2.3 函数图象与零点（解析版）--2026版十年高考数学真题分类汇编

2.3　函数图象与零点
考点1 函数图象
1.（2025北京，4,4分）为了得到函数y=9x的图象,只需把函数y=3x的图象上所有点的(　　)
A.横坐标变为原来的(纵坐标不变)
B.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
C.纵坐标变为原来的(横坐标不变)
D.纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)
【答案】A
【解析】y=9x=32x,故应将y=3x图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,故选A.
2.（2025天津，3,5分）已知函数y=f(x)的图象如下,则f(x)的解析式可能为(　　)
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)= D.f(x)=
【答案】D
【解析】当0A选项, f(x)=>0,C选项, f(x)=>0,故排除A,C;
当x<-1时,由题图可知f(x)>0,B选项, f(x)=<0,故排除B,故选D.
3.(2024全国甲理,7,5分,中)函数y=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为(　　)
【答案】B
【解析】设f(x)=y=-x2+(ex-e-x)sin x,
则f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)
=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),定义域关于原点对称,
∴f(x)为偶函数,故排除A、C.
又∵sin 1>sin=,e->2,
∴f(1)=-1+sin 1>-1+2×=0.故选B.
4.(2024北京,9,4分,易)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则(　　)
A.log2< B.log2>
C.log2x1+x2
【答案】B
【解析】log2=log2≥log2=.
当且仅当=,即x1=x2时“=”成立.
又(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点,
∴x1≠x2,∴log2>.故选B.
5.(2022全国甲,理5,文7,5分)函数y=(3x-3-x)cos x在区间的图象大致为(　　)
【答案】　A　
【解析】设f(x)=(3x-3-x)cos x.
∵f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),且区间关于原点对称,
∴f(x)为奇函数,故排除B,D.
又f(1)=cos 1>0,故排除C.故选A.
6.(2022全国乙文,8,5分)下图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象,则该函数是 (　　)
A.y= B.y= C.y= D.y=
【答案】A　
【解析】由题图可知,当x=3时,y<0.
对于B,当x=3时,y=>0,故排除B.
对于D,∵<3<π,∴sin 3>0,∴当x=3时,y=>0,故排除D.
对于C,当0∴≤cos x<1,由题图可知当07.(2021浙江,7,4分)已知函数f(x)=x2+,g(x)=sin x,则图象为右图的函数可能是(　　)
A.y=f(x)+g(x)-　　　　B.y=f(x)-g(x)-
C.y=f(x)g(x)　　　　D.y=
【答案】　D
　解题指导:由f(x)=x2+,g(x)=sin x,结合题设所给函数图象知,其所对应的函数具有以下特性:①奇函数,②在上先增后减.利用排除法得出答案.
【解析】由题图可知函数为奇函数且在上先增后减.A选项,y=x2+sin x,B选项,y=x2-sin x均不符合奇函数这条性质,故排除;C选项,y=·sin x,显然f(x),g(x)均在上单调递增,且f(x)>0,g(x)>0,故y=sin x在上单调递增,故排除.故选D.
方法总结:函数图象的识辨问题,一般从以下几个方面进行分析:①定义域,②奇偶性、单调性,③特殊点,④函数值的正负,⑤极限,利用排除法快速选出答案.
8.(2017课标Ⅰ文,8,5分)函数y=的部分图象大致为(　　)
【答案】C　
本题考查函数图象的识辨.
【解析】易知y=为奇函数,图象关于原点对称,故排除B选项;sin 2≈sin 120°=,cos 1≈cos 60°=,则f(1)==,故排除A选项;
f(π)==0,故排除D选项,故选C.
方法总结　已知函数解析式判断函数图象的方法:
(1)根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置;
(2)根据函数的单调性判断图象的变化趋势;
(3)根据函数的奇偶性判断图象的对称性;
(4)根据函数的周期性判断图象的循环往复.
9.(2017课标Ⅲ文,7,5分)函数y=1+x+的部分图象大致为(　　)
【答案】　D　
【解析】当x∈(0,1)时,sin x>0,
∴y=1+x+>1+x>1,排除A、C.
令f(x)=x+,则f(-x)=-x+=-f(x),
∴f(x)=x+是奇函数,
∴y=1+x+的图象关于点(0,1)对称,故排除B.
