2.2 基本初等函数（解析版）--2026版十年高考数学真题分类汇编

2.2　基本初等函数
考点1 指、对、幂的运算
1.(2022浙江,7,4分)已知2a=5,log83=b,则4a-3b= (　　)
A.25　　　　B.5　　　　C.
【答案】　C　
【解析】由题意知b=log83=lolog23,又2a=5,所以4a-3b=22(a-3b)=22a-6b=(2a)2·2-6b=25×,故选C.
2.(2021全国甲理,4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259) (　　)
A.1.5　　　　B.1.2　　　　C.0.8　　　　D.0.6
【答案】　C　
解题指导:将L=4.9代入L=5+lg V,结合对数与指数互化,即可求出V的值.
【解析】　将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,
即lg V=-0.1=-,
∴V=1≈0.8,
∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.
3.(2024全国甲理,15,5分,中)已知a>1且-=-,则a= .　　　　.
【答案】64
【解析】　∵-=-,∴loga8-=-,
即3loga2-=-,
设t=loga2,∵a>1,∴t>0,
则3t-=-,整理得6t2+5t-1=0,即(t+1)(6t-1)=0,
∵t>0,∴t=,即loga2=,∴=2,∴a=26=64.
4.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logab+logba=,ab=ba,则a=　　　　,b=　　　　.
【答案】　4;2
【解析】　令logab=t,∵a>b>1,∴0评析　　本题考查对数式、指数式的运算,注意logab=,先求出logab=是解题的突破口.
考点2 基本初等函数的性质及应用
1.(2024天津,5,5分,易)设a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
【答案】B
【解析】 因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.3<0<0.3,
所以0<4.2-0.3<4.20=1<4.20.3,即0因为y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,
所以log4.20.2所以b>a>c,故选B.
2.(2024新课标Ⅰ,6,5分,中)已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
【答案】B
【解析】当x≥0时,函数f(x)显然是增函数;当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a=-(x+a)2+a2-a,而f(x)在R上单调递增,所以则-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0].故选B.
易错警示:该题容易只考虑当x≥0时,函数f(x)是增函数,及当x<0时,函数f(x)是增函数,从而得到a≤0,而忽视了函数分界点处的函数值大小.
3.（2023天津，3）若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由在R上递增，则，
由在上递增，则，所以，故选D.
4.（2025全国一卷，8,5分）已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为　　(　　)
A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x
【答案】B
【解析】解法一由题意可得,2+=3+=5+,则-1==2+,
令t1=ln x,t2=ln y,t3=ln z,则-1==2+,
∵ ≈1.4, ≈1, ≈0.6,
∴可令y1=1.4t-1,y2=t,y3=2+0.6t,如图.
①此时t1>t2>t3,即ln x>ln y>ln z,即x>y>z;
②此时t2>t1>t3,即ln y>ln x>ln z,即y>x>z;
③此时t2>t3>t1,即ln y>ln z>ln x,即y>z>x;
④此时t3>t2>t1,即ln z>ln y>ln x,即z>y>x.
综上,选项B不可能.故选B.
解法二令2+log2x=3+log3y=5+log5z=t,
当t=3时,x=2,y=1,z=,则x>y>z,选项A成立;
当t=5时,x=8,y=9,z=1,则y>x>z,选项C成立;
当t=8时,x=64,y=243,z=125,则y>z>x,选项D成立.
故选B.
5.（2025上海，14,4分）设a>0,s∈R.下列各项中,能推出as>a的一项是(　　)
A.a>1,且s>0 B.a>1,且s<0
C.00 D.0【答案】D
【解析】∵a>0,as>a,∴as-1>1=a0,
当a∈(0,1)时,y=ax在定义域上严格单调递减,
此时若s-1<0,则一定有as-1>1=a0成立,故D正确,C错误;
当a∈(1,+∞)时,y=ax在定义域上严格单调递增,要满足as-1>1=a0,需s>1,即A、B错误.故选D.
