9.1 计数原理（解析版）--2026版十年高考数学真题分类汇编

专题九 计数原理、概率与统计
9.1　计数原理
考点1　计数原理、排列与组合
1.（2023课标II，3）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A. 种 B. 种
C. 种 D. 种
【答案】 D
【解析】 根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种，故选：D.
2.（2023全国乙理，7） 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种
【答案】 C
【解析】 首先确定相同得读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，根据分步乘法公式则共有种，故选：C.
3.（2023全国甲理，9）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A. 120 B. 60 C. 40 D. 30
【答案】 B
【解析】 不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种，故选：B.
4.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有 (　　)
A.120种　　　　B.90种　　　　C.60种　　　　D.30种
【答案】　C　
【解析】 第一步:安排甲场馆的志愿者,则甲场馆的安排方法有=6种,第二步:安排乙场馆的志愿者,则乙场馆的安排方法有=10种,第三步:安排丙场馆的志愿者,则丙场馆的安排方法有=1种.所以共有6×10×1=60种不同的安排方法.故选C(易错:注意分配到每个场馆的志愿者是不分顺序的,所以不用全排列).
5.(2022新高考Ⅱ,5,5分,应用性)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有 (　　)
A.12种　　　　B.24种　　　　C.36种　　　　D.48种
【答案】　B　
【解析】 丙和丁相邻共有种站法,甲站在两端且丙和丁相邻共有种站法,所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有=24种站法,故选B.
6.(2021全国乙理,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 (　　)
A.60种　　　　B.120种　　　　C.240种　　　　D.480种
【答案】　C　
【解析】 先将5人分为4组,其中一组有2人,另外三组各1人,共有=10种分法,然后将4个项目全排列,共有=24种排法,根据分步乘法计数原理得到不同的分配方案共有=240种,故选C.
易错警示　本题容易出现将5人分为4组,共有分法=60种的错误结果.
7.(2016四川理,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为(　　)
A.24　　　B.48　　　C.60　　　D.72
【答案】　D　
【解析】 奇数的个数为=72.
8.(2015四川理,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有(　　)
A.144个　　　B.120个　　　C.96个　　　D.72个
【答案】　B　
【解析】 数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2=48个;同理,以5开头的有3=72个.于是共有48+72=120个,故选B.
评析　本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.
考查学生分析问题、解决问题的能力.
9.(2014大纲全国理,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组.则不同的选法共有(　　)
A.60种　　　B.70种　　　C.75种　　　D.150种
【答案】　C　
【解析】 从6名男医生中选出2名有种选法,从5名女医生中选出1名有种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有·=75种.故选C.
10.(2014辽宁理,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A.144　　　B.120　　　C.72　　　D.24
【答案】　D　
【解析】 先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有=24种放法,故选D.
11.(2014四川理,6,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有(　　)
A.192种　　　B.216种　　　C.240种　　　D.288种
【答案】　B　
【解析】 若最左端排甲,其他位置共有=120种排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有=24种排法,所以共有120+4×24=216种排法.
12.(2014重庆理,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是(　　)
A.72　　　B.120　　　C.144　　　D.168
【答案】　B　
【解析】 先不考虑小品类节目是否相邻,保证歌舞类节目不相邻的排法共有·=144种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有··=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.
13.(2013山东理,10,5分)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A.243　　　B.252　　　C.261　　　D.279
【答案】　B　
【解析】 由分步乘法计数原理知:用0,1,…,9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10=900,组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故选B.
评析　本题考查分步乘法计数原理,考查学生的推理运算能力.
14.(2012课标理,2,5分)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有(　　)
A.12种　　　B.10种　　　C.9种　　　D.8种
【答案】　A　
【解析】 2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有种方案,故不同的安排方案共有=12种,选A.
评析　本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.
15.(2012辽宁理,5,5分)一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为(　　)
A.3×3!　　　　　B.3×(3!)3
C.(3!)4　　　　　D.9!
【答案】　C　
【解析】 第1步:3个家庭的全排列,方法数为3!;
第2步:家庭内部3个人全排列,方法数为3!,共3个家庭,方法数为(3!)3,∴总数为(3!)×(3!)3=(3!)4,故选C.
评析　本题主要考查计数原理的基础知识,考查学生分析、解决问题的能力.
