2026年中考数学一轮复习 命题与证明（含解析）

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中考数学一轮复习 命题与证明
一．选择题（共10小题）
1．（2025 天河区校级四模）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．任意多边形的外角和都是360°
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．平移不改变图形的形状和大小
2．（2025 珠晖区校级二模）下列四个命题中，真命题是（　　）
A．同位角相等
B．若a2＝b2，那么a＝b
C．﹣27的立方根是﹣3
D．直线y＝2x﹣3向下平移2个单位可得到一次函数y＝2x﹣1的图象
3．（2025 梁溪区一模）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应假设这个直角三角形中（　　）
A．有一个锐角小于45° B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都大于45° D．有一个锐角大于45°
4．（2025 天河区校级三模）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
C．相似三角形的面积比等于相似比
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
5．（2025 浦东新区校级三模）下列命题中假命题是（　　）
A．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等
B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
C．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
D．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
6．（2025 隆回县校级模拟）下列命题，正确的是（　　）
A．若a＜b，则ac2＜bc2
B．六边形的内角和是1080°
C．等边三角形是中心对称图形
D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
7．（2025 祁阳市校级模拟）下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④的平方根是±9，其中真命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025 成都）下列命题中，假命题是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
9．（2025 渠县校级二模）下列命题是真命题的是（　　）
A．四边都是相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
10．（2025 东莞市校级模拟）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．同位角相等 B．同旁内角互补
C．内错角相等 D．对顶角相等
二．填空题（共5小题）
11．（2025 青阳县模拟）请你写出命题“若a3＝b3，则a2＝b2”的逆命题：　 　 ．
12．（2025春 东丽区期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：　 　 ．
13．（2025 高新区校级模拟）要说明命题“若x＞1，则ax＞a”是假命题，反例a的值可以是　 　 （写出一个即可）．
14．（2025 格尔木市校级一模）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：　 　 ．
15．（2025 深圳模拟）用一组a，b的值说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题．若a取值为﹣2，则b可以取值为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 綦江区一模）在学行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，过点A作对角线BD的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：AE＝CF且AE∥CF．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴①　 　 ．
∵AE⊥BD，
∴②　 　 ．
同理可得，∠CFD＝90°．
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴③　 　 ．
又∵AE⊥BD，
∴∠AEF＝90°，同理可得，∠CFE＝90°．
∴④　 　 ．
∴AE∥CF．
请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤　 　 ．
17．（2025 武汉模拟）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，E和F在直线AD两侧，若∠E＝∠F．请从①AE＝DF，②AB＝CD，③EC∥BF中选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题．
（1）条件：　 　 ；（填写序号）
结论：　 　 ；（填写序号）
（2）证明你所构建的命题是真命题．
18．（2025 鼓楼区二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）．
（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由．
（2）判断命题的真假，并说明理由．
19．（2025 靖江市校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，　 　 ，　 　 ，则　 　 ．
从①点D是BC的中点；②CE⊥AD，垂足为E；③三个信息中选两个作条件，另外一个作结论，组成真命题，画出图形并说明理由．
你选的条件是　 　 ，　 　 ；结论是　 　 ．（只需填写序号，证明一个即可）
20．（2025 盐山县校级模拟）已知实数a，b，c，m，n满足．
（1）当a＞0时，求证：b≥2c；
（2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．
中考数学一轮复习 命题与证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 天河区校级四模）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．任意多边形的外角和都是360°
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．平移不改变图形的形状和大小
【考点】命题与定理；平移的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的判定定理、多边形的外角和、菱形的判定、平移的性质判断．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项命题是假命题，符合题意；
B、任意多边形的外角和都是360°，是真命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；
