7.2 直线、平面平行的判定与性质（解析版）--2026版十年高考数学真题分类汇编

7.2　直线、平面平行的判定与性质
考点　直线、平面平行的判定与性质
1(2024全国甲理,10,5分,中)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m.下述四个命题:
①若m∥n,则n∥α或n∥β
②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β
③若n∥α且n∥β,则m∥n
④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n
其中所有真命题的编号是(　　)
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④
【答案】A
【解析】命题①,由m∥n,m α,得n α或n∥α,
若n α,m∥n,m β,则n∥β,命题①正确;
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如图1所示,
取平面ADD1A1为平面α,平面A1B1C1D1为平面β,
则A1D1为直线m,若n是C1D,则m⊥n,
但n不垂直于α且n不垂直于β,命题②错误;
若n是AC1,则n与平面α、β所成角相等,但m不垂直于n,命题④错误;
命题③,如图2,过n作平面γ交α于直线a,作平面δ交平面β于直线b,由n∥α,n γ,α∩γ=a得n∥a,同理可得n∥b.则a∥b,
由a∥b,a α,b α得b∥α,又α∩β=m,b β,所以b∥m,所以m∥n,命题③正确,故选A.
2.(2024天津,6,5分,易)已知m,n为两条直线,α为一个平面,则下列结论中正确的是(　　)
A.若m∥α,n α,则m∥n
B.若m∥α,n∥α,则m∥n
C.若m∥α,n⊥α,则m⊥n
D.若m∥α,n⊥α,则m与n相交
【答案】C
【解析】对于A,若m∥α,n α,则m与n平行或异面,故A中结论错误.
对于B,若m∥α,n∥α,则m与n平行、相交或异面,故B中结论错误.
对于C,m∥α,n⊥α,过m作平面β,使得β∩α=s,因为m β,所以m∥s,而s α,所以n⊥s,故m⊥n,故C中结论正确.
对于D,若m∥α,n⊥α,则m与n相交或异面,故D中结论错误.故选C.
3.（2025全国一卷，9,6分）在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,则(　　)
A.AD⊥A1C B.B1C1⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D
【答案】BD
【解析】对于A,由正三棱柱的性质可知,AD与A1C是异面直线且不垂直,故A错误;
对于B,因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以AA1⊥平面ABC,因为BC 平面ABC,所以AA1⊥BC,又AD⊥BC,AD∩AA1=A,AD,AA1 平面AA1D,所以BC⊥平面AA1D,又BC∥B1C1,所以B1C1⊥平面AA1D,故B正确;
对于C,因为AB∥A1B1,AD与AB相交,所以AD与A1B1不平行,故C错误;
对于D,由正三棱柱的性质可知,CC1∥AA1,又CC1 平面AA1D,AA1 平面AA1D,所以CC1∥平面AA1D,故D正确.故选BD.
4.(2015安徽理,5,5分)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是(　　)
A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行
B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行
C.若α,β,则在α内与β平行的直线
D.若m,n,则m与n垂直于同一平面
【答案】　D　
【解析】若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.
5.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l α,m β.(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.若l⊥β,则α⊥β　　　　　B.若α⊥β,则l⊥m
C.若l∥β,则α∥β　　　　　D.若α∥β,则l∥m
【答案】　A　
【解析】对于选项A,由面面垂直的判定定理可知选项A正确;对于选项B,若α⊥β,l α,m β,则l与m可能平行,可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,当l平行于α与β的交线时,l∥β,但此时α与β相交,所以选项C错误;对于选项D,若α∥β,则l与m可能平行,也可能异面,所以选项D错误.故选A
6.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　
A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α
【答案】　B　
【解析】若m∥α,n∥α,则m与n可能平行、相交或异面,故A错误;B正确;若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n α,故C错误;若m∥α,m⊥n,则n与α可能平行、相交或n α,故D错误.因此选B.
7.(2014广东理,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(　　)
A.l1⊥l4 B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定
【答案】　D　
【解析】由l1⊥l2,l2⊥l3可知l1与l3的位置不确定,
若l1∥l3,则结合l3⊥l4,得l1⊥l4,所以排除选项B、C,
若l1⊥l3,则结合l3⊥l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项A.故选D.