16.(2012安徽理,10,5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为(　　)
A.1或3　　　B.1或4　　　C.2或3　　　D.2或4
【答案】　D　
【解析】 由题意及=15知只需少交换2次.记6位同学为A1、A2、A3、A4、A5、A6,不妨讨论①A1少交换2次,如A1未与A2、A3交换,则收到4份纪念品的同学仅为A2、A3 2人;②A1、A2各少交换1次,如A1与A3未交换,A2与A4未交换,则收到4份纪念品的同学有4人,为A1、A2、A3、A4.故选D.
17.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)
A.24　　　B.18　　　C.12　　　D.9
【答案】　B　
【解析】 分两步,第一步,从E→F,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B.
思路分析　小明到老年公寓,需分两步进行,先从E到F,再从F到G,分别求各步的最短路径条数,再利用分步乘法计数原理即可得结果.
18.(2016课标Ⅲ,12,5分)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有(　　)
A.18个　　　B.16个　　　C.14个　　　D.12个
【答案】　C　
【解析】 当m=4时,数列{an}共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k≤8,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,则必有a1=0,a8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:①若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有=4种情况;②若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有=3种情况;③若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:①若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有=3种情况;②若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.
思路分析　根据题意可知a1=0,a8=1,进而对a2,a3,a4取不同值进行分类讨论(分类要做到不重不漏),从而利用分类加法计数原理求出不同的“规范01数列”的个数.
19.（2025上海，9,5分）4个家长和2个儿童去爬山.6个人需要排成一条队列,要求队列的头和尾均是家长,则不同的排列个数有　　　　种.
【答案】288
【解析】先选两位家长排在首尾有=12种排法;再排队中的四人有=24种排法,
故有12×24=288种排法.
20.(2024新课标Ⅰ,14,5分,难)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为　　　　.
【答案】
【解析】 若甲总得分小于2,则甲得0分或1分,记甲、乙所选卡片数字大小为有序数对(a,b),可固定甲卡片数字顺序为1,3,5,7,然后将乙所选卡片数字进行全排列,共=24种,
甲得0分时,一定是(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),
甲得1分时,符合条件的有
①(1,2),(3,4),(5,8),(7,6),
②(1,2),(3,6),(5,8),(7,4),
③(1,2),(3,6),(5,4),(7,8),
④(1,2),(3,8),(5,6),(7,4),
⑤(1,4),(3,2),(5,6),(7,8),
⑥(1,4),(3,6),(5,2),(7,8),
⑦(1,4),(3,6),(5,8),(7,2),
⑧(1,4),(3,8),(5,6),(7,2),
⑨(1,6),(3,4),(5,8),(7,2),
⑩(1,6),(3,4),(5,2),(7,8),
(1,8),(3,4),(5,6),(7,2),
共11种.
综上,符合条件的共12种,所以甲总得分不小于2的概率为1-=.
21.(2024新课标Ⅱ,14,5分,难)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　　　　种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是　　　　.
【答案】 24;112
【解析】　第一列有4种选择,第二列有3种选择,第3列有2种选择,第4列有1种选择,∴共有4×3×2×1=24种选法.
由题图知,每一列中最下面的数最大,现将前三行中每一个数与该列最大数的差的绝对值算出来,如下表.
要想选中的4个数之和最大,差的绝对值就要最小,故选中的4个数从上到下分别为21,33,43和15,和为112,故最大值为112.
22.（2023新课标I，13） 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
【答案】64
【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
23.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成　　　　个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】　1 260
【解析】　本小题考查排列、组合及其运用,考查分类讨论思想.
含有数字0的没有重复数字的四位数共有=540个,不含有数字0的没有重复数字的四位数共有=720个,故一共可以组成540+720=1 260个没有重复数字的四位数.
易错警示　数字排成数时,容易出错的地方:
(1)数字是否可以重复;
(2)数字0不能排首位.
24.(2015广东理,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了　　　　条毕业留言.(用数字作答)
【答案】　1 560
【解析】　∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,∴全班共写了40×39=1 560条毕业留言.
25.(2013北京理,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是　　　　.
【答案】　96
【解析】　5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券分给4人,则不同的分法种数是4=96.
