2026年中考数学一轮复习 函数基础知识（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
中考数学一轮复习 函数基础知识
一．选择题（共10小题）
1．（2025 武汉）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度y（单位：cm）随漏水时间t（单位：h）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是（　　）
A．3h B．4h C．6h D．12h
2．（2025 武汉）如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点．点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 青阳县模拟）如图1，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点P，Q都以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，分别沿A→B→C和A→D→C的路线向终点C运动，其中点P先于点Q到达点C，且到达后两点同时停止运动．记点P的运动时间为t s，△APQ的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（　　）
A．AB＝5
B．n＝15
C．当2.5＜t≤4.5时，S＝3t
D．当4.5＜t≤5时，S＝﹣2t2+10t+9
4．（2025 浔阳区校级一模）如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与时间注水时间t（s）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 分宜县三模）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度y（cm）随所挂物体的质量x（kg）变化关系的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　）
A．未挂物体时，弹簧的长度为8cm
B．所挂物体为2kg时，弹簧的长度为12cm
C．当所挂的物体超过5kg时，弹簧的长度不会发生变化
D．弹簧的长度随着所挂物体质量的增加而增加
6．（2025 二七区校级三模）布洛芬是一种解热镇痛抗炎药，该药在人体内发挥药效的最低血药浓度为8.5μg mL﹣1．某研究部门将一批相同症状的患者分为两组，甲组服用布洛芬片剂，乙组服用等效的布洛芬缓释胶囊，两组均于上午8：00服药并定时静脉抽血测验，测得平均血药浓度随时间推移的关系图象如图所示．下列结论错误的是（　　）
A．甲组服药4h后，血药浓度最高
B．布洛芬缓释胶囊起效更快
C．服药的前4h，两组患者体内的血药浓度均随时间的推移而增大
D．布洛芬缓释胶囊的药效持续时间更长
7．（2025 齐齐哈尔一模）如图1，点E为正方形ABCD中CD边的中点．动点P从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则当点P运动到BC中点时，PE的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
8．（2025 格尔木市校级一模）小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．当t＝41时，h＝15
B．过山车距水平地面的最高高度为98米
C．在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30
D．当41≤t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大
9．（2025 朝阳区校级一模）如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（2025 河南校级三模）如图①，A，B是⊙O上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm），图②是y随x变化的关系图象，则下列说法错误的是（　　）
A．⊙O的半径为1cm
B．A，B两点间的距离为1cm
C．点P的运动速度为cm/s
D．∠AOB的度数为45°
二．填空题（共5小题）
11．（2025 前进区校级二模）函数中，自变量x的取值范围是　 　 ．
12．（2025 重庆校级二模）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是3，若输出y的值是﹣3，则输入x的值是　 　 ．
13．（2025 仓山区校级模拟）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
… 1 …
下列五个结论：
①点在该函数图象上；
②该函数图象在x轴上方；
③若A（π，y1）和是该函数图象上两点，则y2＞y1；
④若将该函数图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是．
其中正确的结论是　 　 （填写序号）．
14．（2025 陕西模拟）“燕几”是世界上最早的一套组合桌．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，这七张桌子的桌面都是长方形，且它们的宽都相等．如图，给出了一种桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为　 　 ．
15．（2025 永寿县校级一模）中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 昌邑区校级三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度ρ（单位：kg/m3）随容器体积V（单位：m3）变化的关系图象如图②所示，结合如表信息窗中的内容，解答下列问题．
信息窗 ①（m表示物体的质量）． ②标准大气压下，氧气的密度约为1.43kg/m3．
（1）该容器内氧气的质量为　 　 kg．
（2）求容器内氧气的密度ρ关于体积V的函数解析式．
