1.3 集合的基本运算
基础过关练
题组一 并集与交集的运算
1.集合A={x|-1≤x≤2},B={x∈N|x<2},则A∩B=( )
A.{x|x<2} B.{x|x≥1}
C.{0,1} D.{x|-1≤x<2}
2.(教材习题改编)已知集合A={x|0≤x≤3},B={x|1
A.{x|1C.{x|1≤x≤3} D.{x|03.已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z},T={t|t=4n+1,n∈Z},则S∩T=( )
A. B.S C.T D.Z
4.集合M={(x,y)|2x+y=0},N={(x,y)|x+y-3=0},则M∩N=( )
A.{-3,6} B.(-3,6)
C.{(-3,6)} D.{(3,-6)}
题组二 补集的运算及其与交集、并集的综合运算
5.已知集合U=R,A={x|x≤-1或x>2},则 UA=( )
A.{x|x<-1,或x>2} B.{x|-1C.{x|x≤-1,或x≥2} D.{x|-16.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={x∈U|x为素数},B={x∈U|x为奇数},则集合 U(A∩B)=( )
A.{2,4,6,8,10} B.{2,4,6,8,9,10}
C.{1,2,4,6,8,9,10} D.{1,2,3,5,7}
7.如图,已知U为全集,集合A,B均为U的子集,则A∩( UB)表示区域( )
A.Ⅰ B.Ⅱ C.Ⅲ D.Ⅳ
8.(教材习题改编)已知全集U={x∈N*|x<9},( UA)∩B={1,6},A∩( UB)={2,3}, U(A∪B)={5,7,8},则B=( )
A.{2,3,4} B.{1,4,6}
C.{4,5,7,8} D.{1,2,3,6}
题组三 利用集合的运算解决参数问题
9.设集合A={2,a},B={-1,a2-2},若A∩B≠ ,则实数a=( )
A.-2 B.-1
C.-1或-2 D.-1或±2
10.设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若 UA={1,2},则实数m= .
11.设集合M={x|-412.(2024广东广州期中)设m为实数,集合A={x|-2≤x≤4},B={x|m≤x≤m+2}.
(1)若m=3,求A∪B, R(A∩B);
(2)若A∩B= ,求实数m的取值范围.
能力提升练
题组一 集合的基本运算
1.设集合A,B,C均为非空集合,下列结论正确的是( )
A.若A∩B=B∩C,则A=C
B.若A∪B=B∪C,则A=C
C.若A∩B=B∪C,则C B
D.若A∪B=B∩C,则C B
2.(多选题)如图所示,U是全集,A,B是U的两个子集,则阴影部分表示的集合是( )
A.( UB)∩A B.( UB)∩B
C. U(A∩B) D.A∩ U(A∩B)
3.(多选题)设全集U={x|x>0},集合M={x|y=},N={y|y=x2+4},则下列结论正确的是( )
A.M∩N={x|x>4}
B.M∪N={x|x>1}
C.( UM)∪( UN)={x|0D.( UM)∩( UN)={x|04.已知A={(x,y)|xy=12},B={(x,y)|x,y∈N,y题组二 集合的基本运算的应用
5.(多选题)设集合M={x|(x-a)(x-3)=0},N={x|(x-4)·(x-1)=0},则下列说法错误的是( )
A.若M∪N有4个元素,则M∩N≠
B.若M∩N≠ ,则M∪N有4个元素
C.若M∪N={1,3,4},则M∩N≠
D.若M∩N≠ ,则M∪N={1,3,4}
6.(教材深研拓展)某学校举办运动会,比赛项目包括田径、游泳、球类,经统计,高一年级有57人参加田径比赛,有11人参加游泳比赛,有62人参加球类比赛.参加球类比赛的学生中有14人参加田径比赛,有4人参加游泳比赛;同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人;同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的学生有( )
A.98人 B.104人 C.106人 D.110人
7.已知集合A={x|00},若(A∪B) C,则实数m的取值范围为 .
设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+
2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围.
