解时的一种常用的方法．知1－练（来自教材）在比例尺是1:50的图纸上，量得一个零件的
长是32cm, 求这个零件的实际长.已知：a:b=c:d，且a=2.4cm，b=3.6cm，
c=5.4cm,求d的值.知1－练（来自《典中点》）3 已知 ，则下列式子成立的是( )
A．3x＝5y B．xy＝15
C. D.4 若2y－5x＝0，则x∶y等于( )
A．2∶5 B．4∶25
C．5∶2 D．25∶4
2知识点合比性质知2－导问 题现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?
提示：对于式子1.5∶1.2=2∶1.6,能否得到2.7∶1.2=3.6∶1.6呢?
知2－讲合比性质：如果 那么知2－练（来自教材）1 已知 求 和 的值.2 (2015,东营）3（来自《典中点》）知3－讲3知识点等比性质知3－练（来自《典中点》）2 （2015,六盘水） 31（来自教材）4知识点 黄金分割知4－导黄金分割是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于
整体与较大部分之比，其比值
为1:0.618或1.618:1，即长段为
全段的0.618.0.618被公认为最具有
审美意义的比例数字，
上述比例是最能引起人
的美感的比例，因此被称为黄金分割.
———————《百度百科》知4－讲1.把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线
段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做
黄金分割．
2．分割点叫做线段的黄金分割点，比值 叫
做黄金数．一条线段的黄金分割点有两个．
知4－讲【例3】阅读资料：如图，我们知道点C把线段AB分成长、短两条线段AC，BC.如果短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即 ，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，它的近似值为0.618.利用黄金分割，解决下面的问题．
电视节目主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，舞台AB长为20 m，试计算主持人应走到离A点至少______m处较恰当．若他向B点再走_______m，也处在比较得体的位置．( ≈2.24)
7.64.8知4－讲（来自《点拨》）导引：由题意知，主持人到达的最佳位置是黄金分割点处，线段AB
的黄金分割点有两个，它们都距较近端点20×
≈7.6(m)远，所以这两个黄金分割点之间的距离是20－
7.6×2＝4.8(m)．所以主持人应走到离A点至少7.6 m处较
恰当；若他向B点再走4.8 m，也处在比较得体的位置．
点拨：本题利用黄金分割的意义，对问题进行分析，了解黄金比为
是解决本题的关键．
如图，已知点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，
则下列结论中正确的是( )
? A．AB2＝AC2＋BC2 B．BC2＝AC·BA
C. D.
知4－练（来自《典中点》）知4－练（来自《典中点》）若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
则①AB＝ AC；②AC＝ AB；③AB∶AC＝AC∶CB；④AC≈0.618AB.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
判断一个点是不是黄金分割点的方法
一是通过判断已知线段被这点分成的两条线段中，较长的线段与原线段的比是否为黄金比，若为黄金比，则此点为黄金分割点，否则不是；二是判断此点截得的较长线段、较短线段与原线段是否符合定义中的比例关系，若符合定义中的比例关系，则此点为黄金分割点，否则不是黄金分割点．必做：1.完成教材P69 T4，T5，T7
2.补充: 完成《典中点》P54 T3、T6、T10、
T13、P55 T16-T18必做：1.完成教材P69 T4、T5、T7
2.补充: 完成《点拨》 P111-P112 ⅢT1，T6，
T10,T13，T15，《点拨》P103-P105举一反 三T8-T11
课件20张PPT。第二十二章 相似形22.1 比例线段第2课时 成比例线段
1课堂讲解两条线段的比、成比例线段、比例中项2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升
一张地图的比例尺是1∶32 000 000,量得北京到上海的图上距离大约为3.5 cm,北京到上海的实际距离大约是多少千米?
1知识点两条线段的比知1－讲用同一个长度单位去度量两条线段a，b得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作 或a∶b.
【例1】
知1－讲一张桌面长a=1.25 m,宽b=0.75 m,那么长与宽的比是多少?
解： 5:3.
12
知1－练（来自《典中点》）如果线段a=2cm,b=10mm,那么 的值为（ ）（来自教材）(2015·嘉兴)如图是百度地图的一部分(比例尺1∶
4000 000)，按图可估测杭州在嘉兴的南偏西
________度方向上，到嘉兴的实际
距离约为________．
34
知1－练（来自《典中点》）在比例尺为1∶5 000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25 cm，则甲、乙两地间的实际距离是( )
A．1 250 km B．125 km
C．12.5 km D．1.25 km
某机器零件在图纸上的长度是21 mm，它的实际长度是630 mm，则图纸的比例尺是( )
A．1∶20 B．1∶30
C．1∶40 D．1∶50
2知识点成比例线段知2－讲1．在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段a，b的
比，等于另外两条线段c，d的比，即 (或a∶b＝
c∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线
段．这时，线段a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，
d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项．知2－讲2. 易错警示：
(1)在判断是否成比例线段时，若长度单位不同，应
先统一单位再判断；
(2)在判断是否成比例线段时，应首先将四条线段按
长短顺序排列起来，若两条较短线段的长度的比
等于较长的线段的比，则是成比例线段，否则不是．
知2－讲【例2】
下列各组不同长度的线段是成比例线段的是( )
A．3 cm, 6 cm,7 cm，9 cm B．2 cm, 5 cm , 0.6 dm, 8 cm
C．3 cm, 9 cm,1.8 dm,6 cm D．1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm
根据成比例线段的定义，对各选项进行一一分析．
A. ，故不是成比例线段；
B．0.6 dm＝6 cm， ，故不是成比例线段；
C．1.8 dm＝18 cm，从小到大排序为3 cm，6 cm ，9 cm，
18 cm， ，故是成比例线段；
D. ，故不是成比例线段．C导引：（来自《点拨》）总 结知2－讲（来自《点拨》）判断四条线段是否为成比例线段的方法：先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后，方法1：判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等．方法2：判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等；若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段不是成比例线段．可简记为：“一排(排顺序)、二算(算比值或乘积)、三判(判断是否是成比例线段)”这三步曲．
如果a=10cm,b=0.2m,c=30mm,d=6cm,
那么下列比例式子成立的是（ ）知2－练（来自教材）知2－练（来自《典中点》）2 下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是( )
A．1，2，3，4 B．1，2，2，4
C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
四条线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3 cm，d
＝4 cm，c＝6 cm，则b等于( )
A．8 cm B. cm
C. cm D．2 cm
3知识点比例中项知3－讲如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a，b，c之间有a∶b＝b∶c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项．
【例3】已知线段a，b，c，其中a＝4 cm，b＝9 cm，
线段c是线段a和b的比例中项，求线段c的长.（来自《点拨》）知3－讲 由题意可知
所以c2=ab，所以c=6 cm.
解： 如果线段a=32cm,b=8cm,那么a和b的比例中项
是（ ）
A. 20cm B.18cm C.16cm D.14cm已知线段a＝4，b＝16，线段c是a、b的比例中项，
那么c等于( )
A．10 B．8 C．－8 D．±8
知3－练（来自《典中点》）（来自教材）若b是a，c的比例中项，且a∶b＝7∶3，则b∶c
＝( )
A．9∶7 B．7∶3
C．3∶7 D．7∶9
如果线段a＝8 cm，b＝2 cm，那么a和b的比例中
项是( )
A．8 cm B．6 cm
C．4 cm D．2 cm
知3－练（来自《典中点》）判断四条线段是否是成比例线段的方法：先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后，方法1判断前两条线段的比是否与后两条线段的比相等；方法2判断最长的线段与最短的线段的乘积是否与另外两条线段的乘积相等．若相等，则这四条线段为成比例线段；若不相等，则这四条线段为不成比例线段．可简记为：“一排(排顺序)、二算(算比值或乘积)、三判(判断是否成比例线段)”．必做：1.完成教材P66 T2
2.补充: 完成《典中点》P52 T4-T5,T8-T9,
T13-T15，T18
必做：1.完成教材P66 T2
2.补充: 完成《点拨》P111-112 Ⅲ T4-T5，T9，
《点拨》 P102举一反三T6课件20张PPT。第二十二章 相似形22.1 比例线段第4课时 平行线分线段
成比例1课堂讲解平行线分线段成比例的基本事实、
平行线分线段成比例的推论2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点平行线分线段成比例的基本事实知1－导请同学们回忆并复述平行线等分线段定理.
知1－讲平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，
所得的对应线段成比例．
数学表达式：如图
∵l3∥l4∥l5，
∴
?
