1.3 不等式(解析版)--2026版十年高考数学真题分类汇编

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名称 1.3 不等式(解析版)--2026版十年高考数学真题分类汇编
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2025-08-06 15:32:12

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1.3 不等式
考点1 不等式的解法与性质
1.(2025全国二卷,4,5分)不等式≥2的解集是(  )
A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1} D.{x|x>1}
【答案】C
【解析】由≥2,得≥0,即≤0,所以解得-2≤x<1,所以原不等式的解集为{x|-2≤x<1}.故选C.
2.(2022全国甲理,12,5分)已知a=,b=cos,c=4sin,则 (  )
A.c>b>a    B.b>a>c
C.a>b>c    D.a>c>b
【答案】 A 
【解析】 解法一:当x∈时,sin xb.当x∈R时,|x|≥|sin x|,即x2≥sin2x,所以,所以=1-cos x,即cos x≥1-,当且仅当x=0时等号成立,所以cos,即b>a.综上可知,c>b>a,故选A.
解法二:当x∈时,sin x①比较a与b.
b=cos,故b-a==2>0,∴b>a.
②比较b与c.
当x∈时,由x∴cos,即b综上可知,c>b>a.故选A.
3.(2014大纲全国文,3,5分)不等式组的解集为(  )
A.{x|-2C.{x|01}
【答案】 C 
【解析】 由x(x+2)>0得x>0或x<-2;
由|x|<1得-1所以不等式组的解集为{x|0故选C.
4.(2014浙江文,7,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0A.c≤3     B.3C.69
【答案】 C 
【解析】 由00<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3,
由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,
由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②,
由①②,解得a=6,b=11,
∴05.(2013重庆,7,5分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=(  )
A.   B.   C.   D.
【答案】 A 
【解析】 解法一:∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),∴x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根.
由根与系数的关系知
∴x2-x1===15,
又∵a>0,∴a=,故选A.
解法二:由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,∵a>0,
∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(-2a,4a),
又∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),
∴x1=-2a,x2=4a.
∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,
解得a=,故选A.
6.(2019课标Ⅰ理,4,5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(  )
A.165 cm   B.175 cm   C.185 cm   D.190 cm
【答案】 B 
【解析】 本题主要考查学生的数学应用意识、抽象概括能力、运算求解能力,以及方程思想;考查的核心素养为数学抽象、数学建模以及数学运算.
由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小于≈42 cm,可得到此人的身高应小于26+42+≈178 cm;
同理,肚脐至足底的长度应大于腿长105 cm,故此人的身高应大于105+105×0.618≈170 cm,结合选项可知,只有B选项符合题意,故选B.
一题多解 用线段代替人,如图.
已知==≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,设此人身高为h cm,则a+b=h,由 a>64.89,
由 d<42.07,
所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,
由 b<110.15,
整理可得64.89+105即169.897.(2015浙江文,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且xA.ax+by+cz     B.az+by+cx
C.ay+bz+cx     D.ay+bx+cz
【答案】 B 
【解析】 用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间,且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间,这样所需总费用最低,最低总费用为(az+by+cx)元,故选B.
8.(2015北京文,10,5分)2-3,,log25三个数中最大的数是    .
【答案】 log25
【解析】 ∵2-3=<1,1<<2,log25 >2,
∴这三个数中最大的数为log25.
9.(2015江苏,7,5分)不等式<4的解集为    .
【答案】 {x|-1【解析】 不等式<4可转化为<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-110.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为    .(用区间表示)
【答案】 (-4,1)
【解析】 不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-411.(2014湖南文,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-【答案】 -3
【解析】 依题意,知a≠0.|ax-2|<3 -30时,不等式的解集为,
从而有此方程组无解.当a<0时,不等式的解集为,从而有解得a=-3.
12.(2013广东理,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集为    .
【答案】 {x|-2【解析】 x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-213.(2025上海,2,4分)不等式<0的解集为    .
【答案】(1,3)
【解析】原不等式可化为(x-1)(x-3)<0,解得1则原不等式的解集为(1,3).
