4.2 三角函数的图象与性质（解析版）--2026版十年高考数学真题分类汇编

4.2　三角函数的图象和性质
考点1 三角函数的图象及其变换
1.(2024新课标Ⅰ,7,5分,中)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　)
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】在同一直角坐标系中,画出y=sin x(x∈[0,2π])与y=2sin(x∈[0,2π])的图象,由图象可知,两曲线有6个交点.故选C.
2.（2023全国甲理，10）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】因为向左平移个单位所得函数为
，所以，
而显然过与两点，
作出与的部分大致图像如下，
考虑，即处与的大小关系，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
所以由图可知，与的交点个数为.
故选：C.
3.(2022浙江,6,4分)为了得到函数y=2sin 3x的图象,只要把函数y=2sin图象上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【答案】　D　
【解析】因为y=2sin,所以把函数y=2sin个单位长度,可以得到y=2sin 3x的图象,故选D.
4(2022全国甲文,5,5分)将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则ω的最小值是 (　　)
A.
【答案】　C　
【解析】设平移后的曲线C对应的函数为y=g(x),
则g(x)=sin,
又曲线C关于y轴对称,
∴+kπ(k∈Z),∴ω=2k+(k∈Z).
又ω>0,∴ωmin=.故选C.
5.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)= (　　)
A.sin
【答案】　BC　
【解析】由题图可知,,∴T=π,由T=可知,=π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),又∵图象过,∴sin=0,又∵是f(x)的下降零点,∴+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,则f(x)=sin,f(x)=sin,故选BC.
6.(2016课标Ⅱ理,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(　　)
A.x=-(k∈Z)　　　　　B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z)　　　　　D.x=+(k∈Z)
【答案】　B
【解析】　将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin=2sin的图象,由2x+=kπ+(k∈Z),可得x=+(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=+(k∈Z),故选B.
易错警示　本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到函数y=2sin的图象.
7.(2016课标Ⅰ文,6,5分)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(　　)
A.y=2sin　　　　　B.y=2sin
C.y=2sin　　　　　D.y=2sin
【答案】　D　
【解析】该函数的周期为π,将其图象向右平移个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin=2sin,故选D.
易错警示　三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x-,而不是将2x变为2x-.
评析　本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.
8.(2016四川理,3,5分)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点(　　)
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动个单位长度
【答案】　D
【解析】　将y=sin 2x的图象向右平行移动个单位长度得到y=sin=sin的图象,故选D.
评析　将y=sin化为y=sin是解题的关键.
9.(2016课标Ⅱ文,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)
A.y=2sin　　　　　B.y=2sin
C.y=2sin　　　　　D.y=2sin
【答案】　A　
【解析】由题图可知A=2,=-=,则T=π,所以ω=2,则y=2sin(2x+φ),因为题图经过点,所以2sin=2,所以+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z,当k=0时,φ=-,所以y=2sin,故选A.
评析　本题考查由三角函数的图象确定函数的【解析】式,其中A由函数最值确定,ω由周期确定,相邻的最高点与最低点之间的水平距离为半个周期,φ通过确定点的坐标来求即可.
10.(2015课标Ⅰ理,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
【答案】　D　
【解析】由题图可知=-=1,所以T=2.结合题图可知,在(f(x)的一个周期)内,函数f(x)的单调递减区间为.由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为,k∈Z,故选D.
11.(2015陕西理,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)
A.5　　　B.6　　　C.8　　　D.10
【答案】　C　
【解析】因为函数y=3sin+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.
评析　在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如y=Asin(ωx+φ)+k的函数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的值.
12.(2014课标Ⅰ理,6,5分)
如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为(　　)
【答案】　C　
【解析】由题图可知:当x=时,OP⊥OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∈时,OM=cos x,设点M到直线OP的距离为d,则=sin x,即d=OMsin x=sin xcos x,
∴f(x)=sin xcos x=sin 2x≤,排除B,故选C.
13.(2012课标文,9,5分)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【答案】　A　
【解析】由题意得=2,∴ω=1, ∴f(x)=sin(x+φ),∴+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=,故选A.
评析　本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.
14.(2016北京,7,5分)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则(　　)
A.t=,s的最小值为　　　　　B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为　　　　　D.t=,s的最小值为
【答案】　A　
【解析】点P在函数y=sin的图象上,
∴t=sin=.
