本章复习提升

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易混易错练
易错点1　忽略集合中元素的意义
1.已知全集U=R,集合A={x|x=3a+4b,a,b∈Z},B={x|x=4a-3b,a,b∈Z},则(　　)
A.A∩B= 　　　　B.A∩( UB)≠ 　　
C.A=B　　　　D.B A
2.已知集合A={(x,y)|x,y∈N},B={(x,y)|x2+y2=25},则A∩B中元素的个数为　　　　.
3.如果非空数集A满足0 A,且 x∈A,有∈A,那么称A是互倒集.给出以下数集:①{x∈R|x2+ax+1=0};②{x|x2-6x+1≤0};③yy=,1≤x≤4,其中是互倒集的是　　　　.(填序号)
易错点2　忽略对空集情况的讨论
4.若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“全食”;若两个集合有公共元素,但互不为对方的子集,则称两个集合构成“偏食”.对于集合A=,B={x|ax2=1,a≥0},若两个集合构成“全食”或“偏食”,则a的值为　　　　.
5.设集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m+1}.
(1)若m=3,求A∩B,( RA)∪B;
(2)若A∪B=A,求m的取值范围.
6.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若U=R,A∩( UB)=A,求实数a的取值范围.
易错点3　忽略对端点值的取舍
7.已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B A,则实数a的取值范围是　　　　　　.
8.已知集合A={x|2≤x<6},B={x|3(1)分别求 R(A∩B),( RB)∪A;
(2)设C={x|a思想方法练
一、分类讨论思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用
1.已知集合A=,B={x|ax=6},若B A,则a的所有可能取值组成的集合为(　　)
A.{3}　　　　B.{2,12}　　
C.{0,2,12}　　　　D.{0,2,3}
2.设A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+px+q=0}.
(1)若A B,求p,q的值;
(2)若A∪B={1,2,3},求p,q的值.
二、数形结合思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用
3.(多选题)图中阴影部分用集合符号可以表示为(　　)
A.A∩(B∪C)　　　　B.A∪(B∩C)
C.A∩ U(B∩C)　　　　D.(A∩B)∪(A∩C)
4.(多选题)已知全集U={x|x<10,x∈N*},A U,B U,A∩( UB)={1,9},A∩B={3},( UA)∩( UB)={4,6,7},则下列选项正确的为(　　)
A.8∈B
B.A的不同子集的个数为8
C.{9} A
D.6 U(A∪B)
5.设p:x≤3a或x≥a(a<0),q:-4≤x<-2,且q是p的充分不必要条件,则实数a的取值范围为　　　　　　　.
三、转化与化归思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用
6.已知A={x|1≤x≤2},命题“ x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≥4　　　　B.a≤4
C.a≥5　　　　D.a≤5
7.已知集合A={x|0≤x≤a},B={x|m2+3≤x≤m2+4},若命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,则实数a的取值范围为(　　)
A.a<3　　　　B.a<4
C.08.已知[x]表示不超过x的最大整数,集合A={x∈Z|0<[x]<3},B={x|(x2+ax)(x2+2x+b)=0},且A∩( RB)= ,则集合B的子集的个数为(　　)
A.4　　B.8　　C.16　　D.18
9.设集合A={x|-2≤x≤2},B={x|1-m≤x≤2m-2}.
(1)若x∈A是x∈B的充分不必要条件,求实数m的取值范围;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.C　若m∈A,则存在a,b∈Z,使得m=3a+4b=4b-3(-a)∈B,
同理,若n∈B,则存在a,b∈Z,使得n=4a-3b=3(-b)+4a∈A,因此A=B.故选C.
易错警示　集合中公共属性的表达式不同,但是A、B两集合中元素的意义是相同的,即“一个整数的3倍与另一个整数的4倍之和组成的集合”,准确理解集合的含义是准确解题的基础.
2.答案　4
解析　因为25=02+52=32+42,
所以满足x2+y2=25的自然数对有(0,5),(5,0),(3,4),(4,3),即A∩B中的元素有4个.
易错警示　本题中集合A、B的代表元素是有序实数对,是坐标平面内的点,集合A是坐标为自然数的点集,A∩B的含义是方程x2+y2=25的自然数解,解题时要正确理解集合A、B中元素的意义.
3.答案　②③
解析　当a=1时,{x∈R|x2+x+1=0}= ,故①不是互倒集.对于方程x2-6x+1=0,∵Δ=36-4=32>0,
∴{x|x2-6x+1≤0}是非空数集.
