综合拔高练

综合拔高练
高考真题练
考点1　集合的概念及其基本运算
1.(2023北京,1)已知集合M={x|x+2≥0},N={x|x-1<0},则M∩N=(　　)
A.{x|-2≤x<1}　　　　B.{x|-2C.{x|x≥-2}　　　　D.{x|x<1}
2.(2023全国甲文,1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪ UM=(　　)
A.{2,3,5}　　　　B.{1,3,4}
C.{1,2,4,5}　　　　D.{2,3,4,5}
3.(2022新高考Ⅰ,1)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=(　　)
A.{x|0≤x<2}　　　　B.
C.{x|3≤x<16}　　　　D.
4.(2023全国甲理,1)设全集U=Z,集合M={x|x=3k+1,k∈Z},N={x|x=3k+2,k∈Z},则 U(M∪N)=(　　)
A.{x|x=3k,k∈Z}　　　　B.{x|x=3k-1,k∈Z}
C.{x|x=3k-2,k∈Z}　　　　D.
5.(2023新课标Ⅱ,2)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A B,则a=(　　)
A.2　　B.1　　C.　　D.-1
考点2　集合基本运算的应用
6.(2023全国乙理,2)设全集U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1A. U(M∪N)　　　　B.N∪ UM
C. U(M∩N)　　　　D.M∪ UN
7.(2022全国乙理,1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足 UM={1,3},则(　　)
A.2∈M　　B.3∈M　　C.4 M　　D.5 M
8.(2020全国Ⅲ理,1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则A∩B中元素的个数为(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.6
9.(2020浙江,10)设集合S,T,S N*,T N*,S,T中至少有2个元素,且S,T满足:①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T;②对于任意的x,y∈T,若xA.若S有4个元素,则S∪T有7个元素
B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素
C.若S有3个元素,则S∪T有5个元素
D.若S有3个元素,则S∪T有4个元素
考点3　充分条件与必要条件
10.(2023天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
11.(2023北京,8)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.(2022天津,2)“x为整数”是“2x+1为整数”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
高考模拟练
应用实践
1.为丰富学生的课外活动,学校开展了丰富的选修课,参与“数学建模选修课”的有169人,参与“语文素养选修课”的有158人,参与“国际视野选修课”的有146人,三门选修课都参与的有30人,三门选修课都没有参与的有20人,已知全校共有400人,则只参与两门选修课的学生人数为(　　)
A.30　　B.31　　C.32　　D.33
2.用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)等于(　　)
A.1　　B.3　　C.5　　D.7
3.设集合A中的最大元素为M,最小元素为m,记A的特征值为XA=M-m,若集合中只有一个元素,规定其特征值为0.已知A1,A2,A3,…,An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集,且+++…+=60,则n的最大值为(　　)
A.10　　B.11　　C.12　　D.13
4.(多选题)若非空数集M满足对任意x,y∈M,都有x+y∈M,x-y∈M,则称M为“优集”.已知A,B是优集,则下列命题中正确的是(　　)
A.A∩B是优集
B.A∪B是优集
C.若A∪B是优集,则A B或B A
D.若A∪B是优集,则A∩B是优集
5.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-mx+2=0}.
(1)若命题p: x∈B,x∈A为真命题,求实数a的值;
(2)若“x∈A”是“x∈C”的必要条件,求实数m的取值范围.
迁移创新
6.设A是正实数集的非空子集,称集合B={z|z=xy,x∈A,y∈A且x≠y}为集合A的孪生集.
(1)当A={2,5,7}时,请直接写出集合A的孪生集B;
(2)若A是由5个正实数构成的集合,求其孪生集B的子集个数的最小值;
(3)判断是否存在由4个正实数构成的集合A,使其孪生集B={6,8,14,16,21,24},并说明理由.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
高考真题练
高考风向　1.考查形式
本章在高考中一般考查1~2个小题,分值占5~10分.
2.考查内容
(1)全国卷集合主要考查集合的概念及表示、集合的基本运算.自主命题地区考查难度增加,主要是与“新定义”有关的问题.