所以P.
将点P向左平移s(s>0)个单位长度得P'.
因为P'在函数y=sin 2x的图象上,
所以sin=,即cos 2s=,
所以2s=2kπ+(k∈Z)或2s=2kπ+π(k∈Z),即s=kπ+(k∈Z)或s=kπ+(k∈Z),又s>0,所以s的最小值为.
15.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到.
【答案】　π
【解析】　设f(x)=sin x-cos x=2sin,g(x)=sin x+cos x=2sin,将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin=2sin=f(x)的图象,所以x-φ+=2kπ+x+,k∈Z,此时φ=-2kπ-,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为.
方法指导　先利用辅助角公式将两函数的【解析】式转化成同名三角函数式,再根据三角函数图象变换遵循的“左加右减”规律求解.
16.（2023课标II，16）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．
【答案】
【解析】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
17.(2021全国甲文,15,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　　　　.
【答案】　解题指导:利用所给函数f(x)=2cos(ωx+φ)图象中的关键点求出ω,φ,再将x=代入f(x)的解析式即可求出f.
【解析】　由题图可知点在f(x)的图象上,∴,则T=π,所以|ω|==2,不妨取ω=2,则函数f(x)=2cos(2x+φ),将代入得,2×+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-+2kπ,k∈Z,
∴f,k∈Z.
18.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是　　　　.
【答案】　7
【解析】　在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=cos x在区间[0,3π]上的图象(如图).由图象可知,共有7个交点.
思路分析　解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思想方法,因此准确画出相关函数图象是解题的关键.
19.(2015湖南文,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=　　　　.
【答案】　
【解析】　由消去y,得sin ωx-cos ωx=0,
即sin=0,解得x=+,k∈Z.
取k=0,1,可得距离最短的两个交点的坐标为,,又两交点的距离为2,
所以+(+)2=(2)2,解得ω=.
20.(2014重庆文,13,5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象,则f=　　　　.
【答案】　
【解析】　y=sin xy=sin
y=sin,
即f(x)=sin,∴f=sin=sin=.
21.(2013课标Ⅱ文,16,5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则φ=　　　　.
【答案】　π
【解析】　令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移个单位后得f=cos=cos(2x+φ-π)=sin(2x+φ-π)+=sin2x+φ-,因为与y=sin的图象重合,所以φ-=+2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ=π.
22.(2011浙江文,18,14分)已知函数f(x)=Asin,x∈R,A>0,0<φ<.y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;
(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,求A的值.
【解析】　(1)由题意得,T==6.
因为P(1,A)在y=Asin的图象上,
所以sin=1.
又因为0<φ<,所以φ=.
(2)设点Q的坐标为(x0,-A).
由题意可知x0+=,得x0=4,所以Q(4,-A).
连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ=,由余弦定理得
cos∠PRQ=
==-,
解得A2=3.
又A>0,所以A=.
评析　本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识.在(2)中,求出点Q坐标,根据△PRQ的边角关系,列出关于A的方程是求解关键.
考点2 三角函数的性质及其应用
1.（2025全国一卷，4,5分）已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得,
则a-=π(k∈Z),故a=π+(k∈Z).
又a>0,则k=0时,amin=.故选B.
2.（2025天津，8,5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)在上单调递增,直线x=为一条对称轴,为一个对称中心,则在区间内, f(x)的最小值为(　　)
A.- B.- C.-1 D.0
【答案】A
【解析】-=≤,-==(2k+1)·(k∈N),所以T=π,则ω==2,由题意,得sin=1,则φ=2k1π+(k1∈Z),又-π<φ<π,故φ=,则函数f(x)=sin,因为x∈,所以≤2x+≤,由正弦函数的图象及性质可知, f(x)min=-,故选A.
3.（2025北京，8,4分）设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0).若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为(　　)
A.8 B.6 C.4 D.3
【答案】C
【解析】f(x)=sin ωx+cos ωx=sin,
由f(x+π)=f(x)恒成立知,π是最小正周期的k倍(k∈N*),
则=π,即ω=2k(k∈N*).(*)
由x∈0,得,ωx+∈,+,
又f(x)在0,上存在零点,
所以+≥π,解得ω≥3,结合(*)式可知ω的最小值为4,故选C.
