第二十二章 二次函数（新课预习.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

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新课预习 二次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025 永寿县校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）的图象经过点（3，﹣2），与x轴的左交点为A（x1，0）．若﹣1＜x1＜0，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 番禺区校级二模）如图已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；其中错误的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025 普兰店区一模）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴交于A，B两点（点A在点B上方）且与x轴正半轴交于点C，直线l的解析式为，与x轴交于点D，以点C为顶点的抛物线经过点B．动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，记此时的最小距离为d，点P的坐标为（xP，yP），则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
4．（2025 涧西区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，﹣3），（5，﹣3），则下列说法：①当x＜1时，y随x的增大而减小；②若点（0，m），（5，n）在该函数的图象上，则m＞n；③该函数图象的对称轴是直线x＝3；④该函数的图象有最低点．正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
5．（2025 孝义市三模）将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣（x+1）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣5）2﹣1
C．y＝﹣（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣5）2+3
6．（2025 安庆二模）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣1 0 1 3 …
y … 1 3 4 3 …
下列关于该二次函数的说法，错误的是（　　）
A．当x＝4时，y＝1
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．当x＝1时，y有最大值4
D．当0＜x＜3时，y＞3
7．（2025 旬邑县校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取m﹣2，m+2时，对应的函数值为y1，y2，则y1，y2满足（　　）
A．y1＜0，y2＜0 B．y1＞0，y2＞0 C．y1＞0，y2＜0 D．y1＜0，y2＞0
8．（2025 温江区校级模拟）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为y＝ax2+bx+c（a≠0），画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 ﹣3 …
关于此函数下列说法不正确的是（　　）
A．函数图象开口向下
B．当x＝2时，该函数有最大值
C．当x＝0时，y＝﹣3
D．若在函数图象上有两点A（x1，﹣4），，则x1＞x2
9．（2025 广州）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　）
A．当x1＜0且y1 y2＜0时，则0＜x2＜2
B．当x1＜0且y1 y2＞0时，则0＜x2＜2
C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2
D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2
10．（2025 滁州三模）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2
C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2
二．填空题（共5小题）
11．（2025 武汉）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列五个结论：
①该函数图象经过点（﹣1，0）；
②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1；
⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个．
其中正确的是　 　 （填写序号）．
12．（2025 邯郸模拟）如图，抛物线L：（b为常数），当抛物线L经过点M（﹣4，m），N（6，m）时．
（1）抛物线L的顶点坐标为 　 　 ．
（2）若0≤x≤n时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 　 　 ．
13．（2025 定西模拟）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，那么小球到达最大高度的时间是 　 　 s．
14．（2025 兰陵县一模）若抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝m只有一个公共点，则m的值为　 　 ．
15．（2025 南京一模）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m　 　 n（填“＞”“＜”“≥”“≤”或“＝”）．
x ﹣3 ﹣2 1 2 3
y ﹣7 ﹣2 m n ﹣2
三．解答题（共5小题）
16．（2025 天河区校级四模）已知抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围．