(2)常用逻辑用语主要考查充分、必要条件的判断和全称量词与存在量词命题及其否定.
3.作用地位
本章作为预备知识,从数学表示、数学推理上奠定高中数学的基础,学习和理解本章内容贯穿整个高中阶段.
1.A 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.A 8.C
9.A 10.B 11.C 12.A
1.A　由题意知M={x|x≥-2},N={x|x<1},
则M∩N={x|-2≤x<1}.
2.A　因为U={1,2,3,4,5},M={1,4},
所以 UM={2,3,5},又因为N={2,5},
所以N∪ UM={2,3,5}.故选A.
3.D　由题意可知,M={x|0≤x<16},N=,故M∩N=.故选D.
4.A　由已知得M∪N={x|x=3k+1或x=3k+2,k∈Z},∴ U(M∪N)={x|x=3k,k∈Z},故选A.
5.B　∵A B,∴0∈B.
当a-2=0,即a=2时,A={0,-2},B={1,0,2},不满足A B,舍去;当2a-2=0,即a=1时,A={0,-1},B={-1,0,1},满足A B.
综上,a=1,故选B.
6.A　由题意得M∪N={x|x<2},M∩N={x|-1-1},M∪ UN={x|x<1或x≥2},故选A.
7.A　因为全集U={1,2,3,4,5}, UM={1,3},
所以M={2,4,5},结合选项知A正确,B、C、D错误.
故选A.
8.C　由得或或或
所以A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)},故A∩B中元素的个数为4,故选C.
9.A　对于B,令S={2,4,8,16},T={8,16,32,64,128},
∴S∪T={2,4,8,16,32,64,128},有7个元素,
∴B错误;
对于C,令S={1,2,4},T={2,4,8},
∴S∪T={1,2,4,8},有4个元素,∴C错误;
对于D,令S={2,4,8},T={8,16,32},
∴S∪T={2,4,8,16,32},有5个元素,∴D错误.
故选A.
10.B　因为a2=b2 a=b或a=-b,a2+b2=2ab (a-b)2=0 a=b,
所以a2+b2=2ab a2=b2,但是a2=b2 / a2+b2=2ab,
所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件,故选B.
11.C　由x+y=0得x=-y,又xy≠0,∴==-1,∴+=-2.若xy≠0,且+=-2,
则x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,因此x+y=0.
所以“x+y=0”是“+=-2”的充要条件.故选C.
12.A　由题意得,若x为整数,则2x+1为整数,因此充分性成立;当x=时,2x+1为整数,但x不为整数,因此必要性不成立.所以“x为整数”是“2x+1为整数”的充分不必要条件.故选A.
高考模拟练
1.D 2.B 3.B 4.ACD
1.D　设参与“数学建模选修课”“语文素养选修课”“国际视野选修课”的学生分别构成集合A,B,C,
则card(A∪B∪C)=400-20=380,
又card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C),
所以380=169+158+146-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+30,所以card(A∩B)+card(B∩C)+card(A∩C)=123,
则只参与两门选修课的学生人数为card(A∩B)+card(B∩C)+card(A∩C)-3card(A∩B∩C)=123-3×30=33.故选D.
2.B　由题意知,C(A)=2,∵A*B=1,且A*B=
∴C(B)=1或C(B)=3,
由(x2+ax)(x2+ax+2)=0得x2+ax=0或x2+ax+2=0,
若x2+ax=0,则x=0或x+a=0,
当a=0时,B={0},C(B)=1,符合题意.
当a≠0时,x2+ax=0对应的根为0和-a,
故要使C(B)=3,需分以下两种情况讨论:
①当x2+ax+2=0有两个相等的实数根时,Δ=a2-8=0,解得a=±2,
当a=2时,B={0,-,-2},C(B)=3,符合题意;
当a=-2时,B={0,,2},C(B)=3,符合题意.
②当x2+ax+2=0有两个不相等的实数根时,需满足-a是x2+ax+2=0的一个根,
即(-a)2+a·(-a)+2=0,无解.
综上所述,S={0,2,-2},因此C(S)=3,故选B.