易知0 {x|x2-6x+1≤0},
若x1∈{x|x2-6x+1≤0},则-6x1+1≤0,
则-6·+1=≤0,
故∈{x|x2-6x+1≤0},故②是互倒集.
=,
若≤y1≤2,则≤≤2,故③是互倒集.
故答案为②③.
4.答案　0或1或4
解析　∵B={x|ax2=1,a≥0},
∴若a=0,则B= ,满足B为A的子集,此时A与B构成“全食”;
若a>0,则B=,
若A与B构成“全食”或“偏食”,则=1或=,解得a=1或a=4.
综上,a的值为0或1或4.
易错警示　由于空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此解决含参数的集合与确定集合之间的关系问题时,要注意含参数的集合是空集的特殊情况.
5.解析　(1)当m=3时,B={x|2≤x≤7},
∵A={x|-2≤x≤5},∴A∩B={x|2≤x≤5},
RA={x|x<-2或x>5},
∴( RA)∪B={x|x<-2或x≥2}.
(2)∵A∪B=A,∴B A,
当B= 时,有m-1>2m+1,即m<-2,满足题意;
当B≠ 时,由B A可得解得-1≤m≤2.
综上所述,m的取值范围为{m|m<-2或-1≤m≤2}.
6.解析　由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={1,2}.
(1)∵A∩B={2},∴2∈B,将x=2代入B中的方程,得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3.
当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;
当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件.
综上,a的值为-1或-3.
(2)∵A∩( UB)=A,∴A ( UB),∴A∩B= .
若B= ,则Δ=4(a+1)2-4(a2-5)<0 a<-3,满足题意.
若B≠ ,则当a=-3时,B={2},此时A∩B={2},不满足题意.
当a>-3时,由A∩B= 得1 B且2 B.
将x=1代入B的方程得a2+2a-2=0 a=-1±,
将x=2代入B的方程得a=-1或a=-3,
∴a>-3且a≠-1且a≠-1±.
综上,a的取值范围是a∈R,且a≠-3,a≠-1,a≠-1±.
7.答案　{a|a<-8或a≥3}
解析　易知a+3>a+1,所以B≠ ,利用数轴表示B A,如图所示,
或
则a+3<-5或a+1≥4,解得a<-8或a≥3.
所以实数a的取值范围是{a|a<-8或a≥3}.
易错警示　解决此类问题时,借助数轴较为直观,要注意检验端点值能否取到.
8.解析　(1)∵集合A={x|2≤x<6},B={x|3∴A∩B={x|3∴ R(A∩B)={x|x≤3或x≥6},( RB)∪A={x|x<6或x≥9}.
(2)∵C B,∴解得3≤a≤8,
故实数a的取值范围为{a|3≤a≤8}.
思想方法练
1.C 3.AD 4.ABC 6.C 7.A 8.C
1.C　当a=0时,B= ,符合题意;(最高次项系数含参数a的方程,要对a是不是零进行分类讨论)
当a≠0时,B=,
因为B A,所以=或=3,是集合A的元素,由集合中元素的无序性,对的值进行分类讨论解得a=12或a=2.因此a的所有可能取值组成的集合为{0,2,12}.故选C.
2.解析　由题意可知A={x|x2-3x+2=0}={1,2}.
(1)因为A B,所以1,2是方程x2+px+q=0的两根,
由根与系数的关系得1+2=-p,1×2=q,即p=-3,q=2.
(2)因为A∪B={1,2,3},
(由题意可知3一定在集合B中,因此集合B中只含元素3或含有两个元素1,3或2,3,分三种情况讨论)
所以B={3}或B={1,3}或B={2,3},
当集合B={3}时,Δ=p2-4q=0且32+3p+q=0,所以p=-6,q=9;
当集合B={1,3}时,Δ>0,且1,3是方程x2+px+q=0的两根,所以-p=1+3,q=1×3,得p=-4,q=3;
当集合B={2,3}时,Δ>0,且2,3是方程x2+px+q=0的两根,所以-p=2+3,q=2×3,得p=-5,q=6.
综上所述,p=-6,q=9或p=-4,q=3或p=-5,q=6.
思想方法　分类讨论的关键是确定逻辑划分的标准,通过对问题的分类依次求解(或证明),综合各类结论,进而得到问题的解.在本章中主要是对集合是不是空集、方程与不等式的最高次项系数是不是0、元素与集合之间的关系等进行讨论.
3.AD　题图中阴影部分用集合符号可以表示为A∩(B∪C)或(A∩B)∪(A∩C).故选AD.
