2.1 函数的概念及基本性质（解析版）--2026版十年高考数学真题分类汇编

专题二　函数及其性质
2.1函数的概念及基本性质
考点1　函数的有关概念
1.(2024新课标Ⅰ,8,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R, f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时, f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(　　)
A. f(10)>100 B. f(20)>1 000
C. f(10)<1 000 D. f(20)<10 000
【答案】B
【解析】当x<3时, f(x)=x,因此, f(1)=1, f(2)=2,
又f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3,
f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5,……,以此类推知f(10)>89,……, f(16)>1 597,……, f(20)>10 946,因此B正确,D错误;
取f(3)=1 000,可知选项C错误;
不妨设f(x)=f(x-1)+f(x-2)+λ(λ>0),则f(3)=f(2)+f(1)+λ=3+λ, f(4)=f(3)+f(2)+λ=5+2λ,……, f(10)=89+54λ,令f(10)<100,得89+54λ<100,∴λ<,因此当λ<时, f(10)<100,选项A错误.
故选B.
2.(2015湖北文,7,5分)设x∈R,定义符号函数sgn x=则(　　)
A.|x|=x|sgn x|　　　　　B.|x|=xsgn|x|
C.|x|=|x|sgn x　　　　　D.|x|=xsgn x
【答案】　D　
【解析】由已知可知xsgn x=而|x|=所以|x|=xsgn x,故选D.
3.(2014江西理,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.-1
【答案】　A　
【解析】由已知条件可知: f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故选A.
评析　本题主要考查函数的解析式,正确理解函数的定义是解题关键.
4.(2017山东理,1,5分)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=(　　)
A.(1,2)　　　　　B.(1,2]
C.(-2,1)　　　　　D.[-2,1)
【答案】D　
【解析】由4-x2≥0,解得-2≤x≤2,由1-x>0,解得x<1,∴A∩B={x|-2≤x<1}.故选D.
5.(2015重庆文,3,5分)函数f(x)=log2(x2+2x-3)的定义域是(　　)
A.[-3,1]
B.(-3,1)
C.(-∞,-3]∪[1,+∞)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
【答案】　D　
【解析】由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故选D.
6.(2015湖北文,6,5分)函数f(x)=+lg的定义域为(　　)
A.(2,3)　　　　　B.(2,4]
C.(2,3)∪(3,4]　　　　　D.(-1,3)∪(3,6]
【答案】　C　
【解析】要使函数f(x)有意义,需满足
即解之得27.(2014山东理,3,5分)函数f(x)=的定义域为(　　)
A.　　　　　B.(2,+∞)
C.∪(2,+∞)　　　　　D.∪[2,+∞)
【答案】　C　
【解析】 要使函数f(x)有意义,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0故f(x)的定义域为∪(2,+∞).
8.(2016课标Ⅱ文,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(　　)
A.y=x　　　B.y=lg x　　　C.y=2x　　　D.y=
【答案】　D　
【解析】 函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x的值域为R,排除B,故选D.
易错警示　利用对数恒等式将函数y=10lg x变为y=x,将其值域认为是R是失分的主要原因.
评析　本题考查函数的定义域和值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键.
9.(2022北京,4,4分)已知函数f(x)=,则对任意实数x,有 (　　)
A. f(-x)+f(x)=0　　　　B. f(-x)-f(x)=0
C. f(-x)+f(x)=1　　　　D. f(-x)-f(x)=
【答案】　C　
【解析】∵f(x)=,∴f(-x)=,∴f(x)+f(-x)==1.故选C.
一题多解:若对任意实数x,使得选项中式子成立,则可任取x值,代入验证,进行排除.当x=0时, f(0)+f(0)==1, f(0)-f(0)=0,故A,D选项错误.当x=1时, f(-1)-f(1)=≠0,故B选项错误.根据排除法可知选C.
10.(2015陕西文,4,5分)设f(x)=则f(f(-2))=(　　)
A.-1　　　B.　　　C.　　　D.
【答案】　C　
【解析】∵f(-2)=2-2=,∴f(f(-2))=f =1-=,选C.
11.(2015山东文,10,5分)设函数f(x)=若f =4,则b=(　　)
A.1　　　B.　　　C.　　　D.
【答案】　D
【解析】　f=3×-b=-b,
当-b≥1,即b≤时,f=,
即=4=22,得到-b=2,即b=;
当-b<1,即b>时,f=-3b-b=-4b,
即-4b=4,得到b=<,舍去.
综上,b=,故选D.
