5.2 复数
考点1复数的概念
1.(2025全国一卷,1,5分)(1+5i)i的虚部为( )
A.-1 B.0 C.1 D.6
【答案】C
【解析】(1+5i)i=i+5i2=i-5,所以虚部为1,故选C.
2.(2025北京,2,4分)已知复数z满足i·z+2=2i,则|z|=( )
A. B.2 C.4 D.8
【答案】B
【解题思路】z===2+2i,故|z|==2,故选B.
3.(2023课标II,1)在复平面内,对应的点位于( ).
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】因为,则所求复数对应的点为,位于第一象限.
故选:A.
4.(2023全国乙文,1) ( )
A. 1 B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】由题意可得,则.
故选:C.
5.(2023北京,2,4分,易)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,),则z的共轭复数=( )
A.1+i
C.-1+i
【答案】 D
【解析】由题知复数z=-1+i,则i.
6.(2021浙江,2,4分)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a= ( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
【答案】 C 解题指导:先将等式左边化成a+bi(a,b∈R)的形式,然后利用复数相等的充要条件得出结果.
【解析】 由(1+ai)i=3+i,得-a+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故选C.
方法总结 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1=z2的充要条件是
7.(2022浙江,2,4分)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则 ( )
A.a=1,b=-3 B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3 D.a=1,b=3
【答案】 B
【解析】∵a+3i=bi+i2=-1+bi,∴a=-1,b=3.故选B.
8.(2022北京,2,4分)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|= ( )
A.1 B.5 C.7 D.25
【答案】 B
【解析】由i·z=3-4i可知,z==-4-3i,故|z|==5.故选B.
9.(2022新高考Ⅰ,2,5分)若i(1-z)=1,则z+= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】 D
【解析】由题意知1-z==-i,所以z=1+i,则=1-i,所以z+=(1+i)+(1-i)=2,故选D.
10.(2022全国乙文,2,5分)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则 ( )
A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1
C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1
【答案】 A
【解析】由题意知(a+b)+2ai=2i,
所以故选A.
11.(2022全国乙理,2,5分)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则 ( )
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
【答案】 A
【解析】 由题意知=1+2i,所以z+a+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+a+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,所以故选A.
12.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z= ( )
A.1-2i B.1+2i C.1+i D.1-i
【答案】 C
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入2(z+)+3(z-)=4+6i,得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.故选C.
13.(2019课标Ⅱ文,2,5分)设z=i(2+i),则=( )
A.1+2i B.-1+2i
C.1-2i D.-1-2i
【答案】 D
本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算的核心素养.
【解析】∵z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,∴=-1-2i,故选D.
解题关键 正确理解共轭复数的概念是求解的关键.
14.(2017课标Ⅲ文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】 C
【解析】 z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选C.
15.(2017课标Ⅲ理,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )
A. B. C. D.2
【答案】 C
本题考查复数的运算及复数的模.
【解析】∵(1+i)z=2i,∴z====1+i.
∴|z|==.
一题多解 ∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即·|z|=2,∴|z|=.
16.(2017课标Ⅰ文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)
【答案】 C
本题考查复数的运算和纯虚数的定义.
【解析】A.i(1+i)2=i×2i=-2;
B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;
C.(1+i)2=2i;
D.i(1+i)=-1+i,故选C.
17.(2016课标Ⅰ理,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )
A.1 B. C. D.2
【答案】 B
【解析】∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,
∴∴|x+yi|=|1+i|==.故选B.
评析 本题考查复数相等的条件,属容易题.
18.(2016课标Ⅰ文,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
【答案】 A
【解析】∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,
∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.
解后反思 将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式,然后建立方程是解决问题的关键.
评析 本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式是解题关键.
19.(2016课标Ⅱ文,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则=( )
A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i
【答案】 C
【解析】 z=3-2i,所以=3+2i,故选C.
20.(2016课标Ⅲ文,2,5分)若z=4+3i,则=( )
A.1 B.-1 C.+i D.-i
【答案】 D
【解析】 由z=4+3i得|z|==5,=4-3i,则=-i,故选D.
21.(2015安徽理,1,5分)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】 B
【解析】∵==-1+i,∴复数在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.
22.(2015课标Ⅰ理,1,5分)设复数z满足=i,则|z|=( )
A.1 B. C. D.2
【答案】 A
【解析】由已知=i,可得z====i,∴|z|=|i|=1,故选A.
23.(2015湖北理,1,5分)i为虚数单位,i607的为( )
A.i B.-i C.1 D.-1
【答案】 A
【解析】 ∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,
∴i607的共轭复数为i.
24.(2014课标Ⅱ理,2,5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=( )
A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i
【答案】 A
【解析】由题意得z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.
25.(2014重庆理,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】 A
【解析】i(1-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A.
26.(2014课标Ⅰ文,3,5分)设z=+i,则|z|=( )
A. B. C. D.2
【答案】 B
【解析】z=+i=+i=+i,因此|z|===,故选B.
27.(2013课标Ⅰ理,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )
A.-4 B.- C.4 D.
