第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
基础过关练
题组一 用不等式(组)表示不等关系
1.持续的高温干燥天气导致某地突发山火,现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线一共40 km,其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖,需摩托车运送,其他路段可用汽车运送.已知在可用汽车运送的路段,运送的平均速度为60 km/h,设需摩托车运送的路段的平均速度为x km/h,为使物资能在1小时内到达灭火前线,则x应该满足的不等式为( )
A.>1 B.<1
C.+>1 D.+<1
2.(教材习题改编)某校高一年级的213名同学去参观科技馆,租用了某公交公司的x辆公交车.如果每辆车坐30人,那么最后一辆车不空也不满,题目中所包含的不等关系为 .
题组二 比较实数的大小
3.已知P=x2+2,Q=4x+3,则( )
A.P>Q B.P
C.P=Q D.P,Q的大小与x有关
4.若a>b,且>,则ab 0.(填“>”“<”或“=”)
5.已知a=x2+3,b=2x+1,c=y2+3.
(1)比较a与b的大小;
(2)“x>y>0”是“a>c”的什么条件
题组三 不等式的性质及其简单应用
6.下列说法正确的是( )
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若a>b,则a-1C.若>,则a>b
D.若a>b,则a2>b2
7.(多选题)下列说法正确的是( )
A.若a>b,则>1
B.若a>b,c>d,则a-d>b-c
C.若ac2>bc2,则a>b
D.若a>b,则<
8.已知a0,求证:>.
题组四 利用不等式的性质求代数式的取值范围
9.若实数x,y满足-2A.0C.-410.已知-211.已知3能力提升练
题组一 实数的不等关系
1.已知a=,b=-,c=-,则( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a
2.某品牌手机为促进销售,准备对其特定型号的手机降价,有四种降价方案:①先降价a%,再降价b%;②先降价%,再降价a%;③先降价%,再降价%;④一次性降价(a+b)%.其中a>b,则最终降价幅度最小的方案是( )
A.① B.② C.③ D.④
3.某校新生加入乒乓球协会的人数多于加入篮球协会的人数,加入篮球协会的人数多于加入足球协会的人数,加入足球协会的人数的3倍多于加入乒乓球协会和篮球协会的人数之和,若该校新生每人只能加入其中一个协会,则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为( )
A.9 B.12 C.15 D.18
4.(多选题)下列命题叙述正确的是( )
A. a,b∈R+且a>b,当m>0时,>
B. a,b∈R+且a>b,当m<0时,<
C. a,b∈R+且a>b,当m>0时,>
D. a,b∈R+且a>b,当m>0时,<
5.现有A,B,C,D四个长方体容器,A,B的底面积均为x2,高分别为x,y;C,D的底面积均为y2,高分别为x,y(其中x≠y).现规定一种两人的游戏规则:每人从四个容器中取两个盛水,盛水多者为胜,那么先取者在未能确定x与y的大小的情况下有没有必胜的方案 若有的话,有几种
题组二 不等式的性质及其应用
6.若a>b,d>c,且(c-a)(c-b)<0,(d-a)(d-b)>0,则( )
A.bC.c7.若a>b>0,则下列不等式一定成立的是( )
A.> B.a+>b+
C.a->b- D.>
8.(多选题)以下命题为真命题的是( )
A.若ab>0,a>b,则<
B.若a>b>0,则a2>ab>b2
C.若ac>bc,则a>b
D.若c>a>b>0,则<
9.已知有理数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,那么的取值范围是 .
10.(2024山东临沂一中期中)(1)已知2(2)已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,求3a-2b的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
基础过关练
1.D 3.D 6.C 7.BC 9.B
1.D 由题意得汽车所用时间加上摩托车所用时间应小于1小时,即+<1.故选D.
2.答案
解析 由最后一辆车不空,可得不等式30(x-1)<213,由最后一辆车不满,可得不等式30x>213,
因此,不等关系为
3.D P-Q=x2+2-(4x+3)=x2-4x-1=(x-2)2-5,
当(x-2)2>5,即x>2+或x<2-时,P>Q,
当(x-2)2=5,即x=2±时,P=Q,
当(x-2)2<5,即2-故P、Q的大小与x有关.故选D.
4.答案 <
解析 因为a>b,所以b-a<0,
因为>,所以-=>0,于是ab<0.
5.解析 (1)a-b=x2+3-(2x+1)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1>0,故a>b.
(2)a-c=x2+3-(y2+3)=x2-y2=(x+y)(x-y).
由x>y>0,得x-y>0,x+y>0,则a-c>0,即a>c.
反之,由a>c,得x2>y2,推不出x>y>0.
故“x>y>0”是“a>c”的充分不必要条件.
