第九章 平面直角坐标系（暑假复习.含解析）-2024-2025学年七年级下册数学人教版（2024）

中小学教育资源及组卷应用平台
暑假巩固复面直角坐标系
一．选择题（共10小题）
1．（2025 武安市二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，边AB＝1，现将Rt△ABC以点A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，则经过2030次旋转后，点C的坐标为（　　）
A．（，1） B．（1，）
C．（，1） D．（1，0）
2．（2025 邯山区校级模拟）在平面直角坐标系中，将由点M（m，n）向点的移动称为“交错移动”．例如，点（2，3）经过两次“交错移动”，先移动到点（﹣5，2），再移动到点.下列各点中，无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧的是（　　）
A．点 B．点
C．点 D．点
3．（2025 江汉区模拟）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．则点（4，3）经过2025次运算后得到点是（　　）
A．（4，4） B．（2，1） C．（2，4） D．（4，2）
4．（2025 新吴区二模）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“科”“技”的坐标分别为（0，0），（2，0），则“新”所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025 大同四模）如图，方格纸上有A，B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为（﹣2，1）．若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
6．（2025 成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025 织金县模拟）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（0，3），（﹣1，1），则叶杆“底部”点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，4） B．（4，﹣2） C．（3，0） D．（﹣1，3）
8．（2025 浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l⊥x轴于点A（﹣6，0），直线m⊥y轴于点B（0，﹣3），则点P的坐标可能是（　　）
A．（﹣6.5，﹣3.5） B．（﹣6.5，﹣2.5）
C．（﹣5.5，﹣3.5） D．（﹣5.5，﹣2.5）
9．（2025 红花岗区二模）如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为（﹣1，2），月季园的坐标为（1，0），则牡丹园的坐标为（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣2，2） C．（﹣1，1） D．（﹣4，2）
10．（2025 肇庆一模）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣1，﹣1），点B的坐标为（1，1），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
二．填空题（共5小题）
11．（2025 齐齐哈尔四模） 2024年巴黎奥运会的吉祥物是“弗里热”．“弗里热”可以看作是数学中常见的三角形，数学活动小组将这个三角形置于平面直角坐标系中，如图，以OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，∠AOB＝45°，∠A＝60°，AB＝2，将△OAB沿x轴正半轴无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后点O的对应点为O1，点A的对应点为A1，点B的对应点为B1……按此规律，△OAB滚动2025次后停止滚动，则点B2025的坐标为　 　 ．
12．（2025 金凤区模拟）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A的坐标为（0，4），则点B的坐标为 　 　 ．
13．（2025 从江县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为（﹣1，2），则点Q的坐标为　 　 ．
14．（2025 定西模拟）象棋在中国有着悠久的历史，在春秋战国时代的文化名著《楚辞 招魂》中就有“蔽象棋，有六博兮”的词句，说明在当时已经有了“象棋”这个名词．如图，这是象棋的对奔图（部分），若棋子“帅”表示点（0，﹣3），棋子“仕”表示点（﹣1，﹣3），则棋子“马”所在点的坐标是 　 　 ．
15．（2025 万山区三模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO、AB的中点C、D的横坐标分别是2、5，则点B的坐标是　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 长安区校级模拟）已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题：
（1）若点Q的坐标为（3，3），且直线PQ∥y轴，求出点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标．
17．（2025 铜陵三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案．
（1）观察以上图形，完成下列表格：
图形 图1 图2 图3 图4 …
小正方形的个数 6 12 20
　 　
…
（2）将图n如图放置到平面直角坐标系xOy中，则点An的坐标是 　 　 ；
（3）不难发现点A0，A1，A2，A3，…An在同一直线上，连接A0An，利用面积法求图n需要小正方形的个数．
18．（2025 宿豫区二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造△ABC（点A、B、C都为小正方形的顶点）．
∵△ABC（构造图形），
∴AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）
∵（勾股定理），
∴．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是　 　 （填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想
B．整体思想
C．分类讨论思想
D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当x为　 　 时，的值最小，且最小值为A．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
