1.2 集合间的基本关系
基础过关练
题组一 子集、真子集和空集
1.已知集合A={x|x2-1=0},则下列结论错误的是( )
A.1∈A B.{-1} A C.{-1}∈A D.{-1,1}=A
2.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0
A.1 B.2 C.3 D.4
3.下列四个集合中,是空集的是( )
A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}
C.{x|x2≤0}D.{x|x2-x+1=0,x∈R}
4.(多选题)下列结论错误的是( )
A.{0}∈{0,1} B. ∈{0}C.{1,2} Z D. {0,1}
5.已知M={x|x=3m-1,m∈Z},N={x|x=3n+2,n∈Z},P={x|x=6p-1,p∈Z},则下列结论正确的是( )
A.M=P N B.P M=N C.M N P D.N M P
题组二 集合间的关系及其应用
6.设集合A={0,-a},B={1,-1,2a-2},若A B,则a=( )
A.2 B.1 C. D.-1
7.已知集合A={x|xA.{a|a≥3} B.{a|a>3} C.{a|a>0} D.{a|a≥0}
8.(多选题)已知集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N},C={x|x A},则关于集合A、B、C之间的关系,下列结论正确的有( )
A.A=B B.A B C.A=C D.A C
9.已知集合A=,B=xx=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为 .
10.设m为实数,集合A={x|-3≤x≤2},B={x|m≤x≤2m-1},且B A,则m的取值范围是 .
11.已知集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}.
(1)若A恰有一个子集,求a的取值范围;
(2)若A恰有一个元素,求a的取值集合.
能力提升练
题组一 集合间的基本关系
1.已知集合A={x∈N|0≤xA.{m|2C.{m|2≤m≤3} D.{m|22.已知集合M满足{1,2} M {1,2,3,4,5},则所有满足条件的集合M的个数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3.若x∈A,∈A,就称A是具有伙伴关系的集合,集合M=的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( )
A.1 B.3 C.5 D.7
4.若集合M {1,2,3,4,5,6,7},且M中至少含有两个奇数,则满足条件的集合M的个数是 .
5.已知集合M={m∈Z|x2+mx-36=0有整数解},非空集合A满足条件:①A M,②若a∈A,则-a∈A,则所有这样的集合A的个数为 .
题组二 由集合间的关系解决参数问题
6.(多选题)已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则a的取值可以为( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
7.已知集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},若B A,则实数a的取值范围是( )
A.-≤a<1 B.-≤a≤1
C.a<-1或a≥0 D.-≤a<0或08.(多选题)若集合A={x|ax-3=0},B={x|x2-2x-3=0},且A B,则实数a的取值可以为( )
A.0 B.1 C.3 D.-3
9.已知集合A={x|-1≤x≤6}.
(1)若集合B={x|m-1≤x≤2m+1}满足B A,求实数m的取值范围;
(2)当x∈N时,求集合A的子集的个数.
10.已知a∈R,关于x的方程x2+a=x的解组成的集合为A(A≠ ),(x2+a)2+a=x的解组成的集合为B.
(1)对于集合M,N,若对任意x∈M,都有x∈N,则M N,求证:A B;
(2)若A=B,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.2 集合间的基本关系
基础过关练
1.C 2.D 3.D 4.AB 5.B 6.B 7.B 8.AD
1.C 集合A={x|x2-1=0}={-1,1},∴1∈A,-1∈A,{-1} A,故A,B,D正确,C错误.故选C.
2.D 由题意可得A={1,2},B={1,2,3,4},
∵A C B,
∴满足条件的集合C为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个,故选D.
3.D 选项A,{x|x+3=3}={0};
选项B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)};
选项C,{x|x2≤0}={0};
选项D,方程x2-x+1=0中,Δ=1-4=-3<0,∴该方程无实数解,∴{x|x2-x+1=0,x∈R}= .故选D.
4.AB ∵{0} {0,1},∴A错误;∵ {0},∴B错误;∵{1,2} Z,∴C正确;易知D正确.故选AB.
5.B 因为M={x|x=3m-1,m∈Z},
N={x|x=3n+2,n∈Z}={x|x=3(n+1)-1,n∈Z},
P={x|x=6p-1,p∈Z}={x|x=3·2p-1,p∈Z},
所以P M=N.故选B.
6.B 由A B得2a-2=0,解得a=1,
此时A={0,-1},B={1,-1,0},符合题意.故选B.
7.B 因为B A,故0,3均为A={x|x3,故选B.
8.AD 集合A={0,1},B={x|x∈A,x∈N}={0,1}=A,选项A正确,B错误;
C={x|x A}={ ,{0},{1},{0,1}},则A C,选项C错误,D正确.故选AD.
9.答案 A=B
解析 A==…,-,-,-,,,,…,
B==…,-,-,-,,,,…,故A=B.
10.答案
解析 当B= 时,m>2m-1,即m<1,满足B A;
当B≠ 时,由B A得解得1≤m≤.
