1.2 常用逻辑用语（解析版）--2026版十年高考数学真题分类汇编

1.2　常用逻辑用语
考点1 充分条件与必要条件
1.（2025天津，2,5分）已知x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由x=0 sin 2x=sin 0=0,则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件;
若sin 2x=0,则2x=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),
故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件.
综上可知,“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.
故选A.
2.（2025北京，7,4分）已知函数f(x)的定义域为D,则“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若f(x)的值域为R,则|f(x)|的值域为[0,+∞),故对于任意M∈R,都存在x0∈D,使得|f(x0)|>M,充分性成立;
设f(x)=x2,满足对任意M∈R,都存在x0∈D,使得|f(x0)|>M,但f(x)的值域不为R,必要性不成立,故选A.
3.(2024天津,2,5分,易)已知a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据幂函数的性质和指数函数的性质,可得a3=b3 a=b 3a=3b,所以“a3=b3”是“3a=3b”的充要条件.故选C.
4.(2024北京,5,4分,易)已知向量a,b,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若(a+b)·(a-b)=0,则a2=b2,即|a|=|b|,但|a|=|b|推不出a=-b或a=b,如a=(1,0),b=(0,1),满足|a|=|b|,但a≠-b,a≠b;而a=-b或a=b可推出|a|=|b|,所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的必要不充分条件.
方法总结：充分、必要条件的判断方法　
　　①分清p和q命题;②判断“p q”与“q p”的真假;③根据定义下结论.
5.（2023课标I，7）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，故选C.
6.(2023北京,8,4分,易)若xy≠0,则“x+y=0”是“=-2”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】　C　
【解析】充分性:=-2,即充分性成立;
必要性:由=-2,得x2+y2+2xy=(x+y)2=0,即有x+y=0,故必要性成立,故选C.
7.（2023全国甲理，7,5分）“”是“”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，是成立的必要不充分条件，故选：B
8.（2023天津，2,5分）“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】由，则，当时不成立，充分性不成立；
由，则，即，显然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分条件.故选：B
9.(2022浙江,4,4分)设x∈R,则“sin x=1”是“cos x=0”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】　A　
【解析】根据sin x=1解得x=+2kπ,k∈Z,此时cos x=cos=0.根据cos x=0解得x=+kπ,k∈Z,此时sin x=sin=±1.故“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件,故选A.
10.(2021浙江,3,4分)已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的 (　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
【答案】　B　
【解析】 解题指导:利用平面向量的数量积定义分别判断命题“若a·c=b·c,则a=b”与“若a=b,则a·c=b·c”的真假性即可.
解析　若c与向量a,b都垂直,则由a·c=b·c不一定能得到a=b;
若a=b,则由平面向量的数量积的定义知a·c=b·c成立,故“a·c=b·c”是“ a=b”的必要不充分条件.故选B.
方法总结:(1)充分条件、必要条件的判断方法:
①定义法:根据“若p,则q”与“若q,则p”的真假性进行判断;
②集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(2)要判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.但要判断一个命题是真命题,必须通过严格的推理论证.
11.(2021北京,3,4分)设函数f(x)的定义域为[0,1],则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的 (　　)
A.充分而不必要条件　　　　B.必要而不充分条件
C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
【答案】　A　
【解析】若f(x)在[0,1]上单调递增,则f(x)在[0,1]上的最大值为f(1);若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1),则f(x)未必在[0,1]上单调递增,如图.故选A.
12.(2022北京,6,4分)设{an}是公差不为0的无穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0,当n>N0时,an>0”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】　C　
【解析】设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则an=a1+(n-1)d.
若{an}为递增数列,则d>0,
由an=a1+(n-1)d可构造函数f(x)=xd+a1-d,令f(x)=0,得x=,
若a1>d,则x<0,取N0=1,即有n>1时,f(n)>f(1)>0成立;
若a10,取N0=+1的最大正整数,此时n>N0,必有f(n)>f(N0)=f=0.
综上,存在正整数N0,当n>N0时,an>0,∴充分性成立.
易知an是关于n的一次函数,若存在正整数N0,当n>N0时,an>0,则一次函数为增函数,∴d>0,
∴必要性成立.故选C.
13.(2019天津文,3,5分)设x∈R,则“0A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】　B　
【解析】|x-1|<1 -1当0反之,不成立.
所以,“0一题多解　因为{x||x-1|<1}={x|0所以“014.(2018天津,理4,文3,5分)设x∈R,则“<”是“x3<1”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】　A
【解析】　本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.
由<得-由x3<1得x<1.当0方法总结　(1)充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什么;②尝试从条件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.
(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成立的必要条件,然后验证得到的必要条件是否满足充分性.
15.(2017北京理,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】　A　
【解析】由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.