9.已知集合A={x|a(1)若a=1,求A∪B;
(2)在①A∪B=B,②( RB)∩A= ,③B∪( RA)=R这三个条件中任选一个作为已知条件,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.3 集合的基本运算
基础过关练
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.B 8.B
9.A
1.C 由题意知,B={0,1},故A∩B={0,1}.故选C.
2.B 由A={x|0≤x≤3},B={x|1得A∪B={x|0≤x<4}.故选B.
3.C 当n是偶数时,设n=2k,k∈Z,则s=2n+1=4k+1,k∈Z,当n是奇数时,设n=2k+1,k∈Z,则s=2n+1=4k+3,k∈Z,因此T S,所以S∩T=T,故选C.
4.C 联立方程解得所以M∩N={(-3,6)},故选C.
5.B 借助数轴可得 UA={x|-16.C 由题可得A={2,3,5,7},B={1,3,5,7,9},
则A∩B={3,5,7},
所以 U(A∩B)={1,2,4,6,8,9,10}.故选C.
易错警示 求某一集合的补集的前提是明确全集,同一集合在不同全集下的补集是不同的.
7.B 由题图可知,集合A包含Ⅱ,Ⅲ两部分,集合 UB包含Ⅰ,Ⅱ两部分,所以A∩( UB)表示的区域为Ⅱ,故选B.
8.B 易知U={1,2,3,4,5,6,7,8},根据题意作出Venn图,如图,可知B={1,4,6}.
9.A 由A∩B≠ ,得a2-2=2或a2-2=a或a=-1,
由a2-2=2,得a=-2或a=2;由a2-2=a,得a=-1或a=2.当a=-1时,a2-2=-1,不满足集合中元素的互异性,舍去;
当a=-2时,A={2,-2},B={-1,2},符合题意;
当a=2时,不满足集合中元素的互异性,舍去.
所以a=-2.故选A.
10.答案 -3
解析 ∵U={0,1,2,3}, UA={1,2},∴A={0,3}.
∵A={x∈U|x2+mx=0},∴0,3为x2+mx=0的两个根,∴m=-3.
11.答案 {t|t≤3}
解析 由M∩N=N得N M(口诀:“越交越小”),
当N= 时,有t+2≥2t-1,解得t≤3,满足N M;
当N≠ 时,由N M得无解.
综上,实数t的取值范围是{t|t≤3}.
12.解析 (1)当m=3时,B={x|3≤x≤5},
又A={x|-2≤x≤4},所以A∪B={x|-2≤x≤5},
A∩B={x|3≤x≤4},所以 R(A∩B)={x|x<3或x>4}.
(2)由A∩B= 得m+2<-2或m>4,
即m<-4或m>4,
所以实数m的取值范围是{m|m<-4或m>4}.
能力提升练
1.C 2.AD 3.CD 5.ABC 6.C
1.C 对于A,取A={1,2,3},B={1},C={1,2},满足A∩B=B∩C,但A≠C,故A错误;
对于B,取A={1},B={1,2,3},C={1,2},满足A∪B=B∪C,但A≠C,故B错误;
对于C,由于C (B∪C),A∩B=B∪C,所以C (A∩B),则C B成立,故C正确;
对于D,取A={1},B={1,2,3},C={1,2,3,4},满足A∪B=B∩C,但B C,故D错误.故选C.
2.AD 在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x,则x∈A且x B,或x∈A且x (A∩B),
因此阴影部分区域所表示的集合为( UB)∩A或A∩ U(A∩B).故选AD.
3.CD 全集U={x|x>0},集合M={x|y=}={x|x≥1},N={y|y=x2+4}={y|y≥4}.
对于A,M∩N={x|x≥4},所以选项A错误;
对于B,M∪N={x|x≥1},所以选项B错误;
对于C,( UM)∪( UN)= U(M∩N)={x|04.答案 {(12,1),(6,2),(4,3)}
解析 由解得或或
所以A∩B={(12,1),(6,2),(4,3)}.
5.ABC N={x|(x-4)(x-1)=0}={1,4},若M∪N有4个元素,则集合M={x|(x-a)(x-3)=0}={a,3},且a {1,3,4},∴M∩N= ,故A错误;
若M∩N≠ ,则a∈{1,4},∴M∪N={1,3,4},∴M∪N有3个元素,故B错误,D正确;当a=3时,满足M∪N={1,3,4},但M∩N= ,故C错误.故选ABC.