(数与图形之间的相互转化,是数形结合思想的基础,题图中阴影部分中的元素一定在A中,还要在B中或C中,表示为集合运算式子可以是先并后交:A∩(B∪C),也可以是先交后并:(A∩B)∪(A∩C))
4.ABC　全集U={x|x<10,x∈N*}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},由题意作出Venn图:
由Venn图知A={1,3,9},B={2,3,5,8},(将条件表示到Venn图中,得到集合A、B,由此解决问题)
因此8∈B,故A正确;
集合A中有3个元素,故A的不同子集的个数为23=8,故B正确;
∵9∈A,∴{9} A,故C正确;
由Venn图知 U(A∪B)={4,6,7},∴6∈ U(A∪B),故D错误.故选ABC.
5.答案　
解析　记A={x|x≤3a或x≥a(a<0)},B={x|-4≤x<-2},则“q是p的充分不必要条件”等价于“B是A的真子集”,利用数轴表示B A,如图所示,
或
(利用数轴直观表示集合间的关系,从而确定参数满足的条件)
则或解得a≤-4或-≤a<0,
所以实数a的取值范围为a-≤a<0或a≤-4.
思想方法　数形结合包括两种情形:第一种情形是“以数解形”,第二种情形是“以形助数”.求解与集合有关的问题时,常常借助数轴和Venn图,从而使问题直观、形象,便于求解.
6.C　A={x|1≤x≤2}, x∈A,x2-a≤0为真命题,等价于:x2-a≤0在x∈{x|1≤x≤2}时恒成立,所以a≥(x2)max,1≤x≤2,
(将真命题转化为不等式恒成立问题,进一步转化为最大(小)值问题)
易知当x∈{x|1≤x≤2}时,(x2)max=4,所以a≥4,
又因为{a|a≥5} {a|a≥4},
(将充分不必要条件的判断转化为集合间关系的判断)
所以命题“ x∈A,x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件为a≥5,故选C.
方法点拨　不等式恒成立问题转化为函数的最大(小)值问题的方法:y>a恒成立等价于ymin>a,y7.A　因为命题“ m∈R,A∩B≠ ”为假命题,
(由命题与命题的否定的真假相反进行转化)
所以命题“ m∈R,A∩B= ”为真命题.
当A= 时,a<0,此时A∩B= 成立;
当A≠ 时,a≥0,由于 m∈R,A∩B= ,所以a综上,实数a的取值范围为a<3,故选A.
方法点拨　利用含有量词的命题的真假确定参数的取值范围,经常要进行转化:(1)p真 p假;(2)p假 p真.p真与p假所得参数的范围互补.
8.C　由题设可知,A={x∈Z|0<[x]<3}={1,2},
因为A∩( RB)= ,所以A B,
(A∩( RB)= 的意思是集合A与集合 RB没有公共元素,则集合A的元素都在 RB的补集中,即A R( RB),而B= R( RB),因此A B)
因为x2+ax=0的解为x=0或x=-a,x2+2x+b=0的两根x1,x2满足x1+x2=-2,所以1,2不同时为方程x2+ax=0或x2+2x+b=0的根,
若1是x2+ax=0的根,2是x2+2x+b=0的根,
则有解得
故B={x|(x2-x)(x2+2x-8)=0}={0,1,2,-4};
若2是x2+ax=0的根,1是x2+2x+b=0的根,
则有解得
故B={x|(x2-2x)(x2+2x-3)=0}={0,1,2,-3}.
所以集合B总是有4个元素,所以集合B的子集的个数为24=16.故选C.
方法技巧　一个集合与其补集是互为补集,因此对集合关系的理解可以借助集合及其补集互相转化,如A∩( RB)= 等价于A B,进而解决问题.
9.解析　(1)由x∈A是x∈B的充分不必要条件,
得A B,(将充分不必要条件转化为集合关系,利用集合知识解题)
则且等号不同时成立,所以m≥3,
因此m的取值范围是{m|m≥3}.
(2)因为A∩B=B,所以B A,(将集合的运算性质转化为集合间的关系,利用子集解决问题)
当B= 时,1-m>2m-2,所以m<1,满足题意;
当B≠ 时,解得1≤m≤2.
综上,m的取值范围是{m|m≤2}.
思想方法　转化与化归思想在本章主要体现在集合的运算性质与集合之间关系的转化,充分条件、必要条件与集合间关系的转化,命题的真假与相关知识的转化,即利用集合、方程、不等式等知识求解参数的值或取值范围.
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