可简记为：
要点精析：
(1)一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；
(2)所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行
线上的线段无关；
(3)当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等．知1－讲【例1】如图，已知AB∥CD∥EF，AF交BE于点H，下列结论中错误的是( )C知1－讲导引：平行线分线段成比例定理除基本图形外，主要还有
“A”型和“X”型两种类型的图形，图中包含这三种
图形，从每种图形中找出比例线段即可判断错误的选
项．根据AB∥CD∥EF，结合平行线分线段成比例定
理可得解．∵AB∥CD∥EF，
∴ 故选项A，B，D正确；
∵ CD∥EF,∴ ,故选项C错误.
（来自《点拨》）总 结知1－讲（来自《点拨》）在题目中遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例．
知1－讲【例2】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交这三条直线于A，B，C，直线DF分别交
这三条直线于点D，E，F，
若AB＝3，DE＝ ，
EF＝4，求BC的长．导引：因为本题是两条直线被三条平行线所截得到的图
形．因此，要求BC的长，需找出图中与已知、所
求相关的四条线段，再根据“上比下等于上比下”
即可列出比例式求得BC的长．知1－讲解：∵直线l1∥l2∥l3，且AB＝3，DE＝ ，EF＝4，
∴根据平行线分线段成比例定理可得 ，
即
（来自《点拨》）总 结知1－讲（来自《点拨》）利用平行线分线段成比例定理求线段长的方法：先确定图中的平行线，由此联想到线段间的比例关系，结合待求线段和已知线段写出一个含有它们的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段长．
知1－练（来自教材）12
知1－练（来自《典中点》） 3 (2015·眉山)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这
三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已
知AB＝1，BC＝3，DE＝2，则EF的长为( )
A．4 B．5 C．6 D．8
知1－练（来自《典中点》）4(2015·乐山)如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F.已知 则 的值为( )
A. B. C. D.
2知识点平行线分线段成比例的推论知2－讲推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
数学表达式：
如图，∵DE∥BC，
∴
要点精析：
(1)本推论实质是平行线分线段成比例定理中一组平行线中的一条
过三角形一顶点，一条在三角形一边上的一种特殊情况．
(2)成比例线段不涉及平行线所在的边上的线段．
知2－练（来自教材）1 如图，在△ABC中，DE∥ BC,
AD=2，BD=6，AE=1.5，
求EC的长.2(2015·河南) 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC.
若BD＝4，DA＝2，BE＝3，
则EC＝________.
（来自《典中点》）知2－练（来自《典中点》）3如图，在△ABC中，FG∥DE∥BC，已知DF＝3，AG＝EC＝2，则下列四个等式中一定正确的是( )
A．FG·DE＝6 B．DB·GE＝6
C．FG∶DE＝2∶3 D．CE∶DB＝3∶2
知2－练（来自《典中点》）4如图，已知AB∥CD，AC与BD交于点O，则下列比例式中不成立的是( )
A．OC∶OD＝OA∶OB B．OC∶OD＝OB∶OA
C．OC∶AC＝OD∶DB D．BD∶AC＝OB∶OA
平行线分线段成比例定理推论：
平行于三角形一边的直线截其
他两边（或两边延长线），截
得的对应线段成比例.平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得
的对应线段的比相等.
(对应线段成比例）必做：1.完成教材P71 T1,T2,T6
2.补充: 完成《典中点》P56-P57 T3, T4,
T8-T11,T14必做：1.完成教材P71 T1,T2,T6
2.补充: 完成《点拨》P111-P112 Ⅲ T2,T3,
T7,T8,T11,T12,T14,T17课件10张PPT。第二十二章 相似形22.1 比例线段第5课时 专题解码 平行线分
线段成比例常见应
用技巧1类型 证比例式技巧1. 中间比代换法证比例式1. 如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别是
边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，
且AD∶DB＝3∶5，求CF∶CB的值．解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB为平行四边形．∴DE＝BF.
∵DE∥BC， ∴
∵EF∥AB，∴
又∵DE＝BF， ∴
∵AD∶DB＝3∶5，∴BD∶AB＝5∶8.
∵DE∥BC，∴CE∶AC＝BD∶AB＝5∶8.
∵EF∥AB，∴CF∶CB＝CE∶AC＝5∶8.技巧2.等积代换法证比例式如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，连接BF，求证：
证明：∵DE∥BC，∴
∴PD·PC＝PE·PB.
∵DF∥AC，∴
∴PD·PC＝PF·PA.
∴PE·PB＝PF·PA. ∴证明：∵EF∥CD，
∴
∵DE∥BC.∴
∴AD是AB和AF的比例中项.技巧3. 等比代换法证比例中项如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.
求证：AD是AB和AF的比例中项．2类型证线段相等技巧4. 等比例后项证线段相等(等比过渡法)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，
点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，
CF∥AB交DE的延长线于点F.
求证：DE＝EF.证明：∵DE∥BC，∴
∵点D为AB的中点，
∴AD＝DB，即
∴
∵CF∥AB，∴
∴DE＝EF.3类型证比例和为1技巧5. 同分母的中间比代换法5. 如图，已知AC∥EF∥BD，求证：证明：∵AC∥EF，
∴ ①.又∵EF∥BD，
∴ ② . ①＋②，得
即
课件28张PPT。第二十二章 相似形22.1 比例线段第1课时 相似图形1课堂讲解相似图形、相似多边形的定义、
相似多边形的性质、相似比
2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升
同学们,请观察上面几幅图片,你能发现什么?你能对观察到图片特点进行归纳吗?
1知识点相似图形知1－讲1.定义：形状相同的两个图形叫做相似的图形．
要点精析：
(1)“形状相同”是判断相似图形的唯一条件；
(2)相似图形之间的关系：两个图形相似，其中一个图形可以看作
是由另一个图形放大或缩小得到的．
2．易错警示：
(1)两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置无关；
(2)全等图形是一种特殊的相似图形，不仅形状相同，大小也相同．
【例1】 如图，其中相似图形有哪些？
知1－讲
知1－讲（来自《点拨》） 导引：本题依据相似图形的定义求解．观察这些图形，虽然图(6)
与图(12)、图(8)与图(11)极为相似，但是它们的形状不相同．
图(6)“拉长”而不是整体放大变成了图(12)，图(8)“压缩”而
不是整体缩小变成了图(11)，所以它们不是相似图形．而图(1)
与图(9)、图(2)与图(4)、图(3)与图(10)、图(5)与图(7)的形状
完全相同，所以它们才是相似图形．
解：相似图形有：图(1)和图(9)，图(2)和图(4)，图(3)和图(10)，
图(5)和图(7)．
总 结知1－讲（来自《点拨》） 判断两个图形是否为相似图形的方法：
看两个图形的形状是否相同，即看其中一个图形是否
是由另一个图形放大或缩小得到的.如果是，那么它们
是相似图形，否则就不是相似图形.知1－练（来自教材）1在图形(A) ～ (F)中，哪些是由图形（1）或（2）放大或缩小得到的？知1－练2（来自《典中点》）下列四组图形中，不是相似图形的是( )
3下列说法：
①放大(缩小)的图片与原图片是相似形；
②比例尺不同的中国地图是相似形；
③放大镜下的五角星与原来的五角星是相似形；
④放电影时胶片上的图象和它映射到屏幕上的图象是相
似形；
⑤平面镜中，你的像与你本人是相似形．
其中正确的说法有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2知识点相似多边形的定义知2－讲定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角
相等，对应边长度的比相等，那么这两个多
边形叫做相似多边形．
要点精析：判定相似多边形的条件：
(1)所有的对应角相等；
(2)对应边长度的比相等．
以上两个条件是判定相似多边形必备的条件，缺一不可．
知2－讲【例2】 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD, GF⊥AB，垂足分别为点E，F.
求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．导引：要判定两个多边形相似，从边和角两个方面证明，
即需证对应角相等，对应边的比相等．
知2－讲证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF，
∴易知四边形AFGE为正方形．
∴ 且∠EAF＝∠DAB，
∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
（来自《点拨》）总 结知2－讲（来自《点拨》）判断两个多边形是否相似，既要看它们的对应角是否相等，也要看边是否成比例，两者缺一不可．例如两个矩形不一定相似，两个菱形也不一定相似，两个正方形一定相似．知2－练（来自教材）1如图，矩形ABCD与A1B1C1D1相似吗？为什么？知2－练2 放大镜中的多边形与原多边形的关系是( )
A．形状不同，大小不同 B．形状相同，大小相同
C．形状相同，大小不同 D．形状不同，大小相同
3 如图，三个矩形中，相似的是( )
?A．甲和丙 B．甲和乙
C．乙和丙 D．甲、乙和丙
（来自《典中点》）知3－讲3知识点相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应边长度的比相等，对应角相等．
作用：常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的度数． 【例3】
知3－讲∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,
∴AB∶BC∶CD∶DA= A1B1 ∶B1C1∶C1D1∶D1A1.
