2026年中考数学一轮复习 图形的对称（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
中考数学一轮复习 图形的对称
一．选择题（共10小题）
1．（2025 武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上．若∠A＝34°，则∠ADE的大小是（　　）
A．35° B．37° C．39° D．41°
3．（2025 罗山县一模）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（2025 台湾）如图方格纸网格线上的八条等长线段形成一个线对称图形．图中有四条线段标示上号码，判断擦去下列哪个选项中的两条线段后，剩下的图形不是线对称图形？（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
5．（2025 武侯区校级模拟）若点P（3，a﹣2）和点Q（3，﹣2）关于x轴对称，则a的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
6．（2025 鸡西一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点F为边AB上一点且BF：AF＝1：3，点E为边AD上一点，将矩形沿过点E的直线折叠，使点D落在边AB上的点F处，则折痕EH的长度为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 广州）如图，⊙O的直径AB＝4，C为中点，点D在BC上，，点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是（　　）
A．2 B．2+2 C．3 D．4+4
8．（2025 海口一模）如图，将△ABC沿DE翻折，折痕DE∥BC，若∠BDA＝40°，则∠B＝（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
9．（2025 栖霞区校级三模）如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在BC上，将 ABCD沿AE翻折，点B恰好落在DE上的点F处，若AE＝AB，则BE的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
10．（2025 磁县校级三模）在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在AB上，点E在AC上且，连接ED，将△AED沿ED翻折到Rt△ABC的内部，得到△A′ED，连接A′B．则tan∠A′BD＝（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 鸡西一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，点P是矩形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是　 　 ．
12．（2025 万山区三模）如图，在 ABCD中，∠C＝60°，AB＝6，BC＝8．E为边CD上的一点，DE＝2，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D'EF，连接AD'、BD'，则△ABD'面积的最小值为　 　 ．
13．（2025 太康县三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是线段BC上的动点，将△ABE沿直线AE翻折，得到△AB′E，F是DC上一点，且DF＝2，连接AF，B′F，当△AB′F是直角三角形时，BE的长为　 　 ．
14．（2025 武安市二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，D是边BC上靠近点C的三等分点，且满足AD⊥AB，点B'是点B关于直线AD的对称点，则线段B'C的长为　 　 ．
15．（2025 前进区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，点D为BC的中点，点E为AB上一点，把△BDE沿DE翻折得到△FDE，若FE与△ABC的直角边垂直，则BE的长为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 金凤区模拟）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图中的△ABC是一个格点三角形，请你在下面四张图中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并用虚线标出它们的对称轴（要求画出的四个格点三角形互不相同）．
17．（2025 裕华区校级二模）在综合实践活动课上，同学们开展了对特殊四边形的研究．
（1）嘉嘉同学将平行四边形纸片ABCD沿EF、GH剪开（F、H分别是边AD、BC的中点，∠DEF＝∠BGH＝90°，如图（1）所示，将三块纸片重新拼接后，能拼成矩形．若AB＝10，GH＝2，∠B＝45°，求A，C之间的距离．
（2）淇淇同学对菱形进行研究：如图（2），在菱形纸片ABCD中，∠C＝60°，点E是该菱形对角线的交点．将纸片中△ABE剪掉后，形成凹五边形AEBCD，请你帮助淇淇完成：画一条直线，使沿着这条直线剪开凹五边形纸片后，能拼成平行四边形或者拼成矩形．（画图要求：在图（2）中画出裁剪线，同时画出你拼成的四边形，可利用刻度尺或三角板．）
18．（2025 庐阳区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）用无刻度直尺，在平面直角坐标系内找一格点D，使A1D经过B1C1的中点，并写出D点的坐标．
19．（2025 高邮市二模）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，将△DOC沿直线DC翻折得到△DEC．