4.(2024北京,6,4分,易)设函数f(x)=sin ωx(ω>0),已知f(x1)=-1, f(x2)=1,且|x1-x2|的最小值为,则ω=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】 由题意知f(x1)=-1为最小值, f(x2)=1为最大值,且|x1-x2|的最小值为,由正弦函数图象可知=,所以T=π,则ω===2,故选B.
5.(2024天津,7,5分,易)已知函数f(x)=3sin(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在上的最小值为(　　)
A.- B.- C.0 D.
【答案】D
【解析】 因为函数f(x)=3sin(ω>0)的最小正周期T==π,所以ω=2,
所以f(x)=3sin,设t=2x+,
当x∈时,t=2x+∈,由正弦函数的图象(图略)可得≤sin t≤1,
所以当x∈时,≤f(x)≤3.故所求的最小值为,故选D.
5.（2023全国乙理，6）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，故选：D.
6.(2021北京,7,4分)已知函数f(x)=cos x-cos 2x,则该函数为 (　　)
A.奇函数,最大值为2　　　　B.偶函数,最大值为2
C.奇函数,最大值为　　　　D.偶函数,最大值为
【答案】　D　
【解析】 f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos 2x=f(x),所以f(x)为偶函数. f(x)=cos x-cos 2x=cos x-(2cos2x-1)=-2cos2x+cos x+1=-2,当cos x=时, f(x)max=.故选D.
解题指导:先判断函数的奇偶性,再借助二倍角的余弦公式将f(x)=cos x-cos 2x转化为关于cos x的二次函数,进而在[-1,1]范围内求二次函数的最值.
7.(2021全国乙文,4,5分)函数f(x)=sin的最小正周期和最大值分别是 (　　)
A.3π和　　　　B.3π和2　　　　C.6π和　　　　D.6π和2
【答案】　C　
解题指导:先对函数f(x)进行三角恒等变换,再利用三角函数的周期公式、求值域的方法进行求解.
【解析】　由题意知:
f(x)=sin,最小正周期T==6π;当sin=1,即x=π+6kπ,k∈Z时, f(x)取最大值,故选C.
易错警示　对三角恒等变换公式不熟练,不能将函数化成y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式,导致后面无法求解.
8.(2021新高考Ⅰ,4,5分)下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是 (　　)
A.
【答案】　A　
解题指导:由三角函数的单调递增区间表示出f(x)=7sin的单调递增区间,通过运算求出x的取值范围,结合选项分析即可.
【解析】　f(x)=7sin,
令2kπ-≤2kπ+,k∈Z,
解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,
令k=0,得-.故选A.
9.(2022北京,5,4分)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 (　　)
A. f(x)在上单调递减
B. f(x)在上单调递增
C. f(x)在上单调递减
D. f(x)在上单调递增
【答案】　C
【解析】 　f(x)=cos2x-sin2x=cos 2x,令2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z,解得kπ对于A, f(x)在上单调递增,故A错误;
对于B, f(x)在上单调递增,在上单调递减,故B错误;
对于C, f(x)在上单调递减,故C正确;
对于D, f(x)在上单调递减,在上单调递增,故D错误.故选C.
10.(2022新高考Ⅰ,6,5分)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1　　　　B.　　　　D.3
【答案】　A　
【解析】 ∵0,∴<π,∴2<ω<3①.
又y=f(x)的图象关于点中心对称,
∴
从而ω=(k∈Z)②,由①②知ω=(取k=4),
∴f(x)=sin+2,∴f π+2=1.
11.(2021全国乙理,7,5分)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,则f(x)= (　　)
A.sin
C.sin
【答案】　B
【解析】 　将函数y=sin个单位长度可得函数y=sin的图象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=f(x)的图象,则f(x)=sin,故选B.
易错警示　(1)忽略图象的平移规律:“左加右减”,从而错选A;
(2)对横坐标伸长到原来的2倍理解不清,误认为是x的系数乘2,从而错选D.
12.(2024新课标Ⅱ,9,6分,易)（多选）对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法中正确的有(　　)
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】 令f(x)=0,得sin 2x=0,∴2x=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z).
令g(x)=0,得sin=0,∴2x-=k1π(k1∈Z),
解得x=+(k1∈Z).
因此f(x)与g(x)没有相同的零点,选项A错误.
f(x)与g(x)的最大值都是1,选项B正确.
f(x)与g(x)的最小正周期都是T==π,选项C正确.
