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2.2 基本不等式
知识点 1 两个重要不等式
知识 清单破
不等式 变形形式 等号成立的条件
a2+b2≥2ab(a,b∈R) ab≤ 当且仅当a=b
基本不等式: ≤ (a,b>0) a+b≥2 ,ab≤ 当且仅当a=b
基本不等式与最大(小)值
1.已知x,y是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2 .
2.已知x,y是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值 .
总结:积定和最小,和定积最大.
知识点 2
知识拓展 平均值不等式:设a>0,b>0,则有 ≤ ≤ ≤ (当且仅当a=b时取等号),即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
知识辨析
1.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n有最大值还是最小值
2.能否运用基本不等式求出y=x+ 的最小值
3.若x>1,能否用基本不等式求x+ 的最小值
一语破的
1.有最小值.由m>0,n>0得m+n≥2 =18,当且仅当m=n=9时取等号,因此m+n有最小值18.
2.不能.若x>0,能求出y=x+ 的最小值,若x<0,能求出y=x+ 的最大值.
3.能.将“+”前的x变形为x-1+1,x-1再与 结合,乘积出现定值,进而利用基本不等式求出最
小值为5.
定点 1 应用基本不等式求最值
关键能力 定点破
利用基本不等式求最值的注意事项
(1)一正:各项必须都是正值.
若各项都是正数,则可以直接用基本不等式求最大(小)值;若各项都是负数,则可以提取
负号,化为正数后用基本不等式求最大(小)值;若有些项是正数,有些项是负数,则不可以用基
本不等式求最大(小)值.
(2)二定:各项之和或各项之积为定值.
利用基本不等式求最大(小)值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,常见的方
法技巧如下:
①拆(裂项拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真
分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定值创造条件;
②并(分组并项):目的是分组后各组可以单独应用基本不等式,或分组后先对一组应用基本不
等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值;
③配(配式、配系数,凑出定值):有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设
条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,
或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值.
(3)三相等:必须验证取等号时条件是否成立,若等号不成立,则不能用基本不等式求最大(小)
值.
典例 (1)当x<0时,求 +4x的最大值;
(2)当x>0时,求x+ 的最小值.
解析 (1)∵x<0,∴-x>0.
则 +4x=- ≤-2 =-8 ,
当且仅当 =-4x,即x=- 时取等号.
∴ +4x的最大值为-8 .
(2)∵x>0,∴x+ >0,∴x+ =x+ =
x+ + - ≥2× - = ,
当且仅当x+ = ,即x= 时,等号成立.
故x+ 的最小值为 .
易错警示 在利用基本不等式求最大(小)值的过程中,要注意验证“一正,二定,三相等”,若
条件不满足,常需要变形:提取负号,把数、式进行合理地拆分或变形,配凑成适当的数、式,以
便于得到定值再利用基本不等式,平时要积累一些变形的经验.
用基本不等式证明不等式
1.利用基本不等式证明不等式的关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将
“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,达到放缩的效果.证明不等式常用
的变形技巧有:
(1)拆分、配凑:将所要证明的不等式先拆分成几部分,再利用基本不等式证明.
(2)常值代换:利用已知的条件或将已知条件变形得到含“常值”的式子,将“常值”代入后
再利用基本不等式证明.
2.多次运用基本不等式时,需要注意两点:一是不等号方向要一致,二是等号能同时取到.
定点 2
典例 (1)已知a,b,c>0,求证: + + ≥a+b+c;
(2)已知x,y为正实数,且满足x+y=1,证明: + ≥ .
思路点拨 (1)不等式左边添加b,c,a,利用基本不等式和不等式的性质证明.(2)先利用“乘1”
法得 + ≥4,再利用基本不等式的变形形式a2+b2≥ 证明.
证明 (1)∵a,b,c>0,
∴ +b≥2a(当且仅当a=b时等号成立),
+c≥2b(当且仅当b=c时等号成立),
+a≥2c(当且仅当a=c时等号成立),
∴ + + +a+b+c≥2a+2b+2c,即 + + ≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)∵x,y>0,且x+y=1,
∴ + =(x+y) =2+ + ≥4,
∴ + ≥
= ≥ = ,
当且仅当x=y= 时取等号.