故选D.
解后反思　函数图象问题,一般从定义域、特殊点的函数值、单调性、奇偶性等方面入手进行分析.选择题通常采用排除法.
10.(2016课标Ⅰ,理7,文9,5分)函数y=22-e|x|在[-2,2]的图象大致为(　　)
【答案】　D
【解析】当x=2时,y=8-e2∈(0,1),排除A,B;易知函数y=2x2-e|x|为偶函数,当x∈[0,2]时,y=2x2-ex,求导得y'=4x-ex,当x=0时,y'<0,当x=2时,y'>0,所以存在x0∈(0,2),使得y'=0,故选D.
11.(2016浙江,3,5分)函数y=sin x2的图象是(　　)
【答案】　D　
【解析】排除法.由y=sin x2为偶函数判断函数图象的对称性,排除A,C;当x=时,y=sin=sin≠1,排除B,故选D.
12.(2015课标Ⅱ,理10,文11,5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(　　)
【答案】　B　
【解析】当点P与C、D重合时,易求得PA+PB=1+;当点P为DC的中点时,有OP⊥AB,则x=,易求得PA+PB=2PA=2.显然1+>2,故当x=时, f(x)没有取到最大值,则C、D选项错误.当x∈时, f(x)=tan x+,不是一次函数,排除A,故选B.
13.(2015浙江,5,5分)函数f(x)=cos x(-π≤x≤π且x≠0)的图象可能为(　　)
【答案】　D　
【解析】因为f(-x)=cos(-x)=-cos x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A、B.当00,所以f(x)<0,排除C,故选D.
14.(2012课标理,10,5分)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为(　　)
【答案】　B
【解析】　令g(x)=ln(x+1)-x,则g'(x)=-1=,
∴当-10,
当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)max=g(0)=0.
∴f(x)<0,排除A、C,又由定义域可排除D,故选B.
评析　本题考查了函数的图象,考查了利用导数判断函数单调性,求值域,考查了数形结合的数学思想.
15.(2015安徽文,10,5分)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是(　　)
A.a>0,b<0,c>0,d>0　　　　　B.a>0,b<0,c<0,d>0
C.a<0,b<0,c>0,d>0　　　　　D.a>0,b>0,c>0,d<0
【答案】　A　
【解析】由f(x)的图象易知d>0,且f '(x)=3ax2+2bx+c的图象是开口向上的抛物线,与x轴正半轴有两个不同的交点,则即故选A.
评析　本题考查导数的应用及运用图象解题的能力.
16.(2016课标Ⅱ,12,5分)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(xi+yi)=(　　)
A.0　　　B.m　　　C.2m　　　D.4m
【答案】　B　
【解析】由f(-x)=2-f(x)可知f(x)的图象关于点(0,1)对称,又易知y==1+的图象关于点(0,1)对称,所以两函数图象的交点成对出现,且每一对交点都关于点(0,1)对称,∴(xi+yi)=0×+2×=m.故选B.
思路分析　分析出函数y=f(x)和y=的图象都关于点(0,1)对称,进而得两函数图象的交点成对出现,且每一对交点都关于点(0,1)对称,从而得出结论.
17.(2015安徽文,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为　　　　.
【答案】-
【解析】　若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-.
考点2 函数零点
1.（2025天津，7,5分）已知函数f(x)=0.3x-,则该函数的零点落在以下哪个区间内(　　)
A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2)
【答案】 B
【解析】f(0)=1, f(0.3)=0.30.3-=0.30.3-0.30.5>0,
f(0.5)=0.30.5-=0.30.5-0.50.5<0,
f(1)=0.31-<0, f(2)=0.32-<0,
所以f(x)的零点在区间(0.3,0.5)内,故选B.
2.(2024新课标Ⅱ,6,5分,中)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a=(　　)
A.-1 B. C.1 D.2
【答案】D
【解析】令f(x)=g(x),
则a(x+1)2-1=cos x+2ax,即a=.
显然y=为偶函数,由偶函数图象的对称性知,
若曲线f(x)与g(x)恰有一个交点,则曲线y=与直线y=a恰有一个交点,故此交点必在y轴上,即x=0,此时a==2,故选D.