∵A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14,
∴AB∶BC∶CD∶DA=7∶8∶11∶14.
设AB=7m,则BC=8m,CD=11m,DA=14m.
∵四边形ABCD的周长为40,
∴7m+8m+11m+14m=40,
∴m=1,∴AB=7,则BC=8,CD=11,DA=14.已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,且A1B1∶B1C1∶
C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14.若四边形ABCD的周长为40,
求四边形ABCD各边的长.解： 总 结知3－讲因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题.若一个三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长
边的长为21，则最短边的长为( )
A．15 B．10 C．9 D．3
知3－练（来自《典中点》）1 如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．87° B．60° C．75° D．120°
知3－练（来自《典中点》）如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，
若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是( )
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
4知识点相似比知4－讲相似比的定义：相似多边形对应边长度的比称为相似比或相似系数．
要点精析：
(1)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关；
(2)相似比为1的两个相似多边形为全等多边形．已知：如图，梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，
AD∥BC，A′D′∥B′C′，∠A＝∠A′，AD＝4，
A′D′＝6，AB＝6，B′C′＝12，∠C＝60°.
(1)求梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k的值；
(2)求A′B′和BC的长；
(3)求∠D′的大小．
知4－讲【例4】 知4－讲导引：(1)相似比就是对应边的比，根据图形可知AD与
A′D′是对应边．
(2)由相似多边形的性质可知对应边的比相等，
都等于相似比；再已知对应边中的一条边的长
度就能求出另一条边的长度.
（3）根据相似多边形的性质，可知对应角相等，
要求∠D′的度数，可求其对应角∠D的度数.
（来自《点拨》）知4－讲解：(1)相似比
(2)∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′相似，
且由(1)知相似比
∵AB＝6，B′C′＝12，∴A′B′＝9，BC＝8.
(3)由题意，知∠D′＝∠D.∵AD∥BC，∠C＝60°，
∴∠D＝180°－∠C＝120°.∴∠D′＝120°.
?
1 如果两个相似多边形的一组对应边长分别为3 cm
和2 cm，那么它们的相似比是( )
A. B. C. D.
知4－练（来自《典中点》）六边形ABCDEF相似于六边形A′B′C′D′E′F′， 若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则六边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比是( )
A．5∶4 B．4∶5 C．5∶2 D．2∶
1.相似多边形的定义可作为判断两个多边形是否相似
的判定，即在多边形中，只有“边数相同”“角分
别相等”“对应边长度的比相等”这三个条件同时
成立时，才能说明这两个多边形是相似多边形．
2．相似比的值与两个多边形的前后顺序有关．
3．相似比为1的两个相似多边形是全等多边形．
必做：1.完成教材P65 T2
2.补充: 完成《典中点》P50-P51 T5，
T12-T17必做：1.完成教材P65 T2
2.补充: 完成《点拨》P98-P101举一反三
T1-T5课件21张PPT。第二十二章 相似形22.2 相似三角形的判定第3课时 利用边角关系判定
两三角形相似1课堂讲解相似三角形判定定理2，
相似三角形判定定理的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1.两个三角形全等有哪些判定方法?
(SSS,SAS,ASA,AAS定理)2.我们学习过哪些判定三角形相似的方法?
(三角形相似的定理，两角分别相等的两个三角形相似)
1知识点相似三角形判定定理2问 题（一）知1－导利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′,
都等于给定的值k,量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长,它们的比等于k吗?另外两组对应角∠B与∠B′、∠C与∠C′是否相等?
问 题（二）知1－导改变∠A或k值的大小,再试一试,是否具有同样的结论?
知1－讲1.相似三角形的判定定理2：如果一个三角形的两条边与另
一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么
这两个三角形相似(可简单说成：两边成比例且夹角相
等的两个三角形相似)．
数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，
∵ =k，且∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
2. 易错警示：运用该定理证明相似时，一定要注意边角的
关系，角一定是两组对应边的夹角．类似于判定三角形
全等的SAS方法．知1－讲【例1】如图，在正方形ABCD中，
P是BC上的点，且BP＝3PC，
Q是CD的中点．
求证：△ADQ∽△QCP.
要证△ADQ与△QCP相似，已知这两个三角形分别有一个角为直角，只需证明夹这个直角的两条直角边的比相等即可．
导引：知1－讲（来自《点拨》）设正方形ABCD的边长为4a，
则AD＝CD＝BC＝4a，
∵Q是CD的中点，BP＝3PC，
∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.
∴ 2.
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.证明：总 结知1－讲（来自《点拨》）利用三角形两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法：首先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若成比例，则这两个三角形相似，否则不相似．
知1－练（来自《典中点》）已知△ABC如图所示，则与△ABC相似的是( )
知1－练（来自《典中点》）2 能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是( )
A. ，且∠B＝∠B′
B. ，且∠A＝∠C′
C. ，且∠B＝∠A′
D. ，且∠A＝∠B′知1－练
（来自《典中点》）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA
∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )
A．①和②相似
B．①和③相似
C．①和④相似
D．②和④相似
知1－练（来自《典中点》）已知△ABC和△A′B′C′，∠A＝50°，∠A′
＝50°，AB＝8，BC＝15，A′B′＝16，B′C′＝30，请问这两个三角形是否相似？请说明你的理由．
?
?
2知识点相似三角形判定定理的应用知2－讲【例2】〈易错题〉如图，在△ABC中，AB＝16，AC＝8 ，在AC上取一点D，使AD＝3，如果在AB上取点E，
使△ADE和△ABC相似，求AE的长．错解：设AE的长为x.∠DAE与
∠BAC是公共角，要使△ADE
和△ABC相似，则有 ，即 .
解得x＝6.所以AE的长为6.知2－讲错解分析：已知有一对角相等，要使这两个三角形相似，
夹这个角的两边的比必须相等．但两边的对应
关系无法确定，所以应分两种情况考虑．设AE的长为x.∠DAE与∠BAC是公共角，
要使△ADE和△ABC相似，
则有 或者 ，
即 或者 .
解得x＝6或x＝1.5.
所以AE的长为6或1.5.
正解：知2－练（来自《典中点》）如图，已知 ，AD＝3 cm，AC＝6 cm，BC＝8 cm，则DE的长为________cm.
知2－练（来自《典中点》）如图，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，
如果点C在x轴上(C与A不重合)，当点C的坐标为________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(不包括全等)．
知2－练（来自《典中点》）3 (2014·贵阳)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD
的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为( )
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
1．“相似于(∽)”和“谁和谁相似”的区别：虽
然它们都表示两个图形相似，但前者对应关系
固定，后者对应关系不固定．
2．如果已知两个三角形相似，当边的对应关系不
明确时，从对应角入手，相等的角或公共角为
对应角，则夹对应角的两边成比例，根据对
应分两种情况讨论．必做：1.完成教材P80 T1-T2
2.补充: 完成《典中点》P67-P68 T4，T5，T9，
T11-T13必做：1.完成教材P80 T1-T2
2.补充: 完成《点拨》P125 Ⅲ T8，
《点拨》P119-P120举一反三T9，T10课件21张PPT。第二十二章 相似形22.2 相似三角形的判定第2课时 利用角的关系判定
两三角形相似1课堂讲解相似三角形判定定理12课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升根据定义判定两个三角形相似需要哪些条件？能否和判断三角形全等一样，也用很少的条件就能判定三角形相似呢？
知识点相似三角形判定定理1问 题（一）知－导作△ABC与△A1B1C1,使得∠A=∠A1,∠B=∠B1,这时它们的第三个角满足∠C=∠C1吗?分别度量这两个三角形的边长,计算 ,你有什么发现?把你的结果与邻座的同学比较,你们的结论一样吗?△ABC与△A1B1C1相似吗?问 题（二）知－导分别改变这两个三角形边的大小,而不改变它们的角的大小,再试一试,是否有同样的结论?
知－讲1.相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角
分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似(可简单说成：两角分别相等的两个三
角形相似)．
数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.
知－讲2．常见的相似三角形类型：
(1)平行线型：如图 (1)，若DE∥BC，则
△ADE∽△ABC.
(2)相交线型：如图(2)，若∠AED＝∠B，则
△AED∽△ABC.
知－讲(3)“子母”型：如图 (3)，若∠ACD＝∠B，则
△ACD∽△ABC.?