利用基本不等式求含条件的最大(小)值
1.直接利用平均数的关系求含有条件的最大(小)值,倒数和选用调和平均数、积选用几何平
均数、和选用算术平均数、平方和选用平方平均数,并根据调和平均数≤几何平均数≤算术
平均数≤平方平均数,利用合适的不等式求解最大(小)值,解题时要注意进行适当的配凑.
2.消元法求含有条件的最大(小)值,即先根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数
式,再进行最大(小)值的求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求
解,但应注意各个元的范围.
3.拼凑法求含有条件的最大(小)值
(1)根据式子的特征,先配凑出积、和为定值的形式,再利用基本不等式求解.
(2)解题时要注意两点:一是利用隐含条件得到定值,二是两次运用基本不等式时,不等号方向
要一致,且等号能同时成立.
定点 3
4.换元法求含有条件的最大(小)值,先利用条件将两个量化为统一形式,对统一形式进行换元,
再进行最大(小)值的求解.
5.常数代换法求含有条件的最大(小)值,主要解决形如“ax+by”与“ + (xy≠0)”中一个
是常数求另一个的最大(小)值的问题,解题时不妨设a,b,m,n,x,y>0,则(ax+by)· =am+bn+
+ ≥am+bn+2 当且仅当 = 时等号成立 .
典例 (1)已知x>0,y>0,且4x+9y-xy=0,则x+y的最小值为 ( )
A.25 B.18 C.13 D.12
(2)(多选)设正实数x,y满足x+y=2,则下列说法正确的是 ( )
A. + 的最小值为2 B.xy的最小值为1
C. + 的最大值为4 D.x2+y2的最小值为2
A
AD
解析 (1)解法一:∵x>0,y>0,且4x+9y-xy=0,∴ + =1.则x+y=(x+y) =13+ + ≥13+
2 =25,当且仅当 = ,即x=15,y=10时取等号.
∴x+y的最小值为25.故选A.
解法二:∵x>0,y>0,且4x+9y-xy=0,
∴y= ,且x>9,∴x+y=x+ =x-9+ +9=x-9+ +13≥2 +13=25,当且仅当x-
9=6,即x=15,y=10时等号成立,∴x+y的最小值为25.故选A.
(2)∵x>0,y>0,x+y=2,∴ ≤ =1,得 + ≥2,当且仅当x=y=1时等号成立,故选项A正确;
∵x+y=2≥2 ,∴xy≤1,当且仅当x=y=1时,等号成立,即xy的最大值为1,故选项B错误;
∵ ≤ =1,∴ + ≤2,当且仅当x=y=1时等号成立,即 + 的最大值为
2,故选项C错误;由 ≤ 得x2+y2≥ =2,当且仅当x=y=1时等号成立,即x2+y2的
最小值为2,故选项D正确.故选AD.2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式、求最大(小)值及其应用
基础过关练
题组一 对基本不等式的理解
1.下列说法正确的是( )
A.a2+b2≥2ab成立的前提条件是a≥0,b≥0
B.a2+b2>2ab成立的前提条件是a,b∈R
C.a+b≥2成立的前提条件是a≥0,b≥0
D.a+b>2成立的前提条件是ab>0
2.不等式a2+≥4中,等号成立的条件是( )
A.a=2 B.a=±2
C.a= D.a=±
3.下列不等式以及不等式中的等号一定成立的是( )
A.+≥2
B.x+3+≥2(其中x>-3)
C.≥2
D.x-1+≥2(其中x>2)
题组二 利用基本不等式求最大(小)值
4.已知x>2,则+4x的最小值是( )
A.6 B.8 C.12 D.16
5.已知0
A. B.4 C. D.5
6.已知x<1,则x+的最大值是 .