由2x=k2π+(k2∈Z)得x=+(k2∈Z),
∴f(x)图象的对称轴方程为x=+(k2∈Z).
由2x-=k3π+(k3∈Z)得x=+(k3∈Z),
∴g(x)图象的对称轴方程为x=+(k3∈Z).
因此,选项D错误,故选BC.
小题速解
由f(x)、g(x)的图象知:A、D错误,B、C正确.
13.(多选)(2022新高考Ⅱ,9,5分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点中心对称,则 (　　)
A. f(x)在区间单调递减
B. f(x)在区间有两个极值点
C.直线x=是曲线y=f(x)的对称轴
D.直线y=-x是曲线y=f(x)的切线
【答案】　AD　
【解析】因为f(x)的图象关于点对称,所以sin=0,即+φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-,k∈Z.结合0<φ<π,得φ=,所以f(x)=sin.
对于A,令+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为-+kπ,+kπ,k∈Z.显然,k∈Z,故A正确.对于B, f '(x)=2cos,令f '(x)=0,得2x+=kπ+,k∈Z,即x=,k∈Z.又因为x∈,所以x=,故f(x)在区间只有一个极值点,k∈Z,故B错误.对于C,令2x++kπ,k∈Z,解得x=-,k∈Z,故C错误.对于D,结合B,令2cos=-1,得2x++2kπ,k∈Z或2x++2kπ,k∈Z,解得x=kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,故其中一个切点为,则曲线y=f(x)在该点处的切线方程为y-=-x,即y=-x,故D正确.故选AD.
14.(2022全国甲理,11,5分)设函数f(x)=sin在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是 (　　)
A.
C.
【答案】　C　
【解析】由x∈(0,π)得ωx+,要使函数f(x)=sin在(0,π)内恰有三个极值点、两个零点,则ωx+,π,,2π,,所以<ωπ+≤3π,解得,即ω的取值范围为,故选C.
15.(2019课标Ⅲ理,12,5分)设函数f(x)=sin(ω>0),已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点.下述四个结论:
①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点
②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点
③f(x)在单调递增
④ω的取值范围是
其中所有正确结论的编号是(　　)
A.①④　　　B.②③　　　C.①②③　　　D.①③④
【答案】　D　
本题主要考查三角函数的图象、性质及其应用,函数的零点、极值点、单调性等知识,通过对函数f(x)=sin图象的研究,考查学生将复杂图象化归为简单图象,将陌生问题转化为熟悉问题的能力,考查了直观想象的核心素养.
【解析】令t=ωx+(ω>0),∵x∈[0,2π],
∴t∈且y=sin t,
∵f(x)在[0,2π]上有且仅有5个零点,
∴y=sin t在上有且仅有5个零点,
∴2ωπ+∈[5π,6π),
∴ω∈,故④正确.
y=sin t在上极值点的个数即为f(x)在[0,2π]上极值点的个数.
由y=sin t在上的图象可知f(x)在[0,2π]有且仅有3个极大值点,有2个或3个极小值点,故①正确,②错误.
当x∈时,t∈,
又ω∈,
∴+∈,
∵<,
∴ ,
∴y=sin t在t∈上单调递增.
∴y=f(x)在上单调递增,故③正确.
故选D.
解题关键　①令t=ωx+(ω>0),利用整体思想将原函数转化为y=sin t来研究.
②当ω>0时,y=sin的图象可由y=sin x的图象经过平移、伸缩变换得到,y=sin的增、减区间可通过讨论y=sin x的增、减区间得到.
16.(2017课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)=sin的最小正周期为(　　)
A.4π　　　B.2π　　　C.π　　　D.
【答案】　C　
【解析】本题考查三角函数的性质.
由题意得ω=2,所以函数f(x)=sin的最小正周期T==π.故选C.
17.(2017山东文,7,5分)函数y=sin 2x+cos 2x的最小正周期为(　　)
A.　　　B.　　　C.π　　　D.2π
【答案】　C　
【解析】本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质.
y=sin 2x+cos 2x=2sin,
从而最小正周期T==π.
18.(2017课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)=sin+cos的最大值为(　　)
A.　　　B.1　　　C.　　　D.
【答案】　A　
【解析】∵f(x)=sin+cos
=+cos x+sin x
=sin x+cos x
=×2sin
=sin,
∴f(x)的最大值为.
故选A.