评析　本题考查了空间直线之间的位置关系,考查学生的空间想象能力、思维的严密性.
8.(2021浙江,6,4分)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则 (　　)
A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD
B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1
【答案】A　解题指导:利用线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理解决此类问题.
【解析】连接AD1,在正方形ADD1A1中,
由M为A1D的中点,可知AD1∩A1D=M,且M为AD1的中点,AD1⊥A1D.
又∵N为D1B的中点,∴MN∥AB.
∵AB 平面ABCD,MN 平面ABCD,∴MN∥平面ABCD.
∵AB⊥平面ADD1A1,A1D 平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,
∵AB∩AD1=A,∴A1D⊥平面ABD1,
∴A1D⊥D1B.故A正确.
9.(2017课标Ⅰ,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)
【答案】　A　
【解析】B选项中,AB∥MQ,且AB 平面MNQ,MQ 平面MNQ,则AB∥平面MNQ;C选项中,AB∥MQ,且AB 平面MNQ,MQ 平面MNQ,则AB∥平面MNQ;D选项中,AB∥NQ,且AB 平面MNQ,NQ 平面MNQ,则AB∥平面MNQ.故选A.
10.(2024新课标Ⅰ,17,15分,中)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=.
(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;
(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦值为,求AD.
【解析】(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,∴PA⊥AD.又AD⊥PB,PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,∴AD⊥平面PAB.又AB 平面PAB,∴AD⊥AB.
在△ABC中,因为AC=2,BC=1,AB=,∴AC2=BC2+AB2,∴AB⊥BC.又AD⊥AB,且AD,AB,BC都在平面ABCD内,∴AD∥BC.又AD 平面PBC,BC 平面PBC,
∴AD∥平面PBC.
(2)以DA,DC所在直线分别为x轴,y轴,过D作平面ABCD的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0).
设AD=t,t>0,则DC=,A(t,0,0),P(t,0,2),C(0,,0),则=(-t,,0),=(0,0,2),=(t,0,2),=(0,,0),
设平面ACP的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则即
令x1=,则y1=t,则n1=(,t,0),
设平面CPD的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则∴
令z2=t,则x2=-2,则n2=(-2,0,t),
∵二面角A-CP-D的正弦值为,且由图可知二面角A-CP-D为锐二面角,∴二面角A-CP-D的余弦值为=,
∴=|cos|==,
∴t=(舍负),∴AD=.
11.(2011北京文,17,14分)如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
(1)求证:DE∥平面BCP;
(2)求证:四边形DEFG为矩形;
(3)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等 说明理由.
【解析】　(1)证明:因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE∥PC.又因为DE 平面BCP,PC 平面BCP,
所以DE∥平面BCP.
(2)证明:因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,
所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF.
所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PC⊥AB,
所以DE⊥DG.所以四边形DEFG为矩形.
(3)存在点Q满足条件.理由如下:
连接DF,EG,设Q为EG的中点.
由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.
分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN.
与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q,且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点.
12.(2022北京,17,14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1为正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,AB=BC=2,M,N分别为A1B1,AC的中点.
(1)求证:MN∥平面BCC1B1;
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.
条件①:AB⊥MN;
条件②:BM=MN.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
【解析】 (1)证法一:取BC的中点P,连接NP,B1P,则NP∥AB,且NP=AB.
∵M是A1B1的中点,A1B1 AB,∴B1M∥AB,且B1M=AB,
∴B1M PN,∴四边形B1PNM为平行四边形,
∴MN∥B1P,
又B1P 平面BCC1B1,MN 平面BCC1B1,
∴MN∥平面BCC1B1.
证法二:取AB的中点Q,连接QN,QM,
∵M,N分别是A1B1,AC的中点,
∴QN∥BC,QM∥B1B,
∵QN 平面BCC1B1,BC 平面BCC1B1,
∴QN∥平面BCC1B1,同理,QM∥平面BCC1B1,
又QM∩QN=Q,∴平面MNQ∥平面BCC1B1,
又MN 平面MNQ,∴MN∥平面BCC1B1.
(2)选择条件①.