(4)“K”型：如图 (4)，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，
则△ACB∽△DEC，整体像一个横放的字母K，可
以称为“K”型相似．
?
知－讲如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的
延长线于点F，连接AF.
求证：△ABF∽△CAF.
【例1】要证△ABF∽△CAF，∠AFB是公共角，只要再找一对角相等即可，因为∠3＝∠B＋∠1，∠FAD＝∠4＋∠2，根据已知条件可得到∠3＝∠FAD，∠1＝∠2，从而得到∠B＝∠4，可得△ABF∽△CAF.
导引：知－讲（来自《点拨》）证明：∵EF垂直平分AD，
∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠3.
又∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，
∠1＝∠2，
∴∠B＝∠4.
又∵∠BFA＝∠AFC，
∴△ABF∽△CAF.
知－讲【例2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于E，
交CA的延长线于F.
求证：DA2＝DE·DF.如果把等积式DA2＝DE·DF转化为比例式 ，
可以看出这四条线段分别是△ADE与△ADF中的线段，若能证明△ADE∽△FDA，则就能得到所要证明的结论．
导引：知－讲（来自《点拨》）在△ABC中，∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝ BC＝DB，∴∠B＝∠DAB.
∵DF⊥BC于D，∴∠C＋∠F＝90°.
∵∠B＋∠C＝90°，∴∠B＝∠F，
∴∠DAB＝∠F.
又∵∠ADE＝∠FDA，
∴△ADE∽△FDA，∴ ，
∴DA2＝DE·DF.证明：知－练（来自《典中点》）1 如图所示的三个三角形中，相似的是( )
?
A．(1)和(2)
B．(2)和(3)
C．(1)和(3)
D．(1)和(2)和(3)知－练（来自《典中点》）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相
交于点O， 则下列三角形中，与△BOC一定相似的是( )
A．△ABD B．△DOA
C．△ACD D．△ABO
知－练（来自《典中点》）各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似
的是( )
A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，
∠B′＝55°
C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′
D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，
∠A－∠B＝∠A′－∠B′
知－练（来自《典中点》）4 下列所给两个三角形不一定相似的是( )
A．两个等腰直角三角形
B．两个等边三角形
C．两个直角三角形
D．各有一个角是100°的两个等腰三角形
知－练（来自《典中点》）(2015·青海)在平行四边形ABCD中，点E是
边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则 等于( )
A. B.
C. D.
知－练（来自《典中点》）6 (2015·绵阳)如图，D是等边△ABC的边AB上的
一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使
点C与点D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC
和BC上，则CE∶CF＝( )
A. B.
C. D.当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例．找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角(或补角)等．
证明等积式或比例式的一般方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式.1.2.必做：1.完成教材P79 T1-T3
2.补充: 完成《典中点》P65-P66 T5-T8,
T11-T15必做：1.完成教材P79 T1-T3
2.补充: 完成《点拨》P125 Ⅲ T2，T6，T7,
《点拨》P117-P118举一反三T6-T8
课件22张PPT。第二十二章 相似形22.2 相似三角形的判定第4课时 利用三边关系判定
两三角形相似1课堂讲解相似三角形判定定理3、
网格上的相似三角形的判定2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升
1.全等三角形与相似三角形有怎样的关系?
(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比k=1)
2.如果要判定△ABC与△A′B′C′相似,是不是一定需要
一一验证所有的对应角和对应边的关系?
(不需要)
1知识点相似三角形判定定理3知1－导由三角形全等的SSS判定方法,我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么能否判定这两个三角形相似呢?
知1－导探究:
任意画一个三角形,再画一个三角形,使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍,度量这两个三角形的对应角,它们相等吗?这两个三角形相似吗?与同学交流一下,看看是否有同样的结论.
知1－讲相似三角形的判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(可简单说成：三边成比例的两个三角形相似)．
数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，
∵
∴△ABC∽△A′B′C′.
要点精析：由三边成比例判定两个三角形相似的方法与三边对应相等判定三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边对应成比例即可．
知1－讲【例1】在△ABC和△A ′B ′C ′中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由.
(1)AB=5，AC=3,∠A=45°， A ′B ′=10， A ′C ′=6，
∠A ′=45°；
(2) ∠A=38°, ∠C=97°， ∠A ′ =38°，∠B ′ =45°；
（3）AB=2，BC= ,AC= , A ′B ′= ，
B′C ′=1, A ′C ′= .【例1】
知1－讲解：
知1－讲（来自教材）
知1－讲【例2】如图，BC与DE相交于点O.问：
（1）当∠B满足什么条件时，
△ABC∽△ADE?
（2）当AC:AE满足什么条件时， △ABC∽△ADE?分析：从图中可以看出，在△ABC与△ADE中，∠A=∠A,根据三
角形相似的判定定理，只要∠B=∠D或AC:AE=AB:AD,都
有△ABC∽△ADE.解：（1）∵ ∠A=∠A，∴当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE.
（2） ∵ ∠A=∠A，∴当 AC:AE=AB:AD 时，
△ABC∽△ADE. （来自教材）总 结知1－讲（来自《点拨》）要找三角形相似的条件，关键抓住两点：
(1)已知角相等时，找两对对应角相等，若只能找到
一对对应角相等，判断相等的角的两夹边是否对
应成比例；
(2)无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例．
除此之外也可考虑平行线分线段成比例定理及相
似三角形的“传递性”．知1－练（来自教材） 在△ABC中，∠C>∠B,P是边AB上的一点，连接CP.
(1)当∠ACP满足什么条件时， △ACP∽△ABC？
（2）当AP:AC满足什么条件时， △ACP∽△ABC？如图，AE=4cm,AD=3cm,DE=2.4cm, BD=2cm,
CE= cm,求BC的长.知1－练（来自《典中点》）若△ABC和△A′B′C′满足下列条件，其中使△ABC与
△A′B′C′相似的是( )
A．AB＝2.5 cm，BC＝2 cm，AC＝3 cm；A′B′＝3 cm，
B′C′＝4 cm，A′C′＝6 cm
B．AB＝2 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm；A′B′＝3 cm，
B′C′＝6 cm，A′C′＝ cm
C．AB＝10 cm，BC＝AC＝8 cm；A′B′＝ cm，
B′C′＝A′C′＝ cm
D．AB＝1 cm，BC＝ cm，AC＝3 cm；A′B′＝
cm， B′C′＝2 cm，A′C′＝ cm知1－练（来自《典中点》）已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的
一边长为4 cm，当△DEF的另两边是下列哪一组时，这两个三角形相似( )
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm如图，O为△ABC内一点，点D，E，F
分别为OA，OB，OC的中点，
求证：△DEF∽△ABC.
知2－讲2知识点网格上的相似三角形的判定【例3】如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都在格点上，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，为什么？（来自《点拨》）知2－讲解：由于△ABC与△A′B′C′的顶点均在格点上，
根据勾股定理，得知2－练（来自《典中点》）1 如图，四个4×4的正方形网格(每个网格中的小正方
形边长都是1)，每个网格中均有一个“格点三角形
”(三角形顶点在小正方形的顶点上)，是相似三角
形的为( )
A．①③ B．①② C．②③ D．②④知2－练（来自《典中点》）2 (中考·荆州)下列4×4的正方形网格中，小正方
形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，
则与△ABC相似的三角形
所在的网格图形是( )
知2－练（来自《典中点》）3 (中考·菏泽)如图，在边长为1的小正方形组成的网
格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC为直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，
P5中的3个格点并且与△ABC相似并予以证明．利用三边成比例判定三角形相似的“三步骤”
(1)排序：将三角形的边按大小顺序排列；
(2)计算：分别计算它们对应边的比值；
(3)判断：通过比值是否相等判断两个三角形是否相似．必做：1.完成教材P82 T3-T4
2.补充: 完成《典中点》P69-P70 T3,T4,T7-T9,
T11,T13必做：1.完成教材P82T3-T4
2.补充: 完成《点拨》P121举一反三T11，T12课件25张PPT。第二十二章 相似形22.2 相似三角形的判定第5课时 利用斜边直角边判定
两直角三角形相似1课堂讲解用斜边直角边判定直角三角形相似、
判定三角形相似的综合应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升
请同学们叙述“勾股定理”.1知识点用斜边直角边判定直角三角形相似知1－导在判定两个直角三角形全等时，除根据一般三角形全等判定定理外，还有“HL”方法，类似地，要判定两个直角三角形相似，除了上面一般三角形相似的三个判定定理外，是否也有特殊方法呢？知1－导已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′中，∠C=
∠C ′=90°，
求证： Rt△ABC∽Rt△A ′ B ′ C ′.※知1－导证明：此例可作为判定两个直角三角形相似的依据.知1－讲1.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形
的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和
一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
数学表达式：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∵∠C＝∠C′＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
知1－讲2．拓展：
(1)有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
(2)有两组直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
要点精析：直角三角形相似的判定方法：
有一锐角对应相等
有两组直角边对应成比例
有斜边与一直角边对应成比例两个直角三角形相似知1－讲【例1】如图，∠ABC=∠CDB=90°，CB=a,AC=b,问
当BD与a,b之间满足怎样的函数表达式时，以
点A,B,C为顶点的三角形与以点C,D,B为顶
点的三角形相似？知1－讲（来自教材）解：∠ABC=∠CDB=90°， 为顶点的三角形与以点C,D,B为顶点的三角形相似.知1－讲【例2】在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )
A．∠A＝55°，∠D＝35°
B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
C知1－讲导引：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．
A．∵∠A＝55°，∴∠B＝90°－55°＝35°.
∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D.
又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△EDF；
B．∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，
∴
又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△DEF；
知1－讲（来自《点拨》）C.条件中有一组角相等且两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不能判断两三角形相似；
D．∵AB＝10，AC＝8，
∴由勾股定理可得BC＝6.
又DE＝15，EF＝9，
∴
又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△DEF.总 结知1－讲（来自《点拨》）判定两直角三角形相似可以用的判定方法：
一个锐角对应相等，两组直角边对应相等，两组直角
边对应成比例，斜边和一直角边对应成比例知1－练（来自教材）在Rt△ABC和Rt△A ′ B ′ C ′中，∠C=∠C ′=90°,
当具有下列条件时，这两个直角三角形是否相似，
为什么？
（1）AB=10cm, AC=8cm, A ′ B ′ =15cm, B ′ C ′ =9cm;
(2) AB=5cm, AC=4cm, A ′ C ′ =12cm, B ′ C ′ =9cm.知1－练（来自《典中点》）在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，
AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝_____时,△ABC∽△A′B′C′.
如图，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，要使△ABC∽△CAD，只要CD＝( )
A. B.
C. D.
2知识点判定三角形相似的综合应用知2－讲【例3】如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F.
求证：AC·CF＝BC·DF.
知2－讲将待证的等积式化为比例式 ，横看：比例式的两个分子有A，C，D，F四点，不能构成三角形；竖看：比例式的左端构成△ABC，比例式的右端构成△DCF，很明显看出这两个三角形不相似，故需要找一个中间比来联系 .
导引：知2－讲证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，
∴CE＝EB＝DE.∴∠B＝∠BDE＝∠FDA.
∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD.∴∠FDA＝∠ACD.
又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD.
∴
∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD.∴ .∴
即AC·CF＝BC·DF.总 结知2－讲（来自《点拨》）“三点定形法”是证明线段等积式或比例式中找相似三角形的最常用且最有效的方法，即就是设法找出比例式或等积式中(或转化后的式子中)所蕴含的几个字母，是否存在可由“三点”确定的两个相似的三角形．
而导引中“横看”与“竖看”是“三点定形法”找相似三角形的常用方法，要做到“一比两用”知2－练（来自《典中点》）如图，在矩形ABCD中，长BC＝12 cm，宽AB＝8 cm，P，Q分别是AB，BC上运动的两点．若点P自点A出发，以1 cm/s的速度沿AB方向运动，同时，点Q自点B出发，以2 cm/s的速度沿BC方向运动，经过几秒，以P，B，Q为
顶点的三角形与△BDC相
似？(Q到达C点后，点P，
Q同时停止运动)知2－练（来自《典中点》）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D，E在BC上，
且AB＝BD＝DE＝EC.
(1)求证：△ADE∽△CDA；
(2)求∠DEA＋∠DCA的度数．
“三点定形法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、比例式求线段长中找相似三角形的最常用的方法，即设法找出比例式或等积式(或变化后的式子)中所包含的几个字母，看是否存在可由“三点”确定的两个相似三角形．它通常通过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形，横看：即看两比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中；竖看：即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三角形中．必做：1.完成教材P84 T1，T2，T4
2.补充: 完成《典中点》P71-P72 T6-T9必做：1.完成教材P84 T1，T2，T4
2.补充: 完成《点拨》P122-P123举一反三T13，
T14, 《点拨》P123-P124举一反三T1，
T2
课件22张PPT。第二十二章 相似形22.2 相似三角形的判定第1课时 相似三角形及平行
线截相似三角形1课堂讲解相似三角形及相关概念、
平行线判定两三角形相似2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升根据相似三角形的定义,三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.那么,两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢?能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件呢?
1知识点相似三角形及相关概念知1－讲1.定义：如果两个三角形中，三个角分别相等，三条边
成比例，那么这两个三角形相似．
数学表达式：如图，
在△ABC和△A′B′C′中，
?△ABC∽△A′B′C′.知1－讲要点精析：
(1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相等，
三条边成比例；
(2)两个三角形相似又为解题提供了条件；
(3)相似三角形具有传递性：即若△ABC∽△A′B′C′，
△A′B′C′∽△A″B″C″，△ABC∽△A″B″C″；
(4)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角
形可以看作是相似比是1的相似三角形．知1－讲2．易错警示：
(1)表示两个三角形相似时，要注意对应性，即要
把对应顶点写在对应的位置上．
(2)求两个相似三角形的相似比，要注意顺序性．
若当△ABC∽△A′B′C′时，
则△A′B′C′∽△ABC时，
?
知1－讲【例1】如图，在△ABC中，DE∥BC.
(1)求 的值；
(2)△ADE与△ABC相似吗？
为什么？导引：(1)直接利用线段的长度求它们的比值；
(2)抓住两个条件判断：①三条边成比例；②三
个角分别相等．
知1－讲（来自《点拨》）解：(1)由图形可知AB＝9，AC＝6.
∴
(2)△ADE与△ABC相似．理由是：
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
由(1)知，
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.知1－讲【例2】如图，已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D.求：
(1)△OAC与△OBD的相似比；
(2)BD的长．
导引：(1)由△OAC∽△OBD及∠C＝∠D，可找出两个
三角形的对应边，即可求出相似比；
(2)根据相似三角形对应边的比相等，可以列出
比例式求出BD的长．知1－讲解：(1)∵△OAC∽△OBD，∠C＝∠D，
∴线段OA与线段OB是对应边，
则△OAC与△OBD的相似比为
(2)∵△OAC∽△OBD，
∴
∴
?
总 结知1－讲相似三角形的定义具有两重性，即：如果两个三角形的三个角分别相等且三条边成比例，则这两个三角形相似；反之，如果两个三角形相似，则它们的对应角相等且对应边的比相等．因此相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法．警示：求相似比时，不要忽视相似比的顺序性．知1－练（来自《典中点》）1下列说法中错误的是( )
A．两个全等三角形一定相似
B．两个直角三角形一定相似
C．两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例
D．相似的两个三角形不一定全等
知1－练（来自《典中点》）如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A
＝60°，则∠C等于( )
A．40° B．60°
C．80° D．100°3 (2014·重庆)如图，△ABC∽△DEF，相似比为
1∶2.若BC＝1，
则EF的长是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
知2－讲2知识点平行线判定两三角形相似1.用平行线判定三角形相似的定理：平行于三角形
一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，
截得的三角形与原三角形相似．
数学表达式：如图，∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE.
知2－讲要点精析：
根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有BC∥DE，图(1)(2)很像大写字母A，故我们称之为“A”型相似；图 (3)很像大写字母X，故我们称之为“X”型相似(也像阿拉伯数字“8”)．
2．作用：本定理是相似三角形判定定理的预备定理：
它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、
对应边成比例．
知2－讲【例3】如图，P是?ABCD的边BC延长线上一点，AP分别交BD和CD于点M和N.
求证：AM2＝MN·MP.
导引：要证等积式AM2＝MN·MP，一般化为比例式
.结合?ABCD中所含平行线可得：
AB∥DN?△AMB∽△NMD? ；
AD∥BP?△BMP∽△DMA? .
再将比例式化为等积式即可得证．知2－讲证明：∵AB∥DN，
∴△AMB∽△NMD，
∴
又∵AD∥BP，
∴△BMP∽△DMA，∴
∴ , ∴AM2＝MN·MP.
