期末评估测试卷(A) （含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

期末评估测试卷(A)
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,过☉O上一点A作☉O的切线,可以作 (　　)
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
2.已知点A(-1,-2)与点B(a,2)关于点P(2,0)对称,则a代表的数为 (　　)
A.1 B.3 C.5 D.2
3.若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根,则n+m+4的值为 (　　)
A.1 B.2 C.-1 D.-2
4.(2024牡丹江中考)某校八年级(3)班承担下周学校升旗任务,老师从备选的甲、乙、丙、丁四名同学中,选择两名担任升旗手,则甲、乙两名同学同时被选中的概率是 (　　)
A. B. C. D.
5.关于x的方程x(x-1)=3(x-1),下列解法完全正确的是 (　　)
甲 乙 丙 丁
两边同时除以(x-1),得x=3. 移项,得x(x-1)+ 3(x-1)=0. ∴(x-1)(x+3)=0. ∴x-1=0或 x+3=0. ∴x1=1,x2=-3. 整理,得x2-4x=-3. ∵a=1,b=-4, c=-3, ∴Δ=b2-4ac=28. ∴x==2±. ∴x1=2+, x2=2-. 整理,得 x2-4x=-3. 配方,得 x2-4x+4=1. ∴(x-2)2=1. ∴x-2=±1. ∴x1=1,x2=3.
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
6.已知抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的根是 (　　)
A.x1=0,x2=4 B.x1=1,x2=5 C.x1=1,x2=-5 D.x1=5,x2=-1
7.问题:“解方程-2x2+3x=8-x”,嘉嘉解得x1=1.5,x2=-2.5,淇淇看了嘉嘉的答案,说:“你算得不对,这个方程只有一个解.”下列结论正确的是 (　　)
A.嘉嘉的解是正确的　
B.淇淇说得对,因为b2-4ac=0　
C.嘉嘉和淇淇的说法都不对,因为b2-4ac<0,该方程无实数解
D.由b2-4ac>0可得,该方程有两个解,但嘉嘉的结果是错的
8.(2024福建中考)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于(　　)
A.18° B.30° C.36° D.72°
9.《九章算术》“勾股”章有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何.”大意是已知矩形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈(1丈=10尺,1尺=10寸),那么门的高和宽各是多少 若设门的宽为x寸,则下列方程中,符合题意的是(　　)
A.x2+12=(x+0.68)2 B.x2+(x+0.68)2=12
C.x2+1002=(x+68)2 D.x2+(x+68)2=1002
10.如图,AB是半圆O的直径,点C,D将分成相等的三段弧,点M在AB的延长线上,连接MD.三位同学给出以下结论:甲:若MD为半圆O的切线,则能得出∠OMD=30°;乙:若连接AC,CD,则∠ACD=130°;丙:若连接AC,BD,则AC=BD.三位同学给出的结论正确的是 (　　)
A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有甲
11.在平面直角坐标系中,开口向下的抛物线y=ax2+bx+c的一部分如图所示,它与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,3),则a的取值范围是 (　　)
A.a<0 B.-312.题目:“要在边长为10的正方形ABCD内放置一个与正方形有共同中心O的正多边形,若该正多边形能在正方形ABCD内(含边界)自由旋转,求其边长的最大值d.例如,当正多边形为正六边形时,如图1,该正六边形边长的最大值d=5.”
　 　
图1 图2 图3
甲:当正多边形为正方形PQMN时,如图2,该正方形边长的最大值d=5;
乙:当正多边形为等边三角形EFG时,如图3,该等边三角形的边长的最大值d=5.
针对甲和乙的答案,下列判断正确的是 (　　)
A.甲和乙都对 B.甲和乙都不对 C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.(2024西宁中考)在一个不透明的袋中装有5个相同的小球,分别写有,,,,,随机摸出一个小球,上面的二次根式是最简二次根式的概率是　　　　.
14.(2024北京中考)如图,☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C=　　　　°.
15.如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形.若母线长l为6 cm,扇形的圆心角θ为120°,则圆锥的底面圆的半径r为　　　　cm.
16.如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).若点C的横坐标的最小值为-3,则点D的横坐标的最大值为　　　　.
三、解答题(本大题共8 个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点坐标分别为O(0,0),A(4,2),B(3,0).将△AOB绕点O逆时针旋转90°,得到△A1OB1.
(1)在平面直角坐标系中画出△A1OB1,点A1的坐标为　　　　,点B1的坐标为　　　　.
(2)将△AOB绕AO的中点C(2,1)逆时针旋转90°得到△A'O'B',O'B'交OA于点D,O'A'交x轴于点E,此时点A'(1,3),O'(3,-1),B'(3,2),且O'B'经过点B,在刚才的旋转过程中,我们发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小,旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD的面积)最小,求四边形CEBD的面积.
