第十六章 二次根式（巩固复习.含解析）-2024-2025学年八年级下册数学人教版
文档属性
| 名称 | 第十六章 二次根式（巩固复习.含解析）-2024-2025学年八年级下册数学人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 264.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-06 15:04:56 | ||
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文档简介
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暑假巩固复习 二次根式
一．选择题（共10小题）
1．（2025 织金县三模）将化为最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025 广州）下列运算正确的是（ ）
A．a3 a5＝a15 B．（﹣2ab）3＝8a3b3
C．（a≥b≥0） D．2（a≥0）
3．（2025 磁县校级四模）已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025 长沙模拟）下列计算中，结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025 孝义市三模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025 沙坪坝区校级三模）估算的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．（2025 铜山区三模）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
8．（2025 碧江区 模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025 衡阳校级模拟）下列计算中，正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．（3a）2＝6a2 C． D．
10．（2025 邯郸模拟）若，，则（ ）
A．15 B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 昌邑区校级三模）计算： ．
12．（2025 静宁县校级三模）若x，y为实数，且，则 ．
13．（2025 武安市二模）计算： ．
14．（2025 铁锋区二模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
15．（2025 绵竹市模拟）已知m是的小数部分，则的值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 旬邑县校级模拟）计算：．
17．（2025 莲池区校级模拟）如图，现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C．
（1）正方形木板A的边长为 分米，B的边长为 分米，C的边长为 分米；
（2）求木板①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16平方分米的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
18．（2025 新城区校级三模）计算：．
19．（2025 琼山区校级二模）综合与实践：
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点A，B，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，△ABC的面积为 ；
（2）在图2所示的正方形网格中画出△GHQ（顶点都在格点上），使GH，HQ，并求出△GHQ的面积；
【继续探究】
第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式：
海伦公式：S，其中p（a+b+c）；
秦九韶公式：S．
（3）一个三角形的三边长依次为，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）．
20．（2025 肥城市三模）按要求完成下列各题．
（1）计算：；
（2）化简：．
暑假巩固复习 二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 织金县三模）将化为最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】最简二次根式应满足两个条件，1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：根据二次根式的性质、最简二次根式的定义可知：
，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质、最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足两个条件．
2．（2025 广州）下列运算正确的是（ ）
A．a3 a5＝a15 B．（﹣2ab）3＝8a3b3
C．（a≥b≥0） D．2（a≥0）
【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a3 a5＝a8，则A不符合题意，
（﹣2ab）3＝﹣8a3b3，则B不符合题意，
与不一定是同类二次根式，无法合并，则C不符合题意，
2（a≥0），则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．（2025 磁县校级四模）已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】依据题意，由一个长方形面积是，宽是，则它的长为：2，进而得解．
【解答】解：由题意，∵一个长方形面积是，宽是，
∴它的长为：2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
4．（2025 长沙模拟）下列计算中，结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法和乘方法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；
B、523，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、（）2＝2，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2025 孝义市三模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、2，故B符合题意；
C、（2）（2）＝3﹣4＝﹣1，故C不符合题意；
D、（）1，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（2025 沙坪坝区校级三模）估算的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用二次根式的运算法则计算后利用无理数的估算即可求得答案．
【解答】解：原式＝3×（2）
＝3
，
∵36＜45＜49，
∴67，
即原式的值在6和7之间，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7．（2025 铜山区三模）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质得出3﹣x的取值范围，进而求出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．
8．（2025 碧江区 模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加法运算对A、B选项进行判断；根据二次根式的除法运算对C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D项进行判断．
【解答】解：A．2，所以A选项不符合题意；
B．23，所以B选项不符合题意；
C．2，所以C选项不符合题意；
D．2，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
9．（2025 衡阳校级模拟）下列计算中，正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．（3a）2＝6a2 C． D．
