第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
基础过关练
题组一 集合的概念与元素的特性
1.(教材习题改编)下面给出的四类对象中,能构成集合的是( )
A.某班视力较好的同学 B.某小区长寿的人
C.π的近似值 D.方程x2=1的实数根
2.已知集合S中的三个元素a,b,c是△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.若以方程x2-3x+2=0和x2-5x+6=0的所有的解为元素组成集合A,则A中的元素个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
题组二 元素与集合的关系
4.(教材习题改编)给出下列关系:①π∈R;②∈Q;③-3 Z;④|-3| N;⑤0 Q.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知集合A={x|3x+2>m},若-1 A,则实数m的取值范围是( )
A.m<-1 B.m>-1 C.m≥-1 D.m≤-1
6.已知集合A={1,a2+2a,a+2},若3∈A,则a=( )
A.1 B.-3 C.-3或1 D.3
题组三 集合的表示方法
7.若集合A={x|-1≤x≤4,x∈N},则集合A中的元素个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.方程组的解组成的集合是( )
A.{1,6} B.{x=3,y=2}
C.{(1,6)} D.{(3,2)}
9.在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数组成的集合是( )
A.{x|x≤-3或x≥3} B.{x|-3≤x≤3}
C.{x|x≤-3} D.{x|x≥3}
10.(多选题)下列各组中,M,P表示不同集合的是( )
A.M={3,-1},P={(3,-1)}
B.M={(3,1)},P={(1,3)}
C.M={y|y=x2+1,x∈R},P={x|x=t2+1,t∈R}
D.M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}
11.集合A=xx∈Z,且∈N用列举法可表示为A= .
12.(1)用列举法表示方程组 的解组成的集合;
(2)用描述法表示不等式-1<2x+3<9的解集.
能力提升练
题组一 集合的概念与元素的特性
1.已知a∈R,b∈R,若集合与{a2,a+b,0}相等,则a2 023+b2 024的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为( )
A.-8 B.-16 C.8 D.16
3.若集合{a,b,c,d}与{1,2,3,4}相等,且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的,则符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是 .
题组二 元素与集合的关系
4.若x∈{1,2,x2},则x的值为( )
A.0,2 B.0, C.1,2 D.0,1,2
5.已知集合P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},且a∈P,b∈Q,则( )
A.a+b∈P
B.a+b∈Q
C.a+b∈M
D.a+b不属于P,Q,M中的任何一个
6.若M为关于x的一元二次方程x2-ax-5=0的所有实数根组成的集合,且-5∈M,则集合M中所有元素之和为 .
7.已知集合A={1,2,3,4,6},B=,则集合B中的元素个数为 .
8.设集合A=2,3,a2-3a,a++7,B={|a-2|,3},已知4∈A且4 B,则a的取值构成的集合为 .
题组三 集合的综合问题
9.(多选题)设非空集合S={x|m≤x≤n},其中m,n∈R,若集合S满足:当x∈S时,有x2∈S,则下列结论正确的是 ( )
A.若m=1,则S={x|x≥1}
B.若m=-,则≤n≤1
C.若n=,则-≤m≤0
D.若n=1,则-1≤m≤0
10.设数集A由实数构成,且满足:若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A.
(1)若2∈A,试证明A中还有另外两个元素;
(2)判断集合A是不是双元素集合,并说明理由;
(3)若A中元素个数不超过8,所有元素的和为,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合A.
答案与分层梯度式解析
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
基础过关练
1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.C 8.D
9.B 10.ABD
1.D A,B,C均不满足集合中元素的确定性.方程x2=1的实数根为-1,1,具有确定性,能构成集合.故选D.
2.D 因为集合中的元素必须是互异的,所以三角形的三条边长两两互不相等,故选D.
3.C 易得方程x2-3x+2=0的解为1,2,方程x2-5x+6=0的解为2,3,
∴集合A={1,2,3},共有3个元素.故选C.
4.A 易知仅有π∈R正确,故选A.
5.C ∵集合A={x|3x+2>m},-1 A,∴3×(-1)+2≤m,即m≥-1,故选C.
6.B 因为A={1,a2+2a,a+2},3∈A,
所以a2+2a=3或a+2=3,解得a=-3或a=1,
当a=-3时,A={1,3,-1},符合题意;当a=1时,a2+2a=a+2,不满足集合中元素的互异性,舍去,
因此a=-3.故选B.
7.C 由A={x|-1≤x≤4,x∈N}得A={0,1,2,3,4},所以集合A中的元素个数为5.故选C.
8.D 解方程组得故所求集合是{(x,y)|x=3,y=2}或{(3,2)}.故选D.
9.B 在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数x满足|x|≤3,即-3≤x≤3,因此所求的集合为{x|-3≤x≤3},故选B.
10.ABD 选项A,集合M的元素为3,-1,集合P的元素为点(3,-1),所以A符合题意;选项B,集合M的元素为点(3,1),集合P的元素为点(1,3),所以B符合题意;选项C,易知集合M,P为同一集合,所以C不符合题意;选项D,集合M的元素为y,集合P的元素为点(x,y),所以D符合题意.故选ABD.