D、平移不改变图形的形状和大小，是真命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．（2025 珠晖区校级二模）下列四个命题中，真命题是（　　）
A．同位角相等
B．若a2＝b2，那么a＝b
C．﹣27的立方根是﹣3
D．直线y＝2x﹣3向下平移2个单位可得到一次函数y＝2x﹣1的图象
【考点】命题与定理；立方根；一次函数的图象；一次函数图象与几何变换；同位角、内错角、同旁内角．
【专题】应用题；一次函数及其应用；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质、乘方的意义、立方根的定义和一次函数的平移规律逐项判断即可得解．
【解答】解：根据平行线的性质、乘方的意义、立方根的定义和一次函数的平移规律逐项分析判断如下：
A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题；
B、若a2＝b2，那么a＝±b，故原命题是假命题；
C、﹣27的立方根是﹣3，故原命题是真命题；
D、直线y＝2x﹣3向下平移2个单位可得到一次函数y＝2x﹣5的图象，故原命题是假命题；
故选：C．
【点评】本题考查了真假命题、平行线的性质、立方根的定义和一次函数图象的平移等知识；熟练掌握以上知识点是关键．
3．（2025 梁溪区一模）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应假设这个直角三角形中（　　）
A．有一个锐角小于45° B．两个锐角都小于45°
C．两个锐角都大于45° D．有一个锐角大于45°
【考点】反证法；直角三角形的性质．
【专题】推理能力．
【答案】B
【分析】根据反证法中假定结论不成立，进行判断即可．
【解答】解：至少有一个锐角不小于45°的反面是两个锐角都小于45°
故选：B．
【点评】本题考查反证法．熟练掌握反证法的第一步，假设结论不成立是解题的关键．
4．（2025 天河区校级三模）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形
C．相似三角形的面积比等于相似比
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
【考点】命题与定理；相似三角形的性质；三角形内角和定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的性质及三角形内角和定理，对每个选项逐一进行分析判断．
【解答】解：A、平行四边形无论沿哪一条直线对折，直线两侧的部分都不能完全重合，所以平行四边形不是轴对称图形，原说法错误，不符合题意；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，而不是矩形，原说法错误，不符合题意；
C、相似三角形的面积比等于相似比的平方，而不是相似比，原说法错误，不符合题意；
D、已知在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．因为三角形内角和为180°，所以x+2x+3x＝180°，即6x＝180°，解得x＝30°．那么∠C＝3x＝90°，有一个角为90°的三角形是直角三角形，所以△ABC是直角三角形，正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了命题与定理，平行四边形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5．（2025 浦东新区校级三模）下列命题中假命题是（　　）
A．两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等
B．两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
C．两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等
D．两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
【考点】命题与定理；全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、如果两个三角形第三边的高，一条在一个三角形的内部，另一条在另一个三角形的外部，此时两个三角形不全等，因此命题是假命题，故A符合题意；
B、如图：AB＝A′B′，AC＝A′C′，AD＝A′D′，AD和A′D′是中线．
延长AD到E使DE＝AD，连接BE，延长A′D′到E′使D′E′＝A′D′，连接B′E′，由SAS判定△ADC≌△EDB得到BE＝AC，同理B′E′＝A′C′，得到BE＝B′E′，推出△ABE≌△A′B′E′（SSS），得到∠BAD＝∠B′A′D′，同理：∠CAD＝∠C′A′D′，因此∠BAC＝∠B′A′C′，由SAS判定△ABC≌△A′B′C′，因此命题正确，故B不符合题意；
C、命题正确，故C不符合题意；
D、如图：AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD＝A′D′，AD和A′D′是中线，
由SSS判定△ABD≌△A′B′D′，推出∠B＝∠B′，由SAS判定△ABC≌△A′B′C′，因此命题正确，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．
6．（2025 隆回县校级模拟）下列命题，正确的是（　　）
A．若a＜b，则ac2＜bc2
B．六边形的内角和是1080°
C．等边三角形是中心对称图形
D．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
【考点】命题与定理；中心对称图形；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质、多边形的内角和、中心对称图形、菱形的判定定理判断．
【解答】解：A、若a＜b，c≠0，则ac2＜bc2，故本选项不正确，不符合题意；
B、六边形的内角和是720°，故本选项不正确，不符合题意；
C、等边三角形不是中心对称图形，故本选项不正确，不符合题意；
D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，命题正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．（2025 祁阳市校级模拟）下列命题：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；②角是轴对称图形，对称轴是角平分线；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④的平方根是±9，其中真命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题与定理；轴对称图形；平方根；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】利用线段垂直平分线的判定方法、角的对称性、等腰三角形的判定方法及平方根的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，为真命题，符合题意；
②角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③有两个内角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意；
④的平方根是±3，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
8．（2025 成都）下列命题中，假命题是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
