第二十一章 一元二次方程 测试卷（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

第二十一章　一元二次方程 测试卷
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知一个一元二次方程的二次项系数是3,常数项是1,则这个一元二次方程可能是 (　　)
A.3x+1=0 B.x2+3=0 C.3x2+6x=1 D.3x2+1=0
2.用配方法解方程x2-2x=2时,配方后正确的是 (　　)
A.(x+1)2=3 B.(x+1)2=6
C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6
3.(2024凉山州中考)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为 (　　)
A.2 B.-2 C.2或-2 D.
4.明明在解关于x的方程ax2-3x+2=0(a≠0)时,抄错了a的符号,解出其中一个根是x=1,则原方程的根的情况是 (　　)
A.没有实数根 B.有一个实数根是x=-1
C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根
5.若m,n是方程x2+2x-2 024=0的两个根,则m2+3m+n的值为 (　　)
A.2 023 B.2 024
C.2 022 D.2 025
6.(2024绥化中考)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5,则原来的方程是 (　　)
A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0
C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0
7.(2024西宁中考)如图,小区物业规划在一个长60 m、宽22 m的矩形场地ABCD上,修建一个小型停车场,阴影部分为停车位所在区域,两侧是宽x m的道路,中间是宽2x m的道路.如果阴影部分的总面积是600 m2,那么x满足的方程是 (　　)
A.x2-41x+180=0 B.x2-41x+225=0　
C.x2-41x+30=0 D.x2-41x-270=0
8.如图是某月的月历表,在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的数(如6,7,8,13,14,15, 20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和为 (　　)
A.32 B.126　 C.135　 D.144
9.(2024赤峰中考)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为 (　　)
A.17或13 B.13或21 C.17 D.13
10.定义符号max{a,b}的含义为当a≥b时,max{a,b}=a;当aA.x=3或-3 B.x=3或1 C.x=3或2 D.x=1或-3
11.若实数a≠b,且a,b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,则代数式+的值为 (　　)
A.-20 B.2 C.2或-20 D.2或20
12.对于一元二次方程,我国古代数学家还研究过其几何解法.以方程x(x+6)=72为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法如下:如图,将四个长为x+6、宽为x的矩形纸片拼成一个大正方形,则大正方形的边长是x+6+x,面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和,即4×72+62,据此易得x==6.小明用此方法解关于x的方程x(3x-n)=24,其中3x-n>x构造出同样的图形,已知小正方形的面积为4,则n的值为 (　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.若关于x的方程(m-1)x|m+1|+3x-2=0是一元二次方程,则m的值为　　　　.
14.(2024西宁中考)已知方程x2+2x-1=0的两根分别为a和b,则4a2+8ab+4b2的值为　　　　.
15.若关于x的方程a(x+m)2+b=0(a,b,m为常数,a≠0)的解是x1=-3,x2=2,则方程a(2x+m+1)2+b=0的解是　 .
16.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为“倍根方程”.若(3-x)(mx-n)=0是倍根方程,则的值为　　　　.
三、解答题(本大题共8 个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)嘉嘉同学解一元二次方程2x2-x-1=0的过程如下:
解:∵2x2-x-1=0,①
∴a=2,b=1,c=1.②
∴Δ=b2-4ac=22-4=0.③
∴方程有两个相等的实数根.
∴x1=x2=-=-.④
(1)嘉嘉解方程的方法是　　　　.
A.直接开平方法　 B.因式分解法　 C.配方法　 D.公式法
他的求解过程从第　　　　步开始出现错误.
(2)请你写出这个方程正确的解答步骤,并求出方程的根.
18.(8分)若一个三角形的一条边长为2,另外两条边的边长是关于x的方程x2-4x+12=0的根.试判断该三角形的形状,并说明理由.
19.(8分)如图,点A,B在不完整的数轴上表示的整式分别为-2x2+x-3,3x2-2x-5,已知点A在点B的左侧,且x为整数.
(1)求点A,B之间的距离(用含x的代数式表示).
(2)若点B表示的数是3,求点A表示的数.
20.(8分)如图是小高和小齐同学的对话.
(1)根据小高给出的内容,求这个凸多边形的边数.
(2)小齐说的多边形存在吗 如果存在,它是几边形 如果不存在,请说明理由.
21.(9分)如图,一块长5 m、宽4 m的地毯,为了美观,设计了两横、两纵的配色条纹,已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地毯面积的.
(1)求配色条纹的宽度.
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元,其余部分每平方米造价100元,求地毯的总造价.
22.(9分)阅读下列材料:
解方程:3x4-16x2+5=0.
这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常如下:
设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变形为3y2-16y+5=0.
解这个方程,得y1=,y2=5.
当y1=时,x2=.∴x=±.
当y2=5时,x2=5,∴x=±.