（3）若该容器的体积V为25m3，求氧气的密度ρ．
17．（2025 东莞市校级模拟）综合与实践．
物理课上，小明和小亮用如图1所示的实验装置，研究物体从斜面上滑下过程中速度的变化．
以下为两人的对话：
小明：“经过测量，斜面木板CD的长为90cm，木块高DE的长为20cm．” 小亮：“我刚刚测量了一下，木块高DE的长没有错，而用测倾仪测得木板CD的倾斜角∠DCE约为14.50°，我用计算器计算了一下，发现sin14.50°≈0.25，可以推断出斜面木板CD的长的测量数据有误．” 小明：“我检查了一下，果然斜面木板CD的长测量出错了．”
（1）请根据以上信息，求出斜面木板CD的长；
（2）测得AD的长为8cm，点B为AC的中点，小车从点A出发，用位置传感器进行实验，得到的v﹣t图象如图2所示，由图象可知小车从A点运动到B点的时间为2.1s，小车在B点时的速度为0.42m/s，在C点时的速度为0.60m/s．根据以上数据，求BC段的平均速度比AB段的平均速度大约快了多少（结果保留小数点后两位）．
18．（2025 湛江二模）根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为274cm，宽为150cm，球网高度为14cm．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方25cm的点P处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离x（cm）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二 击球点的确定 （2）当h＝20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 （3）若h＝40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围．
19．（2025 松原模拟）小王周末骑电动车从家出发去商场买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小王家距离书店多远？
（2）小王在新华书店停留了多长时间？
（3）新华书店到商场的距离是多少？
20．（2025 兴庆区校级四模）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究：
【探索发现】
（1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为　 　 ，点Q的纵坐标为　 　 ；（用x的代数式表示）
若设PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　 　 （1≤x≤9）；
（2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图象：
①列表：
x 1 1.5 2 3 4 4.5 6 9
y 0 2.5 3.5 4 3.75 3.5 2.5 0
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；
③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，发现：当x＝　 　 时，y的最大值为　 　 ．
【迁移应用】连接OP、OQ（请自行完成作图），探究：△PQO的面积是否存在最大值？若存在，请求出对应的x值和最大面积；若不存在，请说明理由．
中考数学一轮复习 函数基础知识
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 武汉）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度y（单位：cm）随漏水时间t（单位：h）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是（　　）
A．3h B．4h C．6h D．12h
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】A
【分析】根据题意求出“漏壶”的漏水速度，即可求出水面高度从48cm变化到42cm所用的时间．
【解答】解：“漏壶”的漏水速度为：2（cm/h），
∴水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是3（h），
故选：A．
【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．（2025 武汉）如图1，在△ABC中，D是边AC上的定点．点P从点A出发，依次沿AB，BC两边匀速运动，运动到点C时停止．设点P运动的路程为x，DP的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，其中M，N分别是两段曲线的最低点．点N的纵坐标是（　　）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】几何动点问题；运算能力．
【答案】B
【分析】由图2可知AD、CD、BD的长度及点D到AB的距离，点N的纵坐标表示点D到BC的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到BC的距离即可．
【解答】解：根据图2，AD＝20，CD＝8，BD＝15，点D到AB的距离DE＝12，点N的纵坐标表示点D到BC的距离DF．如图：
在Rt△ADE中利用勾股定理，得AE16，
在Rt△BDE中利用勾股定理，得BE9，
则AB＝AE+BE＝16+9＝25，
∵AD2+BD2＝202+152＝625，AB2＝252＝625，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝180°﹣∠ADB＝90°，
在Rt△BCD中利用勾股定理，得BC17，
则BD CDBC DF，
解得DF，
∴点N的纵坐标是．
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到AD、CD、BD的长度及点D到AB的距离，点N的纵坐标表示点D到BC的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．