考点2 基本不等式
1.(2025北京,6,4分)已知a>0,b>0,则(  )
A.a2+b2>2ab B.+≥
C.a+b> D.+≤
【答案】 C
对于B,取a=,b=,则+<,故B错误;
对于C,因为a>0,b>0,所以a+b≥2且>0,所以2>,故a+b>,故C正确;
对于D,取a=2,b=1,则+>,故D错误.故选C.
2.(2015陕西,理9,5分)设f(x)=ln x,0A.q=rp   C.p=rq
【答案】 C 
【解析】 由题意得p=ln,q=ln,r=(ln a+ln b)=ln=p,∵0,∴ln>ln,∴p=r3.(2015福建理,5,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于(  )
A.2   B.3   C.4   D.5
【答案】 C 
【解析】 因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1.所以a+b=(a+b)·=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C.
4.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(  )
A.   B.2   C.2   D.4
【答案】 C 
【解析】 依题意知a>0,b>0,则+≥2=,当且仅当=,即b=2a时,“=”成立.因为+=,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值为2,故选C.
5.(2014重庆文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是(  )
A.6+2   B.7+2   C.6+4   D.7+4
【答案】 D 
【解析】 由log4(3a+4b)=log2,
得3a+4b=ab,且a>0,b>0,
∴a=,由a>0,得b>3.
∴a+b=b+=b+=(b-3)++7≥2+7=4+7,即a+b的最小值为7+4.
6.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(  )
A.80元   B.120元   C.160元   D.240元
【答案】 C 
【解析】 设底面矩形的长和宽分别为a m、b m,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40=160(当且仅当a=b时等号成立).故选C.
7.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 (  )
A.x+y≤1    B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2    D.x2+y2≥1
【答案】 BC 
【解析】 因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2-(x+y)2=(x+y)2,故(x+y)2≤4,当且仅当x=y时等号成立,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确.由xy≤得1=x2+y2-xy≥x2+y2-,即x2+y2≤2,当且仅当x=y时等号成立.故C正确,D错误,故选BC.
8.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 (  )
A.a2+b2≥    
C.log2a+log2b≥-2    D.
【答案】 ABD ∵a>0,b>0,a+b=1,∴0ab≤.
对于A选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2,当且仅当a=b=时,取等号,A正确;
对于B选项,a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0成立,B正确;
对于C选项,∵00,b>0,
∴log2a+log2b=log2(ab)≤log2=-2,C不正确;
对于D选项,∵()2=a+b+2≤1+a+b=2,∴成立,D正确.
9.(2019天津文,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为    .
【答案】 
【解析】 本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌握程度,以及学生的推理、运算能力.
===2+.
∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2,解得0思路分析 首先将分子展开,并把已知条件x+2y=4代入,则原式化简为2+,注意到x与2y的和为定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最终得到原式的最小值,在此应特别注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”,注意等号是否成立.
10.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为    .
【答案】 9
【解析】 本题考查基本不等式及其应用.
依题意画出图形,如图所示.
易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,
即csin 60°+asin 60°=acsin 120°,
∴a+c=ac,∴+=1,
∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,
当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.
一题多解1 作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,
∴==,
∵DE∥CB,∴===,
∴=,=.
∴=+.
∴=,
∴1=++2··||·||×,
∴1=,∴ac=a+c,∴+=1,
∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.
一题多解2 以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A,C.
∵A,D,C三点共线,∴∥,
∴+c=0,
∴ac=a+c,∴+=1,
∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.
11.(2017山东,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为    .
【答案】 8
【解析】 由题设可得+=1,∵a>0,b>0,
∴2a+b=(2a+b)=2+++2≥4+2=8.
故2a+b的最小值为8.
12.(2015重庆文,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为    .
【答案】 3
【解析】 解法一:令t=+,
则t2=(+)2=a+1+b+3+2·≤9+a+1+b+3=18,
当且仅当=,
即a=,b=时,等号成立.
即t的最大值为3.
解法二:设=m,=n,则m,n均大于零,
因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2,
所以m+n≤·,
所以+≤·=3,
当且仅当=,
即a=,b=时,“=”成立,所以所求最大值为3.
13.(2025上海,8,5分)设a,b>0,a+=1,则b+的最小值为    .
【答案】4
【解析】易知b+==ab++2≥2+2=4,
当且仅当ab=1,即a=,b=2时等号成立.
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