18.(8分)下面是小颖同学解一元二次方程的过程,请认真阅读并回答下列问题.
2x2-3x-5=0.
解:x2-x=.第一步
x2-x+2=+2.第二步
x-2=.第三步
x-=±.第四步
x1=,x2=-1.第五步
(1)小颖解方程的方法是　　　　　.
(2)第二步变形的依据是　　　　　　　　　.
(3)请你用公式法解该方程.
19.(8分)已知关于x的方程x2-(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:不论m为何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)若方程一根为x=4,以此时方程两根为等腰三角形的两边长,求此三角形的周长.
20.(8分)(2024烟台中考)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅,计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元.
(1)求y与x之间的函数解析式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大 最大利润为多少元
(2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12 160元,请问这天售出了多少辆轮椅
21.(9分)跳绳是一项很好的健身活动,如图是小明进行跳绳运动时的示意图,建立平面直角坐标系如图所示,甩绳形状近似看作抛物线,脚底B,C相距20 cm,头顶A离地174 cm,相距60 cm的双手D,E均离地80 cm.点A,B,C,D,E在同一平面内,脚离地面的高度忽略不计.小明调节绳子,使跳动时绳子刚好经过脚底B,C两点,且甩绳形状始终保持不变.
(1)求经过脚底B,C时绳子所在抛物线对应的函数解析式.
(2)判断小明此次跳绳能否成功,并说明理由.
22.(9分)(2024河北中考)甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b,2a+b,a-b,除正面的代数式不同外,其余均相同.
(1)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,当a=1,b=-2时,求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.
(2)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,放回后重新洗匀,再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简),并求出和为单项式的概率.
　 　　第一次 第二次　 　　 a+b 2a+b a-b
a+b 2a+2b 2a
2a+b
a-b 2a
23.(11分)如图,点O为内、外两个圆的圆心,大圆被八等分,分点为A,B,C,D,E,F,G,H.已知两个圆的半径分别为6,2.
(1)如图1,若大圆中的弦AP与小圆相切于点M,求AP的长.
(2)通过计算比较的长和小圆的周长的大小.
(3)如图2,连接OB,AG,判断OB和AG的位置关系,并求点B到AG的距离.
图1　　 图2
24.(12分)如图,抛物线L:y=a(x+2)2+9与x轴交于A,B(-5,0)两点,与y轴交于点C.
(1)写出抛物线的对称轴,并求a的值.
(2)平行于x轴的直线l交抛物线L于点M,N(点M在点N的左边),交线段BC于点R.当R为线段MN的中点时,求点N的坐标.
(3)将线段AB先向左平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到线段A'B',若抛物线L平移后与线段A'B'有两个交点,且这两个交点恰好将线段A'B'三等分,求抛物线L平移的最短路程.
(4)P是抛物线L上任意一点(不与点C重合),点P的横坐标为m.过点P作PQ⊥y轴于点Q,E为y轴上的一点,纵坐标为-2m.以EQ,PQ为邻边构造矩形PQEF,当抛物线L在矩形PQEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,直接写出m的取值范围.
　　
备用图
【详解答案】
1.B　解析:如图,连接OA.∵过点A有且只有一条直线与OA垂直,∴过☉O上一点A有且只有一条直线与☉O相切.故选B.
2.C　解析:∵点A(-1,-2)与点B(a,2)关于点P(2,0)对称,∴=2.解得a=5.故选C.
3.B　解析:∵n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+2n=0的一个根,∴n2+mn+2n=0,即n(n+m+2)=0.∵n≠0,∴n+m+2=0,即n+m=-2.∴n+m+4=-2+4=2.故选B.
4.A　解析:列表如下:
甲 乙 丙 丁
甲 - (甲,乙) (甲,丙) (甲,丁)
乙 (乙,甲) - (乙,丙) (乙,丁)
丙 (丙,甲) (丙,乙) - (丙,丁)
丁 (丁,甲) (丁,乙) (丁,丙) -
由列表可知,共有12种等可能的结果,其中甲、乙两名同学同时被选中的结果有2种,则甲、乙两名同学同时被选中的概率是=.故选A.
5.D　解析:甲的解法错误,方程两边不能同时除以(x-1),这样会漏解;乙的解法错误,移项时3(x-1)没有变号;丙的解法错误,没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式,故c的值错误;丁利用配方法解方程,计算正确.故选D.
6.D　解析:∵抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2,∴-=2.解得m=-4.∴方程x2+mx=5可以写成x2-4x=5.化为一般形式为x2-4x-5=0.∴(x-5)(x+1)=0.解得x1=5,x2=-1.故选D.
7.C　解析:原方程可化为x2-2x+4=0.∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×4=-12<0,∴原方程无实数解.故嘉嘉和淇淇的说法都不对.故选C.