3．（2025 青阳县模拟）如图1，在四边形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点P，Q都以每秒2个单位长度的速度同时从点A出发，分别沿A→B→C和A→D→C的路线向终点C运动，其中点P先于点Q到达点C，且到达后两点同时停止运动．记点P的运动时间为t s，△APQ的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（　　）
A．AB＝5
B．n＝15
C．当2.5＜t≤4.5时，S＝3t
D．当4.5＜t≤5时，S＝﹣2t2+10t+9
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；推理能力．
【答案】B
【分析】根据函数图象，逐一进行判断即可．
【解答】解：结合图象知点P从点A到点B的时间t＝2.5s，
∴AB＝5，A选项正确；
当点P到达点B时，AQ＝AB＝5，
7.5，
解得CD＝3，
点Q从点A到点D的时间t＝4.5s，
∴AD＝9，
当点Q到达点D时，点P在BC上，高为CD，
∴，B选项错误；
当2.5＜t≤4.5时，点P在BC上，点Q在AD上，AQ＝2t，
∴，C选项正确；
当4.5＜t≤5时，点P在BC上，点Q在CD上，
AB+BP＝AD+DQ＝2t，
结合图象知BC＝5，
∴BP＝2t﹣5，PC＝10﹣2t，DQ＝2t﹣9，CQ＝12﹣2t，
∴，D选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了函数图象，掌握函数图象是解题的关键．
4．（2025 浔阳区校级一模）如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与时间注水时间t（s）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意判断出大烧杯的液面高度h（cm）随时间t（s）的变化情况即可．
【解答】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度h（cm）为零，即h不会随时间t的增加而增大，故选项A、B、C不合题意；
当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度h（cm）随时间t的增加而增大，当小烧杯注满水后大烧杯的液面高度升高速度应该是由快到慢，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
5．（2025 分宜县三模）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧的长度y（cm）随所挂物体的质量x（kg）变化关系的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　）
A．未挂物体时，弹簧的长度为8cm
B．所挂物体为2kg时，弹簧的长度为12cm
C．当所挂的物体超过5kg时，弹簧的长度不会发生变化
D．弹簧的长度随着所挂物体质量的增加而增加
【考点】函数的概念．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】D
【分析】函数的基本概念，函数与图象，逐项分析，即可解答．
【解答】A．观察图象可得，当质量为0时，弹簧长度为8cm，A正确，不符合题意；
B．当质量为2kg时，弹簧长度为12cm，B正确，不符合题意；
C．当质量超过5kg时，弹簧长度均为18cm，C正确，不符合题意；
D．当质量超过5kg时，弹簧的长度不变，D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的基本概念，函数与图象，读懂图象是解题的关键．
6．（2025 二七区校级三模）布洛芬是一种解热镇痛抗炎药，该药在人体内发挥药效的最低血药浓度为8.5μg mL﹣1．某研究部门将一批相同症状的患者分为两组，甲组服用布洛芬片剂，乙组服用等效的布洛芬缓释胶囊，两组均于上午8：00服药并定时静脉抽血测验，测得平均血药浓度随时间推移的关系图象如图所示．下列结论错误的是（　　）
A．甲组服药4h后，血药浓度最高
B．布洛芬缓释胶囊起效更快
C．服药的前4h，两组患者体内的血药浓度均随时间的推移而增大
D．布洛芬缓释胶囊的药效持续时间更长
【考点】函数的图象；负整数指数幂．
【专题】函数及其图象；几何直观．
【答案】B
【分析】根据函数图象逐一判断即可．
【解答】解：A．结合图象，甲组服药4h后，血药浓度最，故该选项说法正确，不符合题意；
B．结合图象，布洛芬片剂起效更快，故该选项说法错误，符合题意；
C．结合图象，服药的前4h，两组患者体内的血药浓度均随时间的推移而增大，故该选项说法正确，不符合题意；D．结合图象，布洛芬缓释胶囊的药效持续时间更长，故该选项说法正确，不符合题意．故选：B．
【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．
7．（2025 齐齐哈尔一模）如图1，点E为正方形ABCD中CD边的中点．动点P从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则当点P运动到BC中点时，PE的长为（　　）
A．2 B．4 C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象．
【答案】D
【分析】结合两个图先求出AB＝BC＝CD＝4，∠C＝90°，CE＝CP＝2，此时可得答案．
【解答】解：由图可知，当动点P从点A出发运动到点B处时，运动路程为AB＝4，
则正方形ABCD的边长为4，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠C＝90°，
当点P运动到BC中点时，E为CD边的中点，
∴CE＝PC＝2，
此时，
故选：D．
【点评】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．
8．（2025 格尔木市校级一模）小明在游乐场坐过山车，在某一段60秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．当t＝41时，h＝15