7.(教材习题改编)已知08.(1)已知x<,求4x-2+的最大值;
(2)设x>-1,求的最小值.
题组三 利用基本不等式求最大(小)值的应用
9.设x>0,y>0,且不等式(ax+y)≥9恒成立,则正实数a的取值范围是( )
A.010.若 x>3,a11.已知 x∈{x|x>1},>m恒成立,则实数m的取值范围是 .
能力提升练
题组一 对基本不等式的理解
1.已知a,b为正实数,则“≤2”是“ab≤16”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(多选题)下列结论中正确的是( )
A.若a,b≠0,则≥2
B.若x<0,则x+≥-4
C.若a>0,b>0,则+≥a+b
D.若a,b∈R,则≥
3.(多选题)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是( )
A.ab≤1 B.+≤
C.a2+b2≥2 D.+≥2
题组二 利用基本不等式求最大(小)值
4.已知0A. B.2
C. D.4
5.已知a>b>0,则a2+的最小值为( )
A.8 B.8 C.16 D.16
6.(1)已知正数x,y满足x+y=1,求+的最小值;
(2)求(x>-1)的最小值.
7.已知a>0,b>0.
(1)若a+b=4,求+的最小值及此时a,b的值;
(2)若2a2+b2=4a+4b,求+的最小值及此时a,b的值;
(3)若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此时a,b的值.
题组三 利用基本不等式求最大(小)值的应用
8.(多选题)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式+≥4恒成立,则m的值可以是( )
A.1 B. C.2 D.2
9.已知x>0,y>0,若不等式x+≤a(x+y)恒成立,则实数a的最小值为( )
A. B.-1 C.+1 D.
10.当x>a时,关于x的不等式≥5恒成立,求实数a的取值范围.
教材深研拓展
11.(多选题)《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何 ”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图(1),用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图(2)所示的矩形,该矩形长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图(3),设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是( )
A.由题图(1)和题图(2)的面积相等得d=
B.由AE≥AF可得≥
C.由AD≥AE可得≥
D.由AD≥AF可得a2+b2≥2ab
12.设a>0,b>0,称为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆,过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为E,则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段 的长度是a,b的几何平均数,线段 的长度是a,b的调和平均数.
答案与分层梯度式解析
2.2 基本不等式
第1课时 基本不等式、求最大(小)值及其应用
基础过关练
1.C 2.D 3.B 4.D 5.C 9.C
1.C A错误,应为a,b∈R;B错误,应为a,b∈R,且a≠b;D错误,应为a≥0,b≥0,且a≠b;C正确.故选C.
2.D 该不等式等号成立的条件为a2=,即a=±,故选D.
3.B 对于A,当x<0时,不等式不成立,因此A错误;
对于B,因为x>-3,所以x+3>0,所以x+3+≥2=2,当且仅当x+3=,即x=-2时,等号成立,因此B正确;
对于C,因为≥2,所以==+≥2,当且仅当=1时等号成立,与≥2矛盾,因此C错误;
对于D,因为x>2,所以x-1>1,则x-1+≥2,
当且仅当x-1=1,即x=2时等号成立,与x>2矛盾,因此D错误.故选B.
易错警示 利用基本不等式解题要注意验证“一正、二定、三相等”,只有三条同时满足才能得出结论.
4.D 因为x>2,所以x-2>0,
所以+4x=+4(x-2)+8≥2+8=16,当且仅当=4(x-2),即x=3时取等号,
故选D.
5.C 因为0所以+=(a+2-a)=5++≥5+2=,
当且仅当=,即a=时取等号.故选C.
解题模板 解决分式类型代数式的最大(小)值问题,常需找出各个分式间的关系,即“隐含条件”,如本题中的“a+(2-a)=2”是定值,从而得到解决问题的方法.
6.答案 -3
解析 因为x<1,所以x-1<0,因此1-x>0,
所以x+=(x-1)++1=-+1≤-2+1=-4+1=-3,
当且仅当1-x=,即x=-1时等号成立,所以x+的最大值是-3.