26.(2013大纲全国理,14,5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　　　　种.(用数字作答)
【答案】　480
【解析】　先将除甲、乙两人以外的4人排成一行,有=24种排法,再将甲、乙插入有=20种,所以6人排成一行,甲、乙不相邻的排法共有24×20=480种.
27.(2013浙江理,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有　　　　种(用数字作答).
【答案】　480
【解析】　从左往右看,若C排在第1位,共有排法=120种;若C排在第2位,共有排法·=72种;若C排在第3位,则A、B可排C的左侧或右侧,共有排法·+·=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2×(120+72+48)=480种.
28.(2011北京理,12,5分)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有　　　　个.(用数字作答)
【答案】　14
【解析】　解法一:数字2只出现一次的四位数有=4个;数字2出现两次的四位数有=6个;数字2出现三次的四位数有=4个.故总共有4+6+4=14个.
解法二:由数字2,3组成的四位数共有24=16个,其中没有数字2的四位数只有1个,没有数字3的四位数也只有1个,故符合条件的四位数共有16-2=14个.
评析　本题考查排列组合的基础知识,考查分类讨论思想,解题关键是准确分类,并注意相同元素的排列数等于不同元素的组合数.属于中等难度题.
考点2　二项式定理
1(2024北京,4,4分,易)在(x-)4的展开式中,x3的系数为(　　)
A.6 B.-6 C.12 D.-12
【答案】A
【解析】 (x-)4的展开式的通项为Tr+1=x4-r(-)r=(-1)r,
令4-=3,得r=2,故展开式中x3的系数是(-1)2·=6,故选A.
2.(2023北京,5,4分,易)在的展开式中,x的系数为 (　　)
A.-40　　B.40　　C.-80　　D.80
【答案】　D　
【解析】 的展开式的通项为Tk+1=(2x)5-k·25-k(-1)kx5-2k,令5-2k=1,得k=2,则x的系数为23(-1)2=80.故选D.
3.(2022北京,8,4分)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4= (　　)
A.40　　　　B.41　　　　C.-40　　　　D.-41
【答案】　B
【解析】 　∵(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,
∴令x=1,得a4+a3+a2+a1+a0=1,
令x=-1,得a4-a3+a2-a1+a0=34,
∴a0+a2+a4=×(1+34)=41.故选B.
4.(2016四川理,2,5分)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为(　　)
A.-15x4　　　B.15x4　　　C.-20ix4　　　D.20ix4
【答案】　A
【解析】 　T3=x4i2=-15x4,故选A.
易错警示　易误认为i2=1而致错.
5.(2015湖北理,3,5分)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(　　)
A.212　　　B.211　　　C.210　　　D.29
【答案】　D　
【解析】 ∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为,,∴=,得n=10.
从而有++++…+=210,
又++…+=++…+,
∴奇数项的二项式系数和为++…+=29.
评析　本题考查求二项展开式的二项式系数及其性质、组合数性质,考查运算求解能力.
6.(2015陕西理,4,5分)二项式(x+1)n(n∈N+)的展开式中x2的系数为15,则n=(　　)
A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7
【答案】　C　
【解析】 因为(x+1)n的展开式中x2的系数为,
所以=15,即=15,亦即n2-n=30,解得n=6(n=-5舍).
7.(2015课标Ⅰ理,10,5分)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(　　)
A.10　　　B.20　　　C.30　　　D.60
【答案】　C　
【解析】 (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为=30,故选C.
8.(2014四川理,2,5分)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为(　　)
A.30　　　B.20　　　C.15　　　D.10
【答案】　C　
【解析】 在(1+x)6的展开式中,含x2的项为T3=·x2=15x2,故在x(1+x)6的展开式中,含x3的项的系数为15.
9.(2014湖南理,4,5分)的展开式中x2y3的系数是(　　)
A.-20　　　B.-5　　　C.5　　　D.20
【答案】　A　
【解析】 展开式的通项为Tk+1=·(-2y)k=(-1)k·22k-5x5-k·yk,令5-k=2,得k=3.则展开式中x2y3的系数为(-1)3·22×3-5 =-20,故选A.
评析　本题考查由二项式定理求指定项系数、组合数的计算,考查学生的运算求解能力,属于中档题.