B．过山车距水平地面的最高高度为98米
C．在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30
D．当41≤t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】C
【分析】A选项根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象，即可得出当t＝41秒时，h的值；B选项根据图象判断即可；C选项结合图象可得在这1分钟内，有4个时间点，过山车高度是80米；D选项通过函数图象的增减性判断即可．
【解答】解：A．由图象可知，当t＝41秒时，h的值是15米，故本选项不合题意；
B．由图象可知，过山车距水平地面的最高高度为98米，故本选项不合题意；
C．由图象可知，在0≤t≤60范围内，当过山车高度是80米时，t的值有3个，原说法错误，故本选项符合题意；
D．由图象可知，当41＜t≤53时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大；故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．
9．（2025 朝阳区校级一模）如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；应用意识．
【答案】C
【分析】利用数形结合的思想解答．
【解答】解：在铁块接触水面前，F拉＝G，
∵F拉＝G﹣F浮，
∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小，
当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变．
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，根据题意，分三个阶段分析即可得出答案，解题的关键是明确题意．
10．（2025 河南校级三模）如图①，A，B是⊙O上的两定点，圆上一动点P从点A出发，按逆时针方向匀速运动到点B，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm），图②是y随x变化的关系图象，则下列说法错误的是（　　）
A．⊙O的半径为1cm
B．A，B两点间的距离为1cm
C．点P的运动速度为cm/s
D．∠AOB的度数为45°
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】D
【分析】由题图②得，抛物线顶点坐标（3，2），即x＝3s时，AP＝2最长，即此时AP是⊙O直径，据此可判定A、B、C，最后根据（5，1）可对选项D进行判断．
【解答】解：由题图②得，当x＝3时，y＝AP＝2，即此时A、O、P三点共线，则⊙O的半径rAP＝1cm，故A选项正确，不符合题意；
当x＝5时，点P到达点B处，此时AP＝AB，
∴A、B两点间的距离为1cm，故B选项正确，不符合题意；
点P从点A运动到A、O、P三点共线的位置时，走过的角度为180°，则走过的弧长为2πr＝πcm，运动时间为3s，
∴点P的运动速度是π÷3cm/s，故C选项正确，不符合题意；
当点P运动到点B时，y＝1，即AB＝AP＝OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 前进区校级二模）函数中，自变量x的取值范围是　　 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：1﹣2x≥0且4﹣x≠0，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．
12．（2025 重庆校级二模）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是3，若输出y的值是﹣3，则输入x的值是　﹣7　 ．
【考点】函数值．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】﹣7．
【分析】根据流程图可得3＝5﹣2b，则b＝1；再分x≥0和x＜0，两种情况根据y的值是﹣3讨论求解即可．
【解答】解：由题意及流程图可得3＝5﹣2b，解得b＝1；
若x≥0，当输出y＝﹣3时，则x﹣2×1＝﹣3，解得x＝﹣1（不符合题意舍去）；
若x＜0，当输出y＝﹣3时，则x+4×1＝﹣3，解得x＝﹣7（符合题意）；
故答案为：﹣7．
【点评】本题主要考查了求自变量的值和函数值，与流程图有关的计算，熟练掌握以上知识点是关键．
13．（2025 仓山区校级模拟）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
… 1 …
下列五个结论：
①点在该函数图象上；
②该函数图象在x轴上方；
③若A（π，y1）和是该函数图象上两点，则y2＞y1；
④若将该函数图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是．
其中正确的结论是　①②④　 （填写序号）．
【考点】函数的图象；函数关系式．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】①②④．
【分析】根据函数的对称性、增减性、点与图象的关系及移动规则求解．
【解答】解：①当x＝5时，y，
所以点在该函数图象上，故①说法正确；
②∵0，
∴该函数图象在x轴上方，故②说法正确；
③由图象得：y关于x＝1对称，且当x＝1时，y取最大值，
∵1﹣（）＞π﹣1，
∴y1＞y2，
故③是错误的；
④若将该函数图象向左平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，故④说法正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了函数的图象，能根据表格和图象获取信息是解题的关键．
14．（2025 陕西模拟）“燕几”是世界上最早的一套组合桌．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，这七张桌子的桌面都是长方形，且它们的宽都相等．如图，给出了一种桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为　y＝4x　 ．