易错警示 求整式+分式形式代数式的最大(小)值时,要验证各项为正数,若均不是正数可提取负号再用基本不等式,如本题中将所求式子变形为-+1求解.
7.答案
解析 ∵00,∴x(4-3x)=·3x·(4-3x)≤·=,
当且仅当3x=4-3x,即x=时取等号.
8.解析 (1)∵x<,∴5-4x>0,
∴4x-2+=4x-5++3=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立,∴4x-2+的最大值为1.
(2)∵x>-1,∴x+1>0,设x+1=t>0,则x=t-1,
∴===t++5≥2+5=9,
当且仅当t=,即t=2,x=1时,等号成立,
∴的最小值为9.
9.C ∵x>0,y>0,a>0,
∴(ax+y)=a+1++≥a+1+2=(+1)2(最小值),当且仅当=时取“=”,又∵(ax+y)≥9恒成立,∴(+1)2≥9,解得a≥4,故选C.
10.答案 {a|a<15}
解析 x>3,x2-9>0,则x2+=x2-9++9≥2+9=15,当且仅当x2-9=,即x=2时,等号成立,所以=15,故a<15.
解题模板 解决不等式恒成立问题,常将不等式变形(分离变量等),再将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题,符合“一正、二定、三相等”的则利用基本不等式求解最大(小)值.
11.答案 m<2+2
解析 ∵ x∈{x|x>1},>m恒成立,
∴m<,
由x>1得x-1>0,令t=x-1,t>0,则x=t+1,
则===t++2≥2+2,
当且仅当t=,即x=1+时,取得等号,
∴m<2+2.
能力提升练
1.B 2.AC 3.ACD 4.C 5.C 8.CD 9.D 11.BCD
1.B ∵a,b为正实数,∴a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立.
由ab≤16,可得≤=≤=2,故必要性成立;
当a=2,b=10时,≤2,但ab=20>16,故充分性不成立.
因此“≤2”是“ab≤16”的必要不充分条件.故选B.
2.AC =+≥2,当且仅当a=±b时取等号,故A正确;
当x<0时,-x>0,则x+=-≤-2×=-4当且仅当-x=-,即x=-2时,取“=”,故B错误;
当a>0,b>0时,+a≥2=2b,+b≥2=2a(当且仅当a=b时,等号同时成立),相加可得+≥a+b,故C正确;
当a<0,b<0时,≥不成立,故D错误.故选AC.
3.ACD 当a>0,b>0时,由≥得ab≤1,当且仅当a=b=1时取“=”,因此A正确;
由≤=1得+≤2,当且仅当a=b=1时取“=”,故+≤不恒成立,因此B错误(也可令a=1,b=1,得+=2);由1=≤得a2+b2≥2,当且仅当a=b=1时取“=”,因此C正确;由≤=1得+≥2,当且仅当a=b=1时取“=”,因此D正确.故选ACD.
解题模板 与平均值有关的数可用基本不等式求解,解题时注意运用不等式链:≤≤≤(a>0,b>0),当且仅当a=b时取“=”.
4.C 因为00,所以+=+=[2x+(3-2x)]利用[2x+(3-2x)]=1进行代换
=2+++2
≥=,
当且仅当=,即x=时等号成立,所以+的最小值为.故选C.
5.C ∵a>b>0,∴a-b>0,则b(a-b)≤=,∴a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当即时,等号成立.故选C.
易错警示 两次利用基本不等式求最大(小)值时要注意两点:一是不等号的方向相同,二是不等式中的等号能同时成立.
6.解析 (1)由x+y=1可得x+y+1=2,
则+=[x+(1+y)]=1+4++≥=,当且仅当=且x+y=1,即x=,y=时取等号,故+的最小值为.
(2)∵x>-1,∴x+1>0,∴==x+1++5≥2+5=9,当且仅当x+1=,即x=1时取等号,
故的最小值为9.
7.解析 (1)∵a+b=4,a>0,b>0,
∴+=(a+b)=++≥+2=,当且仅当4a2=b2,即a=,b=时取等号,
∴+的最小值为,此时a=,b=.