【考点】二次根式的混合运算；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】分别根据同底数幂的除法运算、积的乘方运算、二次根式加法和乘法运算法则逐项计算即可．
【解答】解：A、a8÷a4＝a4，原计算错误，不符合题意；
B、（3a）2＝9a2，原计算错误，不符合题意；
C、不是同类二次根式，不可相加，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则、二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则解题的关键．
10．（2025 邯郸模拟）若，，则（ ）
A．15 B． C． D．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】首先求出a2＝3，b2＝5，然后代入化简即可．
【解答】解：由条件可得a2＝3，b2＝5，
∴．
故选：B．
【点评】此题考查了二次根式的化简，熟练掌握该知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 昌邑区校级三模）计算： ．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据二次根式的乘除运算求解即可．
【解答】解：根据二次根式的乘除运算法则可得：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
12．（2025 静宁县校级三模）若x，y为实数，且，则 4 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可得出y的值，再根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：根据题意得，
解得x＝8，
∴y＝2，
∴4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，正确计算是解题的关键．
13．（2025 武安市二模）计算： 6 ．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键．
14．（2025 铁锋区二模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x＞﹣1且x≠2 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；零指数幂．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】零指数幂有意义的条件是底数不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
【解答】解：由条件可知，
∴x＞﹣1且x≠2，
故答案为：x＞﹣1且x≠2．
【点评】本题主要考查了零指数幂有意义的条件，分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是关键．
15．（2025 绵竹市模拟）已知m是的小数部分，则的值为 4 ．
【考点】二次根式的性质与化简；完全平方公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先估算得到m2，则2，即m，利用完全平方公式得到原式，再根据二次根式的性质得到原式＝|m|，去绝对值得原式＝﹣m，然后把m和的值代入计算即可．
【解答】解：∵m是的小数部分，
∴m2，
原式|m|
∵m2，
∴2，即m，
∴原式＝﹣（m）
＝﹣m
＝﹣（2）2
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，估算无理数的大小，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 旬邑县校级模拟）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】3．
【分析】先进行乘方运算，再根据二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣14
＝﹣14
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
17．（2025 莲池区校级模拟）如图，现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C．
（1）正方形木板A的边长为 2 分米，B的边长为 2 分米，C的边长为 3 分米；
（2）求木板①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16平方分米的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）2，2，3；
（2）不能截出．理由见解答．
【分析】（1）根据正方形方面积公式求解；
（2）根据题意列出代数式，再计算求解；
（3）比较无理数的大小．
【解答】解：（1）∵在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C，
∴正方形木板A的边长为2分米，B的边长为2分米，C的边长为3分米，
故答案为：2，2，3；
（2）（23）4﹣8﹣18＝1020﹣30＝（1010）平方分米；
（3）不能截出．
理由：正方形木板的边长为4分米，
∵2+24，58，
∴不能截出．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形的面积公式和二次根式的运算是解题的关键．
18．（2025 新城区校级三模）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】原式先计算平方和负整数指数幂，再计算乘法，最后进行加减运算即可．
【解答】解：
＝5+21+9﹣（﹣3）×（﹣5）
．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（2025 琼山区校级二模）综合与实践：
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点A，B，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，△ABC的面积为 3.5 ；
（2）在图2所示的正方形网格中画出△GHQ（顶点都在格点上），使GH，HQ，并求出△GHQ的面积；
【继续探究】
第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式：
海伦公式：S，其中p（a+b+c）；
秦九韶公式：S．
（3）一个三角形的三边长依次为，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力；应用意识．
【答案】（1），，，3.5；（2）作图见解析；△GHQ的面积为3；（3）．
【分析】（1）依据题意，根据勾股定理分别求出AB、BC、AC，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出△ABC的面积；
（2）依据题意，根据勾股定理画出△GHQ，根据矩形的面积公式、三角形的面积公式求出△GHQ的面积；
（3）依据题意，把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）由题意，AB，BC，AC．
S△ABC＝S长方形DEFC﹣S△ADC﹣S△AEB﹣S△BCF
＝92×32×13×1
＝9﹣3﹣1﹣1.5
＝3.5．
故答案为：，，，3.5．
（2）由题意，可以作图如下．
S△GHQ＝S长方形ABQD﹣S△AGH﹣S△BGQ﹣S△DHQ
＝82×12×24×1
＝8﹣1﹣2﹣2
＝3．
答：△GHQ的面积为3．
（3）由题意，令，b，，
∴a2＝5，b2＝6，c2＝7．
∴
．
【点评】本题主要考查了勾股定理、二次根式的化简、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
20．（2025 肥城市三模）按要求完成下列各题．
（1）计算：；
（2）化简：．
【考点】二次根式的混合运算；分式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）
421
1+221
＝3；
（2）
＝[（a﹣1）]
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
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暑假巩固复习 二次根式
一．选择题（共10小题）