6.C 解法一:设集合A,B,C分别表示参加田径、游泳、球类比赛的学生,作出Venn图,
由Venn图得高一年级参加比赛的学生人数为46+37+1+12+2+6+2=106.故选C.
解法二:设集合A,B,C分别表示参加田径、游泳、球类比赛的学生,
则card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)=57+11+62-8-14-4+2=106,故选C.
名师点评 1.解决有关集合的实际应用题时,要学会将文字语言转化为集合语言.涉及有交叉的有限集的元素个数问题时,用Venn图法处理较为方便.
2.用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,对于任意的有限集合A,B,C,结论如下:
(1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
7.答案
解析 易得A∪B={x|-1①当m<0时,集合C=,若(A∪B) C,
则-≥2,解得-≤m<0.
②当m=0时,集合C=R,满足题意.
③当m>0时,集合C=,若(A∪B) C,
则-≤-1,解得0综上所述,实数m的取值范围是.
8.解析 依题意得A={x|x2+4x=0}={0,-4},
由A∩B=B知B A,
∴B={0}或B={-4}或B={0,-4}或B= .
当B={0}时,x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的根0,则
∴a=-1;
当B={-4}时,x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个相等的根-4,则无解;
当B={0,-4}时,x2+2(a+1)x+a2-1=0有两个不相等的根0和-4,则∴a=1;
当B= 时,x2+2(a+1)x+a2-1=0无实数根,则Δ=[2(a+1)]2-4(a2-1)=8a+8<0,得a<-1.
综上,a的取值范围为{a|a=1或a≤-1}.
解题模板 解题时要注意集合关系的转化,即A∩B=A A B,A∪B=A B A,将集合运算关系转化为子集问题,另外不要漏掉对空集的讨论.
9.解析 (1)当a=1时,集合A={x|1因为B={x|-2≤x≤0},
所以A∪B={x|-2≤x≤0或1(2)若选①,由A∪B=B,可得A B,
所以解得-2≤a≤-1.
若选②,由( RB)∩A= ,可得A B,
则解得-2≤a≤-1.
若选③,由B∪( RA)=R,可得A B,
则解得-2≤a≤-1.
7(共17张PPT)
1.3 集合的基本运算
知识点 1 并集与交集
知识 清单破
文字语言 符号语言 图形语言 运算性质
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读作 “A并B”) A∪B={x|x∈A,
或x∈B} (①属于A不属于B; ②属于B不属于A; ③既属于A又属于B) A∪B=B∪A,A∪A=A,
A∪ = ∪A=A,
A (A∪B),B (A∪B),
A B A∪B=B
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B(读作 “A交B”) A∩B={x|x∈A,
且x∈B} (公共元素) A∩B=B∩A,A∩A=A,
A∩ = ∩A= ,
(A∩B) A,(A∩B) B,
A B A∩B=A
1.全集
一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通
常记作U.
知识点 2 全集与补集
文字语言 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作 UA
符号语言 UA={x|x∈U,且x A}
图形语言
运算性质 UA U, UU= , U =U, U( UA)=A,A∪( UA)=U,A∩( UA)=
2.补集
知识拓展 德·摩根定律
1. U(A∩B)=( UA)∪( UB);2. U(A∪B)=( UA)∩( UB).
知识辨析
1.并集概念中的“或”与生活用语中的“或”表示“选择”时的含义是否相同
2.求集合A的补集时是否一定要明确全集
3.若A∪B=A,则集合A与集合B有什么关系
一语破的
1.不相同.生活用语中的“或”是“二者选一”,而并集中的“或”还包括“二者皆选”.
2.是.对于集合A,全集不同时求出的补集也不尽相同.
3.由“越并越大”知B A.同理,若A∩B=A,则由“越交越小”知,A B.