(2)∵2a2+b2=4a+4b,
∴+===+≥2=,
当且仅当2a2=b2,即a=1+,b=+2时取等号,
∴+的最小值为,此时a=1+,b=+2.
(3)∵a2+3b2+4ab-6=0,∴(a+3b)(a+b)=6,
∴5a+9b=2(a+3b)+3(a+b)≥2=12,当且仅当2(a+3b)=3(a+b),即a=,b=时取等号,∴5a+9b的最小值为12,此时a=,b=.
8.CD 由xy>0,且x+y=2,得x>0,y>0,又m>0,
所以+=(x+y)=++m+2≥(2+m+2),当且仅当=时,等号成立,
又因为不等式+≥4恒成立,所以(2+m+2)≥4,整理得(+3)(-)≥0,
又+3>0,因此≥,即m≥2.
结合选项知选CD.
9.D ∵x>0,y>0,∴不等式x+≤a(x+y)可化为a≥,即a≥,
令t=1+(t>1),则a≥,
∵t>1,∴==≤==,
当且仅当t=,即t=时取“=”,
故的最大值为,∴a≥,
∴实数a的最小值为,故选D.
10.解析 不等式≥5,即x+≥,
因为x>a,所以x-a>0,所以x+=x-a++a≥a+2,当且仅当x-a=,即x=a+1时,等号成立,因此a+2≥,解得a≥,
所以实数a的取值范围是.
11.答案 BCD
信息提取 AF是斜边上的高,AD是斜边上的中线,AE是正方形的对角线,AE等于正方形边长的倍.
解析 由题图(1)和题图(2)的面积相等可得ab=(a+b)d,得d=,故A错误;
由题意知题图(3)的面积为ab=·AF,故AF=,由D是斜边中点得AD=BC=,
设题图(3)中正方形的边长为x,由三角形相似,得=,解得x=,则AE=,
由AE≥AF可得≥,化简可得≥,故B正确;
由AD≥AE可得≥,化简可得≥,故C正确;
由AD≥AF可得≥,化简可得a2+b2≥2ab,故D正确.故选BCD.
12.答案 CD;DE
思路点拨 在Rt△ADB中,DC⊥AB,根据射影定理可得CD2=AC·CB,开方可得第一空答案(a,b的几何平均数为);用a,b表示OC,OD,CD,根据△OCD面积的两种算法表示出CE,进而得出OE,DE,结合调和平均数的定义知DE的长度为a,b的调和平均数.
解析 在Rt△ADB中,DC为斜边AB上的高,则由射影定理可得CD2=AC·CB,
∴CD=,即CD的长度为a,b的几何平均数.
易得OC=a-=,在Rt△OCD中,由OD·CE=OC·CD,
可得CE==,故OE==,
∴DE=OD-OE=,
∴DE的长度为a,b的调和平均数.
7第2课时 基本不等式的其他应用
基础过关练
题组一 利用基本不等式比较大小
1.设0A. B.a2+b2 C.2ab D.a
2.已知a,b,x,y都是正实数,且+=1,x2+y2=8,则ab与xy的大小关系是 .
3.某商店出售的某种饮料需分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价 %,若p,q>0,且p≠q,则提价较多的方案是 .
题组二 利用基本不等式证明不等式
4.已知a>0,b>0,a+b=ab.
(1)求证:a+b≥4;
(2)求证:≤.
5.(教材习题改编)已知a,b,c是三个不全相等的正数.求证:++>3.
6.已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.
(1)求证:≥8;
(2)求证:++≥9.
题组三 利用基本不等式解决实际问题
7.(教材习题改编)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )
A.30件 B.60件
C.80件 D.100件
8.用一长度为2 m的铁丝围成一个长方形,则其面积的最大值为 .
9.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg/L)随时间t(单位:h)的变化关系为C=,则经过 h后池水中药品的浓度达到最大.