一题多解　∵cos=cos
=sin =sin,
∴f(x)=sin,∴f(x)max=.故选A.
19.(2016课标Ⅱ文,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为(　　)
A.4　　　B.5　　　C.6　　　D.7
【答案】　B
【解析】　f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2+,当sin x=1时, f(x)取得最大值5,故选B.
思路分析　利用二倍角的余弦公式及诱导公式将f(x)=cos 2x+6cos转化为关于sin x的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sin x∈[-1,1].
20.(2016山东理,7,5分)函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是(　　)
A.　　　B.π　　　C.　　　D.2π
【答案】　B
【解析】　∵f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)=4sin·cos=2sin,∴T==π,故选B.
评析　本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换,属中档题.
21.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期(　　)
A.与b有关,且与c有关　　　　　B.与b有关,但与c无关
C.与b无关,且与c无关　　　　　D.与b无关,但与c有关
【答案】　B
【解析】　f(x)=sin2x+bsin x+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c=(1-cos 2x)+c,此时f(x)的周期为π;若b≠0,则f(x)的周期为2π,所以选B.
22.(2015安徽理,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(　　)
A. f(2)< f(-2)< f(0)　　　　　B. f(0)< f(2)< f(-2)
C. f(-2)< f(0)< f(2)　　　　　D. f(2)< f(0)< f(-2)
【答案】　A　
【解析】∵ω>0,∴T==π,∴ω=2.又A>0,∴f=-A,即sin=-1,得φ+=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ+,k∈Z,又∵φ>0,∴可取f(x)=Asin,∴f(2)=Asin, f(-2)=Asin, f(0)=Asin.∵π<4+<,∴f(2)<0.∵-<-4+<-π,且y=sin x在上为减函数,∴sinsin(-π)=0,从而有0评析　本题考查三角函数的周期性、单调性、最值和三角函数值的大小比较.准确判断4+与-4+的范围是解题的关键.
23.(2014课标Ⅰ文,7,5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos,④y=tan中,最小正周期为π的所有函数为(　　)
A.①②③　　　B.①③④　　　C.②④　　　D.①③
【答案】　A
【解析】　①y=cos|2x|=cos 2x,最小正周期为π;
②由图象知y=|cos x|的最小正周期为π;
③y=cos的最小正周期T==π;
④y=tan的最小正周期T=.
因此选A.
评析　本题考查三角函数的周期性,含有绝对值的函数可先变形再判断,或运用图象判断其最小正周期.
24.(2012课标理,9,5分)已知ω>0,函数f(x)=sin在单调递减,则ω的取值范围是(　　)
A.　　　　　B.
C.　　　　　D.(0,2]
【答案】　A
【解析】　由又y=sin α在上递减,
所以
解得≤ω≤,故选A.
评析　本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题.
25.(2011课标理,11,5分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则(　　)
A.f(x)在单调递减
B.f(x)在单调递减
C.f(x)在单调递增
D.f(x)在单调递增
【答案】　A
【解析】　f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sinωx+φ+,∵周期T==π,∴ω=2.又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,∴φ+=kπ+,φ=kπ+,k∈Z.
又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=sin=cos 2x,易得f(x)在上单调递减,故选A.
评析　本题考查三角公式和三角变换,考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的单调性、奇偶性的判定,属中等难度试题.
26.(2011课标文,11,5分)设函数f(x)=sin+cos,则(　　)
A.y=f(x)在单调递增,其图象关于直线x=对称
B.y=f(x)在单调递增,其图象关于直线x=对称
C.y=f(x)在单调递减,其图象关于直线x=对称
D.y=f(x)在单调递减,其图象关于直线x=对称
【答案】　D　
【解析】f(x)=sin+cos=·sin=cos 2x,其部分图象如图.故选D.
评析　本题考查三角恒等变换、诱导公式及三角函数的图象等知识,考查学生综合应用三角知识分析和解决问题的能力,属中等难度试题.
27.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在单调,则ω的最大值为(　　)
A.11　　　B.9　　　C.7　　　D.5
【答案】　B　
【解析】由f(x)在上单调,得≥-,∴ω≤12,依题意,有(m、n∈Z),
∴
又|φ|≤,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=,取n=2,得ω=9, f(x)=sin符合题意.当m+n=-1时,φ=-,ω=4n+3,取n=2,得ω=11, f(x)=sin,此时,当x∈时,11x-∈, f(x)不单调,不合题意.故选B.