12.(2014江西文,4,5分)已知函数f(x)=(a∈R),若f [f(-1)]=1,则a=(　　)
A.　　　B.　　　C.1　　　D.2
【答案】　A　
【解析】由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a=,故选A.
13.(2022北京,11,5分)函数f(x)=的定义域是　　　　　　.
【答案】　(-∞,0)∪(0,1]
【解析】由题意得解得x≤1且x≠0,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,1].
14.(2015课标Ⅱ文,13,5分)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=　　　　.
【答案】-2
【解析】　因为函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),所以4=a×(-1)3-2×(-1),故a=-2.
15.(2016江苏,5,5分)函数y=的定义域是　　　　.
【答案】　[-3,1]
【解析】若函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.
16.(2022浙江,14,6分)已知函数f(x)=则f=　　　　;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是　　　　.
【答案】　 ;3+
【解析】∵f,
∴f.
f(x)的大致图象如图.
∵当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,
∴由图可得b>1且b+-1=3,∴b=2+,
∵f(a)=1,∴-a2+2=1,解得a=1或a=-1,
∴(b-a)max=2+-(-1)=3+.
一题多解:第二空:∵当x≤1时,y=-x2+2≤2,
∴f(x)=3 x+-1=3(x>1),故x=2+,
令-x2+2=1(x≤1),解得x=1或x=-1,
令x+-1=1(x>1),无解,
∴amin=-1,b=2+,
∴(b-a)max=2+-(-1)=3+.
17.(2014课标Ⅰ文,15,5分)设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　　　　.
【答案】　(-∞,8]
【解析】　f(x)≤2 或 或 x<1或1≤x≤8 x≤8,故填(-∞,8].
18.(2022北京,14,5分)设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　　;a的最大值为　　　　.
【答案】　 ([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一);1
【解析】当a<0时, f(x)=-ax+1在(-∞,a)上为增函数,无最小值.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值为0,所以f(x)不存在最小值.当a=0时, f(x)=此时f(x)存在最小值,最小值为0.当01-a2.因为a∈(0,1],所以1-a2∈[0,1),所以f(x)>0.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上存在最小值,最小值为0,所以f(x)在R上存在最小值.当a>1时, f(x)=-ax+1在(-∞,a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值大于或等于0,而1-a2<0,所以函数f(x)在R上不存在最小值.综上,a的取值范围为[0,1],a的最大值为1.
考点2 函数的单调性与最值
1.(2024新课标Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(　　)
A. B. C. D.1
【答案】　C
【解析】f(x)≥0 x+a≥0与ln(x+b)≥0的解集相同,①
或x+a≤0与ln(x+b)≤0的解集相同.②
由①得,x≥-a与x≥1-b的解集相同,
因此,-a=1-b,即b=1+a,
由②得,-b因此,-a=1-b,即b=1+a,
综上所述,b=1+a.
∴a2+b2=a2+(1+a)2=2+≥,故选C.
思路点拨 两个各自仅有一个变号零点的函数,若乘积恒大于或等于0,则两个函数的零点一定相等.
2.(2024北京,10,4分,难)已知M={(x,y)|y=x+t(x2-x),1≤x≤2,0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集.设d是M中两点间的距离的最大值,S是M表示的图形的面积,则(　　)
A.d=3,S<1 B.d=3,S>1
C.d=,S<1 D.d=,S>1
【答案】C
【解析】对于y=x+t(x2-x),
当t=0时,y=x,1≤x≤2,此时函数图象为线段AB;
当t=1时,y=x+(x2-x)=x2,1≤x≤2,此时函数图象为曲线段AC,如图所示.
又对任意1≤x≤2,x2-x≥0,函数g(t)=(x2-x)t+x在[0,1]上单调递增,∴x≤g(t)≤x2.
因此M表示的图形为曲线段AC,线段AB和线段BC之间的曲边三角形ABC,
易得A(1,1),B(2,2),C(2,4),D(2,1),
∴M中两点间距离的最大值为|AC|==,M表示的图形的面积S<|BC|×|AD|=×2×1=1,即S<1.故选C.
3.（2023课标I，4）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.故选：D
4.（2023全国甲文，11） 已知函数．记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即由二次函数性质知，因为，而
，
即，所以，综上，，
又为增函数，故，即，故选：A.
5.(2023北京,4,4分,易)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　)
A. f(x)=-ln x　　　　B. f(x)=
C. f(x)=-　　　　D. f(x)=3|x-1|
【答案】　C　
【解析】对于A, f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;
对于B, f(x)=在(0,+∞)上单调递减,不符合题意;
对于C, f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,符合题意;
对于D, f(x)=3|x-1|=在(0,+∞)上不单调.故选C.