【答案】 D
【解析】∵|4+3i|==5,∴z===+i,虚部为,故选D.
28.(2013课标Ⅱ文,2,5分)=( )
A.2 B.2 C. D.1
【答案】 C
【解析】 ==|1-i|=.选C.
29.(2012课标理,3,5分)下面是关于复数z=的四个命题:
p1:|z|=2, p2:z2=2i,
p3:z的共轭复数为1+i, p4:z的虚部为-1.
其中的真命题为( )
A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4
【答案】 C
【解析】z===-1-i,所以|z|=,p1为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2为真命题;=-1+i,p3为假命题;p4为真命题.故选C.
评析 本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力.
30.(2012课标文,2,5分)复数z=的共轭复数是( )
A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i
【答案】 D
【解析】z====-1+i,=-1-i,故选D.
评析 本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.
31.(2011课标理,1,5分)复数的共轭复数是( )
A.-i B.i C.-i D.i
【答案】 C
【解析】==i,其共轭复数为-i,故选C.
评析 本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念,属容易题.
32.(2016课标Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-3,1) B.(-1,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
【答案】 A
【解析】由已知可得 -3方法总结 复数的实部、虚部分别是其在复平面内对应点的横坐标、纵坐标,所以研究复数在复平面内的对应点的位置时,关键是确定复数的实部和虚部.
33.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=( )
A.1+2i B.1-2i
C.-1+2i D.-1-2i
【答案】 B
【解析】设z=a+bi(a、b∈R),则2z+=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B.
34.(2025天津,10,5分)i为虚数单位,则= .
【答案】
【解析】==1-3i,所以==.
35.(2025上海,10,5分)已知复数z满足z2=,|z|≤1,则|z-2-3i|的最小值是 .
【答案】2
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),∴=a-bi,
由题意可知z2=a2+2abi-b2==a2-2abi-b2,则ab=0,故a=0或b=0,
又|z|=≤1,由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z(a,b)在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动,如图所示,即线段AB,CD上运动,
设E(2,3),连接BE、CE.则|z-2-3i|=|ZE|,
由图象可知|ZE|min=|CE|=2.
36.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 .
【答案】 2
【解析】 本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.
∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,
∴a-2=0,解得a=2.
解题关键 掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键.
37.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是 .
【答案】
【解析】 本题考查复数的运算.
∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,
∴|z|==.
38.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是 .
【答案】 5
【解析】 (1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.
39.(2016北京理,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .
【答案】 -1
【解析】 (1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,∴a=-1.
40.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 .
【答案】 -2
【解析】 ∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,
∴解得a=-2.
41.(2015重庆理,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)= .
【答案】 3
【解析】 复数a+bi(a,b∈R)的模为=,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a2+b2=3.
考点2 复数的运算
1.(2025全国二卷,2,5分)已知z=1+i,则=( )
A.-i B.i C.-1 D.1
【答案】A
【解析】因为z=1+i,所以==-i,故选A.
2.(2024新课标Ⅰ,2,5分,易)若=1+i,则z=( )
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
【答案】C
【解析】依题意知z=(z-1)(1+i)=z(1+i)-1-i,则z===1-i.故选C.
3.(2024全国甲理,1,5分,易)若z=5+i,则i(+z)=( )
A.10i B.2i C.10 D.2
【答案】A
【解析】∵=5-i,∴i(+z)=i(5-i+5+i)=10i,故选A.
4.(2024新课标Ⅱ,1,5分,易)已知z=-1-i,则|z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
【答案】C
【解析】∵z=-1-i,∴|z|==,故选C.
5.(2024北京,2,4分,易)若复数z满足=-1-i,则z=( )
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
【答案】C
【解析】z=i(-1-i)=1-i,故选C.
6.(2023全国甲理,2)若复数,则( )
A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】因为,
所以,解得:.故选:C.
7.(2023课标I,1)已知,则( )
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】因为,所以,即.
故选:A.
8.(2023全国乙理,1)设,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得,则.
故选:B.
9.(2023全国甲文,2) ( )
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】,故选:C.
10.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(+i)= ( )
A.6-2i B.4-2i C.6+2i D.4+2i
【答案】 C
【解析】∵z=2-i,∴=2+i,
∴z(+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.
11.(2022新高考Ⅱ,2,5分)(2+2i)(1-2i)= ( )
A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i
【答案】 D
【解析】(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故选D.
12.(2022全国甲文,3,5分)若z=1+i,则|iz+3|= ( )
A.4
【答案】 D
【解析】∵z=1+i,∴iz=i-1,3=3(1-i)=3-3i,
∴iz+3=2-2i,∴|iz+3.故选D.
13.(2021全国甲理,3,5分)已知(1-i)2z=3+2i,则z= ( )
A.-1-i
C.--i
【答案】 B
【解析】解法一:由题意得z=i.
解法二:设z=a+bi(a,b∈R).
由(1-i)2z=3+2i得(1-i)2(a+bi)=3+2i,
∴-2i(a+bi)=2b-2ai=3+2i,
∴a=-1,b=,∴z=-1+i.故选B.