（2）若m为正整数，化简A并求值：A．
17．（2025 天河区校级四模）如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，若点F是y轴上的动点，直线BF与抛物线交于点G．当∠FBA＝∠BDE时，求点G的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．
18．（2025 顺德区校级三模）平移抛物线后得到的抛物线经过和B（﹣5，0）．
（1）求平移后抛物线的顶点坐标；
（2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）都在平移后的抛物线上，若满足x1＞x2且x1+x2＝1，比较y1与y2的大小并说明理由；
（3）直线x＝m（m＜0）与平移后的抛物线交于点P，与平移前的抛物线交于点Q，记点P在平移前的抛物线上的对应点为P′．若以P、P′、B、Q四点为边的四边形有一组对边平行，求点P的坐标．
19．（2025 天山区校级三模）我国新能源汽车发展迅猛，公共充电桩建设也快速推进．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数y＝﹣0.02x2+bx+c的图象，支柱OA＝1.6m，最外端点B的坐标为（6，2.68）．若一辆厢式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长CD＝4m，高DE＝2.2m的矩形．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）判断此纯电货车　 　 （填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由．
（3）为确保在车棚内能容纳长5m、高2.5m的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱OA的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？
20．（2025 三门峡模拟）某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动．根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种白鹅获得的利润y1（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为y1＝ax2，饲养B种白鹅获得的利润y2（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为y2＝﹣3ax2+bx．画出两函数的图象如图所示．
（1）求函数y1，y2的表达式．
（2）王大伯计划明年投资10万元饲养A，B这两种白鹅．根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少？
新课预习 二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 永寿县校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）的图象经过点（3，﹣2），与x轴的左交点为A（x1，0）．若﹣1＜x1＜0，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意可推出二次函数的图象必开口向上，把点（3，﹣2）代入y＝ax2﹣4ax+c中，可得c＝3a﹣2＜0，解得a．根据对称性可知二次函数与x轴的另一交点横坐标大于4小于5，则有25a﹣20a+c＞0，解得a，综上可得．
【解答】解：由二次函数y＝ax2﹣4ax+c解析式可知对称轴为直线x＝2，经过点（3，﹣2），
故此二次函数的图象必开口向上，且与x轴与两个交点，
故把点（3，﹣2）代入y＝ax2﹣4ax+c中，得c＝3a﹣2＜0，
解得a．
∵﹣1＜x1＜0，
∴根据对称性可知二次函数与x轴的另一交点横坐标大于4小于5，
故当x＝5时，函数值大于0，
∴25a﹣20a+c＞0，即5a+3a﹣2＞0，
解得a，
综上可得：．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的对称性质，图象性质，熟练掌握以上内容是解题关键．
2．（2025 番禺区校级二模）如图已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；其中错误的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答．
【解答】解：由抛物线的开口方向向下，则a＜0，
故①正确；
∵抛物线的顶点为P（1，m），
∴b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故②错误；
∵抛物线经过点A（2，1），
∴1＝a 22+2b+c，即4a+2b+c＝1，
故③正确；
∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，
故④正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征，灵活运用二次函数图象的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
3．（2025 普兰店区一模）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴交于A，B两点（点A在点B上方）且与x轴正半轴交于点C，直线l的解析式为，与x轴交于点D，以点C为顶点的抛物线经过点B．动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，记此时的最小距离为d，点P的坐标为（xP，yP），则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】连接AE，由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3，利用勾股定理求出OA的长，结合垂径定理求出OC的长，从而得到C点坐标，进而得到抛物线的解析式；过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M，设M（m，m+4），P（m，m2+m﹣4），得到PMm+4﹣（m2+m﹣4）m2m+8（m﹣2）2，根据函数的性质求出PM的最小值以及点P坐标，根据△PQM的三个内角固定不变，得到PQ最小＝PM最小 sin∠QMP＝PM最小 sin∠AEO，然后代入求解即可．