11.答案 {-2,2,4,5}
解析 ∵A=xx∈Z,且∈N,∴6-x是8的约数且x∈Z,∴6-x=8,4,2,1,且x∈Z,∴x=-2,2,4,5,故A={-2,2,4,5}.
12.解析 (1)由解得或所以方程组的解组成的集合为{(0,1),(1,0)}.
(2)因为-1<2x+3<9,所以-2所以不等式的解集为{x|-2能力提升练
1.B 2.C 4.A 5.B 9.BC
1.B 根据题意得a≠0,故=0,则b=0,因此{a,0,1}与{a2,a,0}相等,由集合中元素的互异性知a≠1,故a2=1,故a=-1,当a=-1,b=0时,{-1,0,1}={1,-1,0},符合题意,所以a2 023+b2 024=-1.故选B.
2.C 由题意得A={-2,1},B={-1,2},又-2×(-1)=2,-2×2=-4,1×(-1)=-1,1×2=2,∴A☉B={-4,-1,2},因此-4×(-1)×2=8.故选C.
3.答案 6
解析 若仅有①正确,则a=1,b=1,c≠2,d=4,此时a=b,不满足集合中元素的互异性,故此种情况不成立.
若仅有②正确,则a≠1,b≠1,c≠2,d=4,此时有(2,3,1,4),(3,2,1,4)两种情况.
若仅有③正确,则a≠1,b=1,c=2,d=4,此时仅有(3,1,2,4)一种情况.
若仅有④正确,则a≠1,b=1,c≠2,d≠4,此时有(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2)三种情况.
综上,符合条件的所有有序数组(a,b,c,d)的个数是6.
方法技巧 先用肯定条件确定参数的值,再用否定条件进行讨论.
4.A 当x=1时,x2=1,不满足集合中元素的互异性;
当x=2时,集合为{1,2,4},成立;
当x=x2时,x=1(舍去)或x=0,当x=0时,集合为{1,2,0},成立.
∴x=0或x=2.故选A.
解题模板 由集合中元素的特性求参数的值的步骤
5.B ∵a∈P,∴a=2k1,k1∈Z.∵b∈Q,∴b=2k2+1,k2∈Z.∴a+b=2(k1+k2)+1=2k+1(k1,k2,k∈Z),∴a+b∈Q.故选B.
解题模板 集合{x∈A|P(x)}中的P(x)为集合A中元素x的共同特征,若a∈A,则a满足P(x);反过来,若a满足P(x),则a∈A.
6.答案 -4
解析 ∵-5∈M,∴25+5a-5=0,解得a=-4,∴原方程为x2+4x-5=0,由根与系数的关系得,集合M中所有的元素之和为-4.
7.答案 13
解析 ∵集合A={1,2,3,4,6},
∴B==1,,,,,2,,3,,,4,,6,
∴集合B中的元素个数为13.
8.答案 {4}
解析 ∵4∈A,∴a2-3a=4或a++7=4.
当a2-3a=4时,解得a=-1或a=4,
当a=-1时,a++7=4,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当a=4时,A=2,3,4,,B={2,3},满足题意.
当a++7=4时,解得a=-1(舍去)或a=-2,
当a=-2时,B={4,3},不满足题意,舍去.
综上所述,a的取值构成的集合为{4}.
9.BC ∵非空集合S={x|m≤x≤n}满足:当x∈S时,有x2∈S,
∴当m∈S时,有m2∈S,即m2≥m,解得m≥1或m≤0;
同理,当n∈S时,有n2∈S,即n2≤n,解得0≤n≤1.
对于A,若m=1,则必有m2=1∈S,故必有∴m=n=1,所以S={1},故A错误;
对于B,若m=-,则必有m2=∈S,故必有解得≤n≤1,故B正确;
对于C,若n=,则m≤m2≤,解得-≤m≤0,故C正确;
对于D,若n=1,则m≤m2≤1,解得-1≤m≤0或m=1,故D错误.故选BC.
10.解析 (1)证明:由2∈A得=-1∈A;
由-1∈A得=∈A;由∈A得=2∈A,
所以集合A中还有另外两个元素-1和.
(2)集合A不是双元素集合.理由如下:
由题意得,若x∈A(x≠1且x≠0),则∈A,则=1-∈A,若1-∈A,则x∈A,所以集合A中应包含x,,1-,且它们互不相等方程x=,x=1-,=1-均无解,
故集合A不是双元素集合.
(3)由(2)得集合A中的元素个数应为3或6(一个元素x可生成3个不同的元素,因此A中元素的个数为3,6,9,…,又A中元素不超过8个,故A中元素个数为3或6),
因为x··=-1,且A中有一个元素的平方等于所有元素的积,
所以A中应有6个元素(若只有3个元素,则所有元素之积为-1,不是平方数),且其中一个元素为-1(6个元素的积为1,则其中一个元素的平方为1,而由题干中范围知该元素不是1),
由-1∈A结合条件可得∈A,2∈A,又因为-1++2=,所以剩余三个元素的和为-=,
即x++=,解得x=-或x=3或x=,
故A=.