14.(2022全国甲理,1,5分)若z=-1+i,则= ( )
A.-1+i
【答案】 C
【解析】因为z=-1+i,所以i,故选C.
15.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z= ( )
A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i
【答案】 C
解题指导:解法一:直接用复数的除法运算求解;
解法二(待定系数法):利用方程思想求解.
【解析】 解法一:由题意得z==3-4i,故选C.
解法二:由题意,设z=a+bi(a,b∈R),则iz=i(a+bi)=-b+ai,又iz=4+3i,所以a=3,b=-4,则z=3-4i,故选C.
易错警示 学生不熟悉复数的除法法则,在运算中出错.
16.(2021北京,2,4分)若复数z满足(1-i)·z=2,则z= ( )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
【答案】 D
【解析】解法一:设z=a+bi(a,b∈R),因为(1-i)·z=2,即a+b+(b-a)i=2,所以解得a=b=1,所以z=1+i.故选D.
解法二:因为(1-i)·z=2,所以z==1+i,故选D.
17.(2020新高考Ⅰ,2,5分)= ( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
【答案】 D
【解析】 =-i.故选D.
18.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z=,则|z|=( )
A.2 B. C. D.1
【答案】 C
本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.
【解析】∵z==
===-i,
∴|z|==,故选C.
易错警示 易将i2误算为1,导致计算出错.
19.(2019北京,理1,文2,5分)已知复数z=2+i,则z·=( )
A. B. C.3 D.5
【答案】 D
本题主要考查复数的运算,共轭复数的概念,考查学生运算求解的能力,考查的核心素养是数学运算.
【解析】∵z=2+i,∴=2-i,∴z·=(2+i)·(2-i)=4+1=5,故选D.
20.(2018课标Ⅱ文,1,5分)i(2+3i)=( )
A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i
【答案】 D
本题主要考查复数的四则运算.
【解析】i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故选D.
21.(2018课标Ⅲ,理2,文2,5分)(1+i)(2-i)=( )
A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i
【答案】 D
本题考查复数的运算.
【解析】(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.
22.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】 D
本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.
【解析】∵==+i,∴其共轭复数为-i,又-i在复平面内对应的点在第四象限,故选D.
23.(2017课标Ⅱ文,2,5分)(1+i)(2+i)=( )
A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i
【答案】 B
本题考查复数的基本运算.
【解析】(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B.
24.(2017山东文,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=( )
A.-2i B.2i C.-2 D.2
【答案】 A
本题考查复数的运算.
【解析】由zi=1+i得z==1-i,
所以z2=(1-i)2=-2i,故选A.
25.(2016课标Ⅲ理,2,5分)若z=1+2i,则=( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
【答案】 C
【解析】∵z=(1+2i)(1-2i)=5,∴==i,故选C.
26.(2016北京文,2,5分)复数=( )
A.i B.1+i C.-i D.1-i
【答案】 A
【解析】====i,故选A.
27.(2015课标Ⅱ理,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】 B
【解析】 ∵(2+ai)(a-2i)=-4i 4a+(a2-4)i=-4i,
∴解得a=0.
28.(2015课标Ⅰ文,3,5分)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=( )
A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i
【答案】 C
【解析】由已知得z=+1=2-i,故选C.
29.(2015课标Ⅱ文,2,5分)若a为实数,且=3+i,则a=( )
A.-4 B.-3 C.3 D.4
【答案】 D
【解析】由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D.
30.(2015安徽文,1,5分)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=( )
A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i
【答案】 C
【解析】(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i.
31.(2015湖南文,1,5分)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
【答案】 D
【解析】 z====-i(1-i)=-1-i.故选D.
32.(2014课标Ⅰ理,2,5分)=( )
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
【答案】 D
【解析】=·(1+i)=·(1+i)=-1-i,故选D.
33.(2014课标Ⅱ文,2,5分)=( )
A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i
【答案】 B
【解析】===-1+2i,故选B.
34.(2013课标Ⅱ理,2,5分)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( )
A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i
【答案】 A
【解析】由题意得z===-1+i,故选A.
35.(2013课标Ⅰ文,2,5分)=( )
A.-1-i B.-1+i C.1+i D.1-i
【答案】 B
【解析】 ====-1+i,故选B.
36.(2011课标文,2,5分)复数=( )
A.2-i B.1-2i C.-2+i D.-1+2i
【答案】 C
【解析】===-2+i,故选C.
评析 本题主要考查复数的基本运算,分母实数化是解答本题的关键,属容易题.
37.(2024天津,10,5分,易)i是虚数单位,复数(+i)·(-2i)= .
【答案】7-i
【解析】 (+i)·(-2i)=5+i-2i+2=7-i.
38.(2018天津,理9,文9,5分)i是虚数单位,复数= .
【答案】 4-i
解析 本题主要考查复数的四则运算.
【解析】===4-i.
39.(2018上海,5,4分)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|= .
【答案】 5
【解析】 本题主要考查复数的运算.由(1+i)z=1-7i得z====-3-4i,
∴|z|==5.
40.(2016天津理,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则的值为 .
【答案】 2
【解析】 由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则
解得所以=2.
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