名称 | 1.3 不等式(解析版)--2026版十年高考数学真题分类汇编 | ![]() | |
格式 | docx | ||
文件大小 | 90.7KB | ||
资源类型 | 试卷 | ||
版本资源 | 通用版 | ||
科目 | 数学 | ||
更新时间 | 2025-08-06 15:32:12 |
p C.p=rq
【答案】 C
【解析】 由题意得p=ln,q=ln,r=(ln a+ln b)=ln=p,∵0,∴ln>ln,∴p=r
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】 C
【解析】 因为直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以+=1.所以a+b=(a+b)·=2++≥2+2=4,当且仅当a=b=2时取“=”,故选C.
4.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
【答案】 C
【解析】 依题意知a>0,b>0,则+≥2=,当且仅当=,即b=2a时,“=”成立.因为+=,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值为2,故选C.
5.(2014重庆文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是( )
A.6+2 B.7+2 C.6+4 D.7+4
【答案】 D
【解析】 由log4(3a+4b)=log2,
得3a+4b=ab,且a>0,b>0,
∴a=,由a>0,得b>3.
∴a+b=b+=b+=(b-3)++7≥2+7=4+7,即a+b的最小值为7+4.
6.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
【答案】 C
【解析】 设底面矩形的长和宽分别为a m、b m,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40=160(当且仅当a=b时等号成立).故选C.
7.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 ( )
A.x+y≤1 B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
【答案】 BC
【解析】 因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2-(x+y)2=(x+y)2,故(x+y)2≤4,当且仅当x=y时等号成立,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确.由xy≤得1=x2+y2-xy≥x2+y2-,即x2+y2≤2,当且仅当x=y时等号成立.故C正确,D错误,故选BC.
8.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( )
A.a2+b2≥
C.log2a+log2b≥-2 D.
【答案】 ABD ∵a>0,b>0,a+b=1,∴0ab≤.
对于A选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2,当且仅当a=b=时,取等号,A正确;
对于B选项,a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0成立,B正确;
对于C选项,∵0
∴log2a+log2b=log2(ab)≤log2=-2,C不正确;
对于D选项,∵()2=a+b+2≤1+a+b=2,∴成立,D正确.
9.(2019天津文,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为 .
【答案】
【解析】 本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌握程度,以及学生的推理、运算能力.
===2+.
∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2,解得0
10.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 .
【答案】 9
【解析】 本题考查基本不等式及其应用.
依题意画出图形,如图所示.
易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,
即csin 60°+asin 60°=acsin 120°,
∴a+c=ac,∴+=1,
∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,
当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.
一题多解1 作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,
∴==,
∵DE∥CB,∴===,
∴=,=.
∴=+.
∴=,
∴1=++2··||·||×,
∴1=,∴ac=a+c,∴+=1,
∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.
一题多解2 以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,
则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A,C.
∵A,D,C三点共线,∴∥,
∴+c=0,
∴ac=a+c,∴+=1,
∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.
11.(2017山东,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .
【答案】 8
【解析】 由题设可得+=1,∵a>0,b>0,
∴2a+b=(2a+b)=2+++2≥4+2=8.
故2a+b的最小值为8.
12.(2015重庆文,14,5分)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为 .
【答案】 3
【解析】 解法一:令t=+,
则t2=(+)2=a+1+b+3+2·≤9+a+1+b+3=18,
当且仅当=,
即a=,b=时,等号成立.
即t的最大值为3.
解法二:设=m,=n,则m,n均大于零,
因为m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2,
所以m+n≤·,
所以+≤·=3,
当且仅当=,
即a=,b=时,“=”成立,所以所求最大值为3.
13.(2025上海,8,5分)设a,b>0,a+=1,则b+的最小值为 .
【答案】4
【解析】易知b+==ab++2≥2+2=4,
当且仅当ab=1,即a=,b=2时等号成立.
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