∴原方程有四个根:x1=,x2=-,x3=,x4=-.
(1)在以上过程中,我们利用　　　　达到了　　　　的目的,体现了转化的数学思想.
(2)用换元法解方程:(x2-x)2-4(x2-x)-12=0.
(3)已知Rt△ABC三边长是a,b,c,若两直角边长a,b满足(a+b)(a+b-7)+10=0,斜边长c=4,求Rt△ABC的周长.
23.(11分)(2024淄博中考)“我运动,我健康,我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多,从2021年的32万人增加到2023年的50万人.
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率.
(2)为支持市民的健身运动,市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过100套健身器材,每套健身器材售价1 600元;若购买超过100套健身器材,每增加10套,每套健身器材售价可降低40元,但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买这种健身器材的套数.
24.(12分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6 cm,BC=8 cm,点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,当其中一个点到达终点时两个点同时停止运动.
(1)经过多长时间,△PBQ的面积是5 cm2,此时,PQ的长为多少厘米
(2)探究:是否存在某一时刻t,使S四边形APQC=S△ABC 如果存在,求出t的值;如果不存在,请说明理由.
【详解答案】
1.D　解析:已知一个一元二次方程的二次项系数是3,常数项是1,则这个一元二次方程可能是3x2+1=0.故选D.
2.C　解析:∵x2-2x=2,∴x2-2x+1=2+1,即(x-1)2=3.故选C.
3.A　解析:∵关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,∴a2-4=0且a+2≠0.解得a=2.故选A.
4.D　解析:将x=1代入方程,得a-3+2=0.解得a=1.∴a的正确值为-1.∴原方程为-x2-3x+2=0.∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×(-1)×2=17>0.∴原方程有两个不相等的实数根.故选D.
5.C　解析:∵m,n是方程x2+2x-2 024=0的两个根,∴m2+2m-2 024=0,m+n=-2.∴m2+2m=2 024.∴m2+3m+n= (m2+2m)+(m+n)=2 024-2=2 022.故选C.
6.B　解析:设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0).由题意,得-=6+1=7,=-2×(-5)=10,∴b=-7a,c=10a.∴原来的方程为ax2-7ax+10a=0,即x2-7x+10=0.故选B.
7.A　解析:∵矩形场地ABCD的长为60 m、宽为22 m,且所修建停车位的两侧是宽x m的道路,中间是宽2x m的道路,∴停车位(即阴影部分)可合成长为(60-2x)m、宽为(22-2x)m的矩形.根据题意,得(60-2x)·(22-2x)=600.化简,得x2-41x+180=0.故选A.
8.D　解析:根据题图可以得出,圈出的9个数,最大数与最小数的差为16.设最小数为x,则最大数为x+16.根据题意,得x(x+16)=192.解得x1=8,x2=-24(不符合题意,舍去).∴最小数为8.∴圈出的9个数分别为8,9,10,15,16,17,22, 23,24.∴这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.故选D.
9.C　解析:x2-10x+21=0可变形为(x-3)·(x-7)=0,解得x1=3,x2=7.当等腰三角形的边长是3,3,7时,3+3<7,不符合三角形的三边关系,应舍去;当等腰三角形的边长是7,7,3时,符合题意.故这个三角形的周长是7+7+3=17.故选C.
10.A　解析:当x≥-x时,max{x,-x}=x,∴x2-6=x.整理,得(x+2)(x-3)=0.∴x1=-2,x2=3.当x=-2时,-x=-(-2)=2,不符合题意;当x=3时,-x=-3,符合题意.当x<-x时,max{x,-x}=-x,∴x2-6=-x.整理,得(x-2)(x+3)=0.∴x1=2,x2=-3.当x=2时,-x=-2,不符合题意;当x=-3 时,-x=-(-3)=3,符合题意.综上所述,x的值为3或-3.故选A.
11. A 　解析: ∵a,b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0,且a≠b,∴a,b可看作方程x2-8x+5=0的两个根.∴a+b=8,ab=5.
∴原式====-20.故选A.
12.C　解析:由题意可知,将四个长为3x-n、宽为x的矩形纸片拼成一个大正方形,则大正方形的边长是3x-n+x,面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和.∵x(3x-n)=24,小正方形的面积为4,∴大正方形的面积为4×24+4=100.∴大正方形的边长为10.∴3x-n+x=4x-n=10.∴n=4x-10.∵小正方形的边长为3x-n-x,即10-2x,∴(10-2x)2=4.∴10-2x=±2.∵10-2x>0,∴10-2x=2.∴x=4.∴n=4×4-10=6.故选C.
13.-3　解析:∵关于x的方程(m-1)x|m+1|+3x-2=0是一元二次方程,∴|m+1|=2且m-1≠0.解得m=-3.