（1）试判断四边形DOCE的形状，并说明理由；
（2）若AC＝10，AB＝6，求点O、E之间的距离．
20．（2025 萨尔图区校级二模）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E；F是AD上一点，且DF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）△FCG沿直线FG折叠，点C恰好落在矩形AECF的对角线AC的中点H处，若，tanD＝4，求四边形CDFH的面积．
中考数学一轮复习 图形的对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C的美术字都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D的美术字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2025 武汉）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上．若∠A＝34°，则∠ADE的大小是（　　）
A．35° B．37° C．39° D．41°
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由AB＝AC，得∠B＝∠ACB，而∠A＝34°，则2∠ACB+34°＝180°，求得∠B＝∠ACB＝73°，由折叠得∠CED＝∠B＝73°，则∠BDE＝360°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CED＝141°，所以∠ADE＝180°﹣∠BDE＝39°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B+∠ACB+∠A＝180°，且∠A＝34°，
∴2∠ACB+34°＝180°，
∴∠B＝∠ACB＝73°，
∵将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上，
∴∠CED＝∠B＝73°，
∴∠BDE＝360°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CED＝360°﹣3×73°＝141°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDE＝180°﹣141°＝39°，
故选：C．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、翻折变换的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于360°等知识，求得∠B＝∠ACB＝73°是解题的关键．
3．（2025 罗山县一模）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】三角形．
【答案】B
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABCBC AD4×AD＝18，解得AD＝9，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴CM＝AM，
∴CD+CM+DM＝CD+AM+DM，
∵AM+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝ADBC＝94＝9+2＝11．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
4．（2025 台湾）如图方格纸网格线上的八条等长线段形成一个线对称图形．图中有四条线段标示上号码，判断擦去下列哪个选项中的两条线段后，剩下的图形不是线对称图形？（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，进行分析即可．
【解答】解：擦去①和②，①和③，②和④，剩下的图形是线对称图形；
擦去②和③，剩下的图形不是线对称图形；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
5．（2025 武侯区校级模拟）若点P（3，a﹣2）和点Q（3，﹣2）关于x轴对称，则a的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系．
【答案】D
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解．
【解答】解：∵点P（3，a﹣2）和点Q（3，﹣2）关于x轴对称，
∴a﹣2+（﹣2）＝0，
∴a＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
6．（2025 鸡西一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点F为边AB上一点且BF：AF＝1：3，点E为边AD上一点，将矩形沿过点E的直线折叠，使点D落在边AB上的点F处，则折痕EH的长度为（　　）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】设EH交DF于点L，作HM⊥AD于点M，则∠AMH＝∠A＝∠B＝90°，所以四边形ABHM是矩形，则HM＝AB＝4，由BF：AF＝1：3，得BFAF，则AFAF＝4，求得AF＝3，而AD＝9，则DF3，由折叠得EH垂直平分DF，则∠DLE＝90°，可证明∠MEH＝∠AFD，由sin∠MEH＝sin∠AFD，求得EH，于是得到问题的答案．
【解答】解：设EH交DF于点L，作HM⊥AD于点M，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝9，
∴∠AMH＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴HM＝AB＝4，
∵点F为边AB上一点且BF：AF＝1：3，