【解答】解：如图1，连接AE，由已知得：AE＝CE＝5，OE＝3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA4，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理得，OB＝OA＝4，
OC＝OE+CE＝3+5＝8，
∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），
∵抛物线的顶点为C，
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣8）2，
将点B的坐标代入上解析的式，得64a＝﹣4，故a，
∴y（x﹣8）2，
如图2，过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q，过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M．
设M（m，m+4），P（m，m2+m﹣4），则
PMm+4﹣（m2+m﹣4）m2m+8（m﹣2）2，
当m＝2时，PM取得最小值，
此时，P（2，），
对于△PQM，
∵PM⊥x轴，
∴∠QMP＝∠DAO＝∠AEO，
又∠PQM＝90°，
∴△PQM的三个内角固定不变，
∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，
∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，
PQ最小＝PM最小 sin∠QMP＝PM最小 sin∠AEO，
∴当抛物线上的动点P的坐标为（2，）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离d为，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及勾股定理、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值等知识，在解答时要注意点P、点M坐标的设法，以便利用二次函数的最值求解．
4．（2025 涧西区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，﹣3），（5，﹣3），则下列说法：①当x＜1时，y随x的增大而减小；②若点（0，m），（5，n）在该函数的图象上，则m＞n；③该函数图象的对称轴是直线x＝3；④该函数的图象有最低点．正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】依据题意，由二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，﹣3），（5，﹣3），可得对称轴是直线x2，再结合二次函数的性质，逐个判断可以得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，﹣3），（5，﹣3），
∴对称轴是直线x2，故③错误．
∴b＝﹣4，且当x＜2时，y随x的增大而减小，故①正确．
∵对称轴是直线x＝2，
∴点（0，m）的对称点为（4，m）．
又∵当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴当4＜5时，m＜n，故②错误．
∵抛物线开口向上，
∴函数有最小值，图象有最低点，故④正确．
综上，正确的是①④．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
5．（2025 孝义市三模）将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣（x+1）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣5）2﹣1
C．y＝﹣（x+1）2+3 D．y＝﹣（x﹣5）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：将抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣2+3）2+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．（2025 安庆二模）二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣1 0 1 3 …
y … 1 3 4 3 …
下列关于该二次函数的说法，错误的是（　　）
A．当x＝4时，y＝1
B．当x＜1时，y随x的增大而增大
C．当x＝1时，y有最大值4
D．当0＜x＜3时，y＞3
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】由抛物线的对称性及抛物线经过（0，3），（3，3），可得抛物线对称轴，再根据抛物线经过（﹣1，1）可得抛物线的开口方向，进而可判断各选项．
【解答】解：∵抛物线经过（0，3），（3，3），
∴抛物线对称轴为直线x，
∵抛物线经过（﹣1，1），
∴抛物线经过（4，1），选项A正确．
∵x＝0时，y＝3，x＝﹣1时y＝1，且﹣1＜0，
∴x时，y随x增大而增大，即抛物线开口向下，
∴x时，y取最大值，
∴选项B正确，选项C错误，
∵抛物线开口向下，抛物线经过（0，3），（3，3），
∴0＜x＜3时，y＞3，
∴选项D正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据表格得出二次函数的开口方向及对称轴．
7．（2025 旬邑县校级模拟）已知二次函数y＝x2﹣6x+8，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取m﹣2，m+2时，对应的函数值为y1，y2，则y1，y2满足（　　）
A．y1＜0，y2＜0 B．y1＞0，y2＞0 C．y1＞0，y2＜0 D．y1＜0，y2＞0