3.(2024天津,15,5分,难)设a∈R,函数f(x)=2-|ax-2|+1.若f(x)有唯一零点,则a的取值范围为　　　　.
【答案】(-,-1)∪(1,)
【解析】当a=0时, f(x)=2|x|-1,令f(x)=0,解得x=±,此时f(x)有两个零点,不符合题意,故舍去.
又f(0)=-|-2|+1=-1,故0不是f(x)的零点,
设m=ax(m≠0),则x=,
则f(x)=g(m)=2-|m-2|+1,则f(x)恰有1个零点,等价于关于m的方程2=|m-2|-1(*)恰有1个实数根,
即方程4=(m-2)2-2|m-2|+1恰有1个实数根,
设h(m)=(m-2)2-2|m-2|+1,
由方程(*)知|m-2|-1≥0,得m≤1或m≥3,又m≠0,
则h(m)=
∴==
即=
设t=,t<0或0则=此时关于t的函数图象如图所示,
∴所求问题转化为曲线与直线y=仅有一个交点,
由图可知<<1,即14.（2023天津，15） 若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为_________．
【答案】
【解析】（1）当时，，即，
若时，，此时成立；若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，当时，零点为，；
当时，零点，；
当时，只有一个零点；当时，零点为，；
当时，只有一个零点；当时，零点为，；
当时，零点为．所以当函数有两个零点时，且．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
5.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)=函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为(　　)
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
【答案】　A　
【解析】由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.
由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.
6.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　)
A.(0,1)　　　　　B.(1,2)
C.(2,4)　　　　　D.(4,+∞)
【答案】　C　
【解析】∵f(1)=6-log21=6>0, f(2)=3-log22=2>0,f(4)=-log24=-2<0,∴包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.
7.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(　　)
A.　　　　　B.
C.　　　　　D.
【答案】C　
【解析】显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=ex与y=3-4x的图象,由图象知函数f(x)=ex+4x-3的零点一定落在区间内,又f=-2<0, f=-1>0.故选C.
评析　本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难度试题.
8.(2016山东文,15,5分)已知函数f(x)=其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是　　　　.
【答案】　(3,+∞)
【解析】　f(x)的图象如图所示,
若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m23或m<0,又m>0,所以m>3.
方法总结　分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决.
评析　本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题.
9.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)=
(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是　　　　.
【答案】　
【解析】　∵函数f(x)在R上单调递减,∴解得≤a≤.在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|与y=2-的图象,如图所示.
方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2-的图象恰有两个交点,则需满足3a<2,得a<,综上可知,≤a<.
易错警示　(1)f(x)在R上单调递减,需满足缺少条件是失分的一个原因;
(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决这类问题常用的方法.
评析　　本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为两个函数图象交点个数的问题是求解这类问题的常用方法.
10.(2015湖南理,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是　　　　.
【答案】　(-∞,0)∪(1,+∞)
【解析】　当a<0时,若x∈(a,+∞),则f(x)=x2,当b∈(0,a2)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=-,x2=.
当0≤a≤1时,f(x)的图象如图所示,
易知函数y=f(x)-b最多有一个零点.
当a>1时, f(x)的图象如图所示,
当b∈(a2,a3]时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x1=,x2=.
综上,a∈(-∞,0)∪(1,+∞).
11.(2015北京理,14,5分)设函数f(x)=
①若a=1,则f(x)的最小值为　　　　;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是　　　　.
【答案】　①-1　②∪[2,+∞)
【解析】　①当a=1时, f(x)=其大致图象如图所示:
由图可知f(x)的最小值为-1.
②当a≤0时,显然函数f(x)无零点;
当0当a≥1时,2a>1,由二次函数的性质可知,当x≥1时, f(x)有2个零点,
则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.
综上可知,满足条件的a的取值范围是∪[2,+∞).
12.(2015湖北文,13,5分)函数f(x)=2sin xsin-x2的零点个数为　　　　.
【答案】　2
【解析】　f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y1=sin 2x与y2=x2图象的交点个数,在同一坐标系中画出y1=sin 2x与y2=x2的图象如图所示:
由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.