6.C 对于A,当c=0时,由a>b,得ac2=bc2,A错误;对于B,若a>b,则a-1>b-1>b-2,B错误;对于C,若>,则c≠0,即c2>0,故a>b,C正确;对于D,若a>b,不妨取a=-1,b=-2,则a27.BC 当a=2,b=-1时,=-2<1,=>=-1,故A,D错误;c>d -d>-c,结合a>b,可得a-d>b-c,故B正确;由ac2>bc2知c2>0,可得a>b,故C正确.故选BC.
8.证明 证法一:∵a0,∴a-c0,∴(b-a)c=bc-ac>0,∴-ac>-bc,
∴ab-ac>ab-bc,即a(b-c)>b(a-c),故>.
证法二:-=
==,
∵a0,∴b-a>0,a-c<0,b-c<0,
∴>0,即>.
解题模板 证明不等式,要分析不等式左右两边式子的结构,可以利用不等式的性质进行证明,也可以用作差法证明.
9.B ∵x+2y=2(x+y)+(-x),且-2∴-1<-x<2,0<2(x+y)<4,
∴-1+0<2(x+y)+(-x)<4+2,即-1故选B.
10.答案 -4解析 由-211.答案 <<
解析 ∵3又∵1能力提升练
1.B 2.C 3.C 4.CD 6.B 7.C 8.ABD
1.B a-b=+-,因为(+)2=5+2>7,所以a>b;
a-c=2-,因为(2)2=8>6,所以a>c;
b-c=(+)-(+),
因为(+)2=9+2>9+2=(+)2,
所以c>b.所以a>c>b,故选B.
解题模板 比较两式大小时,若两式不好直接比较,可对两式进行相同的变形,如比较含有根式的两式的大小,可先对两式平方,再比较不同部分的大小.
2.C 设手机原价为x,由题意知a>b,且a+b<100,不妨设a=20,b=10,则
①x(1-a%)(1-b%)=x(1-20%)(1-10%)=0.8×0.9x=0.72x;
②x(1-a%)=x(1-0.15)×(1-0.2)=0.85×0.8x=0.68x;
③x=x(1-0.15)×(1-0.15)=0.85×0.85x=0.722 5x;
④x[1-(a+b)%]=0.7x.
因为0.722 5x>0.72x>0.7x>0.68x,所以方案③降价幅度最小.故选C.
方法技巧 对于复杂的代数式的比较大小问题,可以考虑使用特殊值法进行比较.
3.C 设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a,b,c(a,b,c∈N*),
由已知得a,b,c∈N*,
若c=1,则a+b≥3+2=5,不满足3c>a+b;
若c=2,则a+b≥4+3=7,不满足3c>a+b;
若c=3,则a+b≥5+4=9,不满足3c>a+b;
若c=4,则a+b≥6+5=11,存在a,b满足3c>a+b.
则cmin=4,amin=6,bmin=5,则(a+b+c)min=15.故选C.
4.CD 当a,b∈R+且a>b,m>0时,-=<0,即<,A错误;当a,b∈R+且a>b,m<0时,a+m的正负无法确定,故无法判断-=的正负,B错误;当a,b∈R+且a>b,m>0时,-=>0,即>,C正确;令a=3,b=1,m=1,则=0,=,满足<,D正确.故选CD.
5.解析 当x>y时,x3>x2y>xy2>y3,即VA>VB>VC>VD,故x>y时,VA最大.
当xy2x>yx2>x3,即VD>VC>VB>VA,故x又x3+y3-(xy2+x2y)=(x3-x2y)+(y3-xy2)=(x-y)2·(x+y)>0,
∴在不知道x,y的大小的情况下,取A,D能够稳操胜券,其他的方案都没有必胜的把握.
故必胜的方案有1种,就是取A,D.
6.B 由a>b,且(c-a)(c-b)<0,
得c-a<0,c-b>0,即b∵(d-a)(d-b)>0,且d>c>b,∴d>a,
∴d>a>c>b.故选B.
7.C ∵a>b>0,∴b-a<0,a-b>0.
对于A,-==<0,
∴<,故A错误;
对于B,取a=,b=,满足a>b>0,但是a+=+2=,b+=+3=,∴a+对于C,-=a-b+-=a-b+=(a-b)>0,∴a->b-,故C正确;
对于D,-===<0,∴<,故D错误.故选C.
8.ABD -=,因为ab>0,a>b,所以<成立,A正确;若a>b>0,则a-b>0,则a(a-b)>0,b(a-b)>0,即a2-ab>0,ab-b2>0,所以a2>ab>b2,B正确;当c<0时,由ac>bc可得aa>b>0,则-a<-b,09.答案 -2<<-
解析 由于a>b>c,且a+b+c=0,
所以a>0,c<0,b=-a-c,由b所以2a>-c,>-2,由b>c得-a-c>c,
所以-a>2c,<-,所以-2<<-.
10.解析 (1)因为1则-6<-2b<-2,
又2由1(2)令3a-2b=m(a+b)+n(a-b)(m,n∈R),
即3a-2b=(m+n)a+(m-n)b,
则解得
则≤(a+b)≤,-≤(a-b)≤,
所以-+≤(a-b)+(a+b)≤+,
即-2≤3a-2b≤10,
因此3a-2b的取值范围是-2≤3a-2b≤10.