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】先解方程得到抛物线y＝x2﹣6x+8与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0），根据二次函数的性质得到2＜m＜4，由于m﹣2＜2，m+2＞4，所以y1＞0，y2＞0．
【解答】解：当y＝0时，x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴抛物线y＝x2﹣6x+8与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0），
∵当自变量x取m时，对应的函数值小于0，
而抛物线开口向上，
∴2＜m＜4，
∵m﹣2＜2，m+2＞4，
∴y1＞0，y2＞0．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
8．（2025 温江区校级模拟）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为y＝ax2+bx+c（a≠0），画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 ﹣3 …
关于此函数下列说法不正确的是（　　）
A．函数图象开口向下
B．当x＝2时，该函数有最大值
C．当x＝0时，y＝﹣3
D．若在函数图象上有两点A（x1，﹣4），，则x1＞x2
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】D
【分析】先由表中数据可知，y随x先增大后减小，得到函数图象开口向下，利用y＝0时，x＝1或3，得到对称轴，再结合开口方向得到增减性，利用对称轴和增减性进行判断．
【解答】解：由表中数据可知，y随x先增大后减小，
∴函数图象开口向下，
故A正确，不符合题意，
∵x＝1，y＝0；x＝3，y＝0，
∴对称轴为直线x2，
∵开口向下，
∴当x＝2时，该函数有最大值，
故B正确，不符合题意，
∵对称轴为x＝2，x＝4时，y＝﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
故C正确，不符合题意，
在函数图象上有两点A（x1，﹣4），，
当A，B都在对称轴左侧时，x1＜x2，
当A，B都在对称轴右侧时，x1＞x2，
当A在左侧，B在右侧时，x1＜x2，
当A在右侧，B在左侧时，x1＞x2，
故D不正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，根据图表反映的信息，结合二次函数的性质去判断即解题的关键．
9．（2025 广州）在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）上，则下列结论中正确的是（　　）
A．当x1＜0且y1 y2＜0时，则0＜x2＜2
B．当x1＜0且y1 y2＞0时，则0＜x2＜2
C．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2
D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0）开口向上，顶点为（1，﹣a），与x轴交于（0，0）和（2，0），分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax（a＞0），
∴抛物线的开口向上，
则对称轴为直线，
把x＝1代入y＝ax2﹣2ax得y＝a﹣2a＝﹣a，
∴顶点为（1，﹣a），
∵两点A（x1，y1）．B（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a＞0），
∴当x1＜0目y1 y2＜0时，y1＞0（因x＜0时抛物线在x轴上方），
故y2＜0，
此时0＜x2＜2，故A选项的结论正确；
当x1＜x2＜1时，抛物线在x＜1时递减，
故x2越大，y2越小，
即y1＞y2，故B选项的结论错误；
当x1＜0且y1 y2＞0时，y2＞0，
此时x2应满足x2＜0或x2＞2，故C选项的结论错误；
当x1＞x2＞1时，抛物线在x＞1时递增，
故x1越大，y1越大，
即y1＞y2，故D选项的结论错误；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象性质，掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
10．（2025 滁州三模）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（　　）
A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2
C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2
【考点】根据实际问题列二次函数关系式．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】D
【分析】由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出y关于x的函数关系式．
【解答】解：∵该地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作x，
∴第二天销售额为a（1+x）万元，第三天销售额为a（1+x）2万元．
根据题意得：y＝x+a（1+x）+a（1+x）2．
故选：D．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 武汉）已知二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2（a为常数，且a≠0）．下列五个结论：
①该函数图象经过点（﹣1，0）；
②若a＝﹣1，则当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；
③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；
④若a＞2，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1；
⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个．
其中正确的是　①②④⑤　 （填写序号）．