6.(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为 (　　)
A. f(x)=-x　　　　B. f(x)=
C. f(x)=x2　　　　D. f(x)=
【答案】　D　解题指导:排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项.
【解析】　对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知, f(x)是减函数,故A不符合题意;
对于f(x)=,由指数函数的单调性可知, f(x)是减函数,故B不符合题意;
对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意;
对于f(x)=,由幂函数的性质可知, f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D.
方法总结:一次函数y=kx+b(k≠0)单调性的判断:若k>0,则函数在R上单调递增;若k<0,则函数在R上单调递减.
指数函数y=ax(a>0且a≠1)单调性的判断:若a>1,则函数在R上单调递增;若0幂函数y=xα单调性的判断:若α>0,则函数在(0,+∞)上单调递增;若α<0,则函数在(0,+∞)上单调递减.
7.(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是 (　　)
A.y=x2+2x+4　　　　B.y=|sin x|+
C.y=2x+22-x　　　　D.y=ln x+
【答案】　C　
解题指导:对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,D,利用换元法转化为对勾函数进行判断.
【解析】　对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sin x|=t,则00),则y=2x+22-x=t+,t>0,易知y=t+在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,ymin=2+=4,故C符合题意;对于D,令ln x=t,t∈R且t≠0,则y=ln x+,显然t<0时,函数值小于0,不符合题意.故选C.
8.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 (　　)
A.[-1,1]∪[3,+∞)　　　　B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)　　　　D.[-1,0]∪[1,3]
【答案】　D　
【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:
当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.
综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.
9.(2019北京文,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A.y=　　　　　B.y=2-x
C.y=lox　　　　　D.y=
【答案】　A　
本题主要考查指数函数、对数函数、幂函数的单调性,考查数形结合的思想.考查的核心素养是直观想象.
【解析】A选项,>0,所以幂函数y=在(0,+∞)上单调递增.
B选项,指数函数y=2-x=在(0,+∞)上单调递减.
C选项,因为0<<1,所以对数函数y=lox在(0,+∞)上单调递减.
D选项,反比例函数y=在(0,+∞)上单调递减.
解题关键　熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解决本题的关键.
10.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是(　　)
A.y=　　　　　B.y=cos x
C.y=ln(x+1)　　　　　D.y=2-x
【答案】　D　
【解析】选项A中,y==的图象是将y=-的图象向右平移1个单位得到的,故y=在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cos x在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.
评析　本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.
11.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(　　)
A. B.∪(1,+∞)
C. D.∪
【答案】　A　
【解析】当x>0时,f(x)=ln(1+x)-,∴f '(x)=+>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),
∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得12.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.(　　)
A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤b
C.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b
【答案】　B　
【解析】依题意得f(a)≥2a,
若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,
又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B.
13.（2025北京，15,5分）关于定义域为R的函数f(x),给出下列四个结论:
①存在在R上单调递增的函数f(x),使得f(x)+f(2x)=-x恒成立;
②存在在R上单调递减的函数f(x),使得f(x)-f(2x)=x恒成立;
③使得f(x)+f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个;
④使得f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.
其中正确结论的序号是　　　　.
【答案】②③
【解析】对于①, f(x), f(2x)都是增函数,所以f(x)+f(2x)是增函数,而y=-x是减函数,等式不可能成立,所以①错误;
对于②,令f(x)=-x,则f(2x)=-2x,则满足f(x)是减函数且f(x)-f(2x)=x恒成立,所以②正确;
对于③,令f(x)=cos x+tx,t∈R,此时f(x)+f(-x)=cos x,由t∈R得f(x)有无穷多个,所以③正确;
对于④,若存在f(x),使得f(x)-f(-x)=cos x,令x=0,则0=cos 0,与cos 0=1矛盾,所以④错误,故填②③.
14.(2023北京,15,5分,难)设a>0,函数f(x)=给出下列四个结论:
①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减;
②当a≥1时, f(x)存在最大值;
③设M(x1, f(x1))(x1≤a),N(x2, f(x2))(x2>a),则|MN|>1;
④设P(x3, f(x3))(x3<-a),Q(x4, f(x4))(x4≥-a).若|PQ|存在最小值,则a的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
【答案】　②③
【解析】　f(x)的大致图象如图所示,
易知f(x)在(-∞,-a)上单调递增,在[-a,0)上单调递增,在[0,a]上单调递减,在(a,+∞)上单调递减.
对于①,当对于②,当x<-a时, f(x)<-a+2≤1,当-a≤x≤a时,0≤f(x)≤a,当x>a时, f(x)<--1≤-2.