素养评析　集合中的新定义问题涉及陌生复杂的情境,解决本题的第一点是明确集合B中元素的个数C(B),主要考查数学抽象:对定义的理解;第二点是由C(B)=1或C(B)=3确定a的值,主要考查数学运算:研究方程x2+ax+2=0的根的个数.
3.答案　B
信息提取　要使n最大,需保证各集合的特征值=M-m(n∈N*)尽量小.各个集合中的元素个数均不相同,以及尽量小,可以取连续正整数,依次构成集合Ai(i=1,2,…,n),如:A1={1},A2={2,3},A3={4,5,6},……,进而分析n的取值.
解析　由题可知A1,A2,A3,…,An中都至少有一个元素,且元素个数互不相同,
要使n最大,则各集合中=M-m(n∈N*)尽量小,
所以集合A1,A2,A3,…,An的元素个数尽量少且数值尽可能连续,
不妨设=0,=1,=2,……,=n-1,依次计算+++…+,
当n=1时,=0<60,
当n=11时,+++…+=0+1+2+…+10=55<60,
当n=12时,+++…+=0+1+2+…+11=66>60,
只需在n=11时,在上述特征值最小的情况下,使其中一个集合的特征值增加5即可,故n的最大值为11.故选B.
4.ACD　选项A,任取x∈(A∩B),y∈(A∩B),则x,y∈A,且x,y∈B,
因为集合A,B是优集,所以x+y∈A,x+y∈B,x-y∈A,x-y∈B,则x+y∈(A∩B),x-y∈(A∩B),A正确.
选项B,取A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=3m,m∈Z},则A∪B={x|x=2k或x=3k,k∈Z},令x=3,y=2,则x+y=5 (A∪B),B错误.
选项C,任取x∈A,y∈B,可得x,y∈(A∪B),
因为A∪B是优集,所以x+y∈(A∪B),x-y∈(A∪B),
若x+y∈B,则x=(x+y)-y∈B,此时A B,若x+y∈A,则y=(x+y)-x∈A,此时B A,C正确.
选项D,结合C可知,若A∪B是优集,则A B或B A,故A∩B=A或A∩B=B,又A,B均为优集,所以A∩B是优集,D正确.故选ACD.
5.解析　(1)由题意得A={1,2},B={x|x2-ax+a-1=0}={x|[x-(a-1)](x-1)=0},
∵命题p为真命题,∴B A,
∴B={1}或B={1,2}.
若B={1},则a-1=1,解得a=2;
若B={1,2},则a-1=2,解得a=3.
因此,a的值为2或3.
(2)∵“x∈A”是“x∈C”的必要条件,
∴由“x∈C”能推出“x∈A”,从而C A,
因此,集合C有四种情况:
①C=A,易得m=3;
②C={1},此时无解;
③C={2},此时无解;
④C= ,此时Δ=m2-8<0,解得-2综上可知,实数m的取值范围为{m|m=3或-26.解析　(1)B={10,14,35}.
(2)设A={a1,a2,a3,a4,a5},不妨设0取A={21,22,23,24,25},则B={23,24,25,26,27,28,29},此时B中元素共7个,
所以孪生集B中元素个数的最小值为7,B的子集个数的最小值为27=128.
(3)不存在,理由如下:
假设存在由4个正实数构成的集合A,使其孪生集B={6,8,14,16,21,24},
不妨设A={a,b,c,d},0则必有ab=6,cd=24,集合B中其余4个正实数的乘积为ac·ad·bc·bd=(abcd)2=8×14×16×21,所以abcd=112≠6×24,矛盾.
所以假设不成立,故不存在由4个正实数构成的集合A,使其孪生集B={6,8,14,16,21,24}.
素养评析　(1)由集合A中的元素得到集合B中的元素,主要考查数学运算;(2)由集合B的定义知,当集合A有5个元素时,集合B最多有10个元素,利用不等关系得到B中最少有7个元素,举特例得到B中元素可以是7,主要考查逻辑推理;(3)类似(2)得到由集合A确定的集合B,进而分析与条件中的集合B的关系,运用反证法推出矛盾,主要考查逻辑推理.
7