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】①②④⑤．
【分析】把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝0，即可判断①；
当a＝﹣1时，该二次函数开口向下，求出对称轴为直线x，则可根据增减性判断②；利用判别式的值可直接判断③；
由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1，设另一个根为x2，由韦达定理可知，故当a＞2时，有，进而可判断④；
⑤当a＞2时，对称轴为直线x0，则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解，将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象，令y＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点，其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余都为负，即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，即判断⑤．
【解答】解：把x＝﹣1代入二次函数y＝ax2+（a﹣2）x﹣2中，得y＝a+2﹣a﹣2＝0，
故该函数图象经过点（﹣1，0），故①正确；
当a＝﹣1时，该二次函数开口向下，
对称轴为直线x，
故当x时，y随x的增大而减小，
因此当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故②正确；
∵Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣2）2+8a＝（a+2）2≥0，
∴该函数图象与x轴有两个不同公共点或只有一个公共点，故③错误；
由①可知关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根为﹣1，
设另一个根为x2，由韦达定理可知，
∴，
当a＞2时，有，
即关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝0有一个根大于0且小于1，故④正确；
当a＞2时，对称轴为直线x0，
则关于x的方程ax2+（a﹣2）x﹣2＝﹣2有两个非正解，
将y＝ax2+（a﹣2）x﹣2在x轴下方的图象沿x轴翻折可得到函数y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|的图象，
令y＝2，则直线y＝2与y＝|ax2+（a﹣2）x﹣2|共有4个不同交点，
其中只有一个最右侧交点横坐标为正，其余都为负，
即关于x的方程|ax2+（a﹣2）x﹣2|＝2的正数根只有一个，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题考查了二次函数的图象、增减性质、对称性质、根的判别式、韦达定理、二次函数图象的轴对称变换、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握以上内容并能数形结合分析题意是解题关键．
12．（2025 邯郸模拟）如图，抛物线L：（b为常数），当抛物线L经过点M（﹣4，m），N（6，m）时．
（1）抛物线L的顶点坐标为 　（1，）　 ．
（2）若0≤x≤n时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 　1≤n≤2　 ．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）（1，）；
（2）1≤n≤2．
【分析】（1）利用点M（﹣4，m），N（6，m）两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标；
（2）利用二次函数的性质，进行解答即可．
【解答】解：（1）∵抛物线L经过点M（﹣4，m），N（6，m），
∴抛物线L的对称轴为直线x1，
∴b，
∴L1的函数表达式为yx2x﹣3，
当x＝1时，y3，
∴抛物线L的顶点坐标为（1，），
故答案为：（1，）；
（2）∵yx2x﹣3与y轴交于点D（0，﹣3），
则点D关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3），
∵抛物线L的开口向上，
∴当0≤x≤2时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是﹣3，
最低点总是（1，），两个点的竖直距离总为，
∴当1≤n≤2时，函数（1，）的最大值与最小值的差总为．
故答案为：1≤n≤2．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟知上述性质是解题的关键．
13．（2025 定西模拟）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2，那么小球到达最大高度的时间是 　3　 s．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】3．
【分析】已知高度h与时间t的关系式为h＝30t﹣5t2，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处，求出顶点的横坐标t即可．
【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，
小球到达最大高度的时间是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键掌握二次函数的最值问题．
14．（2025 兰陵县一模）若抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝m只有一个公共点，则m的值为　m＝﹣1　 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】m＝﹣1．
【分析】当抛物线y＝x2﹣2x与直线y＝m只有一个公共点，联立方程x2﹣2x＝m，根据Δ＝b2﹣4ac＝0，解出m，即可．
【解答】解：∵抛物线与直线y＝m只有一个公共点，