∴BFAF，
∵AB＝AF+BF＝AFAF＝4，
∴AF＝3，
∴DF3，
由折叠得点F与点D关于直线EH对角，
∴EH垂直平分DF，
∴∠DLE＝90°，
∵∠MEH+∠ADF＝90°，∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠MEH＝∠AFD，
∴sin∠MEH＝sin∠AFD，
∴EH，
故选：C．
【点评】此题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、同角的余角相等、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
7．（2025 广州）如图，⊙O的直径AB＝4，C为中点，点D在BC上，，点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是（　　）
A．2 B．2+2 C．3 D．4+4
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】作直径CC′，连接DC′交AB于P，连接PC，OD，判定C的对称点是C′，得到此时△PCD的周长最小，判定△COD是等边三角形，由勾股定理求出CD＝2，由C和C′关于AB对称，得到PC′＝PC，因此△PCD周长的最小值＝CD+DC′＝2+2．
【解答】解：作直径CC′，连接DC′交AB于P，连接PC，OD，
∵C为中点，
∴CC′⊥AB，
∴C的对称点是C′，
∴此时△PCD的周长最小，
∵，
∴∠COD＝90°×（1）＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OCAB4＝2，
∵CC′是圆的直径，
∴∠CDC′＝90°，
∴CD2，
∵C和C′关于AB对称，
∴PC′＝PC，
∴△PCD的周长＝CD+PC+PD＝CD+PC′+PD＝CD+DC′＝2+2，
∴△PCD周长的最小值是2+2．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称﹣路线最短问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质，关键是作出C关于AB的对称点C′，从而得到使△PCD周长有最小值的点P．
8．（2025 海口一模）如图，将△ABC沿DE翻折，折痕DE∥BC，若∠BDA＝40°，则∠B＝（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】根据折痕是角平分线，求出∠ADE的度数，进而求出∠BDE的度数，再根据平行线的性质，进行求解即可．
【解答】解：∵将△ABC沿DE翻折，折痕DE∥BC，
∴，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝110°，
∴∠B＝180°﹣∠BDE＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查折叠的性质，平行线的性质，正确进行计算是解题关键．
9．（2025 栖霞区校级三模）如图，在 ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在BC上，将 ABCD沿AE翻折，点B恰好落在DE上的点F处，若AE＝AB，则BE的长为（　　）
A． B．3 C． D．4
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；平行四边形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由AD∥BC，得∠DAE＝∠BEA，由翻折得∠DEA＝∠BEA，∠AFE＝∠B，所以∠DAE＝∠DEA，则DE＝AD＝6，因为AE＝AB＝4，所以∠AFE＝∠B＝∠BEA，则∠AFE＝∠DAE，而∠AEF＝∠DEA，所以△AEF∽△DEA，则，求得BE＝FE，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，AD＝6，点E在BC上，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵将 ABCD沿AE翻折，点B恰好落在DE上的点F处，
∴∠DEA＝∠BEA，∠AFE＝∠B，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝AD＝6，
∵AE＝AB＝4，
∴∠AFE＝∠B＝∠BEA，
∴∠AFE＝∠DAE，
∵∠AEF＝∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴，
∴BE＝FE，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AEF∽△DEA是解题的关键．
10．（2025 磁县校级三模）在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在AB上，点E在AC上且，连接ED，将△AED沿ED翻折到Rt△ABC的内部，得到△A′ED，连接A′B．则tan∠A′BD＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】设AB＝AC＝4a（a＞0），则AD＝CE＝a，AE＝BD＝3a，利用勾股定理可得，再连接AA'，交DE于点F，过点A'作A'G⊥AB于点G，根据折叠的性质可得DE垂直平分AA'，A'D＝AD＝a，利用三角形的面积公式可得AF的长，从而可得A'A的长，利用勾股定理可得DF的长，然后利用三角形的面积公式可得A'G的长，利用勾股定理可得DG的长，从而可得BG的长，最后根据正切的定义计算即可得．
【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，
∴AB＝AC，
设AB＝AC＝4a（a＞0），
∵，
∴AD＝CE＝a，
∴AE＝AC﹣CE＝3a，BD＝AB﹣AD＝3a，
∴，
如图，连接AA'，交DE于点F，过点A'作A'G⊥AB于点G，
