4.1 三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换（解析版）--2026版十年高考数学真题分类汇编

专题四　三角函数与解三角形
4.1　三角函数的概念、诱导公式、三角恒等变换
考点1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(2022全国甲理,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,CD⊥AB.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+.当OA=2,∠AOB=60°时,s= (　　)
A.
【答案】　B　
【解析】连接OC,如图.
∵C是AB的中点,OA=OB=2,∴OC⊥AB.
又∵CD⊥AB,
∴D,C,O三点共线.
∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=,CD=2-,
∴s=2+,故选B.
2.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为(　　)
A.4β+4cos β　　　　　B.4β+4sin β
C.2β+2cos β　　　　　D.2β+2sin β
【答案】　B　
本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.
【解析】由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为△PAB的面积与弓形的面积之和.
作PD⊥AB于D点,由∠APB=β,知∠DOB=β(O为圆心).所以|OD|=2cos β,|PD|=2+2cos β,|AB|=4sin β.所以S△PAB=·|AB|·|PD|=4sin β(1+cos β).S弓形=S扇形OAB-S△OAB=·2β·22-·4sin β·2cos β=4β-4sin β·
cos β.
故阴影部分的面积为S△PAB+S弓形=4sin β+4sin βcos β+4β-4sin βcos β=4β+4sin β.故选B.
思路分析　本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当β确定时,弓形面积是确定的,故三角形面积最大时,阴影部分面积最大.
3.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tan α>0,则(　　)
A.sin α>0　　　　　B.cos α>0
C.sin 2α>0　　　　　D.cos 2α>0
【答案】　C　
【解析】由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B错;由sin 2α=2sin αcos α知
sin 2α>0,C正确;α取时,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-<0,D错.故选C.
评析　本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.
4.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=(　　)
A.　　　B.　　　C.-　　　D.-
【答案】　D　
【解析】由三角函数的定义知cos α==-.故选D.
5.(2015福建文,6,5分)若sin α=-,且α为第四象限角,则tan α的值等于(　　)
A.　　　B.-　　　C.　　　D.-
【答案】　D
【解析】　∵sin α=-,α为第四象限角,
∴cos α==,∴tan α==-.故选D.
6.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则(　　)
A.a>b>c　　　B.b>c>a　　　C.c>b>a　　　D.c>a>b
【答案】　C　
【解析】∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.
又∵c=tan 35°=>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.
7.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α=(　　)
A.　　　B.　　　C.-　　　D.-
【答案】　C
【解析】　(sin α+2cos α)2=,展开得3cos2α+4sin αcos α=,再由二倍角公式得cos 2α+2sin 2α=0,故tan 2α==-=-,选C.
评析　本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系.
8.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sin α=,则cos α=(　　)
A.-　　　B.-　　　C.　　　D.
【答案】　A
【解析】　∵α是第二象限角,∴cos α<0.
∴cos α=-=-.故选A.
评析　本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题.
9.(2013广东文,4,5分)已知sin=,那么cos α=(　　)
A.-　　　B.-　　　C.　　　D.
【答案】　C
【解析】　∵sin=sin=cos α,∴cos α=.故选C.
10.(2024北京,12,5分,易)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于原点对称,若α∈,则cos β的最大值为　　　　.
【答案】-
【解析】　依题意得β=2kπ+π+α(k∈Z),
∴cos β=cos(2kπ+π+α)=cos(π+α)=-cos α,
∵≤α≤,∴≤cos α≤,因此-≤-cos α≤-.故cos β的最大值为-.
11.(2023北京,13,5分,易)已知命题p:若α,β为第一象限角,且α>β,则tan α>tan β.能说明p为假命题的一组α,β的值为α=　　　　,β=　　　　.
【答案】　(【答案】不唯一)
【解析】　第一象限角的集合是θ2kπ<θ<+2kπ,k∈Z,函数y=tan x的单调递增区间是kπ-,kπ+(k∈Z),取α=,β=即可符合题意.
12.(2011江西文,14,5分)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则y=　　　　.
【答案】　-8
【解析】　P(4,y)是角θ终边上一点,由三角函数的定义知sin θ=,又sin θ=-,∴=-,解得y=-8.
评析　本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得=-是本题求解的关键
13.(2023全国乙文，14） 若，则________．
【答案】
【解析】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
14.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则sin β=　　　　.
【答案】　
【解析】　本题考查三角函数的诱导公式.
由角α与角β的终边关于y轴对称,可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sin α=,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=.
15.(2016四川文,11,5分)sin 750°=　　　　.
【答案】　
【解析】　sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=.