∴x2﹣2x＝m，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：m＝﹣1．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程的综合，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程方程的关系．
15．（2025 南京一模）在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表，则m　＞　 n（填“＞”“＜”“≥”“≤”或“＝”）．
x ﹣3 ﹣2 1 2 3
y ﹣7 ﹣2 m n ﹣2
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】＞．
【分析】依据题意，根据表格数据可得图象过（﹣2，﹣2），（3，﹣2），从而对称轴是直线x，又由表格数据可得，当x时，y随x的增大而增大，故抛物线开口向下，则当x时，y随x的增大而减小，结合1＜2，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，根据表格数据可得，图象过（﹣2，﹣2），（3，﹣2），
∴对称轴是直线x．
由表格数据可得，当x时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向下．
∴当x时，y随x的增大而减小．
又∵1＜2，
∴m＞n．
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 天河区校级四模）已知抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围．
（2）若m为正整数，化简A并求值：A．
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；分式的化简求值．
【专题】分式；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）m＜4；（2）A；．
【分析】（1）依据题意，由抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴有两个不同的交点，则Δ＝16﹣4m＞0，进而计算可以得解；
（2）依据题意得，A，又A要有意义，故m≠1且m≠2，结合m＜4，且m为正整数，从而m＝3，代入计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝16﹣4m＞0．
∴m＜4．
（2）由题意得，A
（）

．
又∵A要有意义，
∴m≠1且m≠2．
又∵m＜4，且m为正整数，
∴m＝3．
∴A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、分式的化简求值、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用根的判别式是关键．
17．（2025 天河区校级四模）如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，若点F是y轴上的动点，直线BF与抛物线交于点G．当∠FBA＝∠BDE时，求点G的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）yx2+2x+6，D（2，8）；
（2）G点坐标为（﹣1，）或（﹣3，）；
（3）Q点坐标为（2，﹣2﹣2）或（2）．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据题意求出tan∠BDE＝tan∠ABF，可得OF＝3，则点F（0，3）或（0，﹣3），分别求直线BF与抛物线的交点即可；
（3）根据正方形的性质和抛物线的对称性可知Q点横坐标为2，P（2，0），设M（m，m2+2m+6），则N（4﹣m，m2+2m+6），Q（2，﹣m2+4m+12），再由PQ＝MN，得到|4﹣2m|＝|﹣m2+4m+12|，解得m＝3±或m＝1±，当m＝3与m＝1时，Q（2，﹣2﹣2）；当m＝1与m＝3时，Q（2，22）．
【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），C（0，6）代入y＝ax2+2x+c中，
∴，
解得，
∴yx2+2x+6；
∵yx2+2x+6（x﹣2）2+8，
∴D（2，8）；
（2）∵DE⊥x轴，
∴E（2，0），
∴BE＝4，DE＝8，
∴tan∠BDE，
∵∠FBA＝∠BDE，
∴tan∠ABF，
∴，即OF＝3，
∴F（0，3）或（0，﹣3），
当F（0，3）时，直线BF的解析式为yx+3，
当x+3x2+2x+6时，解得x＝6或x＝﹣1，
∴G（﹣1，）；
当F（0，﹣3）时，直线BF的解析式为yx﹣3，
当x﹣3x2+2x+6时，解得x＝6或x＝﹣3，
∴G（﹣3，）；
综上所述：G点坐标为（﹣1，）或（﹣3，）；
（3）∵MN∥x轴，
∴MN关于直线x＝2对称，
∵线段MN为对角线作正方形MPNQ，
∴PQ⊥x轴，且P、Q点在x轴上，
∴Q点横坐标为2，P（2，0），
设M（m，m2+2m+6），则N（4﹣m，m2+2m+6），Q（2，﹣m2+4m+12），
∴MN＝|4﹣2m|，PQ＝|﹣m2+4m+12|，
∵PQ＝MN，
∴|4﹣2m|＝|﹣m2+4m+12|，
解得m＝3±或m＝1±，
当m＝3与m＝1时，Q（2，﹣2﹣2）；
当m＝1与m＝3时，Q（2，22）；
综上所述：Q点坐标为（2，﹣2﹣2）或（2）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角函数值的定义，正方形的性质是解题的关键．
18．（2025 顺德区校级三模）平移抛物线后得到的抛物线经过和B（﹣5，0）．
（1）求平移后抛物线的顶点坐标；
（2）设点M（x1，y1），N（x2，y2）都在平移后的抛物线上，若满足x1＞x2且x1+x2＝1，比较y1与y2的大小并说明理由；
（3）直线x＝m（m＜0）与平移后的抛物线交于点P，与平移前的抛物线交于点Q，记点P在平移前的抛物线上的对应点为P′．若以P、P′、B、Q四点为边的四边形有一组对边平行，求点P的坐标．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（﹣2，3）；
（2）y1＜y2；
（3）（﹣3，）或（﹣7，）．
【分析】（1）设平移后的函数解析式为y（x﹣h）2+k，将点和B（﹣5，0）代入，即可求函数的解析式；