8.A　解析:∵C为的中点,∠AOB=72°,∴∠AOC=∠BOC=36°.∵OA=OC,∴∠ACO=∠OAC=72°.∵直线MN与☉O相切,切点为C,∴∠OCM=90°.∴∠ACM=∠OCM-∠ACO=90°-72°=18°.故选A.
9.D　解析:1丈=100寸,6尺8寸=68寸.若门的宽为x寸,则门的高为(x+68)寸.依题意,得x2+(x+68)2=1002.故选D.
10.C　解析:如图,连接OD,OC,AC,CD,BD.
∵点C,D将分成相等的三段弧,∴==.∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°.∵MD为半圆O的切线,OD是半圆O的半径,∴∠ODM=90°.∴∠OMD=30°.故甲正确;∵OD,OC,OA是半圆O的半径,∠AOC=∠COD=60°,∴△AOC,△DOC是等边三角形.∴∠ACO=∠DCO=60°.∴∠ACD=120°.故乙错误;∵=,∴AC=BD.故丙正确.∴结论正确的是甲和丙.故选C.
11.B　解析:根据题中图象,得a<0,b<0.∵抛物线与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,3),∴∴a+b=-3.∴b=-3-a.∵b<0,∴-3-a<0.解得a>-3.∴a的取值范围是-312.A　解析:如图1,连接ON,OM.∵正方形PQMN与正方形ABCD有共同中心O,且能在正方形ABCD内自由旋转,∴正方形PQMN的最大半径ON与正方形ABCD的边心距相等.∴ON=OM=5.根据勾股定理,得MN==5.∴该正方形边长的最大值d=5.故甲对;如图2,连接OE,OF,过点O作OR⊥EF于点R,则∠ORE=90°.根据等腰三角形的性质,得ER=FR.∴∠EOR=∠FOR=∠EOF=×120°=60°.∴∠OER=30°.∴OR=OE.∵等边三角形EFG与正方形ABCD有共同中心O,且能在正方形ABCD内自由旋转,∴等边三角形EFG的最大半径OE与正方形ABCD的边心距相等.∴OE=5.∴OR=OE=.根据勾股定理,得ER===.∴EF=2ER=2×=5.∴该等边三角形边长的最大值d=5.故乙对.故选A.
图1　 　图2
13.　解析:∵在,,,,这5个二次根式中,,是最简二次根式,有2个,∴随机摸出一个小球,上面的二次根式是最简二次根式的概率是.
14.55　解析:如图,设AB与CD相交于点E.∵☉O的直径AB平分弦CD(不是直径),∴AB⊥CD.∴∠DEB=90°.∵∠D=35°,∴∠B=90°-∠D=55°.∴∠C=∠B=55°.
15.2　解析:由题意,得2πr=.解得r=2.
16.8　解析:∵抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,∴当抛物线的顶点为A(1,4)时,点C的横坐标为最小值-3.此时,对称轴为直线x=1,∴点D的横坐标为5,CD=8,点C到对称轴的距离为4.当抛物线的顶点为B(4,4)时,抛物线的对称轴为直线x=4,∵CD=8,点C到对称轴的距离为4,∴点C(0,0),D(8,0).此时点D的横坐标最大,最大值为8.
17.解:(1)如图,△A1OB1即为所求作.
(-2,4)　(0,3)
(2)如图,画出△A'O'B'.由图可知,点E的坐标为(2.5,0),点D的坐标为(3,1.5),
∴S△OBD=×3×1.5=,
S△OCE=×2.5×1=.
∴S四边形CEBD=S△OBD-S△OCE=-=1.
18.解:(1)配方法
(2)等式的基本性质
(3)∵a=2,b=-3,c=-5,
∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-5)=49>0.
∴x==.
∴x1=,x2=-1.
19.解:(1)证明:由题意可知,Δ=[-(m+3)]2-4(m+1)=m2+2m+5=m2+2m+1+4=(m+1)2+4.
∵(m+1)2≥0,
∴Δ>0.
∴不论m为何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)把x=4代入x2-(m+3)x+m+1=0,得m=.
∴原方程可转化为3x2-14x+8=0.
∴x1=4,x2=.
若为腰长,4为底边长,则+<4,不能构成三角形,不符合题意,舍去.
∴此等腰三角形的腰长为4,底边长为.
∴此三角形的周长为4+4+=.
20.解:(1)由题意,得y与x之间的函数解析式为
y=(200-x)60+4×
=-0.4x2+20x+12 000
=-0.4(x2-50x+625)+12 250
=-0.4(x-25)2+12 250.
∵200-x≥180,
∴x≤20.
∴当x=20时,利润最大,最大利润为
-0.4×(20-25)2+12 250=12 240(元).