综上,x=0时, f(x)取得最大值a,故②正确.
对于③,令M'(a,0),N'(a,--1),
显然|MN|>|M'N'|=+1>1,故③正确.
对于④,若|PQ|存在最小值,则点(0,0)到直线x+2=y的距离大于a,且直线y=-x与y=x+2的交点(-1,1)在射线y=x+2(x<-a)上,则>a,且-1<-a,又a>0,所以0综上,所有正确结论的序号是②③.
15.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=(x≥2)的最大值为　　　　.
【答案】　2
【解析】　解法一:∵f '(x)=,∴x≥2时, f '(x)<0恒成立,
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,
∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
解法二:∵f(x)===1+,
∴f(x)的图象是将y=的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=在[2,+∞)上单调递减,
∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.
解法三:由题意可得 f(x)=1+.
∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<≤1,
∴1<1+≤2,即1<≤2.
故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.
评析　本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.
16.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=则f(f(-2))=　　　　, f(x)的最小值是　　　　.
【答案】　-;2-6
【解析】　f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+-6=-.
当x≤1时, f(x)=x2≥0,
当x>1时,f(x)=x+-6≥2-6,
当且仅当x=时,等号成立,
又2-6<0,所以f(x)min=2-6.
17.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是　　　　.
【答案】
【解析】由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-), f(-)=f(),所以f(2|a-1|)>f(),所以2|a-1|<,解之得考点2 函数的奇偶性
1.(2024天津,4,5分,易)下列函数中是偶函数的为　(　　)
A. f(x)= B. f(x)=
C. f(x)= D. f(x)=
【答案】B
【解析】对于A, f(x)=,函数定义域为R, f(-1)=, f(1)=,则f(-1)≠f(1),故A错误;
对于B, f(x)=,函数定义域为R,
f(-x)===f(x),则f(x)为偶函数,故B正确;
对于C, f(x)=,函数定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称, 则f(x)不是偶函数,故C错误;
对于D, f(x)=,函数定义域为R, f(1)=, f(-1)=,则f(1)≠f(-1),故D错误.
故选B.
2.（2023课标II，4）若为偶函数，则（ ）
A. B. 0 C. D. 1
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数，故选：B.
3.（2023全国乙理，4）已知是偶函数，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得.
故选：D.
4.（多选）（2025全国二卷，10,6分）已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=(x2-3)ex+2,则(　　)
A. f(0)=0
B.当x<0时, f(x)=-(x2-3)e-x-2
C. f(x)≥2当且仅当x≥
D.x=-1是f(x)的极大值点
【答案】ABD
【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)=0,故A正确;
令x<0,则-x>0, f(-x)=(x2-3)e-x+2,
又f(-x)=-f(x),
所以f(x)=-(x2-3)e-x-2,
则x<0时, f(x)=-(x2-3)e-x-2,故B正确.
f(-1)=2(e-1)>2,故C错误.
当x<0时, f(x)=-(x2-3)e-x-2,
求导得f '(x)==,
当x∈(-∞,-1)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈(-1,0)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,
所以x=-1是f(x)的极大值点,故D正确.
故选ABD.
5.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是(　　)
A.y=x2sin x　　　　　B.y=x2cos x
C.y=|ln x|　　　　　D.y=2-x
【答案】　B　
【解析】A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.
6.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　)
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
【答案】　C　
【解析】由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.
评析　本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.
7.(2011课标理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是(　　)
A.y=x3　　　　　B.y=|x|+1
C.y=-x2+1　　　　　D.y=2-|x|
【答案】　B　
【解析】y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.
评析　本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.
8.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 (　　)
A.f(x-1)-1　　　　B.f(x-1)+1　　　　C.f(x+1)-1　　　　D.f(x+1)+1
【答案】　B　
解题指导:思路一:将函数f(x)的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此函数即为奇函数;
思路二:由函数f(x)的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断.
【解析】　解法一:f(x)=-1+,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.
解法二:选项A, f(x-1)-1=-2,此函数为非奇非偶函数;选项B, f(x-1)+1=,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=,此函数为非奇非偶函数;选项D, f(x+1)+1=,此函数为非奇非偶函数,故选B.
9.（2023课标I，11）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A. B.
C. 是偶函数 D. 为的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
10.（2023全国甲理，13）若为偶函数，则________．
【答案】2
【解析】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，所以.
11.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　　.
【答案】　1
解题指导:利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求出a的值.
【解析】　∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,
∴f(1)=f(-1),
∴2a-,
∴a=1.
当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.
一题多解　y=x3和y=2x-2-x为奇函数,利用结论:奇函数×奇函数=偶函数,可快速判断出a=1.