16.(2017天津理,4,5分)设θ∈R,则“<”是“sin θ<”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】　A　
本题考查不等式的解法及充分必要条件的判断.
【解析】∵< -<θ-< 0<θ<,
sin θ< θ∈,k∈Z,
,k∈Z,
∴“<”是“sin θ<”的充分而不必要条件.
17.(2016天津理,5,5分)设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的(　　)
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】　C　
【解析】 若对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0,则a1+a2<0,又a1>0,所以a2<0,所以q=<0.若q<0,可取q=-1,a1=1,则a1+a2=1-1=0,不满足对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的必要而不充分条件.故选C.
评析　本题以等比数列为载体,考查了充分条件、必要条件的判定方法,属中档题.
18.(2015重庆理,4,5分)“x>1”是“lo(x+2)<0”的(　　)
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】　B　
【解析】当x>1时,x+2>3>1,又y=lox是减函数,
∴lo(x+2)1 lo(x+2)<0;当lo(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则lo(x+2)<0不能推出 x>1.故“x>1”是“lo(x+2)<0”的充分而不必要条件.选B.
19.(2015天津理,4,5分)设x∈R,则“1A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】　A　
【解析】因为|x-2|<1等价于-120.(2015湖南理,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A B”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】　C　
【解析】若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,
∴x∈B,故A B;若A B,任取x∈A,都有x∈B,
∴x∈A∩B,∴A (A∩B),又A∩B A显然成立,∴A∩B=A.
综上,“A∩B=A”是“A B”的充要条件,故选C.
21.(2015陕西理,6,5分)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】　A　
【解析】由sin α=cos α,得cos 2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.
由cos 2α=0,得sin α=±cos α,即必要性不成立.故选A.
22.(2014课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)在x=x0处导数存在.若p:f '(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则(　　)
A.p是q的充分必要条件
B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件
C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件
D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
【答案】　C　
【解析】∵f(x)在x=x0处可导,∴若x=x0是f(x)的极值点,则f '(x0)=0,∴q p,故p是q的必要条件;反之,以f(x)=x3为例, f '(0)=0,但x=0不是极值点,∴p /q,故p不是q的充分条件.故选C.
23.(2014安徽理,2,5分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】　B　
【解析】ln(x+1)<0 024.(2014浙江理,2,5分)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】　A　
【解析】当a=b=1时,有(1+i)2=2i,即充分性成立.当(a+bi)2=2i时,有a2-b2+2abi=2i,得解得a=b=1或a=b=-1,即必要性不成立,故选A.
评析　本题考查复数的运算,复数相等的概念,充分条件与必要条件的判定,属于容易题.
25.(2014北京理,5,5分)设{an}是公比为q的等比数列.则“q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】　D　
【解析】若q>1,则当a1=-1时,an=-qn-1,{an}为递减数列,所以“q>1” / “{an}为递增数列”;若{an}为递增数列,则当an=-时,a1=-,q=<1,即“{an}为递增数列” / “q>1”.故选D.
考点2 全称量词命题与存在量词命题
1.(2024新课标Ⅱ,2,5分,易)已知命题 p: x∈R,|x+1|>1;命题q: x>0,x3=x.则(　　)
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
【答案】B
【解析】由|x+1|>1得x+1>1或x+1<-1,即x>0或x<-2,因此命题p是假命题, p是真命题;
由x3=x可得x(x-1)(x+1)=0,即x=0,-1或1,因此 x=1>0,使得x3=x,命题q是真命题,故选B.
2.(2015浙江理,4,5分)命题“ n∈N*, f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A. n∈N*, f(n) N*且f(n)>n
B. n∈N*, f(n) N*或f(n)>n
C. n0∈N*, f(n0) N*且f(n0)>n0
D. n0∈N*, f(n0) N*或f(n0)>n0
【答案】D　
【解析】“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n) N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D.
3.(2014湖北文,3,5分)命题“ x∈R,x2≠x”的否定是(　　)
A. x R,x2≠x　　　　　B. x∈R,x2=x
C. x R,x2≠x　　　　　D. x∈R,x2=x
【答案】D　
【解析】原命题的否定为 x∈R,x2=x.故选D.
4.(2013重庆理,2,5分)命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为(　　)
A.对任意x∈R,都有x2<0　　　　　B.不存在x∈R,使得x2<0
C.存在x0∈R,使得≥0　　　　　D.存在x0∈R,使得<0
【答案】D　
【解析】全称命题的否定是特称命题.“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为“存在x0∈R,使得<0”,故选D.
5.(2015山东理,12,5分)若“ x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为　　　　.
【答案】1
【解析】　∵0≤x≤,∴0≤tan x≤1,∵“ x∈,tan x≤m”是真命题,∴m≥1.∴实数m的最小值为1
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