【考点】命题与定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】由平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，即可判断．
【解答】解：A、B、C中的命题是真命题，故A、B、C不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，正方形的性质，掌握以上知识点是解题关键．
9．（2025 渠县校级二模）下列命题是真命题的是（　　）
A．四边都是相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【考点】命题与定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定；正方形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理对各选项逐一判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、四边都是相等的四边形是菱形，故选项错误；
B、菱形的对角线互相垂直，故选项错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、正方形、矩形及菱形的判定定理，难度中等．
10．（2025 东莞市校级模拟）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．同位角相等 B．同旁内角互补
C．内错角相等 D．对顶角相等
【考点】命题与定理．
【答案】D
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：A、错误，两直线平行，同位角相等；
B、错误，两直线平行，同旁内角互补；
C、错误，两直线平行，内错角相等；
D、对顶角相等，正确，是真命题，
故选：D．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 青阳县模拟）请你写出命题“若a3＝b3，则a2＝b2”的逆命题：　若a2＝b2，则a3＝b3　 ．
【考点】命题与定理．
【专题】实数；推理能力．
【答案】若a2＝b2，则a3＝b3．
【分析】把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【解答】解：命题“若a3＝b3，则a2＝b2”的逆命题是若a2＝b2，则a3＝b3，
故答案为：若a2＝b2，则a3＝b3．
【点评】本题考查的是命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
12．（2025春 东丽区期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ．
【考点】命题与定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
13．（2025 高新区校级模拟）要说明命题“若x＞1，则ax＞a”是假命题，反例a的值可以是　﹣1（答案不唯一）　 （写出一个即可）．
【考点】命题与定理．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】要说明命题是假命题，那么根据不等式的性质可得不等式x＞1两边同时乘以a后，不等号的方向发生改变，据此可得答案．
【解答】解：∵命题“若x＞1，则ax＞a”是假命题，
∴a≤0，
∴反例a的值可以是﹣1（答案不唯一），
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
14．（2025 格尔木市校级一模）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ．
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面即可．
【解答】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果 那么 ”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题考查了把一个命题写成“如果 那么 ”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．
15．（2025 深圳模拟）用一组a，b的值说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题．若a取值为﹣2，则b可以取值为　﹣1（答案不唯一）　 ．
【考点】命题与定理；绝对值．
【专题】实数；推理能力．
【答案】﹣1（答案不唯一）．
【分析】根据绝对值、实数的大小比较法则解答．
【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣1时，|a|＞|b|，而a＜b，
说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 綦江区一模）在学行四边形的性质后，小红进行了拓展性探究．她发现在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的两条垂线段有一定的数量和位置关系．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，过点A作对角线BD的垂线，垂足为点E．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：AE＝CF且AE∥CF．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD．
∴①　∠ABF＝∠CDF　 ．
∵AE⊥BD，
∴②　∠AEB＝90°　 ．
同理可得，∠CFD＝90°．
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴③　AE＝CF　 ．
又∵AE⊥BD，
∴∠AEF＝90°，同理可得，∠CFE＝90°．
∴④　∠AEF＝∠CFE　 ．
∴AE∥CF．
请你根据该探究过程完成下面命题：在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤　平行且相等　 ．
【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；作图—基本作图．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见详解；
（2）∠ABF＝∠CDF；∠AEB＝90°；AE＝CF；∠AEF＝∠CFE；平行且相等．
【分析】（1）以点A为圆心，任意长度半径画弧，与BD相交于两点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两点间距离一半的长度为半径画弧，使两弧在BD的另一侧相交，最后用直尺连接点A与两弧的交点，得到AE⊥BD；
（2）利用平行四边形的性质证明△ABE≌△CDF，得到AE＝CF，利用垂线的定义∠AEF＝∠CFE，再根据平行线的性质得出AE∥CF，即可得出结论．
【解答】（1）解：对角线BD的垂线AE，如图即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴①∠ABF＝∠CDF（两直线平行，内错角相等），
∵AE⊥BD，
∴②∠AEB＝90°（垂线的性质），
同理可得：∠CFD＝90°．
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴③AE＝CF（全等三角形的性质）．