知2－练（来自《典中点》）1 (2015·海南)如图，点P是?ABCD的边AB上一点，
射线CP交DA的延长线于点E，
则图中相似的三角形有( )
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
2 如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角
线AC、边AD分别交于点E和F，
过点E作EG∥BC，交AB于点G，
则图中的相似三角形有( )
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
知2－练（来自《典中点》）3 (2015·毕节)在△ABC中，DE∥BC，AE∶EC＝
2∶3，DE＝4，则BC等于( )
A．10 B．8 C．9 D．6
?
4 (2015·恩施州)如图，在平行四边形ABCD中，
EF∥AB交AD于E，交BD于F，
DE∶EA＝3∶4，EF＝3，
则CD的长为( )
A．4 B．7 C．3 D．12 利用平行线证比例式或等积式的方法：当比例式或等积式中的线段不在平行线上时，可直接利用平行线分线段成比例定理证明；当比例式或等积式中的线段有的在平行线上时，可直接利用平行线截三角形相似的对应边成比例证明；当比例式或等积式中的线段不是对应线段时，利用转化思想，用等线段、等比例、等积替换进行论证．必做：1.完成教材P78练习
2.补充: 完成《典中点》P63-P64 T4，T5，
T10-T16必做：1.完成教材P78练习
2.补充: 完成《点拨》P125 Ⅲ T1，
《点拨》 P113-P116举一反三T1-T5课件28张PPT。第二十二章 相似形22.3 相似三角形的性质1课堂讲解相似三角形对应线段的比、相似三角形
周长的比、相似三角形面积的比2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1.相似三角形的判定方法有哪些?
2.相似三角形有哪些性质?
3.三角形有哪些相关的线段?
1知识点相似三角形对应线段的比知1－导下面，我们以对应高的比为例，证明如下.
※已知，如图，△ABC∽△A ′ B ′ C′,
它们的相似比为k,AD ,A ′D′是对
应高.求证： 你能否证明：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比.知1－导证明：知1－讲1.(1)相似三角形对应高的比等于相似比．
(2)相似三角形对应中线的比等于相似比．
(3)相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
2．二级结论：相似三角形对应线段的比等于相似比．
3．易错警示：利用相似三角形的性质时，要注意“对
应”两字，要找准对应线段．
?
知1－讲（来自《点拨》）【例1】〈探究题〉如图，在△ABC中，DE∥BC，AF为高，
AD∶AB＝1∶3，则AG∶AF＝________．导引：因为DE∥BC，
所以△ADE∽△ABC.
又AF为△ABC的高，
所以AG是△ADE的高，
所以
1∶3知1－讲（来自《点拨》）【例2】如果两个相似三角形对应角平分线的比是2∶3，那么它们对应高的比是________．
导引：∵两个相似三角形对应角平分线的比是2∶3，
∴它们的相似比是2∶3，
∴它们对应高的比是2∶3.2∶3知1－练（来自教材）已知： △ABC∽△A ′ B ′ C′, BC=3.6cm,
B ′ C′=6cm,AE是△ABC的一条中线，AE=2.4cm，
求△ A ′ B ′ C′中对应中线A ′ E ′ 的长.（来自《典中点》）2 (2015·重庆)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与
△DEF的相似比为2∶3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为________．
知1－练（来自《典中点》）3 (2015·柳州)如图，矩形EFGH内接于△ABC，且
FG落在BC上，若BC＝3，AD＝2，EF＝ EH，
那么EH的长为________．
2知识点相似三角形周长的比知2－导问 题如果两个三角形相似,它们的周长之间是什么关系?如果是两个相似多边形呢?设△ABC∽△A1B1C1,相似比为k, 那么
=k,由等比性质，得知2－讲相似三角形周长的比等于相似比．
要点精析：
(1)相似三角形周长的比等于相似比是利用等比性
质得到的．
(2)利用相似三角形的周长比与相似比的关系可以
进行有关边长、周长或比值的计算．
注意：周长的比的顺序要和对应边的比的顺序一致．知2－讲【例3】在△ABC中，AB＝12 cm，BC＝18 cm，AC＝24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长．导引：根据相似三角形周长的比等于相似比，可知
△ABC与△A′B′C′的相似比为 ，
由此根据△ABC的各边长可求出△A′B′C′的各
边长．
知2－讲解：∵在△ABC中，AB＝12 cm，
BC＝18 cm，AC＝24 cm，
∴△ABC的周长为54 cm，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为 ，
∴
∴A′B′＝18 cm，B′C′＝27 cm，
C′A′＝36 cm.
（来自《点拨》）知2－练（来自《典中点》）如图，在?ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝ EC，
BD，AE交于F点，则△BEF与
△DAF的周长之比为________．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
3知识点相似三角形面积的比知3－导问 题如图,△ABC∽△A1B1C1,相似比为k1,它们的对应高的比是多少?它们的面积比是多少?
知3－导通过前面的学习,我们得到了相似三角形的性质1:
相似三角形对应高的比等于相似比.
∴ .
由上述结论,我们有:
知3－讲1. 相似三角形面积的比等于相似比的平方；反之，
相似三角形的相似比等于面积比的算术平方根．
2．易错警示：在利用相似三角形的性质解决问题
时，常出现面积比等于相似比或由面积比求相似
比时不进行开方，反而平方的错误．为了避免这
些错误，在利用相似三角形的性质解题时，一定
要注意结合图形，搞清面积比与相似比的关系．知3－讲【例4】如图，△ABC的面积为25，直线DE平行于BC分别交AB,AC于点D,E,如果△ADE的面积为9，求 的值.解：（来自教材）知3－讲【例5】如图，在?ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝ EC，BD，AE相交于F点．
(1)求△BEF的周长与△AFD的周长之比；
(2)若△BEF的面积为6 cm2，求△AFD的面积．导引：(1)求△BEF与△AFD的周长之
比，先判定这两个三角形相似，
然后找它们的相似比；(2)在(1)的
条件下，利用面积比等于相似比的
平方即可求．知3－讲解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD.∴△BEF∽△DAF.
∵BE＝ EC，
∴BE∶DA＝BE∶BC＝1∶3.
∴△BEF的周长与△AFD的周长之比为1∶3.
(2)由(1)可知△BEF与△AFD的相似比为 ，
∴S△BEF∶S△AFD＝1∶9.
又∵S△BEF＝6 cm2，∴S△AFD＝54 cm2.总 结知3－讲（来自《点拨》） 利用相似比求周长和面积时，先判定两个三角形相似，然后找准相似比，再利用“相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”解题．
警示：不要误认为面积的比等于相似比．
知3－练（来自《典中点》）已知：在△ABC中，BC=120mm,边BC上的高为80mm.在
这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在BC上，另两个顶点分别在边AB,AC上，问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？（来自教材） 2 (2015·贵阳)如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，
那么这两个相似三角形面积的比是( )
A．2∶3 B. C．4∶9 D．8∶27
知3－练（来自《典中点》） 3 (2015·酒泉)如图，D、E分别是△ABC的边
AB、BC上的点，DE∥AC，
若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，
则S△DOE∶S△AOC的值为( )
A. B.
C. D.
知3－练（来自《典中点》）4 (2015·甘南州)如图，在平行四边形ABCD中，E是AB
的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，
△OEB的面积为 ，则下列结论中正确的是( )
A．m＝5 B．m＝4
C．m＝3 D．m＝10
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、
对应角平分线)的比等于相似比.
3.相似三角形周长的比等于相似比.