14.16　解析:∵方程x2+2x-1=0的两根分别为a和b,∴a+b=-2.∴4a2+8ab+4b2=4(a2+2ab+b2)=4(a+b)2=4×(-2)2 =16.
15.x1'=-2,x2'=　解析:∵x1=-3,x2=2是方程a(x+m)2+b=0(a,b,m为常数,a≠0)的解,∴令2x+1=x1,2x+1=x2,满足方程a(x+m)2+b=0,即a(2x+1+m)2+b=0.∴x1'==-2,x2'==.∴方程a(2x+m+1)2+b=0的解是x1'=-2,x2'=.
16.12或3　解析:(3-x)(mx-n)=0,∴3-x=0或mx-n=0.解得x1=3,x2=.∵(3-x)(mx-n)=0是“倍根方程”,∴当是3的2倍时,即=2×3=6,则=2×6=12;当3是的2倍时,即3=2×,则=3.综上所述,的值为12或3.
17.解:(1)D　②
(2)∵a=2,b=-1,c=-1,
∴Δ=b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=9>0.
∴x===.解得x1=1,x2=-.
18.解:该三角形是等腰直角三角形.理由如下:
∵x2-4x+12=0,
∴a=1,b=-4,c=12.
∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×12=0.
∴方程有两个相等的实数根.
∴x1=x2=2.
又∵(2)2+(2)2=(2)2,
∴该三角形是等腰直角三角形.
19.解:(1)由题意,得(3x2-2x-5)-(-2x2+x-3)
=3x2-2x-5+2x2-x+3
=5x2-3x-2.
∴点A,B之间的距离为5x2-3x-2.
(2)∵点B表示的数是3,
∴3x2-2x-5=3,即3x2-2x-8=0.
解得x=2或-.
∵x为整数,∴x=2.
当x=2时,-2x2+x-3=-9.
∴点A表示的数为-9.
20.解:(1)设这个凸多边形的边数为n.
∴=35.
∴n2-3n-70=0.
解得n1=10,n2=-7(不符合题意,舍去).
∴这个凸多边形是十边形.
(2)假设存在这个多边形,设这个多边形的边数为x.
∴=16.解得x=.
∵x必须是正整数,
∴不存在一个多边形有16条对角线.
∴这个多边形不存在.
21.解:(1)设配色条纹的宽度为x m.根据题意,得2×5x+2×4x-4x2=×5×4.
整理,得16x2-72x+17=0.
解得x1=(不符合题意,舍去),x2=.
∴配色条纹的宽度为 m.
(2)条纹造价:×5×4×200=850(元),
其余部分造价:1-×5×4×100=1 575(元),
总造价:850+1 575=2 425(元).
答:地毯的总造价是2 425元.
22.解:(1)换元法　降次
(2)设y=x2-x,原方程可变形为y2-4y-12=0.
解得y1=-2,y2=6.
当x2-x=6时,解得x=3或-2.
当x2-x=-2时,方程无解.
∴原方程有两个根:x1=3,x2=-2.
(3)设x=a+b,则原方程可化为x(x-7)+10=0,即x2-7x+10=0.
解得x=2或5.
∴a+b=2或5.
∵斜边长c=4,
∴a+b=2,不符合题意,舍去.
∴a+b=5.
∴Rt△ABC的周长为4+5=9.
23.解:(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x.
由题意,得32(1+x)2=50.
解得x1=0.25=25%,x2=-2.25(不符合题意,舍去).
∴该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.
(2)设购买这种健身器材m套.
由题意,得m1 600-×40=240 000.
整理,得m2-500m+60 000=0.
解得m1=200,m2=300.
当m=200时,1 600-×40=1 600-400=1 200>1 000,符合题意;
当m=300时,1 600-×40=1 600-800=800<1 000,不符合题意,舍去.
∴购买这种健身器材200套.
24.解:(1)设运动时间为t s,点Q从点B向点C运动的时间为8÷2=4(s),则0≤t≤4.
由题意,得PB=(6-t)cm,BQ=2t cm.
∵S△PBQ=PB·BQ=5,
∴(6-t)·2t=5,即t2-6t+5=0.
解得t1=1,t2=5(不符合题意,舍去).
∴t=1.
当t=1时,PB=5 cm,BQ=2 cm,
∴PQ===(cm).
∴经过1 s,△PBQ的面积是5 cm2,此时,PQ的长为 cm.
(2)不存在.理由如下:
∵S四边形APQC=S△ABC,
∴S△PBQ=S△ABC.
∴(6-t)·2t=××6×8.
∴t2-6t+14=0.
∵Δ=(-6)2-4×1×14=-20<0,
∴t2-6t+14=0没有实数根.
∴不存在某一时刻t,使S四边形APQC=S△ABC.