1．（2025 织金县三模）将化为最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025 广州）下列运算正确的是（ ）
A．a3 a5＝a15 B．（﹣2ab）3＝8a3b3
C．（a≥b≥0） D．2（a≥0）
3．（2025 磁县校级四模）已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025 长沙模拟）下列计算中，结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025 孝义市三模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025 沙坪坝区校级三模）估算的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
7．（2025 铜山区三模）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
8．（2025 碧江区 模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025 衡阳校级模拟）下列计算中，正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．（3a）2＝6a2 C． D．
10．（2025 邯郸模拟）若，，则（ ）
A．15 B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 昌邑区校级三模）计算： ．
12．（2025 静宁县校级三模）若x，y为实数，且，则 ．
13．（2025 武安市二模）计算： ．
14．（2025 铁锋区二模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
15．（2025 绵竹市模拟）已知m是的小数部分，则的值为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 旬邑县校级模拟）计算：．
17．（2025 莲池区校级模拟）如图，现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C．
（1）正方形木板A的边长为 分米，B的边长为 分米，C的边长为 分米；
（2）求木板①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16平方分米的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
18．（2025 新城区校级三模）计算：．
19．（2025 琼山区校级二模）综合与实践：
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点A，B，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，△ABC的面积为 ；
（2）在图2所示的正方形网格中画出△GHQ（顶点都在格点上），使GH，HQ，并求出△GHQ的面积；
【继续探究】
第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式：
海伦公式：S，其中p（a+b+c）；
秦九韶公式：S．
（3）一个三角形的三边长依次为，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）．
20．（2025 肥城市三模）按要求完成下列各题．
（1）计算：；
（2）化简：．
暑假巩固复习 二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 织金县三模）将化为最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】最简二次根式应满足两个条件，1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：根据二次根式的性质、最简二次根式的定义可知：
，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质、最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足两个条件．
2．（2025 广州）下列运算正确的是（ ）
A．a3 a5＝a15 B．（﹣2ab）3＝8a3b3
C．（a≥b≥0） D．2（a≥0）
【考点】二次根式的加减法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方法则逐项判断即可．
【解答】解：a3 a5＝a8，则A不符合题意，
（﹣2ab）3＝﹣8a3b3，则B不符合题意，
与不一定是同类二次根式，无法合并，则C不符合题意，
2（a≥0），则D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的加减法，同底数幂乘法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．（2025 磁县校级四模）已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】依据题意，由一个长方形面积是，宽是，则它的长为：2，进而得解．
【解答】解：由题意，∵一个长方形面积是，宽是，
∴它的长为：2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
4．（2025 长沙模拟）下列计算中，结果错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法和乘方法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；
B、523，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、（）2＝2，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（2025 孝义市三模）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、2，故B符合题意；
C、（2）（2）＝3﹣4＝﹣1，故C不符合题意；
D、（）1，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（2025 沙坪坝区校级三模）估算的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【考点】二次根式的混合运算；估算无理数的大小．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】利用二次根式的运算法则计算后利用无理数的估算即可求得答案．
【解答】解：原式＝3×（2）
＝3
，
∵36＜45＜49，
∴67，
即原式的值在6和7之间，
故选：C．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7．（2025 铜山区三模）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式的性质得出3﹣x的取值范围，进而求出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．
8．（2025 碧江区 模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的加法运算对A、B选项进行判断；根据二次根式的除法运算对C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D项进行判断．
【解答】解：A．2，所以A选项不符合题意；
B．23，所以B选项不符合题意；
C．2，所以C选项不符合题意；
D．2，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
9．（2025 衡阳校级模拟）下列计算中，正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．（3a）2＝6a2 C． D．
【考点】二次根式的混合运算；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】分别根据同底数幂的除法运算、积的乘方运算、二次根式加法和乘法运算法则逐项计算即可．
【解答】解：A、a8÷a4＝a4，原计算错误，不符合题意；
B、（3a）2＝9a2，原计算错误，不符合题意；