方法技巧 题干给出的是集合中元素的关系,即给定一个元素可以求出下一个元素,解题关键是找到元素的规律,由此分析元素的特点,结合已知就可以解决问题.
7(共14张PPT)
1.元素:一般地,把研究对象统称为元素,常用小写拉丁字母a,b,c,…表示.
2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.
3.集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
4.集合中元素的特性
(1)确定性:集合中的元素必须是确定的.
(2)互异性:集合中的元素是互不相同的.
(3)无序性:构成集合的元素无先后顺序之分.
1.1 集合的概念
知识点 1 元素与集合的相关概念
知识 清单破
知识点 2 元素与集合的关系
关系 概念 记法
属于 如果a是集合A中的元素,就
说a属于集合A a∈A
不属于 如果a不是集合A中的元素,
就说a不属于集合A a A
知识点 3 常用数集及其记法
常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 N N*或N+ Z Q R
1.列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合.
2.描述法:把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}.
知识点 4 集合的表示方法
知识辨析
1.由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有几个元素
2.集合{x|x>0}与{y|y>0}是相等的集合吗
3.已知下列三个集合:A={x|y=x2+1},B={y|y=x2+1},C={(x,y)|y=x2+1},它们是不是相同的集合
一语破的
1.两个.两方程的根分别为x=±2与x=2,由集合中元素的互异性可知所求集合为{-2,2},有两个
元素.
2.是.代表元素所用字母不同,但都表示大于零的实数构成的集合.
3.不是.集合A表示函数y=x2+1中自变量x的取值范围,为R;集合B表示函数y=x2+1中因变量y的
取值范围,为{y|y≥1};集合C是由坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的点集.
定点 1 集合中元素特性的应用
关键能力 定点破
1.确定性
(1)判断一组对象是否构成集合的标准.
(2)元素在集合中,元素就满足集合的限制条件;元素不在集合中,元素就不满足集合的限制条
件.由此可以列出方程或不等式,求解有关问题.
2.互异性:在求出某结果后要进行检验,看是否满足元素互不相同.
3.无序性:解决集合问题时,无序性是分类讨论的依据.
典例 已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为 .
-
解析 ∵集合A={m+2,2m2+m},且3∈A,
∴m+2=3或2m2+m=3,∴m=1或m=- .
当m=1时,m+2=3,2m2+m=3,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当m=- 时,m+2= ,2m2+m=3,符合题意.
1.方法的选择
元素个数少或者元素个数多但是有规律时可考虑用列举法;元素个数多且有公共属性或
者不宜列举时可考虑用描述法.
2.用列举法表示集合时的省略
元素个数多或元素个数无限时,在不发生误解的情况下,可按照规律列出几个元素作为
代表,其他元素用省略号表示.如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1 000},自
然数集N可以表示为{0,1,2,3,…}.
3.用描述法表示集合时的注意事项
(1)写清楚集合中的代表元素及其范围,如数或点等;
(2)用于描述共同属性内容的语言要力求简洁、准确;
定点 2 集合的表示
(3)所有描述的内容都要写在“{}”内,且“{}”内不能出现“所有”“全体”等词语.
典例 用适当的方法表示下列集合:
(1)24的正因数组成的集合;
(2)大于2且小于5的有理数组成的集合;
(3)被3除余2的整数组成的集合;
(4)由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.
解析 (1)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.
(2)用描述法表示为{x|2(3)用描述法表示为{x|x=3k+2,k∈Z}.
(4)解法一:用描述法表示为{(x,y)|y=-x+4,x∈N,y∈N}.
解法二:用列举法表示为{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}.
1.求参数的值或范围:先利用条件列出含参数的等式(或不等式),再求值(或范围),最后检验参
数的值是否符合题意.
2.若参数的取值对解题有影响,则需对参数进行分类讨论,准确的类别划分是解决问题的关
键.如在研究方程ax+b=0或ax2+bx+c=0时,要分a=0和a≠0讨论.
定点 3 集合中参数问题的解法
典例 已知集合A={x|ax2-3x+2=0}.若集合A中至少有一个元素,求实数a的值组成的集合.
解析 ①当集合A中只有一个元素时,分a=0和a≠0讨论.
当a=0时,原方程可化为-3x+2=0,得x= ,符合题意.
当a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,由题意得Δ=9-8a=0,得a= ,符合题意.
②当集合A中有两个元素时,由题意得 得a< 且a≠0,符合题意.
综上,若集合A中至少有一个元素,则实数a的值组成的集合是 .
解题模板 若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其特征是解题的关键.解
决含参数的一元二次方程问题时,逻辑划分的依据是二次项系数是不是0、判别式为正、为
负或为零.