10.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4 000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N*)层,则每平方米的平均建筑费用s(单位:元)满足s=3 000+50x.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层 每平方米的平均综合费用的最小值是多少
注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
11.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD,如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个全等的等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH=2EF),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2.为了美观,要求海报上所有方向的留空宽度均为10 cm,设EF=x cm.
(1)当x=100时,求海报纸的面积;
(2)为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)
能力提升练
题组一 利用基本不等式比较大小
1.已知a,b>0,则下列不等式中不成立的是( )
A.a+b+≥2
B.(a+b)≥4
C.≥2
D.>
2.(多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
A.≥ B.+≥1 C.≥2 D.a2+b2≥8
3.设某同学从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(aA.v= B.v=
C.4.近来牛肉价格起伏较大,假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤、b元/斤(a≠b),学校甲食堂和乙食堂在这两周中购买牛肉的方式不同,甲食堂每周购买6 000元的牛肉,乙食堂每周购买80斤牛肉,甲、乙食堂两次购买牛肉的平均单价分别记为m1元,m2元,则下列结论正确的是( )
A.m1=m2 B.m1>m2
C.m2>m1 D.m1,m2的大小无法确定
题组二 利用基本不等式证明不等式
5.已知集合D={(x1,x2)|x1+x2=2,x1>0,x2>0}.
(1)求+的最小值;
(2)对任意(a,b)∈D,证明:+≥.
6.若正数a,b,c满足a+b+c=1.
(1)求ab+bc+ca的最大值;
(2)求证:++≥.
题组三 基本不等式的综合应用
7.已知三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=10,则此三角形面积的最大值为 .
8.在只剩一面墙的破屋基础上要求修建新屋(修四面墙),旧墙长12米,新屋的面积预定为112平方米,且保留一部分旧墙作为一面墙来修建新屋.已知这项工程的费用要求是:①新料砌墙的费用为a元/米;②修理旧墙的费用相当于砌新墙的25%;③拆旧墙的一部分,利用旧料来砌同样长度的新墙,这费用相当于用新料砌墙的50%.在这种情况下旧墙保留约多少米最为合算
9.某健身器材厂研制了一种足浴气血养身机,具体原理是:在足浴盆右侧离中心x(0(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y;
(2)求(1)中y的最小值.
教材深研拓展
10.现有一架坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人要用它称物体的质量,他将物体放在左右托盘各称一次,记两次称量的结果分别为a,b,设物体的真实质量为G,则( )
A.=G B.≤G C.>G D.11.一家黄金专卖店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长之比为λ(λ≠1),一位顾客到店里购买10克黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g砝码放在天平右盘中,然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将两次称得的黄金交给顾客.
(1)试分析顾客购得的黄金是小于10 g,等于10 g,还是大于10 g 为什么
(2)如果售货员又将10 g的砝码放在天平左盘中,然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,请问要使得三次黄金质量总和最小,商家应该将左臂长和右臂长之比λ设置为多少 请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第2课时 基本不等式的其他应用
基础过关练
1.B 解法一:因为02a,所以a<.又因为a2+b2>2ab,所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1=a+b>2,所以ab<,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,即a2+b2>,故选B.
解法二(特值检验法):取a=,b=,则2ab=,a2+b2=.因为>>>,所以a2+b2最大,故选B.
2.答案 ab≥xy
解析 因为a>0,b>0,+=1,所以ab=ab·=a+b≥2,当且仅当a=b=2时等号成立,所以ab≥4.因为xy≤=4,当且仅当x=y=2时等号成立,所以ab≥xy.
3.答案 乙
解析 不妨设原价为1,则按方案甲提价后的价格为(1+p%)(1+q%),按方案乙提价后的价格为,
易知≤=1+,当且仅当1+p%=1+q%,即p=q时等号成立,又p≠q,所以(1+p%)(1+q%)<,所以提价较多的方案是乙.
4.证明 (1)因为a>0,b>0,所以a+b=ab≤,解得a+b≥4,
当且仅当a=b=2时取等号,所以a+b≥4成立.