10.(2014浙江理,5,5分)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=(　　)
A.45　　　B.60　　　C.120　　　D.210
【答案】　C　
【解析】 在(1+x)6的展开式中,xm的系数为,在(1+y)4的展开式中,yn的系数为,故f(m,n)=·.从而f(3,0)==20, f(2,1)=·=60, f(1,2)=·=36, f(0,3)==4,故选C.
11.(2013课标Ⅱ理,5,5分)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=(　　)
A.-4　　　B.-3　　　C.-2　　　D.-1
【答案】　D　
【解析】 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为,当r=1时,x2的系数为·a,所以+·a=5,a=-1,故选D.
12.(2013辽宁理,7,5分)使(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)
A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7
【答案】　B
【解析】 　Tr+1=(3x)n-r·=·3n-r·=·3n-r·(r=0,1,2,…,n),
若Tr+1是常数项,则有n-r=0,即2n=5r(r=0,1,…,n),当r=0,1时,n=0,,不满足条件;当r=2时,n=5,故选B.
13.(2013大纲全国理,7,5分)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)
A.56　　　B.84　　　C.112　　　D.168
【答案】　D　
【解析】 (1+x)8·(1+y)4的展开式中x2y2的系数为·=28×6=168,选D.
14.(2013课标Ⅰ理,9,5分)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=(　　)
A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.8
【答案】　B　
【解析】 由题意得:a=,b=,所以13=7,∴=,∴=13,解得m=6,经检验m=6为原方程的解.选B.
15.(2012湖北理,5,5分)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a=(　　)
A.0　　　B.1　　　C.11　　　D.12
【答案】　D　
【解析】 512 012+a=(52-1)2 012+a=522 012+×522 011×(-1)+…+×52×(-1)2 011+(-1)2 012+a能被13整除,只需(-1)2 012+a=1+a能被13整除即可.∵0≤a<13,∴a=12,故选D.
评析　本题考查二项式定理及整除等知识,考查学生应用意识和运算求解能力.
16.(2012安徽理,7,5分)(x2+2)的展开式的常数项是(　　)
A.-3　　　B.-2　　　C.2　　　D.3
【答案】　D　
【解析】 由题意知展开式的常数项为2×(-1)5+×(-1)4=-2+5=3,故选D.
17.（2025上海，4,4分）在二项式(2x-1)5的展开式中,x3的系数为　　　　.
【答案】80
【解析】(2x-1)5展开式的通项为Tr+1=·25-r·x5-r·(-1)r,令5-r=3,得r=2,
可得x3项的系数为·(-1)2·25-2=80.
18.（2025天津，11,5分）在(x-1)6的展开式中,x3的系数为　　　　.
【答案】-20
【解析】Tr+1=x6-r·(-1)r,令6-r=3,则r=3,
T4=x3·(-1)3=-20x3,所以x3的系数为-20.
19.（2025北京，12,5分）已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0=　　　　;a1+a2+a3+a4=　　　　.
【答案】1;15
【解析】令x=0,得a0=(1-0)4=1.
a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4=a0+a1(-2x)1+a2(-2x)2+a3(-2x)3+a4(-2x)4,
结合(1-2x)4=+(-2x)1+(-2x)2+(-2x)3+(-2x)4,
可得a1+a2+a3+a4=+++=15.
20.(2024全国甲理,13,5分,中)的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　.
【答案】 5
【解析】　的展开式中第r+1项的系数为,
由解得≤r≤,
又∵r为整数,∴r=8,
∴各项系数中的最大值为=5.
21.(2024天津,11,5分,易)在的展开式中,常数项为　　　　.
【答案】 20
【解析】　的展开式的通项为Tr+1==36-2rx6(r-3),r=0,1,…,6,
令6(r-3)=0,可得r=3,所以常数项为30=20.
22. 在的展开式中，项的系数为_________．
【答案】
【解析】 展开式的通项公式，
令可得，，则项的系数为.
23.(2021北京,11,5分)的展开式中常数项是　　　　.
【答案】　-4
【解析】　Tr+1=(x3)4-r=(-1)rx12-4r,令12-4r=0,得r=3,所以的常数项为T3+1=(-1)3=-4.
24.(2022新高考Ⅰ,13,5分)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答).