（2）根据所给的条件求出x1，x2，再求出M、N与对称轴的距离的关系为x1+2，x2+2，即可得到y1＜y2；
（3）设P（m，m2m），则P'（m+2，m2m），Q（m，m2），当﹣5＜m＜0时，当PB∥P'Q时，（m﹣1）（m+1），求得P（﹣3，）；当BQ∥PP'时，，求得P（﹣3，）；当m＜﹣5时，当PQ∥BP'时，m+2＝﹣5，求得P（﹣7，）．
【解答】解：（1）设平移后的函数解析式为y（x﹣h）2+k，
将点和B（﹣5，0）代入，
∴，
解得，
∴y（x+2）2+3，
∴顶点为（﹣2，3）；
（2）∵x1+x2＝1，x1＞x2，
∴1﹣x2＞x2，x1＞1﹣x1，
解得x1，x2，
∵y（x+2）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∵x1+2，x2+2，
∴y1＜y2；
（3）设P（m，m2m），则P'（m+2，m2m），Q（m，m2），
当﹣5＜m＜0时，
直线PB的解析式为y（m﹣1）x（m﹣1），
直线P'Q的解析式为y（m+1）xm2，
直线BQ的解析式为yx，
直线PP'的解析式为yxm2m，
当PB∥P'Q时，（m﹣1）（m+1），解得m＝﹣3，
∴P（﹣3，）；
当BQ∥PP'时，，解得m＝﹣3或m（舍），
∴P（﹣3，）；
当m＜﹣5时，
当PQ∥BP'时，m+2＝﹣5，解得m＝﹣7，
∴P（﹣7，）；
综上所述：P点坐标为（﹣3，）或（﹣7，）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
19．（2025 天山区校级三模）我国新能源汽车发展迅猛，公共充电桩建设也快速推进．图1是一电动汽车充电站的停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数y＝﹣0.02x2+bx+c的图象，支柱OA＝1.6m，最外端点B的坐标为（6，2.68）．若一辆厢式纯电货车需在停车棚下避雨，货车截面可看作长CD＝4m，高DE＝2.2m的矩形．
（1）求该二次函数的表达式．
（2）判断此纯电货车　不能　 （填“能”或“不能”）完全停到车棚内，并说明理由．
（3）为确保在车棚内能容纳长5m、高2.5m的车辆进入充电，现对该车棚进行改造．受经费与场地面积所限，仍使用原来的棚顶，采用抬高支柱OA的方式进行改造，则抬高的高度至少需要大于多少米？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6；
（2）不能，理由见解答；
（3）抬起的高度至少需要大于0.62米．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由题意得，点F的横坐标为6﹣4＝2，当x＝2时，y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6＝2.72＞2.2，即可求解；
（3）设提高n米，则新抛物线的表达式为：y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6+n，由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为x＝6﹣5＝1，当x＝1时，y≥2.5，则符合要求，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：c＝1.6，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.02x2+bx+1.6，
将点B的坐标代入上式得：2.68＝﹣0.02×36+6b+1.6，
解得b＝0.3，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6；
（2）不能，理由：
由题意得，点F的横坐标为6﹣4＝2，
当x＝2时，y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6＝2.12＜2.2，
故纯电货车不能完全停到车棚内，
故答案为：不能；
（3）设提高n米，
则新抛物线的表达式为：y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6+n，
由题意得，车最左上端（对应（2）中F）的横坐标为x＝6﹣5＝1，
当x＝1时，y≥2.5，则符合要求，
当x＝1时，y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6+n＝﹣0.02+0.3+1.6+n≥2.5，
则n≥0.62，
故抬起的高度至少需要大于0.62米．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到求函数表达式，理解题意，将题目中的数据和函数表达式对应是解题的关键．
20．（2025 三门峡模拟）某班同学前往养鹅大户王大伯家开展调研活动．根据王大伯往年的饲养经验，他们发现：饲养A种白鹅获得的利润y1（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为y1＝ax2，饲养B种白鹅获得的利润y2（万元）与投资金额x（万元）的函数关系式为y2＝﹣3ax2+bx．画出两函数的图象如图所示．
（1）求函数y1，y2的表达式．
（2）王大伯计划明年投资10万元饲养A，B这两种白鹅．根据以往经验，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）当投资5万元饲养A种白鹅，则B种白鹅的投资也为5万元时，可使得利润最大，最大利润为7.5万元．
【分析】（1）把点（10，5）代入可得a的值，然后再进行求解y2的解析式即可；
（2）设投资m（0≤m≤10）万元饲养A种白鹅，则B种白鹅的投资为（10﹣m）万元，由题意可得，进而根据二次函数的性质可进行求解．
【解答】解：（1）由条件可得，5＝100a，5＝﹣300a+10b，
解得：，b＝2，
∴；
（2）设投资m（0≤m≤10）万元饲养A种白鹅，则B种白鹅的投资为（10﹣m）万元，由题意得：
，
整理得：，
∴当m＝5时，y1+y2有最大值，最大值为7.5；
答：当投资5万元饲养A种白鹅，则B种白鹅的投资也为5万元时，可使得利润最大，最大利润为7.5万元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意．
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