19．（2025 南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点．
（1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）．
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为 　 　 ，最大值为 　 　 ．
②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（﹣2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是　 　 ．
（2）直线l平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线l的距离都是1，若点C（x，y）是直线l上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围．
20．（2025春 北京期中）已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC．
（2）求△ABC的面积；
（3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
暑假巩固复面直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 武安市二模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，边AB＝1，现将Rt△ABC以点A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，则经过2030次旋转后，点C的坐标为（　　）
A．（，1） B．（1，）
C．（，1） D．（1，0）
【考点】规律型：点的坐标；含30度角的直角三角形；勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】规律型．
【答案】A
【分析】先求出BC＝2AB＝2，，由题意可知，Rt△ABC 以A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，则每6次旋转1周，得到经过2030次旋转后，点C落在的位置，画出图形进行解答即可．
【解答】解：在 Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝1，
∴BC＝2AB＝2，
∴，
由题意可知，Rt△ABC 以A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，则每6次旋转1周．2030÷6＝338…2，
如图，Rt△ABC 以A（1，1）为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转60°，经过2030次旋转后，点C转到点D的位置，则，∠CAD＝120°，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于点H，
∵∠DAH＝∠CAD﹣∠CAH＝30°，
∴，
∴，
∵A（1，1），
∴点D的坐标是，
故选：A．
【点评】此题考查了旋转的性质、勾股定理、含30°角直角三角形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键．
2．（2025 邯山区校级模拟）在平面直角坐标系中，将由点M（m，n）向点的移动称为“交错移动”．例如，点（2，3）经过两次“交错移动”，先移动到点（﹣5，2），再移动到点.下列各点中，无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧的是（　　）
A．点 B．点
C．点 D．点
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】A
【分析】根据题意设初始点P（a，b），第一次“交错移动”后为点P1（a1，b1），第二次“交错移动”后为点P2（a2，b2），……以此类推，根据“交错移动”方式确定前四次移动后的点坐标，得出规律，再根据无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧列不等式，解不等式，即可解答．
【解答】解：设初始点P（a，b），根据题意可知：
，，，，
由此可知，P4以后的点和前面的点开始重复．
由条件可知a＜0，﹣2b+1＜0，﹣a﹣1＜0，2b﹣2＜0，
∴﹣1＜a＜0，，
则满足条件的点为，
故选：A．
【点评】该题考查了平面直角坐标系中点的特征，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是关键．
3．（2025 江汉区模拟）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．则点（4，3）经过2025次运算后得到点是（　　）
A．（4，4） B．（2，1） C．（2，4） D．（4，2）
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】D
【分析】根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可．
【解答】解：点（4，3）经过1次运算后得到点为（2，10），
经过2次运算后得到点为（1，5），
经过3次运算后得到点为（4，16），
经过4次运算后得到点为（2，8），
经过5次运算后得到点为（1，4），
经过6次运算后得到点为（4，2），
经过7次运算后得到点为（2，1），
经过8次运算后得到点为（1，4），
……，
发现规律：从第5次开始点（1，4）经过3次运算后还是（1，4），
∵（2025﹣4）÷3＝673余2，
∴点（4，3）经过2025次运算后得到点（4，2），
故选：D．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是找到规律点．
4．（2025 新吴区二模）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“科”“技”的坐标分别为（0，0），（2，0），则“新”所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】D
【分析】根据题意，先画出相应的坐标系，然后即可写出“新”的坐标，从而可以得出“新”所在的象限．
【解答】解：平面直角坐标如下所示，
∴“新”对应的坐标为（1，﹣1），
故“新”所在的象限为第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的坐标系．