综上所述,m的取值范围是.
11.解析 (1)若集合A恰有一个子集,则集合A是空集,即方程ax2+2x+1=0无实根,
故a≠0,且Δ=4-4a<0,解得a>1,所以a的取值范围是{a|a>1}.
(2)当a=0时,方程为2x+1=0,得x=-,此时集合A只有一个元素,符合题意;
当a≠0时,由题意得Δ=4-4a=0,解得a=1.
所以a的取值集合为{0,1}.
能力提升练
1.A 2.B 3.B 6.BCD 7.A 8.ABD
1.A 因为集合A={x∈N|0≤x2.B 根据条件知1,2都是集合M的元素,并且M至少含有3,4,5中的一个,所以满足条件的集合M的个数为{3,4,5}的非空真子集的个数,为23-1=7.故选B.
3.B 由集合M=及新定义可知当x=0时,无意义;当x=,,2时, M;当x=-1,1时,∈M,因此x可取-1和1.
所以符合题意的集合为{-1},{1},{-1,1},
所以具有伙伴关系的集合的个数为3.故选B.
4.答案 87
解析 考虑反面的两种情况:
①若M中不含有奇数,则集合M的个数等于集合{2,4,6}的子集的个数,即23=8.
②若M中只含有一个奇数,则该奇数可取1,3,5,7,共4种情况,则集合M的元素个数等于集合{2,4,6}的子集个数的4倍,即23×4=32.
不考虑奇数条件时,集合M共有27-1=127个,因此,符合题意的集合M共有127-8-32=87个.
5.答案 31
解析 易得x2+mx-36=0的整数解一正一负,且绝对值是36的约数.
当方程的解为-1,36时,m=-35;
当方程的解为-2,18时,m=-16;
当方程的解为-3,12时,m=-9;
当方程的解为-4,9时,m=-5;
当方程的解为-6,6时,m=0;
当方程的解为-9,4时,m=5;
当方程的解为-12,3时,m=9;
当方程的解为-18,2时,m=16;
当方程的解为-36,1时,m=35,
故集合M={-35,-16,-9,-5,0,5,9,16,35}.
由非空集合A满足条件:①A M,②若a∈A,则-a∈A,(集合A中的元素成对出现,-35与35,-16与16,-9与9,-5与5,0与0,共5对)
可得这样的集合A共有25-1=31个(A是非空集合).
6.BCD ∵集合A有且仅有2个子集,∴A有且仅有1个元素.
当a=0时,集合A={0},符合题意.
当a≠0时,Δ=4-4a2=0,解得a=±1,
当a=1时,A={-1},符合题意,当a=-1时,A={1},符合题意,故选BCD.
7.A 解法一(特殊值法):当a=0时,B= ,满足B A,因此D错误;当a=1时,B={x|x≤-1},不满足B A,因此B、C错误.故选A.
解法二:当a=0时,B= ,满足B A;
当a>0时,B=,由B A得-<-1,解得0当a<0时,B=,由B A得-≥3,解得-≤a<0.
综上,实数a的取值范围是-≤a<1.故选A.
8.ABD B={x|x2-2x-3=0}={-1,3},
∵A={x|ax-3=0},且A B,
∴A= 或A={-1}或A={3},
当A= 时,方程ax-3=0的根不存在,可知a=0;
当A={-1}时,由-a-3=0,解得a=-3;
当A={3}时,由3a-3=0,解得a=1.
综上所述,a的值为0或-3或1.故选ABD.
9.解析 (1)当B= 时,有m-1>2m+1,即m<-2,符合题意;
当B≠ 时,由B A得解得0≤m≤.
综上,m的取值范围是mm<-2或0≤m≤.
(2)当x∈N时,A={0,1,2,3,4,5,6},所以集合A的子集的个数为27=128.
易错警示 含有参数的集合B满足B A,解题时要考虑B= 的情况,防止遗漏导致解题错误.
10.解析 (1)证明:设任意x0∈A,则+a=x0,
将x=x0代入(x2+a)2+a=x,等式成立.
∴x0是方程(x2+a)2+a=x的解,
∴x0∈B,因此A B.
(2)∵A≠ ,∴x2-x+a=0有实根,∴Δ=1-4a≥0,∴a≤.
又集合B为方程(x2+a)2+a=x,即x4+2ax2-x+a2+a=0的解组成的集合,且A B,
∴因式x4+2ax2-x+a2+a分解后必定含有因式x2-x+a,
由多项式的除法得x4+2ax2-x+a2+a=(x2-x+a)(x2+x+a+1)(类比数的除法,列竖式求解),
∵A=B,∴x2+x+a+1=0无实根或其根为方程x2-x+a=0的根.
当x2+x+a+1=0无实根时,Δ=1-4(a+1)<0,解得a>-.
