2.4 函数模型及应用（解析版）--2026版十年高考数学真题分类汇编

2.4 函数模型及应用
考点 函数模型及应用
1.（2025北京，9,4分）一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20 h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(　　)
A.2 h B.4 h C.20 h D.40 h
【答案】B
【解析】设三次训练的时间分别为T1 h,T2 h,T3 h,由题意得
两式相减得T2-T1=10k=20,即k=2,则T3-T2=2log24.096×109-2(log2106+10)=2(log2106+12)-2(log2106+10)=4,故选B.
2.(2024北京,7,4分,易)生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数,生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　)
A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.= D.=
【答案】D
【解析】由题意知得=,即3ln N2=2ln N1,即ln =ln ,所以=,故选D.
3.（2023课标I，10，5分）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；故选：ACD.
4.(2022北京,7,4分,应用性)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是 (　　)
A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
【答案】　D　
【解析】对于A,当T=220,P=1 026时,lg P=lg 1 026=3+lg 1.026∈(3,4),由题图可知,二氧化碳处于固态,∴A错误.
对于B,当T=270,P=128时,lg P=lg 128=2+lg 1.28∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于液态,∴B错误.
对于C,当T=300,P=9 987时,lg P=3+lg 9.987≈4,
由题图可知,二氧化碳处于固态,∴C错误.
对于D,当T=360,P=729时,lg P=lg 729=2+lg 7.29∈(2,3),由题图可知,二氧化碳处于超临界状态,∴D正确.
故选D.
5.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69) (　　)
A.1.2天　　　　B.1.8天　　　　
C.2.5天　　　　D.3.5天
【答案】　B　
【解析】因为R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指数增长率r==0.38,设累计感染病例增加1倍需要的时间为t天,则I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,两边取自然对数得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 2≈0.69,所以t=≈1.8.故选B.
6.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用- 的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
【答案】　①②③
命题意图:本题以环保部门要求相关企业加强污水处理,排放未达标的企业要限期整改这个情境为载体,贴近生活,要求考生能够在短时间内审清题意,理清解决问题的思路,建立适当的数学模型来解决问题,体现试题的教育价值.考查学生的抽象概括、直观想象、分析和解决具有实际意义问题的能力,同时考查了数形结合思想.
审题指导:与函数和导数有关的实际应用问题,需要先把实际问题翻译成数学问题,理解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式,并把这个计算式与其几何意义联系起来,再逐步对四个结论去伪存真.
【解析】设y=-,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理能力强弱的数值计算式为-(难点:准确理解表达式的几何意义是解题的关键),由题图易知y甲>y乙,即甲企业的污水治理能力比乙企业强,所以①对;
由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,所以②对;
在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对;
由计算式-可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错.
7.(2011湖北文,15,5分)里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为　　　　级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的　　　　倍.
【答案】　6;10 000
【解析】　A=1 000=103,A0=0.001=10-3,
M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6.
设9级地震,5级地震的最大振幅分别为A1,A2,则lg A1-9=lg A2-5,得lg A1-lg A2=4,即lg=4,∴=10 000.