∴每辆轮椅降价20元时,每天的销售利润最大,最大利润为12 240元.
(2)由题意,得12 160=-0.4(x-25)2+12 250.
解得x1=40(不符合题意,舍去),x2=10.
∴这天售出轮椅60+4×=64(辆).
∴这天售出了64辆轮椅.
21.解:(1)由题意可得,点D(-30,0),E(30,0).
∵双手D,E均离地80 cm,脚底B,C相距20 cm.
∴点C的坐标为(10,-80).
∵对称轴是y轴,
∴可设抛物线对应的函数解析式为y=ax2+k(a≠0).
把点C(10,-80),E(30,0)代入,得
解得
∴经过脚底B,C时绳子所在抛物线对应的函数解析式为y=x2-90.
(2)小明此次跳绳不能成功.理由如下:
∵y=x2-90,
∴顶点为(0,-90),即跳绳顶点到手的垂直距离是90 cm.
∵174-80=94(cm),94>90,
∴跳绳不能超过头顶A.
∴小明此次跳绳不能成功.
22.解:(1)当a=1,b=-2时,a+b=-1,2a+b=0,a-b=3.
从三张卡片中随机抽取一张,共有3种等可能的结果,其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种,
∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为.
(2)补全表格如下:
　　 第一次 第二次　 　 a+b 2a+b a-b
a+b 2a+2b 3a+2b 2a
2a+b 3a+2b 4a+2b 3a
a-b 2a 3a 2a-2b
由表可知,共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有2a,3a,2a,3a,共4种,
∴和为单项式的概率为.
23.解:(1)如图1,连接OA,OM,则OM⊥AP.
∴AM=PM.
在Rt△AOM中,OA=6,OM=2,
∴AM=4.∴AP=2AM=8.
图1
(2)连接OD(图略).
由题意,得∠AOD=×3=135°.
∴的长为=.
∵小圆的周长为2π×2=4π,4π<,
∴的长大于小圆的周长.
(3)如图2,连接OA,OG,过点O作ON⊥AG于点N.
图2
由题意,得∠AOB==45°,∠AOG=×2=90°,OA=OG.
∴∠OAG=∠OGA=45°.
∴∠AOB=∠OAG.
∴OB∥AG.
∵∠OAG=45°,ON⊥AG,
∴ON=AN.
根据勾股定理,得ON=3.
∵OB∥AG,∴点B到AG的距离为3.
∴OB和AG的位置关系为平行,点B到AG的距离为3.
24.解:(1)∵y=a(x+2)2+9过点B(-5,0),∴9a+9=0.∴a=-1.
∴抛物线对应的函数解析式为y=-(x+2)2+9.
∴抛物线的对称轴是直线x=-2.
(2)∵R为线段MN的中点,
∴R的横坐标为-2.
∵抛物线为y=-(x+2)2+9,
∴令x=0,则y=5.∴点C(0,5).
又∵点B(-5,0),
∴直线BC的解析式为y=x+5.
∴当x=-2时,y=3.
∴点R(-2,3).
∴点N的纵坐标是3.
令y=-(x+2)2+9=3,
解得x1=-2+,x2=-2-(不符合题意,舍去).
∴点N的坐标为(-2+,3).
(3)∵抛物线L的对称轴是直线x=-2,点B(-5,0),
∴点A(-2+3,0),即(1,0).
∴将线段AB先向左平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度,可得点A'(0,5),B'(-6,5).
∴线段A'B'的两个三等分点的坐标分别为(-4,5),(-2,5).
设平移后的抛物线对应的函数解析式为y=-(x-h)2+k.
∵抛物线y=-(x+2)2+9平移后与线段A'B'有两个交点,且这两个交点恰好将线段A'B'三等分,
∴
∴平移后的抛物线对应的函数解析式为y=-(x+3)2+6,其顶点为(-3,6).
∵抛物线y=-(x+2)2+9的顶点为(-2,9),
∴平移前、后抛物线顶点之间的距离为=.
∴抛物线L平移的最短路程为.
(4)m的取值范围是--1-1.
解法提示:y=-(x+2)2+9=-x2-4x+5.
∵P是抛物线L上任意一点(不与点C重合),点P的横坐标为m,
∴点P(m,-m2-4m+5),m≠0.
∵PQ⊥y轴,
∴点Q(0,-m2-4m+5).
当m<0时,点Q在点E上方,如图1.
图1　 　图2
∵点E(0,-2m),
∴-m2-4m+5>-2m.
解得--1∵m<0,∴--1当m>0时,点E在点Q上方,如图2.
∴-2m>-m2-4m+5.
解得m<--1或m>-1.
∵m>0,∴m>-1.
综上所述,m的取值范围是--1-1.