5．（2025 大同四模）如图，方格纸上有A，B两点，若以点B为原点建立平面直角坐标系，则点A的坐标为（﹣2，1）．若以点A为原点建立平面直角坐标系，则点B的坐标为（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，1）
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】B
【分析】根据以点A为原点重新建立直角坐标系，点B的横坐标与纵坐标分别为点A的横坐标与纵坐标的相反数解答．
【解答】解：由条件可知若以A点为原点建立平面直角坐标系，则B点在A点右2个单位，下1个单位处，
∴B点坐标为（2，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握点的坐标规律是解答本题的关键．
6．（2025 成都）在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】B
【分析】根据各象限内点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵﹣2＜0，a2+1＞0，
∴点P所在的象限是第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
7．（2025 织金县模拟）如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（0，3），（﹣1，1），则叶杆“底部”点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，4） B．（4，﹣2） C．（3，0） D．（﹣1，3）
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】B
【分析】根据A，B两点的坐标分别为（0，3），（﹣1，1），可以判断原点的位置，然后确定C点坐标即可．
【解答】解：如图所示，
∴C（4，﹣2），
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标确定位置，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标．
8．（2025 浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l⊥x轴于点A（﹣6，0），直线m⊥y轴于点B（0，﹣3），则点P的坐标可能是（　　）
A．（﹣6.5，﹣3.5） B．（﹣6.5，﹣2.5）
C．（﹣5.5，﹣3.5） D．（﹣5.5，﹣2.5）
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】B
【分析】根据题意，得出点P的横纵坐标与﹣6及﹣3的大小关系，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
点P的横坐标小于﹣6，纵坐标大于﹣3，
显然只有B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意得出点P的横纵坐标与﹣6及﹣3的大小关系是解题的关键．
9．（2025 红花岗区二模）如图为某公园中的牡丹园、芍药园和月季园的位置示意图．将其放在适当的平面直角坐标系中，若芍药园的坐标为（﹣1，2），月季园的坐标为（1，0），则牡丹园的坐标为（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣2，2） C．（﹣1，1） D．（﹣4，2）
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】A
【分析】根据芍药园的坐标，月季园的坐标，确定平面直角坐标系，由此即可求解．
【解答】解：如图所示：
∴牡丹园的坐标为（﹣2，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中的点，掌握平面直角坐标系的特点是关键．
10．（2025 肇庆一模）七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点A的坐标为（﹣1，﹣1），点B的坐标为（1，1），则点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣1） D．（﹣1，1）
【考点】坐标确定位置；七巧板．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】B
【分析】根据点A与点B的坐标建立直角坐标系即可得出点C的坐标．
【解答】解：建立如下直角坐标系：
则点C的坐标为（2，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角坐标系，熟练掌握该知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 齐齐哈尔四模） 2024年巴黎奥运会的吉祥物是“弗里热”．“弗里热”可以看作是数学中常见的三角形，数学活动小组将这个三角形置于平面直角坐标系中，如图，以OB所在直线为x轴，点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，∠AOB＝45°，∠A＝60°，AB＝2，将△OAB沿x轴正半轴无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后点O的对应点为O1，点A的对应点为A1，点B的对应点为B1……按此规律，△OAB滚动2025次后停止滚动，则点B2025的坐标为　　 ．
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型．
【答案】．
【分析】先求出OA，OB的长，根据发现的规律根据题中规律可得点B的坐标每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥OA，
∴∠AOB＝45°，∠A＝60°，AB＝2，
∴∠ABH＝30°，∠O＝∠OBH＝45°，
∴，BH，
∴，
∴，，
∴B（，0），B1（，0），
根据题中规律可得点B的坐标每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加BB3＝OB+AB+OA，
∵2025÷3＝675，
676，
∴点B2025的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题考查点的坐标变化规律及解直角三角形，掌握以上性质是解题的关键．
12．（2025 金凤区模拟）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A的坐标为（0，4），则点B的坐标为 　　 ．
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】．
【分析】由点A的坐标为（0，4）得OA＝4，连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，则OB＝OA＝4，再求出∠BOD＝30°，可得，从而得点B的坐标．