由折叠的性质得：DE垂直平分A'A，A'D＝AD＝a，
∴A'A＝2AF，
∵，
∴，
∴AA'，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴在Rt△A'BG中，，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的定义、折叠的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形的方法是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 鸡西一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，点P是矩形内的一动点，则PA+PB+PC的最小值是　4　 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；矩形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】4．
【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
【解答】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．
由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，
∴PC＝PF，
∵PB＝EF，
∴PA+PB+PC＝PA+PF+EF，
∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC8，
∴AC＝2AB，
∴∠ACB＝30°，
∵∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝90°，
∴AE4．
故答案为：4．
【点评】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
12．（2025 万山区三模）如图，在 ABCD中，∠C＝60°，AB＝6，BC＝8．E为边CD上的一点，DE＝2，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D'EF，连接AD'、BD'，则△ABD'面积的最小值为　　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；展开与折叠．
【答案】．
【分析】取BC的中点G，连接EG，BE，得BG＝CG＝4，根据CE＝4，∠C＝60°，得△CEG是等边三角形，得∠CEG＝∠CGE＝60°，EG＝CG＝4，得∠BEG＝∠EBG＝30°，得∠BEC＝90°，得，根据BD+ED≥BE，DE＝DE＝2，得当点D在BE上时，BD取得最小值DE＝DE＝2，得△ABD面积的最小值为．
【解答】解：取BC的中点G，连接EG，BE，
∵BC＝8，
∴，
在 ABCD中，AB＝CD＝6，且DE＝2，
∴CE＝CD﹣DE＝4，
∴CE＝CG，
∵∠C＝60°，
∴△CEG是等边三角形，
∴∠CEG＝∠CGE＝60°，EG＝CG＝4，
∴BG＝CG＝EG＝4，
∴，
∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝90°，
∴BE⊥CD，
∴，
∵AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∵BD'+ED'≥BE，
∴当点D'在BE上时，BD'最小，
由折叠知，D'E＝DE＝2，
∴BD'最小值为，
∴△ABD'面积的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形折叠．熟练掌握平行四边形性质，折叠性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，两点之间线段最短，三角形面积公式是解题的关键．
13．（2025 太康县三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是线段BC上的动点，将△ABE沿直线AE翻折，得到△AB′E，F是DC上一点，且DF＝2，连接AF，B′F，当△AB′F是直角三角形时，BE的长为　3　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；正方形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】3．
【分析】设BE＝x，则CE＝6﹣x，根据翻折可得B'E＝BE＝x，∠AB'E＝∠B＝90°，AB'＝AB，即可证明Rt△ADF≌Rt△AB'F（HL），故B'F＝DF＝2，再由勾股定理列方程得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，即可解得答案．
【解答】解：如图：
设BE＝x，则CE＝6﹣x，
∵将△ABE沿直线AE翻折，得到△AB′E，
∴B'E＝BE＝x，∠AB'E＝∠B＝90°，AB'＝AB，
∵∠AB'F＝90°，
∴∠AB'E+∠AB'F＝180°，
∴E，B'，F共线，
∵AB＝AD，
∴AB'＝AD，
在Rt△ADF和Rt△AB'F中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△AB'F（HL），
∴B'F＝DF＝2，
∴EF＝B'E+B'F＝x+2，CF＝CD﹣DF＝6﹣2＝4，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，
解得x＝3，
∴BE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查正方形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，全等三角形判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，求出B'F＝DF＝2．