又∵AE⊥BD，
∴∠AEF＝90°，同理可得，∠CFE＝90°，
∴④∠AEF＝∠CFE（角的等量代换），
∴AE∥CF，
∴在平行四边形中，连接一条对角线，分别过另外两个顶点作这条对角线的垂线，则这两个顶点到垂足之间的垂线段⑤平行且相等，
故答案为：∠ABF＝∠CDF；∠AEB＝90°；AE＝CF；∠AEF＝∠CFE；平行且相等．
【点评】本题考查了命题与定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，作图﹣基本作图，熟练掌握平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17．（2025 武汉模拟）如图，点A、B、C、D在同一条直线上，E和F在直线AD两侧，若∠E＝∠F．请从①AE＝DF，②AB＝CD，③EC∥BF中选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题．
（1）条件：　②③（①③
）　 ；（填写序号）
结论：　①（②
）　 ；（填写序号）
（2）证明你所构建的命题是真命题．
【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质．
【答案】（1）②③；①或①③；②；
（2）见解析．
【分析】（1）选择②③当条件，①当结论或①③当条件，②当结论即可；
（2）根据EC∥BF，得出∠ACE＝∠DBF，证明△ACE≌△DBF（AAS）即可．
【解答】（1）解：条件：②③，结论：①；或条件①③，结论②；
（2）当条件：②③，结论：①时，
证明：∵EC∥BF，
∴∠ACE＝∠DBF，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS），
∴AE＝DF；
当条件①③，结论②时，
∵EC∥BF，
∴∠ACE＝∠DBF，
在△ACE和△DBF中，
，
∴△ACE≌△DBF（AAS），
∴AC＝BD，
∴AC﹣BC＝BD﹣BC，
∴AB＝CD．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质、命题与定理，熟练掌握平行线的性质以及三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
18．（2025 鼓楼区二模）命题：已知矩形A两边长分别为m，n，存在一个矩形B，它的周长与面积都是矩形A的k倍（k为大于1的正整数）．
（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，命题是否成立．若成立，求出矩形B的两边长；若不成立，请说明理由．
（2）判断命题的真假，并说明理由．
【考点】命题与定理；一元二次方程的应用；矩形的性质．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】（1）成立，矩形B的两边长为；（2）成立，见解析．
【分析】（1）根据矩形的长和宽表示出新矩形的长和宽，再根据面积的关系列出一元二次方程，进一步求解即可；
（2）设矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为x，则宽为k（m+n）﹣x．再根据面积的关系列出一元二次方程，利用根的判别式求解即可．
【解答】解：（1）当m＝1，n＝2，k＝3时，此时矩形B的周长为18，面积为6，
设矩形B的长为x，则宽为9﹣x，
根据题意列方程，得：（9﹣x）x＝6，
∴x2﹣9x+6＝0，
解得：，，
∴此时命题成立；
（2）若矩形A两边长分别为m，n，此时矩形B的周长为2k（m+n），面积为kmn，设矩形B的长为x，则宽为k（m+n）﹣x．
根据题意列方程，得：x[k（m+n）﹣x]＝kmn，
即x2﹣k（m+n）x+kmn＝0，
根据求根公式得：b2﹣4ac＝k2（m+n）2﹣4kmn＝k[k（m+n）2﹣4mn]，
∵k＞1，
∴[k（m+n）2﹣4mn]＞（m+n）2﹣4mn，
又（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2≥0，
∴[k（m+n）2﹣4mn]＞0，
∴存在矩形B，
∴此命题成立．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其解法，掌握其性质是解题的关键．
19．（2025 靖江市校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，　①　 ，　②　 ，则　③　 ．
从①点D是BC的中点；②CE⊥AD，垂足为E；③三个信息中选两个作条件，另外一个作结论，组成真命题，画出图形并说明理由．
你选的条件是　①　 ，　②　 ；结论是　③　 ．（只需填写序号，证明一个即可）
【考点】命题与定理；相似三角形的判定与性质．
【专题】应用意识．
【答案】①②；③，证明见解析（答案不唯一）．
【分析】根据题意选的条件是①点D是BC的中点；②CE⊥AD，垂足为E；结论是③，证明△ACE∽△CDE，推出，结合点D是BC的中点，即可得出结论；选的条件是①点D是BC的中点；③；结论是②CE⊥AD，垂足为E，解直角三角形易求∠CAD＝∠ECD，进而证明△ACD∽△CED，即可得出结论；选的条件是②CE⊥AD，垂足为E，③；结论是从①点D是BC的中点，证明△ACE∽△CDE，推出，结合，即可得出结论．
【解答】解：选的条件是①点D是BC的中点；②CE⊥AD，垂足为E；结论是③．
证明：如图：
∵CE⊥AD，
∴∠ACD＝∠CED＝90°，
∵∠DCE+∠ACE＝∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠DCE＝∠CAE，
∴△ACE∽△CDE，
∴，
∵CD＝BD，
∴；
如图，选的条件是①点D是BC的中点；③；结论是②CE⊥AD，垂足为E．
证明：由题意可得：CD＝BD，
∵，
∴，即，
由题意可得：，
∴∠CAD＝∠ECD，
∵∠ADC＝∠CDE，
∴△ACD∽△CED，
∴∠ACD＝∠CED＝90°，
∴CE⊥AD，垂足为E．
如图，选的条件是②CE⊥AD，垂足为E；③；结论是从①点D是BC的中点．
证明：由题意可得：∠ACD＝∠CED＝90°，
∵∠DCE+∠ACE＝∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠DCE＝∠CAE，
∴△ACE∽△CDE，
∴，
∵，
∴BD＝CD，即点D是BC的中点．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形及命题，正确记忆相关知识点是解题关键．
20．（2025 盐山县校级模拟）已知实数a，b，c，m，n满足．
（1）当a＞0时，求证：b≥2c；
（2）若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．
【考点】反证法．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】（1）（2）证明见解析．
【分析】（1）根据完全平方公式、偶次方的非负性证明；
（2）假设m，n都是偶数，得到与已知相矛盾，进而证明结论．
【解答】证明：（1）∵（m﹣n）2≥0，
∴m2﹣2mn+n2≥0，
∴m2+n2≥2mn，
∴2，
∵a＞0，
∴b≥2c；
（2）假设m，n都是偶数，不妨设m＝2p，n＝2q，
则m2+n2＝4p2+4q2，mn＝4pq，
∴m2+n2+mn＝4p2+4q2+4pq，
4p2+4q2+4pq是偶数，这与已知相矛盾，
∴m，n至少有一个为奇数．
【点评】本题考查的是反证法，掌握反证法的一般步骤是解题的关键．
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