解后反思　利用诱导公式把大角化为小角.
评析　本题考查了三角函数的诱导公式.
16.(2013课标Ⅱ理,15,5分)设θ为第二象限角,若tan=,则sin θ+cos θ=　　　　.
【答案】　-
【解析】　tan θ=tan==-,
∴sin θ=-cos θ,将其代入sin2θ+cos2θ=1得cos2θ=1,∴cos2θ=,又易知cos θ<0,∴cos θ=-,∴sin θ=,故sin θ+cos θ=-.
考点2　三角恒等变换
1.（2025全国二卷，8,5分）已知0<α<π,cos =,则sin=(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解法一∵0<α<π,∴0<<,
又∵cos =,
∴sin ===,
∴sin α=2sin cos =,cos α=cos2-sin2=-,
∴sin=(sin α-cos α)=×=,故选D.
解法二∵cos =,
∴cos α=2cos2-1=-,
∵0<α<π,∴sin α==,
∴sin=(sin α-cos α)
=×=.
2.(2024新课标Ⅰ,4,5分,易)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
【答案】A
【解析】因为tan αtan β=2,所以=2,
所以sin αsin β=2cos αcos β,
又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=m,
所以cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A.
3.(2024全国甲理,8,5分,中)已知=,则tan=(　　)
A.2+1 B.2-1 C. D.1-
【答案】B
【解析】∵=,∴=,∴1-tan α=,∴tan α=1-.因此tan===2-1,故选B.
4.（2023课标II，7）已知为锐角，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，而为锐角，解得：．故选：D．
5.（2023课标I，8） 已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
6.(2021全国乙文,6,5分)cos2= (　　)
A.
【答案】　D　
【解析】　解法一:cos2.
解法二:cos2
=
=
=
=.
7.(2021全国甲理,9,5分)若α∈,tan 2α=,则tan α= (　　)
A.
【答案】　A　解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.
【解析】　∵tan 2α=,且α∈,
∴,
∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,
即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,又cos α≠0,
∴4sin α=1,∴sin α=,∴cos α=,∴tan α=.故选A.
疑难突破　将tan 2α转化为是本题的突破口.
8.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则= (　　)
A.-
【答案】　C
【解析】　
=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2θ+sin θ·cos θ=.故选C.
9.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2sin β,则 (　　)
A.tan(α-β)=1　　　　B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1　　　　D.tan(α+β)=-1
【答案】　C　
【解析】因为sin(α+β)+cos(α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,2sin β=
(2cos α-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=
2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin(α-β)+cos(α-β)=0,又知cos(α-β)≠0,所以tan(α-β)=-1,故选C.
10.(2018课标Ⅲ,理4,文4,5分)若sin α=,则cos 2α=(　　)
A.　　　　　B.
C.-　　　　　D.-
【答案】　B
【解析】　本题考查三角恒等变换.由sin α=,得cos 2α=1-2sin2α=1-2×=1-=.故选B.
11.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sin α-cos α=,则sin 2α=(　　)
A.-　　　B.-　　　C.　　　D.
【答案】　A　
【解析】∵(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-sin 2α==,∴sin 2α=-.
解后反思　涉及sin α±cos α,sin αcos α的问题,通常利用公式(sin α±cos α)2=1±2sin α·cos α进行转换.
12.(2017山东文,4,5分)已知cos x=,则cos 2x=(　　)
A.-　　　B.　　　C.-　　　D.
【答案】　D　
本题考查二倍角余弦公式.
【解析】因为cos x=,所以cos 2x=2cos2x-1=2×-1=.
13.(2016课标Ⅲ理,5,5分)若tan α=,则cos2α+2sin 2α=(　　)
A.　　　B.　　　C.1　　　D.
【答案】　A　
【解析】当tan α=时,原式=cos2α+4sin αcos α====,故选A.
解后反思　将所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替,然后分子、分母同除以cos2α,得到关于tan α的式子,这是解决本题的关键.
评析　本题主要考查三角恒等变换,用sin2α+cos2α代替1是解题关键..
14.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tan θ=-,则cos 2θ=(　　)
A.-　　　B.-　　　C.　　　D.
【答案】　D　
【解析】解法一:cos 2θ=cos2θ-sin2θ=
==.故选D.
解法二:由tan θ=-,可得sin θ=±,
因而cos 2θ=1-2sin2θ=.
评析　本题考查化归与转化的能力.属中档题.
15.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(　　)
A.-　　　B.　　　C.-　　　D.
【答案】　D　
【解析】原式=sin 20°cos 10°+cos 20°@sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=,故选D.