∵侧面BCC1B1为正方形,∴BC⊥BB1,又平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,平面BCC1B1∩平面ABB1A1=BB1,BC 平面BCC1B1,∴BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥AB.
解法一:由(1)中证法一知MN∥B1P,又AB⊥MN,∴AB⊥B1P.
∵BC∩B1P=P,∴AB⊥平面BCC1B1.∴AB⊥BB1.
∴BC,B1B,BA两两垂直.
以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A(0,2,0),N(1,1,0),M(0,1,2),
∴=(0,1,2),=(1,1,0),=(0,-2,0).
设平面BMN的法向量为n=(x,y,z),
则令z=1,得n=(2,-2,1).
∴cos故直线AB与平面BMN所成角的正弦值为.
解法二:连接MA.
易知NQ⊥AB,又AB⊥MN,MN∩NQ=N,∴AB⊥平面MNQ,∴AB⊥MQ.
结合(1)中证法二知NQ⊥MQ.又AB∩NQ=Q,
∴MQ⊥平面ABN,∴点M到平面ABN的距离为2.
∴V三棱锥M-ABN=.
易知BM=,BN=,MN=,
∴S△BMN=.
设A到平面BMN的距离为h,
则VA-BMN=VM-ABN=,
即,∴h=,
∴直线AB与平面BMN所成角的正弦值为.
选择条件②.
∵侧面BCC1B1为正方形,∴BC⊥BB1,又平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,平面BCC1B1∩平面ABB1A1=BB1,BC 平面BCC1B1,∴BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥AB.
结合(1)中证法二易知MQ⊥NQ.∵AB=BC=2,∴NQ=BQ=1.又BM=MN,MQ=MQ,∴△MBQ≌△MNQ,
∴MQ⊥BQ.∴BB1,BC,BA两两垂直.
解法一(向量法):同选①的解法一.
解法二(几何法):同选①的解法二.
13.(2017浙江,19,15分)如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(1)证明:CE∥平面PAB;
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
【解析】　本题主要考查空间点、线、面的位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.
(1)证明:如图,设PA中点为F,连接EF,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF=AD.
又因为BC∥AD,BC=AD,所以EF∥BC且EF=BC,
即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF,
因此CE∥平面PAB.
(2)分别取BC,AD的中点为M,N.
连接PN交EF于点Q,连接MQ.
因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点,
在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.
由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.
由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.
所以AD⊥平面PBN,
由BC∥AD得BC⊥平面PBN,
那么平面PBC⊥平面PBN.
过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.
MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.
在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=得CE=,
在△PBN中,由PN=BN=1,PB=得QH=,
在Rt△MQH中,QH=,MQ=,
所以sin∠QMH=.
所以,直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.
方法总结　1.证明直线与平面平行的方法.(例:求证:l∥α)
①线面平行的判定定理:在平面α内找到一条与直线l平行的直线m,从而得到l∥α.
②面面平行的性质:过直线l找到(或作出)一个平面β,使得β∥α,从而得l∥α.
2.求线面角的方法.
①定义法:作出线面角,解三角形即可.
②解斜线段、射影、垂线段构成的三角形.
例:求AB与平面α所成角θ的正弦值,其中A∈α.只需求出点B到平面α的距离d(通常由等体积法求d),由sin θ=得结论.
最好是画出图形,否则容易出错.
14.(2016课标Ⅲ文,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求四面体N-BCM的体积.
【解析】　(1)证明:由已知得AM=AD=2,
取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.(3分)
又AD∥BC,故TN AM,故四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT 平面PAB,MN 平面PAB,所以MN∥平面PAB.(6分)
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.(9分)
取BC的中点E,连接AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.
由AM∥BC得M到BC的距离为,
故S△BCM=×4×=2.
所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=·S△BCM·=.(12分)
评析　本题考查了线面平行的判定,考查了三棱锥的体积,考查了空间想象能力.线段的中点问题一般应用三角形的中位线求解.
15.(2015课标Ⅱ文,19,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
【解析】　(1)交线围成的正方形EHGF如图:
(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.
于是MH==6,AH=10,HB=6.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值为.
16.(2014课标Ⅱ文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1)证明:PB∥平面AEC;
(2)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.
【解析】　(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.