12.(2022全国乙文,16,5分)若f(x)=ln+b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.
【答案】　 -;ln 2
【解析】　∵f(x)是奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称.
由已知得x≠1,∴x≠-1,即当x=-1时,=0,∴a+=0,∴a=-,此时f(x)=ln+b,
∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义,∴f(0)=0,即ln+b=0,∴b=-ln=ln 2.
综上可知,a=-,b=ln 2.
13.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=　　　　.
【答案】　12
【解析】　本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.
由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.
14.(2015课标Ⅰ理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=　　　　.
【答案】　1
【解析】　由已知得f(-x)=f(x),即-xln(-x)=xln(x+),则ln(x+)+ln(-x)=0,
∴ln[()2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1.
15.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)=　　　　.
【答案】　3
【解析】　∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,
令x=1,得f(1)=f(3)=3,
∴f(-1)=f(1)=3.
16.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.
【答案】　2
【解析】　f(x)==1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.
17.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0【答案】　-2
【解析】　∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,
∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f=f=-f=-=-2,∴f+f(1)=-2.
考点3 函数的周期性和对称性
1.（2025全国一卷，5,5分）已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时, f(x)=5-2x,则f=(　　)
A.- B.- C. D.
【答案】A
【解析】由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数得, f=f=f=f,
又当2≤x≤3时, f(x)=5-2x,
则f=f=5-2×=-.
故选A.
2.(2021全国甲文,12,5分)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f,则f= (　　)
A.-
【答案】C　解题指导:求出函数f(x)的周期再进行转化,即可求解.
【解析】　由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(x)的周期为2,则f,故选C.
知识延伸:若函数f(x)为奇函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x=,周期为2a;若函数f(x)为偶函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x=,周期为a.
3.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>时, f=f.则f(6)=(　　)
A.-2　　　B.-1　　　C.0　　　D.2
【答案】D　
【解析】当x>时,由f=f可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.
4.(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f= (　　)
A.-
【答案】　D　
解题指导:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),将出现的自变量0,3,对应的函数值转化为[1,2]内自变量对应的函数值,进而得到a,b以及f的值.
【解析】　由题知
从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),
所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①
又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②
由①②得从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].
所以f.故选D.
一题多解　因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,且f(x)为周期函数,周期T=4,
从而f(0)=-f(2),①
f(3)=f(1)=0,②
f,
由①②结合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,
所以f.
5.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(k)= (　　)
A.-3　　　　B.-2　　　　C.0　　　　D.1
【答案】　A　
【解析】令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,故f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的周期为6.
令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2,
同理,令x=1,y=1,得f(2)=-1;
令x=2,y=1,得f(3)=-2;
令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1;
令x=5,y=1,得f(6)=2.
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,
所以f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故选A.
6.(2022全国乙理,12,5分)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则f(k)= (　　)
A.-21　　　　B.-22　　　　C.-23　　　　D.-24
【答案】　D　
【解析】由y=g(x)的图象关于直线x=2对称,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,得g(2+x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,所以由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,则f(x+2)+f(x)=-2④,所以由④-③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.
对于④,分别令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2, f(2)+f(4)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4.
对于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,则g(1)-f(1)=7⑦,
对于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑧,
由⑦⑧,得f(1)=-1.对于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5,
又g(2)=4,所以f(0)=1，对于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2，所以f(2)=-3.
则=5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故选D.
7.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=f '(x).若f,g(2+x)均为偶函数,则 (　　)
A. f(0)=0　　　　B.g=0
C. f(-1)=f(4)　　　　D.g(-1)=g(2)
【答案】　BC　
【解析】解法一:若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故选项A错误.
设f(x)=sin(πx),则g(x)=f '(x)=πcos(πx),
由于f=sinπ=sin=-cos(2πx),
g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos(πx),
所以f,g(2+x)均为偶函数,则所设f(x)符合题意.
于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故选项D错误.
由于f是偶函数,所以f '是奇函数,
即g是奇函数,则g=0,注意到g(2+x)是偶函数,于是g
=-g
=g=0,
故选项B正确.
由f,取x=,则f(-1)=f(4),故选项C正确.
故选BC.
解法二:由题意知f f(-x)=f(3+x)①,
取x=1,知f(-1)=f(4),C正确.
对①两边求导知-f '(-x)=f '(3+x) f '(-x)=-f '(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②,
取x=-,知g=0.g(2+x)=g(2-x) g(-x)=g(x+4)③,
由②③知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).
从而g=0,B正确.同解法一可判断A,D错误.故选BC.
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