6.1 数列的概念及表示（解析版）--2026版十年高考数学真题分类汇编

专题六 数列
6.1数列的概念及表示
考点 数列的概念及表示
1.(2020课标Ⅱ文,3,5分)如图,将钢琴上的12个键依次记为a1,a2,…,a12,设1≤iA.5　　　B.8　　　C.10　　　D.15
【答案】　C　
【解析】根据已知条件可知原位大三和弦有a1,a5,a8;a2,a6,a9;a3,a7,a10;a4,a8,a11;a5,a9,a12,共5个.原位小三和弦有a1,a4,a8;a2,a5,a9;a3,a6,a10;a4,a7,a11;a5,a8,a12,共5个,所以用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10,故选C.
2.(2023北京,10,4分,难)已知数列{an}满足an+1=(an-6)3+6(n=1,2,3,…),则 (　　)
A.当a1=3时,{an}为递减数列,且存在常数M≤0,使得an>M恒成立
B.当a1=5时,{an}为递增数列,且存在常数M≤6,使得anC.当a1=7时,{an}为递减数列,且存在常数M>6,使得an>M恒成立
D.当a1=9时,{an}为递增数列,且存在常数M>0,使得an【答案】　B　
【解析】令bn=an-6,
由an+1=(an-6)3+6,得bn+1=.
当a1=5时,b1=-1,则b2=,b3=,……
n→+∞时,bn→0,且bn<0,则an→6,且an<6,即6-an>0恒成立.故{an}为递增数列,且存在M=6,使得an<6恒成立,B正确.
同理,当a1=3时,b1=-3,n→+∞时,bn→-∞,即an→-∞,故不存在M,使得an>M恒成立,A错误.
当a1=7时,b1=1,n→+∞时,bn→0,且bn>0,则an→6,且an>6,故{an}为递减数列,但不存在M>6,使得an>M恒成立,C错误.
当a1=9时,b1=3,n→+∞时,bn→+∞,即an→+∞,故不存在M,使得an3.(2016浙江,理13,文13,6分)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　,S5=　　　　.
【答案】　1;121
【解析】　解法一:∵an+1=2Sn+1,∴a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又∵S2=4,∴4-a1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,
∴Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,由S2=4,可求出S3=13,S4=40,S5=121.
解法二:由an+1=2Sn+1,得a2=2S1+1,即S2-a1=2a1+1,又S2=4,∴4-a1=2a1+1,解得a1=1.又an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn+1,即Sn+1=3Sn+1,则Sn+1+=3,又S1+=,∴是首项为,公比为3的等比数列,
∴Sn+=×3n-1,即Sn=,∴S5==121.
评析　　本题考查了数列的前n项和Sn与an的关系,利用an+1=Sn+1-Sn得出Sn+1=3Sn+1是解题的关键.
4.(2015课标Ⅱ理,16,5分)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=　　　　.
【答案】　-
【解析】　∵an+1=Sn+1-Sn,∴Sn+1-Sn=Sn+1Sn,又由a1=-1,知Sn≠0,∴-=1,∴是等差数列,且公差为-1,而==-1,∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-.
5.(2014课标Ⅱ文,16,5分)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=　　　　.
【答案】　
【解析】　由an+1=,得an=1-,
∵a8=2,∴a7=1-=,
a6=1-=-1,a5=1-=2,…,
∴{an}是以3为周期的数列,
∴a1=a7=.
6.(2013课标Ⅰ理,14,5分)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=　　　　.
【答案】　(-2)n-1
【解析】　由Sn=an+得:当n≥2时,Sn-1=an-1+,∴当n≥2时,an=-2an-1,又n=1时,S1=a1=a1+,a1=1,∴an=(-2)n-1.
7.（2023全国甲理，17）已知数列中，，设为前n项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【【解析】】（1）因为，当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，，
，即，．
(
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