因为ABCD为矩形,
所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,
所以EO∥PB.
EO 平面AEC,PB 平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)V=PA·AB·AD=AB.
又V=,
所以AB=,
所以PB==.
作AH⊥PB交PB于H.
由题设知BC⊥平面PAB,
因为AH 平面PAB,
所以BC⊥AH,
又BC∩BP=B,
故AH⊥平面PBC.
又AH==,
所以A到平面PBC的距离为.
思路分析　(1)由线线平行证出线面平行;
(2)首先由题设求出AB,然后过A作AH⊥PB于H,证明AH就是A到平面PBC的距离,通过解三角形求解即可.
17.(2014安徽,19,13分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1)证明:GH∥EF;
(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.
【解析】　(1)证明:因为BC∥平面GEFH,BC 平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC,
因此GH∥EF.
(2)连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.
因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO⊥底面ABCD.又因为平面GEFH⊥平面ABCD,且PO 平面GEFH,
所以PO∥平面GEFH.
因为平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK,且GK⊥底面ABCD,
从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高.
由AB=8,EB=2得EB∶AB=KB∶DB=1∶4,
从而KB=DB=OB,即K为OB的中点.
再由PO∥GK得GK=PO,即G是PB的中点,且GH=BC=4.
由已知可得OB=4,PO===6,
所以GK=3.
故四边形GEFH的面积S=·GK=×3=18.
评析　本题考查线面平行与垂直关系的转化,同时考查空间想象能力和逻辑推理能力,解题时要有较强的分析问题、解决问题的能力.
18.(2013课标Ⅱ文,18,12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.
(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2,求三棱锥C-A1DE的体积.
【解析】　(1)证明:连接AC1交A1C于点F,
则F为AC1中点.
由D是AB中点,连接DF,则BC1∥DF.
因为DF 平面A1CD,BC1 平面A1CD,
所以BC1∥平面A1CD.
(2)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以AA1⊥CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,
所以CD⊥AB.
又AA1∩AB=A,于是CD⊥平面ABB1A1.
由AA1=AC=CB=2,AB=2得
∠ACB=90°,CD=,A1D=,DE=,A1E=3,
故A1D2+DE2=A1E2,即DE⊥A1D.
所以=××××=1.
思路分析　(1)利用线面平行的判定定理在平面A1CD内找出一条直线与直线BC1平行即可;
(2)先证明CD⊥平面ABB1A1,再根据题目给的条件算出三棱锥C-A1DE的高和底面面积,利用三棱锥的体积公式计算即可.
一题多解　证明第(1)问时,也可以利用面面平行的性质,即:取A1B1的中点G,连接C1G,GB,因为GB∥A1D,C1G∥CD,C1G 平面GBC1,GB 平面GBC1,且C1G∩GB=G,A1D 平面A1CD,CD 平面A1CD,A1D∩CD=D,所以平面GBC1∥平面A1CD.又BC1 平面GBC1,所以BC1∥平面A1CD.
19.（2025上海，18,14分）如图,P是圆锥的顶点,O是底面圆心,AB是底面直径,且AB=2.
(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为,求圆锥的侧面积;
(2)已知Q是母线PA的中点,点C、D在底面圆周上,且弧AC的长为,CD∥AB.设点M在线段OC上,证明:直线QM∥平面PBD.
【解析】(1)由题知,∠PAB=,即轴截面△ABP是等边三角形,故PA=AB=2,
底面周长为2π×1=2π,则侧面积为×2×2π=2π.
(2)证明:由题知AQ=QP,AO=OB,则根据中位线性质,QO∥PB,
又QO 平面PBD,PB 平面PBD,则QO∥平面PBD,
由于l =,底面圆半径是1,则∠AOC=,又CD∥AB,则∠OCD=,
又OC=OD,则△OCD为等边三角形,则CD=1,
所以CD∥BO且CD=OB,则四边形OBDC是平行四边形,故OC∥BD,
又OC 平面PBD,BD 平面PBD,故OC∥平面PBD.
又OC∩OQ=O,OC,OQ 平面QOC,
根据面面平行的判定定理得平面QOC∥平面PBD,
又QM 平面QOC,则QM∥平面PBD.
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