当x2+x+a+1=0的根为方程x2-x+a=0的根时,
①若x2+x+a+1=0有两个不等实根,由根与系数的关系知,其根不可能与x2-x+a=0的根相同;
②若x2+x+a+1=0有两个相等实根,则Δ=1-4(a+1)=0,得a=-,
此时方程的根为x=-,此根恰好是x2-x+a=0的根,满足条件.
综上,实数a的取值范围是a-≤a≤.
7(共16张PPT)
1.2 集合间的基本关系
知识点 1 子集、集合相等、真子集
知识 清单破
概念 图示 性质
子集 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作 A B(或 B A),读作 “A包含于B”(或“B包含A”) 任何一个集合是它本
身的子集,即A A;
对于集合A,B,C,如果A B,且B C,那么A C
集合 相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B A B,且B A A=B;
A=B,且B=C,则A=C
真子集 如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) A B,且B C,则A C;
A B,且A≠B,则A B
定义 不含任何元素的集合叫做空集
符号
规定 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集
知识点 2 空集
在数学中,经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观
地表示集合间的关系.常见数集间的关系如图所示.
知识点 3 Venn图
知识辨析
1. 和{ }表示的意义相同吗
2.如何定义集合A与集合B相等 如何判断
3.已知集合B A,则由a A能否得到a B
4.若集合A中有3个元素,则A的子集有多少个
一语破的
1.不相同. 是不含任何元素的集合,而集合{ }中含有一个元素 .
2.用子集关系定义相等关系,即A B,且B A A=B;判断集合相等有两种方法:一是利用定
义,二是判断元素是否完全相同.
3.能.画Venn图观察即可.
4.8个.
定点 1 集合间关系的判断
关键能力 定点破
判断集合间关系的方法
(1)列举法:对于能用列举法表示的集合,先用列举法将相关集合表示出来,再通过对比集合中
的元素来判断其关系.
(2)元素特征法:弄清集合中元素的限制条件,再利用限制条件来判断集合间的关系.
(3)图示法:利用数轴或Venn图表示集合,可直观地判断集合间的关系.
典例 判断下列集合间的关系:
(1)A={1,2,3},B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0};
(2)A={x|0<2x-1<1},B={x|1<3x+1<4};
(3)M= ,N= x x= - ,n∈Z ,P= .
解析 (1)B={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0}={1,2,3}=A.
(2)A={x|0<2x-1<1}= ,
B={x|1<3x+1<4}={x|0用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A B.
(3)解法一(元素特征法):
M= =
= ,
N= =
= ,
P=
= ,
∴M N=P.
解法二(列举法):
M= ,
N= ,
P= ,
∴M N=P.
1.假设集合A中含有n(n∈N*)个元素,则:
(1)A的子集的个数是2n;
(2)A的非空子集的个数是2n-1;
(3)A的真子集的个数是2n-1;
(4)A的非空真子集的个数是2n-2.
2.含有限制条件的子集问题,一般可根据条件列出所有适合题意的子集,采用列举法解决.特
别地,设有限集合A,B中分别含有m,n个元素(m,n∈N*,m≤n),且A C B,则符合条件的有限集
C的个数为2n-m.
定点 2 探究已知集合的子集个数
典例 (1)集合M={1,2,3}的非空真子集的个数是 ;
(2)若{1,2} A {1,2,3,4,5},则满足这一关系的集合A的个数为 .
解析 (1)解法一:集合M的非空真子集有{1},{2},{3},{1,2},{1,3}和{2,3},共6个.
解法二:由题意知集合M中元素的个数为3,则其非空真子集的个数为23-2=6.
(2)解法一:∵{1,2} A {1,2,3,4,5},
∴集合A中除了含有1,2两个元素以外,至少还含有3,4,5中的一个,
因此满足条件的集合A为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7
个.
解法二:{1,2}中含2个元素,{1,2,3,4,5}中含5个元素,且{1,2} A {1,2,3,4,5},
因此集合A的个数为25-2-1=7.
6
7
1.若集合是有限集,则根据集合间的关系,列出方程(组)求解,注意考虑集合中元素的互异性.
2.若集合是用不等式描述的,则通常借助数轴进行分析,注意端点值是否符合题意.
定点 3 根据集合间的关系求参数的值或取值范围的方法
典例 (1)已知a为常数,集合A={x|x2+x-6=0},集合B={x|ax-2=0},且B A,求a的所有取值构成的
集合;
(2)已知集合A={x|-5解析 (1)集合A={x|x2+x-6=0}={-3,2},因为集合B={x|ax-2=0},且B A,
所以B= 或B={-3}或B={2},
当B= 时,a=0;
当B={-3}时,a=- ;
当B={2}时,a=1.
故a的所有取值构成的集合为 .
(2)①当B= 时,易得2a-3≥a-2,解得a≥1,满足题意.
②当B≠ 时,由B A可得 解得-1≤a<1.
综上所述,实数a的取值范围为{a|a≥-1}.