解后反思　本题要求ω的最大值,正面入手难度较大,故对ω取特殊值进行检验.
28.（2025上海，5,4分）函数y=cos x在上的值域为　　　　.
【答案】[0,1]
【命题点】余弦函数的性质
【解题思路】由于函数y=cos x在上单调递增,在上单调递减,且f=0, f(0)=1, f=,
所以函数y=cos x在上的值域为[0,1].
29.（2023课标I，15） 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
30.(2022北京,13,5分)若函数f(x)=Asin x-cos x的一个零点为,则A=　　　; f=　　　　.
【答案】　 1;-
【解析】　由题意知f=0,即Asin =0,解得A=1,所以f(x)=sin x-,所以f.
28.(2022全国乙理,15,5分)记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=,x=为f(x)的零点,则ω的最小值为　　　　.
【答案】　 3
【解析】　∵T=,ω>0, f(T)=,
∴cos,∴cos φ=,
∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=cos,
又f=0,∴cos=0,
∴=kπ+(k∈Z),∴(k∈Z),
∴ω=9k+3(k∈Z).
∵ω>0,∴k=0时,ω取得最小值3.
31.(2021全国甲理,16,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f-f(x)-f>0的最小正整数x为　　　　.
【答案】　2
解题指导:首先通过函数图象,确定ω和φ的取值,然后分别求出f和f的值,最后结合三角函数的单调性确定最小正整数x的值.
【解析】　设函数f(x)的最小正周期为T,则
,解得T=π,
则=π,解得|ω|=2,不妨取ω=2,此时f(x)=2cos(2x+φ).
将代入上式,得+2kπ,k∈Z,
∴φ=-+2kπ,k∈Z,取φ=-,
∴f(x)=2cos,
∴f=1,
f=0,
∴不等式可化为(f(x)-1)f(x)>0,解得f(x)>1或f(x)<0.
由f(x)>1,得2cos>1,即cos,①
由f(x)<0,得cos<0,②
由①得-+2kπ<2x-+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ由②得+2kπ<2x-+2kπ,k∈Z,
解得+kπ综上,最小正整数x为2.
方法点拨　解本题的关键是能够正确求解f(x)的【解析】式,然后能结合三角函数的单调性求出x的取值范围.
32.(2018课标Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为　　　　.
【答案】　3
【解析】　令f(x)=0,得cos=0,解得x=+(k∈Z).当k=0时,x=;当k=1时,x=;当k=2时,x=,又x∈[0,π],所以满足要求的零点有3个.
33.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,则φ的值是　　　　.
【答案】　-
【解析】　本题考查正弦函数的图象和性质.
∵函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,∴x=时,函数取得最大值或最小值,
∴sin=±1.
∴+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-(k∈Z),
又-<φ<,∴φ=-.
34.(2018北京理,11,5分)设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为　　　　.
【答案】　
【解析】　本题主要考查三角函数的性质及其应用.
∵f(x)≤f对任意的实数x都成立,∴f=1,
∴·ω-=2kπ,k∈Z,整理得ω=8k+,k∈Z.
又ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值.
名师点睛　由题意知函数f(x)在x=处取得最大值,从而得出【答案】.
35.(2017课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是　　　　.
【答案】　1
【解析】　本题主要考查三角函数的最值.
由题意可得f(x)=-cos2x+cos x+=-+1.
∵x∈,∴cos x∈[0,1].
∴当cos x=时, f(x)max=1.
36.(2017课标Ⅱ文,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为　　　　.
【答案】　
【解析】　本题主要考查三角函数的最值.
由题意可知f(x)=2cos x+sin x=sin(x+φ)(tan φ=2),
∴f(x)的最大值为.
37.(2015天津文,14,5分)已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为　　　　.
【答案】　
【解析】　由已知得f(x)=sin,令2kπ-≤ωx+≤2kπ+,k∈Z,由ω>0,得≤x≤,
k∈Z,当k=0时,得f(x)的单调递增区间为,
所以(-ω,ω) ,
所以解得0<ω≤,
又y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以ω2+=kπ+,
k∈Z,解得ω2=kπ+,k∈Z,又0<ω≤,所以ω=.
38.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为　　　　.