14．（2025 武安市二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，D是边BC上靠近点C的三等分点，且满足AD⊥AB，点B'是点B关于直线AD的对称点，则线段B'C的长为　　 ．
【考点】轴对称的性质；等腰三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】．
【分析】连接AB′，根据题意得出B，A，B′三点在一条直线上，结合轴对称的性质得出AB＝AB′，进一步得出AB′＝AC，据此得出∠BCB′＝90°，再利用勾股定理进行计算即可．
【解答】解：连接AB′，
∵点B和点B′关于AD对称，且AD⊥AB，
∴点B，A，B′在一条直线上，AB＝AB′．
又∵AB＝AC，
∴AB′＝AC，∠B＝∠ACB，
∴∠B′＝∠ACB′，
∴∠ACB′+∠ACB，
即∠BCB′＝90°．
∵BC＝6，D是边BC上靠近点C的三等分点，
∴CD＝2，BD＝4．
连接B′D，
则BD＝BD＝4．
在Rt△B′CD中，
B′C．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟知轴对称及等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（2025 前进区校级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，点D为BC的中点，点E为AB上一点，把△BDE沿DE翻折得到△FDE，若FE与△ABC的直角边垂直，则BE的长为 　或3或3　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】或3或3．
【分析】分三种情况讨论，一是EF⊥BC，且点F与点C在直线AB异侧，设DF交AB于点G，由∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，点D为BC的中点，得∠A＝60°，BD＝CD＝3，则EF∥AC，所以∠GEF＝∠A＝60°，由翻折得FD＝BD＝3，BE＝FE，∠F＝∠B＝30°，可证明∠EDF＝∠F，则FE＝DE，求得FG＝DG，GEFE，由FGFE，求得BE＝FE；二是EF⊥AC，则EF∥BC，推导出∠BDE＝∠BED，则BE＝BD＝3；三是EF⊥BC，且点F与点C在直线AB同侧，设EF交BC于点H，则EF∥AC，所以∠BEF＝∠A＝60°，可证明∠DEF＝∠F＝30°，求得ED＝FD＝BD＝3，则DH，所以EH，则BE＝FE＝2EH＝3，于是得到问题的答案．
【解答】解：如图1，EF⊥BC，且点F与点C在直线AB异侧，设DF交AB于点G，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，点D为BC的中点，
∴AC⊥BC，∠A＝90°﹣∠B＝60°，BD＝CDBC＝3，
∴EF∥AC，
∴∠GEF＝∠A＝60°，
由翻折得FD＝BD＝3，BE＝FE，∠F＝∠B＝30°，
∴∠EGD＝∠GEF+∠F＝90°，
∵∠BEF＝180°﹣∠GEF＝120°，
∴∠DEB＝∠DEF（360°﹣∠BEF）＝120°，
∴∠EDF＝∠EDB＝180°﹣∠DEB﹣∠B＝30°，
∴∠EDF＝∠F，
∴FE＝DE，
∵EG⊥DF，∠EGF＝90°，
∴FG＝DGFD，
∴GEFE，
∵FGFE，
∴BE＝FE；
如图2，EF⊥AC，
∵BC⊥AC，
∴EF∥BC，
∴∠FED＝∠BDE，
∵∠FED＝∠BED，
∴∠BDE＝∠BED，
∴BE＝BD＝3；
如图3，EF⊥BC，且点F与点C在直线AB同侧，设EF交BC于点H，
∵∠EHD＝∠C＝90°，
∴EF∥AC，
∴∠BEF＝∠A＝60°，
∴∠DEF＝∠DEB∠BEF＝30°，
∵∠F＝∠B＝30°，
∴∠DEF＝∠F，
∴ED＝FD＝BD＝3，
∴EH＝FH，DHED，
∴EH，
∴BE＝FE＝2EH＝3，
综上所述，BE的长为或3或3，
故答案为：或3或3．
【点评】此题重点考查翻折变换的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、垂直于同一条直线的两条直线平行、等腰三角形的判定、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 金凤区模拟）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图中的△ABC是一个格点三角形，请你在下面四张图中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并用虚线标出它们的对称轴（要求画出的四个格点三角形互不相同）．
【考点】利用轴对称设计图案．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
17．（2025 裕华区校级二模）在综合实践活动课上，同学们开展了对特殊四边形的研究．
（1）嘉嘉同学将平行四边形纸片ABCD沿EF、GH剪开（F、H分别是边AD、BC的中点，∠DEF＝∠BGH＝90°，如图（1）所示，将三块纸片重新拼接后，能拼成矩形．若AB＝10，GH＝2，∠B＝45°，求A，C之间的距离．
（2）淇淇同学对菱形进行研究：如图（2），在菱形纸片ABCD中，∠C＝60°，点E是该菱形对角线的交点．将纸片中△ABE剪掉后，形成凹五边形AEBCD，请你帮助淇淇完成：画一条直线，使沿着这条直线剪开凹五边形纸片后，能拼成平行四边形或者拼成矩形．（画图要求：在图（2）中画出裁剪线，同时画出你拼成的四边形，可利用刻度尺或三角板．）
【考点】图形的剪拼；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；几何直观．
【答案】（1）2；
（2）见解答．
【分析】（1）过C作CM⊥AB于M，连接AC，根据三角形中位线定理求出CM和BM，然后根据勾股定理求AC的长即可；