6.(2016课标Ⅲ,6,5分)已知a=,b=,c=2,则(　　)
A.bC.b【答案】　A　
【解析】因为a==,c=2=,函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<,即a又因为函数y=4x在R上单调递增,所以<,即b所以b7.(2015天津文,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a【答案】　B　
【解析】因为f(x)是偶函数,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,由题意得a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),因为log25>log23>0,所以f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故选B.
8.(2013课标Ⅱ文,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,+∞)　　　　　B.(-2,+∞)
C.(0,+∞)　　　　　D.(-1,+∞)
【答案】　D　
【解析】由2x(x-a)<1得a>x-,令f(x)=x-,即a>f(x)有解,则a>f(x)min,又y=f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D.
评析　本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的单调性是解题关键.
9.(2019天津文,5,5分)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.cC.b【答案】　A　
本题考查指数函数与对数函数的图象和性质;通过对对数式的估算或适当“缩放”考查学生的直观想象与逻辑推理的核心素养.
【解析】显然c=0.30.2∈(0,1).
因为log33因为log27>log24=2,所以a>2.
故c10.(2016课标Ⅰ文,8,5分)若a>b>0,0A.logacC.accb
【答案】　B　
【解析】∵0b>1时,logac>logbc,A项错误;
∵0b>0,
∴logca∵0又∵a>b>0,∴ac>bc,C项错误;
∵0又∵a>b>0,∴ca评析　本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质,熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质是解题的关键.
11.(2013课标Ⅱ理,8,5分)设a=log36,b=log510,c=log714,则(　　)
A.c>b>a　　　B.b>c>a　　　C.a>c>b　　　D.a>b>c
【答案】　D　
【解析】由对数运算法则得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象得log32>log52>log72,所以a>b>c,故选D.
12.(2013课标Ⅱ文,8,5分)设a=log32,b=log52,c=log23,则(　　)
A.a>c>b　　　B.b>c>a　　　C.c>b>a　　　D.c>a>b
【答案】　D　
【解析】∵<2<3,1<2<,3>2,∴log3log22,
∴1,∴c>a>b.故选D.
13.(2012课标文,11,5分)当0A.　　　B.　　　C.(1,)　　　D.(,2)
【答案】　B　
【解析】易知02,解得a>,∴评析　本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式.
14.(2023北京,11,5分,易)已知函数f(x)=4x+log2x,则f =　　　　.
【答案】　1
【解析】　f =2-1=1.
15.（2025天津，15,5分）若a,b∈R, x∈[-2,2],均有(2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立,则2a+b的最小值为　　　　.
【答案】-4
【解析】设2a+b=t,则b=t-2a,
tx2+tx-2ax-a-1≤0 x∈[-2,2]恒成立,
即tx2+tx≤a(2x+1)+1 x∈[-2,2]恒成立,
令g(x)=tx(x+1),抛物线的对称轴为直线x=-,顶点坐标为;
令h(x)=a(2x+1)+1,该直线恒过定点.
当t>0时,如图1,
在[-2,2]上g(x)≤h(x)不恒成立;
　
当t<0时,如图2,只要存在a使g(x)≤h(x),x∈[-2,2]恒成立即可,
因此-≤1,t≥-4,验证当-=1,t=-4时,可取a=0,符合题意,
所以2a+b的最小值为-4.
16.(2016四川文,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0【答案】　-2
【解析】∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,
又∵f(x)的周期为2,∴f(2)=0,
又∵f=f=-f=-=-2,∴f+f(2)=-2.
评析　本题考查了函数的奇偶性及周期性,属中档题.
17.(2015山东理,14,5分)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=　　　　.
【答案】　-
【解析】　①当a>1时, f(x)在[-1,0]上单调递增,则无解.
②当0评析　本题主要考查指数函数的性质及分类讨论的思想.
(
第
2
页 共
2
页
)