【答案】　1
【解析】　f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φ·cos(x+φ)
=sin(x+φ)cos φ-sin φcos(x+φ)
=sin(x+φ-φ)
=sin x,
∴f(x)的最大值为1.
39.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为　　　　.
【答案】　1
【解析】　f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x
=sin xcos φ+cos xsin φ-2sin φcos x
=sin xcos φ-cos xsin φ
=sin(x-φ)≤1,
所以f(x)max=1.
40.(2013课标Ⅰ,理15,文16,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=　　　　.
【答案】　-
【解析】　由辅助角公式得:f(x)==sin(x-φ),其中sin φ=,cos φ=,由x=θ时, f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+,k∈Z,即θ=φ++2kπ,∴cos θ=cos=-sin φ=-.
评析　本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.
41.（2025全国二卷，15,13分）
已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π), f(0)=.
(1)求φ;
(2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的值域和单调区间.
【解析】(1)由f(0)=得cos φ=,
因为φ∈[0,π),
所以φ=.
(2)由(1)得f(x)=cos,
所以g(x)=cos+cos
=cos+cos 2x
=cos 2x-sin 2x+cos 2x
=cos 2x-sin 2x
=cos,
所以g(x)的值域为[-,].
令2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ+π,k∈Z,
所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z);
令2kπ-π≤2x+≤2kπ,k∈Z,
解得kπ-π≤x≤kπ-,k∈Z,
所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z).
42.(2023北京,17,13分,中)设函数f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ.
(1)若f(0)=-,求φ的值;
(2)已知f(x)在区间上单调递增, f =1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.
条件①: f ;
条件②: f =-1;
条件③: f(x)在区间上单调递减.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
【解析】　(1)由题意得f(x)=sin(ωx+φ),
∴ f(0)=sin φ=-,∵|φ|<,∴φ=-.
(2)条件①与f(x)在上单调递增矛盾,显然不选条件①.
选条件②.
∵f(x)在上单调递增,且f =1, f =-1,∴=π,∴T==2π,∴ω=1,
∴ f(x)=sin(x+φ),∵f =1,
∴+2kπ(k∈Z),即φ=-+2kπ(k∈Z),
∵|φ|<,∴φ=-.
选条件③.
∵f(x)在上单调递减,在上单调递增,∴f(x)在x=-处取得最小值,即f =-1.
以下同选条件②.
43.(2018北京文,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.
【解析】　(1)f(x)=-cos 2x+sin 2x
=sin+.
所以f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由(1)知f(x)=sin+.
由题意知-≤x≤m.
所以-≤2x-≤2m-.
要使得f(x)在上的最大值为,
即sin在上的最大值为1.
所以2m-≥,
即m≥.
所以m的最小值为.
44.(2016山东文,17,12分)设f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.
【解析】　(1)f(x)=2sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2
=2sin2x-(1-2sin xcos x)
=(1-cos 2x)+sin 2x-1
=sin 2x-cos 2x+-1
=2sin+-1.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知f(x)=2sin+-1.
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到y=2sin+-1的图象,
再把得到的图象向左平移个单位,
得到y=2sin x+-1的图象,
即g(x)=2sin x+-1.
所以g=2sin+-1=.
方法总结　研究三角函数的单调性,首先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的形式,要视“ωx+φ”为一个整体,另外注意A的正负.
评析　本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质,考查三角函数图象变换.(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式是解题的关键,要视“ωx+φ”为一个整体.(2)三角函数图象变换仅对“x”而言.
45.(2016天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsin-x·cosx--.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
【解析】　(1)f(x)的定义域为.
f(x)=4tan xcos xcos-
=4sin xcos-
=4sin x-
=2sin xcos x+2sin2x-
=sin 2x+(1-cos 2x)-
=sin 2x-cos 2x=2sin.
所以, f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,易知函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B=,易知A∩B=.
所以,当x∈时, f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
方法总结　研究三角函数的各类性质时,首先要将所研究函数利用辅助角公式、降幂扩角公式及两角和差的正弦、余弦公式等价转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,然后类比y=sin x的性质进行研究.
评析　本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式,三角函数的定义域、最小正周期性、单调性等基础知识.考查运算求解能力.
46.(2016北京文,16,13分)已知函数f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求f(x)的单调递增区间.