13.(2021北京,15,5分)已知f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
①若k=0,则f(x)有两个零点;
② k<0,使得f(x)有一个零点;
③ k<0,使得f(x)有三个零点;
④ k>0,使得f(x)有三个零点.
以上正确结论的序号是　　　　.
【答案】　①②④
【解析】　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,
令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,
所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.
当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有两个交点,则f(x)有两个零点,故①正确;
当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=lg x(x>1)的图象相切,此时h(x)与g(x)的图象有两个交点,当0当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有两个交点,g(x)与h(x)相切时有一个交点,如图d,故②正确,③不正确.
综上,正确结论的序号为①②④.
图a
图b
图c
图d
解题指导:由f(x)=0得|lg x|=kx+2,令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,则f(x)零点个数转化为g(x)与h(x)图象的交点个数,再利用图象解决问题.
14.（2025上海，21,18分）
已知函数y=f(x)的定义域为R.对于正实数a,定义集合Ma={x|f(x+a)=f(x)}.
(1)若f(x)=sin x,判断是不是Mπ中的元素,并说明理由;
(2)若f(x)=Ma≠ ,求a的取值范围;
(3)设y=f(x)是偶函数,当x∈(0,1]时, f(x)=1-x,且对任意a∈(0,2),均有Ma M2.写出y=f(x),x∈(1,2)的解析式,并证明:对任意实数c,函数y=f(x)-c在[-3,3]上至多有9个零点.
【解析】(1)f=sin=, f=-sin=-,则不是Mπ中的元素.
(2)解法一因为Ma≠ ,则存在实数x0使得f(x0+a)=f(x0),且a>0,
当x<0时, f(x)=x+2,在(-∞,0)上严格单调递增,
当x≥0时, f(x)=,在[0,+∞)上也严格单调递增,
则x0<0≤x0+a,则x0+2=,
令x+2=0,解得x=-2,则-2≤x0<0,
则a=(x0+2)2-x0=+∈.
解法二作出该函数图象,则由题意知直线y=t与该函数的图象有两个交点,
由图知0≤t<2,设交点分别为A(m,t),B(n,t),
联立得得a=|AB|=m-n=t2-(t-2)=+∈.
(3)对任意x0∈(1,2),x0-2∈(-1,0),因为y=f(x)是偶函数,
则f(x0-2)=f(2-x0),而2-x0-(x0-2)=4-2x0∈(0,2),
所以x0-2∈ M2,
所以f(x0)=f(x0-2)=f(2-x0),因为x0∈(1,2),则2-x0∈(0,1),所以f(x0)=f(2-x0)=1-(2-x0)=x0-1,所以f(x)=x-1,x∈(1,2),
所以当s∈(0,1)时,1-s∈(0,1),1+s∈(1,2),则f(1-s)=1-(1-s)=s, f(1+s)=(1+s)-1=s,则f(1-s)=f(1+s),而1+s-(1-s)=2s,(3-s)-(1-s)=2,
则1-s∈M2s M2,则f(1-s)=f(3-s),
所以当x∈(2,3)时, f(x)=f(x-2)=1-(x-2)=3-x,而f(x)为偶函数,画出函数图象如下:
由f(x)是偶函数知f(-3)=f(3), f(-2)=f(2),
但f(0), f(2), f(3), f(-2), f(-3)的值均未知.
首先说明f(-3)=n (0,1),
若f(-3)=n∈(0,1),则-3+n∈(-3,-2),易知此时f(x)=x+3,x∈(-3,-2),
则f(-3+n)=n,所以-3∈Mn M2,而x∈[-1,0)时, f(x)=x+1,
所以f(-3)=f(-1)=0,与f(-3)=n矛盾,所以f(-3) (0,1),即f(-3)=f(3) (0,1),令y=f(x)-c=0,则y=f(x)=c,
当c=0时,即使让f(-3)=f(3)=f(-2)=f(2)=f(0)=0,此时最多有7个零点,
当c≥1时,若f(-2)=f(2)=f(0)=f(-3)=f(3)=c,此时有5个零点,
故最多有5个零点;
当c<0时,若f(-2)=f(2)=f(0)=f(-3)=f(3)=c,此时有5个零点,故最多有5个零点;
当0综上,对任意实数c,函数y=f(x)-c在[-3,3]上至多有9个零点.
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