定点 1 并集、交集、补集运算
关键能力 定点破
1.根据集合中元素特征选择适当的方法进行集合的并集、交集、补集运算
(1)有限集(或可以列举的无限集)的运算,运用列举法,按照运算的定义进行运算;
(2)与不等式有关的无限集的运算,常借助数轴,按照运算的定义进行运算;
(3)与函数相关的点集的运算,借助直观图形,按照运算的定义进行运算;
(4)抽象集的运算,利用Venn图,借助直观图形,按照运算的定义进行运算.
2.集合并集、交集、补集的混合运算,根据题中运算次序依次进行运算求解,也可准确运用运
算律求解.
3.集合运算的注意事项
(1)与集合的交、并、补集运算有关的参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间的关系时,不
要漏掉空集的情形.
(2)注意不等式中的等号在补集中能否取到,还要注意补集是全集的子集.
典例 (1)设全集U=R,M={x|-3A.{x|-1≤x<0} B.{x|x≥-1}
C.{x|-3(2)已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图中阴影部分所表示的集合为 ( )
A.{1} B.{0,1}
C.{1,2} D.{0,1,2}
(3)已知集合A={(x,y)|y=x2},B={(x,y)|y=x},则集合A∩B中元素的个数为( )
A.3 B.2 C.1 D.0
A
A
B
解析 (1)∵U=R,N={x|x<-1},
∴ UN={x|x≥-1},
∴M∩( UN)={x|-1≤x<0},故选A.
(2)易知题图中阴影部分表示的集合中的元素在集合A中,但不在集合B中,故该集合为A∩( RB).
∵B={x∈R|x≥2},
∴ RB={x∈R|x<2}.
又A={1,2,3,4,5},
∴题图中阴影部分所表示的集合为A∩( RB)={1}.故选A.
(3)联立
解得 或
所以A∩B={(0,0),(1,1)}.故选B.
利用集合的运算关系求参数的值或取值范围
由集合的运算关系求参数的值或取值范围的思路
(1)将集合中的运算关系转化为两个(或多个)集合之间的关系.若集合中的元素能被一一列
举,则可用观察法处理集合之间的关系;与不等式有关的集合,可利用数轴处理集合之间的关
系.
(2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组).
(3)解方程(组)或不等式(组)来确定参数的值或取值范围.
定点 2
典例 已知集合A={x|a-1(1)当a=2时,求A∪B;
(2)若 ,求实数a的取值范围.
在①A∩B=A,②A∩B= ,③A∩( RB)=A这三个条件中任选一个,补充在(2)中的横线上,并解
答.
解析 (1)当a=2时,集合A={x|1又B={x|-2≤x≤4},
所以A∪B={x|-2≤x<7}.
(2)若选择①A∩B=A,则A B.
当A= 时,a-1≥2a+3,即a≤-4,满足题意;
当A≠ 时,由A B得
解得-1≤a≤ .
综上可知,实数a的取值范围为 a a≤-4或-1≤a≤ .
若选择②A∩B= ,则当A= 时,a-1≥2a+3,即a≤-4,满足题意;
当A≠ 时,由A∩B= 得 或 解得-4综上可知,实数a的取值范围为 a a≤- 或a≥5 .
若选择③A∩( RB)=A,则A ( RB),进而可得A∩B= .
以下同②.
“补集思想”的运用
1.补集思想一般适用于正面考虑的情况较多、较复杂的问题,或含有至多、至少、存在唯
一、不存在等的问题.
2.用补集思想解含参问题的步骤
(1)否定已知条件,考虑问题的反面;
(2)求问题的反面对应的参数的集合;
(3)取(2)中集合的补集,注意全集的范围.
定点 3
典例 已知集合A={x|x2+ax+1=0},B={x|x2+2x-a=0},C={x|x2+2ax+2=0}.若三个集合中至少有一
个集合不是空集,求实数a的取值范围.
思路点拨 先分析“至少有一个”的对立面“一个也没有”的情况,再取“补集”.
解析 假设三个集合都是空集,即三个方程均无实根,
则
即
∴- ∴当a≤- 或a≥-1时,三个方程中至少有一个方程有实根,即三个集合中至少有一个集合不
是空集.
∴a的取值范围为{a|a≤- 或a≥-1}.