【解析】　(1)因为f(x)=2sin ωxcos ωx+cos 2ωx
=sin 2ωx+cos 2ωx
=sin,(3分)
所以f(x)的最小正周期T==.(4分)
依题意,=π,解得ω=1.(6分)
(2)由(1)知f(x)=sin.
函数y=sin x的单调递增区间为(k∈Z).(8分)
由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).(12分)
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(13分)
易错警示　本题函数解析式中含有参数ω,在用倍角公式时要注意转化成“2ωx”,在求单调区间时,也要注意x的系数.
评析　本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.
47.(2015天津理,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解析】　(1)由已知,有
f(x)=-=-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin.
所以, f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数, f =-, f =-, f =.所以, f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.
48.(2015北京理,15,13分)已知函数f(x)=sincos-sin2.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
【解析】　(1)因为f(x)=sin x-(1-cos x)
=sin-,
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为-π≤x≤0,所以-≤x+≤.
当x+=-,即x=-时, f(x)取得最小值.
所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f=-1-.
49.(2015安徽文,16,12分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【解析】　(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=sin+1,
所以函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由(1)的计算结果知,f(x)=sin+1.
当x∈时,2x+∈,
由正弦函数y=sin x在上的图象知,
当2x+=,即x=时, f(x)取最大值+1;
当2x+=,即x=时, f(x)取最小值0.
综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为0.
评析　本题考查三角恒等变换,三角函数的周期性及最值.
50.(2015湖北理,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ 0 π 2π
x
Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.
【解析】　(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- .
数据补全如下表:
ωx+φ 0 π 2π
x π
Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0
且函数表达式为f(x)=5sin.
(2)由(1)知 f(x)=5sin,
得g(x)=5sin.
因为y=sin x图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,
令2x+2θ-=kπ,
解得x=+-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点中心对称,
令+-θ=,
解得θ=-,k∈Z.
由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.
51.(2014山东理,16,12分)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点和点.
(1)求m,n的值;
(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.
【解析】　(1)由题意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x.
因为y=f(x)的图象经过点和,
所以
即
解得m=,n=1.
(2)由(1)知f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin.
由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin.
设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),
由题意知+1=1,所以x0=0,
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).
将其代入y=g(x)得sin=1,
因为0<φ<π,所以φ=.
因此g(x)=2sin=2cos 2x.
由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ,k∈Z,
所以函数y=g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
52.(2014重庆理,17,13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f=,求cos的值.
【解析】　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又因为f(x)的图象关于直线x=对称,所以
2·+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….由-≤φ<得k=0,
所以φ=-=-.
(2)由(1)得f=sin=,
所以sin=.
由<α<得0<α-<,
所以cos===.
因此cos=sin α=sin
=sincos+cossin
=×+×=.
53.(2014四川理,16,12分)已知函数f(x)=sin.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角, f=coscos 2α,求cos α-sin α的值.
【解析】　(1)因为函数y=sin x的单调递增区间为,k∈Z.
由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得
-+≤x≤+,k∈Z.
所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),
所以sin αcos+cos αsin
=(cos2α-sin2α).
即sin α+cos α=(cos α-sin α)2(sin α+cos α).
当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.
此时,cos α-sin α=-.
当sin α+cos α≠0时,有(cos α-sin α)2=.
由α是第二象限角,知cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-.
综上所述,cos α-sin α=-或-.
评析　本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.
54.(2014天津理,15,13分)已知函数f(x)=cos x·sin-cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
【解析】　(1)由已知,有
f(x)=cos x·-cos2x+
=sin x·cos x-cos2x+
=sin 2x-(1+cos 2x)+
=sin 2x-cos 2x
=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,
f=-, f=-, f=,
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.
评析　本题主要考查两角和与差的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.
55.(2014江西理,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.
(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;
(2)若f=0, f(π)=1,求a,θ的值.
【解析】　(1)当a=,θ=时,
f(x)=sin+cos
=(sin x+cos x)-sin x
=cos x-sin x=sin,
由x∈[0,π],知-x∈.
故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1.
(2)由得
由θ∈知cos θ≠0,
解得
56.(2013北京文,15,13分)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值;
(2)若α∈,且f(α)=,求α的值.
【解析】　(1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x
=cos 2xsin 2x+cos 4x
=(sin 4x+cos 4x)=sin,
所以f(x)的最小正周期为,最大值为.
(2)因为f(α)=,所以sin=1.
因为α∈,所以4α+∈.
所以4α+=.故α=.
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