16.(2015重庆理,9,5分)若tan α=2tan ,则=(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
【答案】　C
【解析】　====,
∵tan α=2tan ,∴==3.故选C.
17.(2015重庆文,6,5分)若tan α=,tan(α+β)=,则tan β=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【答案】　A
【解析】　tan β=tan[(α+β)-α]===,故选A.
18.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin 2α=,则cos2=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【答案】　A
【解析】　cos2==,把sin 2α=代入,原式=.选A.
评析　本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.
19.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin 2α=(　　)
A.　　　B.　　　C.-　　　D.-
【答案】　D
【解析】　∵cos=,
∴sin 2α=cos=cos
=2cos2-1=2×-1=-.故选D.
思路分析　利用诱导公式化sin 2α=cos,再利用二倍角的余弦公式即可得【答案】.
一题多解　cos=(cos α+sin α)= cos α+sin α= 1+sin 2α=,
∴sin 2α=-.故选D.
导师点睛　求解三角函数的给值求值问题,关键是把待求三角函数值的角用已知角表示出来:
(1)已知角有两个时,待求三角函数值的角一般表示为已知角的和或差;
(2)已知角有一个时,待求三角函数值的角一般与已知角成“倍数关系”或“互补、互余关系”.
20.（2025北京，13,5分）已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β).写出满足条件的一组α,β的值:α=　　　　,β=　　　　.
;
【命题点】三角函数的恒等变换
【解题思路】
由
得则
由α,β∈[0,2π],可得
故满足条件的一组α,β可以为,,答案不唯一.
21.(2024新课标Ⅱ,13,5分,中)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β=4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　　　　.
【答案】-
【解析】　tan(α+β)===-2,
1+tan2(α+β)=1+==,
∴cos2(α+β)===,
∴sin2(α+β)=1-cos2(α+β)=,
∵α为第一象限角,∴2k1π<α<+2k1π,k1∈Z,
∵β为第三象限角,∴2k2π-π<β<2k2π-,k2∈Z,
∴2(k1+k2)π-π<α+β<2(k1+k2)π,k1,k2∈Z,
∴sin(α+β)=-.
22.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=　　　　,cos 2β=　　　　.
【答案】　
【解析】　设a=sin α,b=sin β=cos α,则解得a=,b=-.∴sin α=a=,
cos 2β=1-2sin2β=1-2b2=.
23.(2016浙江,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=　　　　,b=　　　　.
【答案】　;1
【解析】　∵2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=sin+1,∴A=,b=1.
24.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan=,则tan α=　　　　.
【答案】　
【解析】　本题主要考查两角差的正切公式.
tan===,
解得tan α=.
25.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=,则tan=　　　　.
【答案】　-
【解析】　解法一:∵sin=×(sin θ+cos θ)=,
∴sin θ+cos θ=①,
∴2sin θcos θ=-.
∵θ是第四象限角,∴sin θ<0,cos θ>0,
∴sin θ-cos θ=-=-②,
由①②得sin θ=-,cos θ=,∴tan θ=-,
∴tan==-.
解法二:∵+=,
∴sin=cos=,
又2kπ-<θ<2kπ,k∈Z,
∴2kπ-<θ+<2kπ+,k∈Z,
∴cos=,∴sin=,
∴tan==,
∴tan=-tan=-.
评析　本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.
26.(2016四川理,11,5分)cos2-sin2=　　　　.
【答案】　
【解析】　由二倍角公式易得cos2-sin2=cos=.
27.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为　　　　.
【答案】　3
【解析】　tan β=tan[(α+β)-α]===3.
28.(2015四川理,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是　　　　.
【答案】　
【解析】　sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°=sin(15°+45°)=sin 60°=.
29.(2015四川文,13,5分)已知sin α+2cos α=0,则2sin αcos α-cos2α的值是　　　　.
【答案】　-1
【解析】　由sin α+2cos α=0得tan α=-2.
2sin αcos α-cos2α=====-1.
30.(2015广东文,16,12分)已知tan α=2.
(1)求tan的值;
(2)求的值.
【解析】　(1)因为tan α=2,
所以tan===-3.
(2)因为tan α=2,所以
=
====1.
31.(2014江苏,15,14分)已知α∈,sin α=.
(1)求sin的值;
(2)求cos的值.
【解析】　(1)因为α∈,sin α=,
所以cos α=-=-.
故sin=sincos α+cossin α
=×+×=-.
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-,
cos 2α=1-2sin2α=1-2×=,
所以cos=coscos 2α+sinsin 2α
=×+×=-.
评析　本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.
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