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
必做：1.完成教材P90 T3,T4
2.补充: 完成《典中点》P76-P77 T3,T4,T7,
T11-T13,T15,T17必做：1.完成教材P90 T3,T4
2.补充: 完成《点拨》P132-P133Ⅲ T1-T7,T9,
T10,T13,T14课件33张PPT。第二十二章 相似形22.4 图形的位似变换22.4.1 图形的位似变换1课堂讲解位似图形的定义、位似图形的性质、位似图形的作图2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升生活中我们经常把照片放大或缩小,由于没有改变图形的形状,我们得到的照片是真实的. 1知识点位似图形的定义问 题观察下图,图中有多边形相似吗?如果有,那么这种相似有什么共同的特征?知1－导知1－讲1.两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边
互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心 ．
要点精析：(1)位似图形必须同时满足：①两个图形是相似图形；
②两个相似图形的每组对应点的连线都经过同一点；二者缺一不可．
(2)位似中心可能在两个位似图形的一侧，也可能在两个位似图形之
间．(3)常见的位似构成如图所示：（来自《点拨》）知1－讲2．位似与相似的关系：(1)相似仅要求两个图形形状完全
相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线相交
于一点．(2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必
是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因
此位似是相似的特殊情况．
3．易错警示：(1)位似图形一定是相似图形，相似图形不一
定是位似图形．(2)位似图形可能在位似中心的同侧，也可
能在位似中心的两侧，因此作一个图形关于某点的位似图
形时位似图形往往有两个．知1－讲【例1】 判断如图所示的各图中的两个图形是否是位似图形，
如果是，请指出其位似中心．（来自《点拨》）知1－讲
解：(1)是位似图形，位似中心为点A；
(2)是位似图形，位似中心为点P；
(3)不是位似图形；
(4)是位似图形，位似中心为点O；
(5)不是位似图形．
总 结知1－讲（来自《点拨》）判断两个图形是否为位似图形的方法：首先看这两个图形
是否相似，然后看对应顶点的连线是否交于一点．知1－讲【例2】 找出如图所示的位似图形的位似中心．导引：连接对应顶点，对应顶点连线的交点就是位似中心．（来自《点拨》）知1－讲
解：如图，点P1，P2，P3即为所求的位似中心．总 结知1－讲（来自《点拨》）确定位似图形的位似中心时，要认真观察图形，寻找
对应定点，然后经过每组对应顶点作直线，它们的交
点即为位似中心.注意：实际作图时，只需找出两组对
应顶点连线即可.1 图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )
知1－练（来自《典中点》）A．点M B．点N
C．点O D．点P2如图，在下列四种图形变换中，该图案不包括的变换
是( )
A．平移 B．轴对称
C．旋转 D．位似3 知1－练（来自《典中点》）利用位似图形将一个图形放大或缩小时，首先要选取一
点作为位似中心，那么位似中心可以在( )
A．图形外
B．图形内
C．图形上
D．以上都可以知1－练（来自《典中点》）4如图，在正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上顺次
截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′，根据所学知识，我们知道
四边形A′B′C′D′也是正方形，且正方形A′B′C′D′相似于
正方形ABCD，其中点A与A′，点B与B′，点C与C′，点
D与D′是对应顶点，那么这两个正方形是位似图形吗？
如果是位似图形，请找出位似中心；
如果不是位似图形，请说明理由．2知识点位似图形的性质知2－讲1. 位似图形对应顶点的连线必过位似中心．
2．位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
3．位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对应线段之比
相等．
4．两个图形位似，则这两个图形必相似，其相似比等于位似比，
周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方．
注：利用位似图形的性质可将图形放大或缩小．（来自《点拨》）知2－讲【例3】（广西玉林）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且
△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，已知△ABC
的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
导引：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与
△A′B′C′的位似比是1∶2，
∴△ABC与△A′B′C′相似，且相似比为1∶2.
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1∶4.
∵△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积是12. D（来自《点拨》）总 结知2－讲（来自《点拨》）两个图形位似，则这两个图形相似，所以相似图形的性
质，位似图形都满足，可以直接运用．知2－练1(2015·兰州)如图，线段CD两个端点的坐标分别为C
(1，2)、D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放
大得到线段AB，若点B的坐标为(5，0)，则点A的坐
标为( )
A．(2，5) B．(2.5，5)
C．(3，5) D．(3，6)（来自《典中点》）2 (2015·咸宁)如图，以点O为位似中心，将△ABC放
大得到△DEF，若AD＝OA，则△ABC与△DEF的面
积之比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶5 D．1∶6知2－练（来自《典中点》）知2－练3如图，已知△DEO与△ABO是位似图形，△OEF与
△OBC是位似图形．
求证：OD·OC＝OF·OA.（来自《典中点》）知3－讲3知识点位似图形的作图画位似图形的步骤：
第一步：确定位似中心O(位似中心可以在图形外部，也可以
在图形内部，还可以在图形的边上，还可以在某一
个顶点上)；
第二步：画出图形各顶点与位似中心O的连线；
第三步：按相似比取点；
第四步：顺次连接各点，所得的图形就是所求的图形．（来自《点拨》）知3－讲要点精析：
(1)位似中心的选取要使画图方便且符合要求，一般以多边
形的一个顶点为位似中心画图最简便．
(2)画位似图形时，要弄清相似比，即分清是已知图形与新
图形的相似比，还是新图形与已知图形的相似比．
(3)一般情况下，画已知图形的位似图形的结果不唯一．知3－讲【例4】把四边形ABCD放大为原来的2倍（即新图与原图的相似比
为2）.解：如图.
（1）在四边形ABCD所在平面内任取一点O；
（2）以点O为端点作射线OA,OB,OC,OD；
（3）分别在射线OA,OB,OC,OD上取点A′，B′，C′，
D′，使
（4）连接A′B′，B′C′，C′D′，
D′A′.所得四边形A′B′C′D′
即为所求.知3－讲 本题还可按如图的方法作图.
（1）在四边形ABCD所在平面内任取一点O；
（2）分别以点A,B,C,D为端点作射线AO,BO,CO,DO；
（3）分别在射线AO,BO,CO,DO上取点A′，B′，C′，D′，使
（4）连接A′B′，B′C′，
C′D′，D′A′. 所得
四边形A′B′C′D′即
为所求.（来自教材）知3－讲【例5】（开放题）画一个三角形，使它与如图所示的△ABC
位似，且原三角形与所画三角形的相似比为2∶1.导引：画位似图形首先要选取一点为位
似中心，由于该题没有限制位似
中心，因此可以自由选取，答案
也就不唯一了．（来自《点拨》）知3－讲
解：情况一：如图(1)(位似图形法)，任取一点O；连接OA，OB，
OC；分别取OA，OB，OC的中点A′，B′，C′，连接
A′B′，B′C′，C′A′得到△A′B′C′，则△A′B′C′
即为所求．
情况二：如图(2)(平行截取法)，取AB的中点D，过点D作
DE∥BC交AC于点E，则△ADE即为所求．
情况三：如图(3)(反向延长法)，延长AC到A′，使CA′＝ AC，
延长BC到B′，使CB′＝ BC，连接A′B′，则△A′B′C就
是所求的三角形.总 结知3－讲（来自《点拨》）位似图形变换的特征要扣住“一个中心，两个基本点”，
“一个中心”为位似中心，“两个基本点”为两个对应的
点．已知位似中心作位似变换时，应注意分“内似”(位似
中心在两个图形的中间)和“外似”(位似中心在两个图形的
同侧)两种情况．下面是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的
有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知3－练（来自《典中点》）12 在平面直角坐标系中，有两点A(4，2)，B(3，0)，以原点
为位似中心，A′B′与AB的相似比为 ，得到线A′B′.
正确的画法是( )知3－练（来自《典中点》）1.位似图形的概念:如果两个图形不仅是相似图形,而且每
组对应点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样
的两个图形叫做位似图形.
2.位似的作用:利用位似可以将一个图形放大或缩小.
3.位似图形的画法.必做：1.完成教材P97练习
2.补充：《典中点》P78-P79T4，T7，T11，
T12，T14必做：1.完成教材P97练习
2.补充：《点拨》P143-P145ⅢT1-T6，T8，
T9，T11-T13课件18张PPT。第二十二章 相似形22.4 图形的位似变换22.4.2 阅读与思考——平面直角坐
标系中图形的位似变换1课堂讲解平面直角坐标系中的位似变换、
位似在坐标系中的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升1知识点平面直角坐标系中的位似变换1.在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似
比为k(k＞0)，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k，即若
原图形的某一顶点坐标为(x0，y0)，则其位似图形对应顶点的坐标
为(kx0，ky0)或(－kx0，－ky0)．
注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比．
2．位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别：位似、
平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在
于：平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换，而位似变换是
相似变换．知1－讲知1－讲在平面直角坐标系中，把一个图形进行平移、轴对称、旋转和位似变换，其对应点的坐标都有各自的变化规律：
(1)平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位；
(2)轴对称变换，以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵
坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则纵坐标相等，横坐标互
为相反数；
(3)在旋转变换中，一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个
图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数；
(4)位似变换中，当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对
应点的同名坐标之比的绝对值等于相似比．
知1－讲要点精析：
(1)当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k； 当
位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标的比为－k.