【解答】解：连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，如图，
由条件可知OA＝4，
∴OB＝OA＝4，
由条件可知∠BOD＝30°，
∴，
∴，
∵点B是第四象限内的点，
∴点B的坐标为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查确定点的坐标，熟练掌握该知识点是关键．
13．（2025 从江县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为（﹣1，2），则点Q的坐标为　（﹣3，4）　 ．
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】（﹣3，4）．
【分析】根据平面直角坐标系中点Q的位置即可得出答案．
【解答】解：点Q的坐标为（﹣3，4）．
故答案为：（﹣3，4）．
【点评】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟练掌握点的坐标的表示方法．
14．（2025 定西模拟）象棋在中国有着悠久的历史，在春秋战国时代的文化名著《楚辞 招魂》中就有“蔽象棋，有六博兮”的词句，说明在当时已经有了“象棋”这个名词．如图，这是象棋的对奔图（部分），若棋子“帅”表示点（0，﹣3），棋子“仕”表示点（﹣1，﹣3），则棋子“马”所在点的坐标是 　（﹣3，0）　 ．
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】（﹣3，0）．
【分析】直接利用已知点坐标确定原点位置，进而建立平面直角坐标系进而得出答案．
【解答】解：如图所示：棋子“马”所在点的坐标是（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
15．（2025 万山区三模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO、AB的中点C、D的横坐标分别是2、5，则点B的坐标是　（6，0）　 ．
【考点】坐标与图形性质；三角形中位线定理．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（6，0）．
【分析】用点B的横坐标表示出点A的横坐标，再结合点C和点O的横坐标得出关于点B横坐标的等式即可解决问题．
【解答】解：令点B的坐标为（m，0），
因为点D是AB的中点，
所以，
则xA＝10﹣m．
又因为点C为AO的中点，
所以，
解得m＝6，
所以点B的坐标为（6，0）．
故答案为：（6，0）．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及三角形中位线定理，能根据题意建立关于点B横坐标的方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 长安区校级模拟）已知点P（2a﹣3，a+6），解答下列各题：
（1）若点Q的坐标为（3，3），且直线PQ∥y轴，求出点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标．
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】（1）点P的坐标为（3，9）；
（2）点P的坐标为（﹣5，5）．
【分析】（1）根据与y轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可；
（2）根据在第二象限的点的坐标特征和点P到x轴、y轴的距离相等列出方程，解出a的值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）∵点Q的坐标为（3，3），直线PQ∥y轴，
∴2a﹣3＝3，
解得：a＝3，
∴a+6＝3+6＝9，
∴点P的坐标为（3，9）；
（2）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，
∴3﹣2a＝a+6，
解得：a＝﹣1，
此时2a﹣3＝﹣5，a+6＝5，
∴点P的坐标为（﹣5，5）．
【点评】本题主要考查坐标与图形性质，解题关键是：（1）熟知与y轴平行的直线上的点横坐标相等；（2）熟知在第二象限的点的坐标特征，点到x轴、y轴的距离相等即纵坐标与横坐标的绝对值相等．
17．（2025 铜陵三模）小明用一些边长为1的小正方形按一定规律摆放得到创意广告墙图案．
（1）观察以上图形，完成下列表格：
图形 图1 图2 图3 图4 …
小正方形的个数 6 12 20
　30　
…
（2）将图n如图放置到平面直角坐标系xOy中，则点An的坐标是 　（2n，n+2）　 ；
（3）不难发现点A0，A1，A2，A3，…An在同一直线上，连接A0An，利用面积法求图n需要小正方形的个数．
【考点】规律型：点的坐标．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】（1）30；
（2）（2n，n+2）；
（3）（n2+3n+2）个．
【分析】（1）观察前三个图，找到规律，即可求解；
（2）观察前三个点的坐标，找到规律，即可求解；
（3）根据图形，找到规律，即可求解．
【解答】解：（1）图1，小正方体的2×3＝6个，
图2，小正方体的3×4＝12个，
图3，小正方体的4×5＝20个，
图4，小正方体的5×6＝30个，
故答案为：30；
（2）A1（2，3），A2（4，4），A3（6，5），
观察得到规律：每个点的横坐标是其角标的2倍，横坐标是其角标加2，
∴An（2n，n+2），
故答案为：（2n，n+2）；
（3）如图，
图1，小正方体的面积2×3＝6，小正方体的个数6个，
图2，小正方体的面积3×4＝12，小正方体的个数12个，
图3，小正方体的面积4×5＝20，小正方体的个数20个，
图4，小正方体的面积5×6＝30，小正方体的个数30个，
…，
图n，小正方体的面积（n+1）（n+2）＝n2+3n+2，小正方体的个数（n2+3n+2）个，
答：图n需要小正方形的个数为（n2+3n+2）个．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现小正方形个数变化的规律是解题的关键．
18．（2025 宿豫区二模）通过学习，同学们发现在正方形网格中（设每个小正方形的边长都为1），构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．
【阅读材料】
例如，比较与的大小．
解：在正方形网格中，如图1，构造△ABC（点A、B、C都为小正方形的顶点）．
∵△ABC（构造图形），
∴AB+BC＞AC（三角形任意两边之和大于第三边）
∵（勾股定理），
∴．
【问题解决】
（1）在上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是　D　 （填写正确选项的字母代号）；
A．类比思想
B．整体思想
C．分类讨论思想
D．数形结合思想
（2）参考“例子”中的方法，在图2中，构造图形，比较与的大小，并说明理由；