C、不是同类二次根式，不可相加，原计算错误，不符合题意；
D、，正确，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则、二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则解题的关键．
10．（2025 邯郸模拟）若，，则（ ）
A．15 B． C． D．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】首先求出a2＝3，b2＝5，然后代入化简即可．
【解答】解：由条件可得a2＝3，b2＝5，
∴．
故选：B．
【点评】此题考查了二次根式的化简，熟练掌握该知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 昌邑区校级三模）计算： ．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据二次根式的乘除运算求解即可．
【解答】解：根据二次根式的乘除运算法则可得：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
12．（2025 静宁县校级三模）若x，y为实数，且，则 4 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，即可得出y的值，再根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：根据题意得，
解得x＝8，
∴y＝2，
∴4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，正确计算是解题的关键．
13．（2025 武安市二模）计算： 6 ．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键．
14．（2025 铁锋区二模）若在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x＞﹣1且x≠2 ．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件；零指数幂．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】零指数幂有意义的条件是底数不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可．
【解答】解：由条件可知，
∴x＞﹣1且x≠2，
故答案为：x＞﹣1且x≠2．
【点评】本题主要考查了零指数幂有意义的条件，分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是关键．
15．（2025 绵竹市模拟）已知m是的小数部分，则的值为 4 ．
【考点】二次根式的性质与化简；完全平方公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先估算得到m2，则2，即m，利用完全平方公式得到原式，再根据二次根式的性质得到原式＝|m|，去绝对值得原式＝﹣m，然后把m和的值代入计算即可．
【解答】解：∵m是的小数部分，
∴m2，
原式|m|
∵m2，
∴2，即m，
∴原式＝﹣（m）
＝﹣m
＝﹣（2）2
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，估算无理数的大小，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 旬邑县校级模拟）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】3．
【分析】先进行乘方运算，再根据二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣14
＝﹣14
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．
17．（2025 莲池区校级模拟）如图，现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C．
（1）正方形木板A的边长为 2 分米，B的边长为 2 分米，C的边长为 3 分米；
（2）求木板①中阴影部分的面积；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16平方分米的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）2，2，3；
（2）不能截出．理由见解答．
【分析】（1）根据正方形方面积公式求解；
（2）根据题意列出代数式，再计算求解；
（3）比较无理数的大小．
【解答】解：（1）∵在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C，
∴正方形木板A的边长为2分米，B的边长为2分米，C的边长为3分米，
故答案为：2，2，3；
（2）（23）4﹣8﹣18＝1020﹣30＝（1010）平方分米；
（3）不能截出．
理由：正方形木板的边长为4分米，
∵2+24，58，
∴不能截出．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形的面积公式和二次根式的运算是解题的关键．
18．（2025 新城区校级三模）计算：．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】．
【分析】原式先计算平方和负整数指数幂，再计算乘法，最后进行加减运算即可．
【解答】解：
＝5+21+9﹣（﹣3）×（﹣5）
．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19．（2025 琼山区校级二模）综合与实践：
【问题情境】
某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动．
【操作发现】
第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点A，B，他们借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，△ABC的面积为 3.5 ；
（2）在图2所示的正方形网格中画出△GHQ（顶点都在格点上），使GH，HQ，并求出△GHQ的面积；
【继续探究】
第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式：
海伦公式：S，其中p（a+b+c）；
秦九韶公式：S．
（3）一个三角形的三边长依次为，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力；应用意识．
【答案】（1），，，3.5；（2）作图见解析；△GHQ的面积为3；（3）．
【分析】（1）依据题意，根据勾股定理分别求出AB、BC、AC，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出△ABC的面积；
（2）依据题意，根据勾股定理画出△GHQ，根据矩形的面积公式、三角形的面积公式求出△GHQ的面积；
（3）依据题意，把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：（1）由题意，AB，BC，AC．
S△ABC＝S长方形DEFC﹣S△ADC﹣S△AEB﹣S△BCF
＝92×32×13×1
＝9﹣3﹣1﹣1.5
＝3.5．
故答案为：，，，3.5．
（2）由题意，可以作图如下．
S△GHQ＝S长方形ABQD﹣S△AGH﹣S△BGQ﹣S△DHQ
＝82×12×24×1
＝8﹣1﹣2﹣2
＝3．
答：△GHQ的面积为3．
（3）由题意，令，b，，
∴a2＝5，b2＝6，c2＝7．
∴
．
【点评】本题主要考查了勾股定理、二次根式的化简、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
20．（2025 肥城市三模）按要求完成下列各题．
（1）计算：；
（2）化简：．
【考点】二次根式的混合运算；分式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）3；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）
421
1+221
＝3；
（2）
＝[（a﹣1）]
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
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