7(共16张PPT)
2.1 等式性质与不等式性质
知识点 1 两实数大小关系的基本事实
知识 清单破
依据 a>b a-b>0;a=b a-b=0;a结论 确定任意两个实数a,b的大小关系,只需确定它们的差与0的大小关系
等式与不等式的性质
知识点 2
等式 不等式
对称性 a=b b=a a>b b传递性 a=b,b=c a=c a>b,b>c a>c
加法 a=b a±c=b±c a>b a+c>b+c
a>b,c>d a+c>b+d
乘法 a=b ac=bc; = a>b,c>0 ac>bc;
a>b,c<0 aca>b>0,c>d>0 ac>bd
a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2)
知识辨析
1.已知x∈R,比较x2与2x-3的大小.
2.在应用传递性时,如果两个同向不等式中有一个带等号,而另一个不带等号,如何传递
3.a,b,c为实数,则a>b是ac2>bc2的什么条件
一语破的
1.作差:x2-(2x-3)=(x-1)2+2>0,所以x2>2x-3.
2.不等关系能传递,等号不能传递下去.如由a≥b,b>c不能得到a≥c,只能得到a>c.
3.必要不充分条件.ac2>bc2隐含了c≠0,因此可以得到c2>0,由ac2>bc2可以推出a>b,必要性成立;
但没有“c≠0”这个条件时,由a>b推不出ac2>bc2,充分性不成立,因此a>b是ac2>bc2的必要不
充分条件.
定点 1 比较实数(代数式)的大小
关键能力 定点破
比较实数(代数式)大小常用的方法
(1)作差法:适用于作差后可化为积或商的形式.步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.
(2)作商法:适用于同号两数(式)比较大小.步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④下
结论.
注意:同为正的数(式)依据 >1 a>b和 <1 a典例 (1)已知x<1,试比较x3-1与2x2-2x的大小;
(2)已知a,b为正实数,试比较 + 与 + 的大小.
解析 (1)(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)
,∵x<1,∴x-1<0,
又 + >0,∴(x-1) <0,
∴x3-1<2x2-2x.
(2)解法一(作差法): -( + )
= + = +
= = .
∵a,b为正实数,∴ + >0, >0,
又( - )2≥0,∴ ≥0,
∴ + ≥ + .
解法二(作商法):∵a,b为正实数,∴ + >0,则 =
= =
= =1+ ≥1,
∴ + ≥ + .
-( + )2= + +2 -(a+b+2 )= .
∵a>0,b>0,∴ ≥0,
∴ ≥( + )2.
又 + >0, + >0,∴ + ≥ + .
解法三(平方后作差):
名师点睛 作差法是比较大小最常见的方法,其关键有两点:一是“变形”,整式的变形手段
有因式分解、配方(二次式),分式可进行通分,根式可进行有理化等;二是判断符号,要能利用
条件判断出各个部分的符号.
利用不等式的性质求代数式的取值范围
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质,转化为同向不等式相加(乘)进行解答;
(2)借助所给条件整体求解,切不可随意拆分所给条件;
(3)结合不等式的传递性进行求解.
定点 2
典例 (1)已知实数x,y满足-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则z=9x-y的取值范围是 ( )
A.-7≤z≤26 B.-1≤z≤20
C.4≤z≤15 D.1≤z≤15
(2)已知x,y∈R,且3≤xy2≤8,4≤ ≤9,则 的取值范围是 .
2≤ ≤27
B
解析 (1)令m=x-y,n=4x-y,则x= ,y= ,所以z=9x-y= n- m.因为-4≤m≤-1,所以 ≤
- m≤ .因为-1≤n≤5,所以- ≤ n≤ ,因此-1≤z≤20.故选B.
(2)设 = (xy2)n,则x3y-4=x2m+ny2n-m,
所以 所以
所以 = (xy2)-1.
易得16≤ ≤81, ≤(xy2)-1≤ ,
所以2≤ (xy2)-1≤27.
故 的取值范围是2≤ ≤27.
利用不等式的性质证明不等式
利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形,变形一要考虑已
知不等式与未知不等式在运算结构上的联系,二要考虑变形要等价,三要注意性质适用的前
提条件.
定点 3
典例 (1)已知a>b,e>f,c>0,求证: f-ac(2)若bc-ad≥0,bd>0,求证: ≤ .
证明 (1)∵a>b,c>0,
∴-ac<-bc.
又e>f,即f∴f-ac(2)∵bc-ad≥0,
∴bc≥ad,
∴bc+bd≥ad+bd,即b(c+d)≥d(a+b),
又bd>0,
∴ ≥ ,即 ≤ .
易错警示 应用不等式的性质解题时,要注意不等式性质成立的条件,不要忽视条件或随意
仿照等式性质“构造”性质与法则.