【拓展探究】
（3）问题：当x为　　 时，的值最小，且最小值为A．
（要求：直接写出结果，并在图3中，画出所构造的图形）
【考点】两点间的距离公式；勾股定理；实数大小比较．
【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】（1）D；（2），理由见解析；（3）．
【分析】（1）依据题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想，故可得解；
（2）依据题意，在正方形网格中，构造线段AB、BC、CD、AD，再利用两点之间，线段最短，从而可以判断得解；
（3）依据题意，构造AB＝3，BD＝3，CD＝2，点P是BD上一点，A'是A关于BD的对称点，A'C与BD交于点F，设BP＝x，则PD＝3﹣x，从而AP，CP，A'C，又A'是A关于BD的对称点，故PA＝PA'，再根据两点之间线段最短，A'P+PC≥A'C，可得当P在F时，取最小值为，又DF∥AE，可得，从而DF，进而可以判断得解．
【解答】解：（1）由题意，上面解决问题的过程中，体现了初中数学的一种重要的基本思想是数形结合思想．
故答案为：D．
（2）由题意，在正方形网格中，如图1，构造线段AB、BC、CD、AD．
∵两点之间，线段最短，
∴AB+BC+CD＞AD．
∵AB，BC，CD，AD，
∴．
∴．
（3）由题意，如图2，构造AB＝3，BD＝3，CD＝2，点P是BD上一点，A'是A关于BD的对称点，A'C与BD交于点F，设BP＝x，则PD＝3﹣x，
∴AP，CP，A'C．
又∵A'是A关于BD的对称点，
∴PA＝PA'．
又根据两点之间线段最短，A'P+PC≥A'C，
∴．
∴．
∴当P在F时，取最小值为．
∵DF∥AE，
∴．
∴．
∴DF．
∴BF＝BD﹣DF＝3．
∴当x时，取最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、实数大小比较、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用数形结合是关键．
19．（2025 南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点．
（1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）．
①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值为 　　 ，最大值为 　5　 ．
②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3（﹣2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是　P1，P3　 ．
（2）直线l平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线l的距离都是1，若点C（x，y）是直线l上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围．
【考点】两点间的距离公式．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①，5；
②P1，P3；
（2）4≤x≤4或1x≤1．．
【分析】（1）根据平面直角坐标系内两点间的距离公式，即可求解；
（2）根据相好点的定义，即可求解；
（3）根据题意，点C在直线y＝4或y＝2上，根据相好点的定义，得到，CB≤5或CA≤5，CB，分别设C（x，4），求出x的取值范围，即可求解．
【解答】解：（1）①由题意可得：，，
∴d的最小值为，最大值为5；
故答案为：，5；
②∵P1（2.5，0），P2（2，4），P3（﹣2，0），
点P1（2.5，0）到线段AB的最小距离为3，最大距离为，
∴在线段AB上存在点M，N，使得P1M＝ON，故点P1与点O是线段AB的一对相好点，
点P2（2，4）到线段AB的最小距离为1，最大距离为，
∴在线段AB上不存在点M，N，使得P2M＝ON，故点P2与点O不是线段AB的一对相好点，
点P3（﹣2，0）到线段AB的最小距离为，
最大值为
∴在线段AB上存在点M，N，使得P3M＝ON，故点P3与点O是线段AB的一对相好点，
∴与点O是线段AB的一对相好点的是P1，P3；
故答案为：P1，P3；
（3）∵直线l平行AB所在的直线，且线段AB上任意一点到直线l的距离都是1，
∴直线l为y＝4或y＝2，
∵点C与点O是线段AB的一对相好点，，OB＝5，
当，CB≤5，即CA2≥10，CB2≤25，
设C（x，4），当点C在y＝4上时，
则，
解得：4≤x≤4，
当CA≤5，CB，即CA2≤25，CB2≥10，
则，
解得：1x≤1，
同理，当C在y＝2上时，4≤x≤4或1x≤1，
综上所述，x的取值范围是4≤x≤4或1x≤1．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点间的距离，解不等式组，理解新定义是解题的关键．
20．（2025春 北京期中）已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）在坐标系中描出各点，画出△ABC．
（2）求△ABC的面积；
（3）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）确定出点A、B、C的位置，连接AC、CB、AB即可；
（2）过点C向x、y轴作垂线，垂足为D、E，△ABC的面积＝四边形DOEC的面积﹣△ACE的面积﹣△BCD的面积﹣△AOB的面积；
（3）当点p在x轴上时，由△ABP的面积＝4，求得：BP＝8，故此点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）；当点P在y轴上时，△ABP的面积＝4，解得：AP＝4．所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）过点C向x、y轴作垂线，垂足为D、E．
∴四边形DOEC的面积＝3×4＝12，△BCD的面积3，△ACE的面积4，△AOB的面积1．
∴△ABC的面积＝四边形DOEC的面积﹣△ACE的面积﹣△BCD的面积﹣△AOB的面积
＝12﹣3﹣4﹣1＝4．
（3）当点p在x轴上时，△ABP的面积4，即：，解得：BP＝8，
所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）；
当点P在y轴上时，△ABP的面积4，即，解得：AP＝4．
所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）．
所以点P的坐标为（0，5）或（0，﹣3）或（10，0）或（﹣6，0）．
【点评】本题主要考查的是点的坐标与图形的性质，明确△ABC的面积＝四边形DOEC的面积﹣△ACE的面积﹣△BCD的面积﹣△AOB的面积是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)