【考点】函数关系式；规律型：图形的变化类．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】y＝4x．
【分析】观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是2x，再根据长桌的长等于小桌的长加上小桌宽的2倍，列出对应的函数关系式即可．
【解答】解：由题意可得函数关系式为y＝x+x+2x＝4x，
故答案为：y＝4x．
【点评】本题主要考查了列函数关系式，理解题意是关键．
15．（2025 永寿县校级一模）中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．如图，已知一个木构件的长度为6，其凸出部分的长为1，若x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为y，则y关于x的关系式可以表示为　y＝5x+1　 ．
【考点】函数关系式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，找准y与x之间的关系即可．
【解答】解：由题意可知，x个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度y＝（6﹣1）x+1＝5x+1，即y关于x的关系式可以表示为：y＝5x+1．
故答案为：y＝5x+1．
【点评】本题考查了函数关系式，理解题意，得出正确的关系是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 昌邑区校级三模）如图①，这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度ρ（单位：kg/m3）随容器体积V（单位：m3）变化的关系图象如图②所示，结合如表信息窗中的内容，解答下列问题．
信息窗 ①（m表示物体的质量）． ②标准大气压下，氧气的密度约为1.43kg/m3．
（1）该容器内氧气的质量为　8　 kg．
（2）求容器内氧气的密度ρ关于体积V的函数解析式．
（3）若该容器的体积V为25m3，求氧气的密度ρ．
【考点】函数的图象；函数关系式．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】（1）8；
（2）；
（3）氧气的密度ρ为0.32kg/m3．
【分析】（1）根据代入ρ，V，可求m；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）把V＝25m3代入（2）中解析式可求结果．
【解答】解：（1）根据代入ρ，V可得：m＝2×4＝8（kg），
故答案为：8；
（2）根据题意，设所求的函数解析式为，
由图可知，该函数过点（4，2），
∴k＝xy＝4×2＝8．
∴所求函数的解析式为．
（3）由条件可知．
答：氧气的密度ρ为0.32kg/m3．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确进行计算是解题关键．
17．（2025 东莞市校级模拟）综合与实践．
物理课上，小明和小亮用如图1所示的实验装置，研究物体从斜面上滑下过程中速度的变化．
以下为两人的对话：
小明：“经过测量，斜面木板CD的长为90cm，木块高DE的长为20cm．” 小亮：“我刚刚测量了一下，木块高DE的长没有错，而用测倾仪测得木板CD的倾斜角∠DCE约为14.50°，我用计算器计算了一下，发现sin14.50°≈0.25，可以推断出斜面木板CD的长的测量数据有误．” 小明：“我检查了一下，果然斜面木板CD的长测量出错了．”
（1）请根据以上信息，求出斜面木板CD的长；
（2）测得AD的长为8cm，点B为AC的中点，小车从点A出发，用位置传感器进行实验，得到的v﹣t图象如图2所示，由图象可知小车从A点运动到B点的时间为2.1s，小车在B点时的速度为0.42m/s，在C点时的速度为0.60m/s．根据以上数据，求BC段的平均速度比AB段的平均速度大约快了多少（结果保留小数点后两位）．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】动点型；数形结合；待定系数法；函数及其图象；应用意识；创新意识．
【答案】（1）斜面木板CD的长约为80cm；
（2）BC段的平均速度比AB段的平均速度大约快了0.23m/s．
【分析】（1）根据DE的长和∠DCE的正弦值可得CD的长；
（2）v与t是正比例函数关系，设v＝kt，把（2.1，0.42）代入可得k的值，即可求得v与t的函数关系式，进而分别取BC段的路程，AB段的路程除以相应的时间即可判断出速度，相减即为所求．
【解答】解：（1）由题意得：DE⊥CE，
∴∠DEC＝90°，
∵DE＝20cm，∠DCE＝14.50°，
∴CD80（cm）．
答：斜面木板CD的长约为80cm；
（2）由题意得：AC＝CD﹣AD＝80﹣8＝72（cm），
∵点B为AC的中点，
∴AB＝BCAC＝36（cm）＝0.36（m），
∵小车从A点运动到B点的时间为2.1s，
∴VAB0.17（m/s），
设v与t的函数关系式为：v＝kt，
∵过点（2.1，0.42），
∴0.42＝2.1k，
解得：k＝0.2，
∴v＝0.2t，
当v＝0.60时，t＝3，
∴VBC0.4（m/s），
∴0.4﹣0.17≈0.23（m/s）．
答：BC段的平均速度比AB段的平均速度大约快了0.23m/s．
【点评】本题考查动点问题的函数图象．用待定系数法求得v与t的函数解析式是解决本题的关键．
18．（2025 湛江二模）根据以下素材，探索完成任务．
乒乓球发球机的运动路线
素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为274cm，宽为150cm，球网高度为14cm．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方25cm的点P处．
素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离x（cm）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）．