【答案】　 -28
【解析】　(x+y)8的展开式中x2y6的系数为=28,x3y5的系数为=56,因此(x+y)8的展开式中x2y6的系数为=-28.
25.(2022浙江,12,6分)已知多项式(x+2)(x-1)4 =a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2=　　　　,a1+a2+a3+a4+a5=　　　　.
【答案】　 8;-2
【解析】　由(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,知含x2的项是由x+2中的x和2分别与(x-1)4的展开式中含x和x2的项相乘后再相加得到的,所以a2=(-1)3+2(-1)2=8.
对于(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,
令x=0,得a0=2×(-1)4=2;
令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,
所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.
26.(2018上海,3,4分)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为　　　　(结果用数值表示).
【答案】　21
【解析】　本题主要考查二项展开式.
(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为==21.
27.(2016天津理,10,5分)的展开式中x7的系数为　　　　.(用数字作答)
【答案】　-56
【解析】　Tr+1=x16-2r(-x)-r=(-1)-rx16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以x7的系数为(-1)-3=-56.
易错警示　本题中,展开式的通项易写错,尤其是符号,正负易混,需引起注意.
评析　本题主要考查二项式定理,对运算求解能力要求较高.属中档题.
28.(2015天津,12,5分)在的展开式中,x2的系数为　　　　.
【答案】　
【解析】　的展开式的通项为Tr+1=x6-r=x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数为×=.
29.(2015重庆理,12,5分)的展开式中x8的系数是　　　　(用数字作答).
【答案】　
【解析】　二项展开式的通项为Tr+1=(x3)5-r·=·,令15-3r-=8,得r=2,于是展开式中x8的系数为×=×10=.
30.(2015课标Ⅱ理,15,5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　　.
【答案】　3
【解析】　设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为[f(1)-f(-1)],∴×(a+1)×16=32,∴a=3.
评析　二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法.
31.(2014安徽理,13,5分)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=　　　　.
【答案】　3
【解析】　根据题意知a0=1,a1=3,a2=4,
结合二项式定理得即解得a=3.
32.(2014课标Ⅰ理,13,5分)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为　　　　.(用数字填写【答案】)
【答案】　-20
【解析】　由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x·xy7-y·x2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为-=-=8-28=-20.
33.(2014课标Ⅱ理,13,5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　.(用数字填写【答案】)
【答案】　
【解析】　Tr+1=x10-rar,令10-r=7,得r=3,
∴a3=15,即a3=15,∴a3=,∴a=.
34.(2013浙江理,11,4分)设二项式的展开式中常数项为A,则A=　　　　.
【答案】　-10
【解析】　展开式通项为Tr+1=·()5-r
=(-1)r.令-r=0,得r=3.
当r=3时,T4=(-1)3=-10.故A=-10.
35.(2012福建理,11,4分)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=　　　　.
【答案】　2
【解析】　T3+1=a1x3=4ax3,∴4a=8,∴a=2.
评析　本题考查二项展开式的通项公式,也考查了学生的运算求解能力.
36.(2012浙江理,14,4分)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=　　　　.
【答案】　10
【解析】　由于f(x)=x5=[(1+x)-1]5,所以a3=(-1)2=10.
评析　本题考查二项式定理的运用,考查整体思想、转化与化归思想,可利用构造法解决问题.
37.(2012大纲全国理,15,5分)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为　　　.
【答案】　56
【解析】　由=得n=8,Tr+1=x8-r·=x8-2r,令8-2r=-2,解得r=5,故所求系数为==56.
评析　本题考查了二项式定理,运用二项展开式的通项公式求指定项的系数.
38.(2016课标Ⅰ,14,5分)(2x+)5的展开式中,x3的系数是　　　　.(用数字填写【答案】)
【答案】　10
【解析】　Tr+1=(2x)5-r·()r=25-r·,令5-=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.
思路分析　利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3,求出r,即可求解x3的系数.
方法总结　写出二项展开式的通项,化简通项,解出满足题意的r的值,代入通项是解决此类问题的通法.
39.(2016山东,12,5分)若的展开式中x5的系数是-80,则实数a=　　　　.
【答案】　-2
【解析】　Tr+1=a5-r,
令10-r=5,
解之得r=2,所以a3=-80,a=-2.
(
第
6
页 共
6
页
)