（2）连接CE，DE，根据菱形的性质可以得到四个三角形全等，然后先构造直角三角形，再根据直角三角形构造矩形的方法得出裁剪线即可．
【解答】解：（1）过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图：
∴CM∥GH，
∵H是BC中点，
∴GH为△BCM的中位线，
∴CM＝2GH＝4，BM＝2BG，
∵∠B＝45°，
∴△BGH为等腰直角三角形，
∴BG＝GH＝2，
∴BM＝4，
∴AM＝AB﹣BM＝6，
∴AC2；
（2）连接CE，DE，如图：
∵四边形ABCD为菱形，E是菱形ABCD的对角线交点，
∴△ABE≌△ADE≌△CBE≌△CDE，AE＝CE，BE＝DE，
∵∠BCD＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠CDB＝∠ADB＝60°，∠BAE＝∠DAE＝∠DCE＝∠BCE＝30°，
先将△BCE旋转到△CDF位置，得到Rt△ACF，根据直角三角形构造矩形的方法，作△ACF的中位线，将切下来的三角形旋转即可得到矩形，所以直线GH即为所求．
【点评】本题主要考查了图形的剪拼，合理运用菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形构造矩形的方法是本题解题的关键．
18．（2025 庐阳区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．
（1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）用无刻度直尺，在平面直角坐标系内找一格点D，使A1D经过B1C1的中点，并写出D点的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；D（3，0）．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特性得到A1、B1、C1，然后连线即可；
（2）根据题意画出图形即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示；D（3，0）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
19．（2025 高邮市二模）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，将△DOC沿直线DC翻折得到△DEC．
（1）试判断四边形DOCE的形状，并说明理由；
（2）若AC＝10，AB＝6，求点O、E之间的距离．
【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据矩形的性质求出OC＝OD，再根据折叠的性质求出OD＝ED＝OC＝EC，再根据“四边相等的四边形是菱形”即可得证；
（2）根据菱形的性质求出OMOE，OE⊥CD，根据矩形的性质求出OB＝OD，∠BCD＝90°＝∠OMD，AC＝BD＝10，AB＝CD＝6，根据勾股定理求出BC＝8，再根据三角形中位线的判定与性质求解即可．
【解答】解：（1）四边形DOCE是菱形，理由如下：
∴四边形ABCD是矩形，
∴ODBD，OCAC，AC＝BD，
∴OC＝OD，
根据折叠的性质求出OD＝ED，OC＝EC，
∴OD＝ED＝OC＝EC，
∴四边形DOCE是菱形；
（2）如图，连接OE交CD于点M，
∵四边形DOCE是菱形，
∴OMOE，OE⊥CD，
∴∠OMD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，∠BCD＝90°＝∠OMD，AC＝BD＝10，AB＝CD＝6，
∴OM∥BC，BC8，
∴OM是△BCD的中位线，
∴OMBC＝4，
∴OE＝2OM＝8，
即点O、E之间的距离为8．
【点评】本题考查了折叠的性质、菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，能求出四边形DOCE是菱形是解此题的关键．
20．（2025 萨尔图区校级二模）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E；F是AD上一点，且DF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）△FCG沿直线FG折叠，点C恰好落在矩形AECF的对角线AC的中点H处，若，tanD＝4，求四边形CDFH的面积．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质．
【专题】推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AF∥EC，AF＝EC，并证得四边形AECF是平行四边形，再根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知四边形AECF是矩形，结合锐角三角函数得出，即可求出，进一步得出△HFC为等边三角形以及，即可结合S四边形CDFH＝S△HFC+S△CDF得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC即AF∥EC，AD＝BC，
∵DF＝BE，
∴AF＝FC，
∵AF∥EC，AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形AECF是矩形，，
∴，∠CFD＝90°，
∵tan∠D＝4，
∴，即，
∴，
∵H是AC中点，∠CFA＝90°，
∴HF＝AH＝HC，
∵由折叠可知FC＝HF，
∴HF＝HC＝FC，即△HFC为等边三角形，
∴∠ACF＝60°，
∴，
∴AF＝12，
∴，
∵H是AC中点，即HF是△AFC的中线，
∴，
∴S四边形CDFH＝S△HFC+S△CDF＝126．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，等边三角形和中线性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)