问题解决
任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）．
任务二 击球点的确定 （2）当h＝20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由．
任务三 击球点的距离 （3）若h＝40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】任务一：；
任务二：不能实现，理由见解析；
任务三：275cm≤x＜325cm．
【分析】任务一：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣100）2+45，将P（0，25）代入进行求解即可；
任务二：由题意得，击球点R（300，20），球网上方中点F的坐标为（137，14），得出直线RO解析式，代入x＝137，得即可以此进行判断；
任务三：设弹起后抛物线的表达式为：，进行求解得出弹起后抛物线的表达式，由最佳击球效果时，弹起高度范围为30cm≤y≤40cm，当y＝30cm时，，以此进行击球点与发球机水平距离x的取值范围的求解．
【解答】任务一：解：
由题意可得：设y＝a（x﹣100）2+45，
将P（0，25）代入可得25＝a（0﹣100）2+45，
解得：，
所以；
任务二：
不能实现，理由如下：
由题意得，击球点R（300，20），球网上方中点F的坐标为（137，14），
则设直线RO解析式为：y＝kx，则300k＝20，
解得：，
∴直线RO解析式为，
当x＝137时，，
所以不能实现；
任务三：
设，
对于，
当y＝0时，，
解得：x＝250或x＝﹣50，
∴M（250，0），
将M（250，0）代入得：，
解得：，
∴弹起后抛物线的表达式为：，
∵，
∴弹起时最大高度为h＝40cm，
∴当y＝30cm时，，
解得：x1＝275，x2＝325，
∵x＝300cm时，y＝40cm，275≤300＜325，
∴275cm≤x＜325cm．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意构建二次函数模型以及熟练掌握待定系数法是解题的关键．
19．（2025 松原模拟）小王周末骑电动车从家出发去商场买东西，当他骑了一段路时，想起要买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往商场，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小王家距离书店多远？
（2）小王在新华书店停留了多长时间？
（3）新华书店到商场的距离是多少？
【考点】函数的图象．
【专题】函数及其图象；运算能力．
【答案】（1）4000米；（2）10分钟；（3）2250米．
【分析】（1）根据函数图象解答即可；
（2）根据函数图象解答即可；
（3）根据函数图象解答即可．
【解答】解：（1）由函数图象可知，小王家距离书店4000米；
（2）小王在新华书店停留了30﹣20＝10（分钟）；
（3）新华书店到商场的距离：6250﹣4000＝2250（米）．
【点评】本题考查了函数图象，从函数图象中获取信息是解答本题的关键．
20．（2025 兴庆区校级四模）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和y＝﹣x+10的图象，两个函数图象交于A（1，9），B（9，1）两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究PQ的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究：
【探索发现】
（1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为　﹣x+10　 ，点Q的纵坐标为　　 ；（用x的代数式表示）
若设PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　y＝﹣x+10　 （1≤x≤9）；
（2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图象：
①列表：
x 1 1.5 2 3 4 4.5 6 9
y 0 2.5 3.5 4 3.75 3.5 2.5 0
②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；
③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，发现：当x＝　3　 时，y的最大值为　4　 ．
【迁移应用】连接OP、OQ（请自行完成作图），探究：△PQO的面积是否存在最大值？若存在，请求出对应的x值和最大面积；若不存在，请说明理由．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】【探索发现】
（1）﹣x+10，，y＝﹣x+10；
（2）图象见解析，3，4；
【迁移应用】
当x＝5时，△PQO的面积最大值为8．
【分析】【探索发现】
（1）表示出点P、Q的坐标，从而得出y与x的函数解析式；
（2）通过描点、连线，观察图象可得答案；
【迁移应用】
根据三角形面积公式得出S△POQx（﹣x+10）x2+5x（x﹣5）2+8，然后由函数的性质求出最大值．
【解答】解：【探索发现】
（1）∵点P的横坐标为x，
∴P（x，﹣x+10），Q（x，），
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+10，
故答案为：﹣x+10，，y＝﹣x+10；
（2）描点，连线，画出函数图象：
观察函数图象，当x＝3时，y有最大值为4，
故答案为：3，4；
【迁移应用】
△PQO的面积存在最大值，理由：
S△POQx（﹣x+10）x2+5x（x﹣5）2+8，
∵0，1≤x≤9，
∴当x＝5时S△POQ最大，最大值为8，
∴当x＝5时，△PQO的面积最大值为8．
【点评】本题是反比例函数与一次函数综合题以及动点问题的函数图象，主要考查了函数的图象与性质，函数图象的画法等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)