(2)当k＞1时，图形扩大；当0＜k＜1时，图形缩小．知1－讲【例1】如图，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为
(3，－1)，(2，1)．
(1)画出以O点为位似中心，在y轴的左侧将△OBC放大
为原来的两倍(即新图与原图的相似比为2)的位似
图形△OB′C′；
(2)分别写出B，C两点的对应点
B′，C′的坐标；
(3)如果△OBC内部一点M的坐标为
(x，y)，试写出M的对应点M′的坐标．导引：本题是一道在平面直角坐标系内画位似图形及求对应点的坐标
的题，根据相似比为2，可延长BO到B′，使B′O＝2BO，延长
CO到C′，使C′O＝2CO，连接B′C′，则△OB′C′即为所
求作的位似图形，进一步可以求得B′，C′，M′三点的坐标．
解：(1)延长BO到B′，使B′O＝2BO，延长CO到C′，使C′O＝
2CO，连接B′C′，则△OB′C′
即为△OBC的位似图形(如图)．
(2)B′点的坐标为(－6，2)，C′点的
坐标为(－4，－2)．
(3)点M′的坐标为(－2x，－2y)．（来自《点拨》）知1－讲总 结知1－讲（来自《点拨》）在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，
相似比为k(k＞0)，那么位似图形对应点的坐标的比等于k
或－k.若原图中一点的坐标为(x0，y0)，则其对应点的坐
标为(kx0，ky0)或(－kx0，－ky0)．知1－练（来自《典中点》）1(2015·辽阳)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，
建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似
中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，
则点P的坐标为( )
A．(0，0) B．(0，1)
C．(－3，2) D．(3，－2)2 (2015·宜宾)如图，△OAB与△OCD是以点O为位
似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝
90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为( )
A．(1，2)
B．(1，1)
C．( ， )
D．(2，1)知1－练（来自《典中点》）知1－练（来自《典中点》）3(2015·十堰)在平面直角坐标系中，已知点A(－4，2)，
B(－6，－4)，以原点O为位似中心，相似比为 ，
把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是( )
A．(－2，1) B．(－8，4)
C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1)4 (2015·齐齐哈尔)如图，在边长为1个单位长度的小正方形
网格中；
(1)画出△ABC向上平移6个单位长度，再向右平移5个单位
长度后的△A1B1C1.
(2)以点B为位似中心，将△ABC放大
为原来的2倍，得到 △A2B2C2，请
在网格中画出△A2B2C2.
(3)求△CC1C2的面积．知1－练（来自《典中点》）2知识点位似在坐标系中的应用知2－练如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是
(－1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，所得到的图形是△A′B′C.
设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )
A．－ a B．－ (a＋1)
C．－ (a－1) D．－ (a＋3)1（来自《典中点》）2 如图，在平面直角坐标系中，有一条“鱼”，它有六个顶点，
则( )
A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的“鱼”与原来的
“鱼”位似
B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，
得到的“鱼”与原来的“鱼”位似
C．将各点横，纵坐标都乘以2，得到
的“鱼”与原来的“鱼” 位似
D．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以 ，
得到的“鱼”与原来的“鱼”位似知2－练（来自《典中点》）3 (2015·抚顺)如图，将△ABC在网格中(网格中每个小正方形的
边长均为1)依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得
到△A3B3C3.
(1)△ABC与△A1B1C1的位似比等于________；
(2)在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴
对称图形△A2B2C2；
(3)请写出△A3B3C3是由△A2B2C2怎样平
移得到的？
(4)设点P(x，y)为△ABC内一点，依次经过上
述三次变换后，点P的对应点的坐标为________．知2－练（来自《典中点》）图形变换的种类：
(1)全等变换：全等变换不改变图形的大小与形状，全等
变换包括平移、旋转、轴对称．
(2)相似变换：相似变换改变图形的大小，不改变图形的
形状．必做：1.完成教材P98练习
2.补充：《典中点》P80-P81T4，T5，T8，
T10，T12必做：1.完成教材P98练习
2.补充：《点拨》P139-P140举一反三T6，T7，《点拨》P143-P146ⅢT10，T14，T16课件21张PPT。第二十二章 相似形22.5 综合与实践 测量
与误差 名师点金利用相似三角形解决实际问题的方法：
(1)利用太阳光线平行构造相似三角形，利用同一时刻
物高与影长成比例构造比例式；画数学图形找相似三角形解决实际问题．
(2)没有相似三角形时可以构造直角三角形．
(3)对于不易测量的长度或高度，可以转化为易测量的
对应线段，通过对应线段成比例来计算．1类型 利用光照的影子测量如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆
的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正
好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，
BC＝8.0米，则旗杆的高度是( )
A．6.4米 B．7.0米
C．8.0米 D．9.0米C2．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼 前的一棵树
的高度，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的
影长是0.8 m，但当她马上测量树的影子时，发现树的
影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙
壁上(如图)，她先测得留在墙壁上的影高1.2 m，又测
得地面上的影长为2.6 m，请你帮她
算一下，树高是( )
A．3.25 m B ．4.25 m
C．4.45 m D．4.75 mC点拨：如图，设BD是BC在地面上
的影子，树高为x m，根据竹竿的
高与其影长的比值和树高与其影长
的比值相同，得 ＝ ，而CB
＝1.2 m，∴BD＝0.96 m.
∴树在地面上的实际影长是0.96＋2.6＝3.56(m)．
又∵竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，∴
∴x＝4.45.∴树高是4.45 m.3．(2015·陕西)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小
聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高
AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，
BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出
小军的身高BE.(结果精确到0.01米)解：由题意得∠CAD＝∠MND＝90°，
∠CDA＝∠MDN，
∴△CAD∽△MND.∴
∴
∴MN＝9.6米．
又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，
∴△EFB∽△MFN.∴
∴
∴EB≈1.75.∴小军的身高BE约为1.75米．4. (2015·镇江)某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B
两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他(EF)在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他(GH)在同一灯光下的影长为BH(点C，E，G在一条直线上)．(1)请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于
点F时在这个灯光下的影长FM(不写画法)；
(2)求小明原来的速度．
解：(1)如图．
(2)设小明原来的速度为x米/秒，
则CE＝2x米，AM＝AF－MF＝(4x－1.2)米，EG＝2×1.5x＝3x米，BM＝AB－AM＝12－(4x－1.2)＝(13.2－4x)米，
∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，
∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，∴
∴ 即 解得x＝1.5，
经检验x＝1.5为方程的解，
∴小明原来的速度为1.5米/秒．
答：小明原来的速度为1.5米/秒．
（1）利用中心投影的定义画图（2）设小明原来的速度为x米/秒，则CE＝2x米，AM＝AF－MF＝(4x－1.2)米，EG＝2×1.5x＝3x米，BM＝AB－AM＝12－(4x－1.2)＝(13.2－4x)米，根据相似三角形的判定方法得到∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，则
所以 即 然后解方程解决
2类型利用镜子反射测量5．(2015·天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测
量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是________米8 6. 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学
校数学兴趣小组做了如下的探索，根据光的反射定律，
利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案，
把一面很小的镜子水平放置在离树底(B)8.4米的点E处，
然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树
梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3.2米，观察者目高CD＝
1.6米，则树(AB)的高度为( )
A．4.2米 B．4.8米
C．6.4米 D．16.8米
A3类型利用测量工具测量7. (2015·新疆)如图，李明打网球时，球恰好打
过网，且落在离网4 m的位置上，则网球拍击球的高度h为________．1.1m8．(2014·潍坊)如图，某水平地面上建筑物的高度为AB,
在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高为________米．549．(2015·邵阳)如图，某校数学兴趣小组利用自制的
直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m，求旗杆的高度．
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，则 ，
∵DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，DC＝20 m，
∴
解得AC＝10 m，故AB＝AC＋BC＝AC＋DG＝
10＋1.5＝11.5(m)，
答：旗杆的高度为11.5 m.10．如图，我们想要测量河两岸相对的两点A，B之
间的距离(即河宽)，你有什么方法？方案1：如图①，构造全等三角形．在
河岸边作BC⊥AB，在BC上取一点O，使BO＝OC，连接AO并延长，过C作BC的垂线交AO的延长线于点D，则△ABO≌△DCO，所以AB＝CD.测量出CD的长，即可得到河宽AB.解：使BO＝2OC，连接AO并延长，过C作BC的垂线交AO的延长线于点D，则△ABO∽△DCO，所以
即AB＝2CD.测量出CD的长，即可求出河宽AB.
方案2：如图②，构造相似三角形．在河岸边作BC⊥AB，在BC上取一点O，11．某中学平整的操场上有一根旗杆(如图)，一数学兴趣
小组欲测量其高度，现有测量工具(皮尺、标杆)可供选用，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案,要求：
(1)画出你设计的测量平面图；
(2)简述测量方法，并写出测量的
数据(长度用a，b，c…表示)．
(1)如图，沿着旗杆(AB)的影子BE
竖立标杆，使标杆影子的顶端
正好与旗杆影子顶端重合．
(2)用皮尺测量旗杆的影长BE＝a米，标杆CD的影长
DE＝b米，标杆高CD＝c米．根据△EDC∽△EBA，
得 即
所以AB＝ 米．即旗杆AB的高为 米．
解：