(2)因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥2,所以ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,
所以=1+++=1++=2+≤2+=,所以≤成立.
5.证明 ∵a,b,c是三个不全相等的正数,
∴三个不等式+≥2,+≥2,+≥2的等号不能同时成立,
则+++++>6,
∴++>3,
即++>3.
6.证明 (1)因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,
所以
=
=
≥==8=右边,当且仅当a=b=c=时等号成立,
故≥8.
(2)因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,
所以++=++
=+++3
≥2+2+2+3=2×3+3=9,当且仅当a=b=c=时等号成立,
故++≥9.
7.B 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元,
则y==+≥2=30,当且仅当=,即x=60时等号成立,
故每批应生产产品60件.故选B.
8.答案 m2
解析 设围成的长方形的一边的长为x m,则其邻边长为(1-x)m,
设该长方形的面积为S m2,
则S=x(1-x)≤=,当且仅当x=时取等号,
所以面积的最大值为 m2.
9.答案 2
解析 当t=0时,C=0,当t>0时,C==≤=5,当且仅当t=,即t=2时取等号.
因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大.
10.解析 设楼房每平方米的平均综合费用为y元.
依题意得y=s+=50x++3 000(x≥12,x∈N*).
因为50x++3 000≥2×+3 000=5 000,
当且仅当50x=,即x=20时,等号成立,
所以当x=20时,y取得最小值5 000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元.
11.解析 (1)设阴影部分直角三角形EF边上的高为y cm,则阴影部分的面积S=2×xy+2××2xy=3xy=36 000(cm2),
所以xy=12 000,又x=100,所以y=120,
由题图知AD=y+20=140(cm),
AB=3x+50=350(cm),
∴S矩形ABCD=140×350=49 000(cm2),即海报纸的面积为49 000 cm2.
(2)由(1)知xy=12 000,x>0,y>0,
则S矩形ABCD=(3x+50)(y+20)=3xy+60x+50y+1 000≥3xy+2+1 000=49 000,当且仅当60x=50y,即x=100,y=120时取“=”.
此时AB=350 cm,AD=140 cm,
所以选择长为350 cm,宽为140 cm的海报纸可使用纸量最少.
能力提升练
1.D 2.ABD 3.D 4.C 10.C
1.D 选项A中,a+b≥2,当且仅当a=b时取“=”,2+≥2,当且仅当ab=时取“=”,
∴a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b=时取“=”,∴该不等式成立;
选项B中,(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b时取“=”,∴该不等式成立;
选项C中,≥=2,当且仅当a=b时取“=”,∴该不等式成立;
选项D中,≤=,当且仅当a=b时取“=”,∴该不等式不成立.故选D.
2.ABD ∵a>0,b>0,a+b=4,∴≤=2(当且仅当a=b=2时取“=”),∴ab≤4,∴≥,∴A正确,C错误;
由以上分析得+==≥=1,∴B正确;
∵2(a2+b2)≥(a+b)2=16,∴a2+b2≥8,当且仅当a=b=2时取等号,∴D正确.故选ABD.
3.D 设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为+,∴v==,故A错误;
∵b>a>0,∴由基本不等式可得a+b>2,∴v=<=,故B,C错误;
∵v-a=-a=>=0,
∴v>a,则a4.C 甲食堂购买牛肉的平均单价(元)为m1===,
乙食堂购买牛肉的平均单价(元)为m2==,
所以==≤=1,当且仅当a=b时取“=”,
也可直接用调和平均数与算术平均数的关系得≤,且等号不成立
因为a≠b,所以m15.解析 (1)因为x1>0,x2>0,且x1+x2=2,
所以x1+x2≥2,所以x1x2≤1,(当且仅当x1=x2=1时等号成立)
则+=-2x1x2≥4-2=2,
故+的最小值为2.
(2)证明:因为(a,b)∈D,所以a>0,b>0,a+b=2,
所以+=+=+
=(a+2+b+2)
=≥=,
当且仅当=,即a=b=1时取等号.
6.思路点拨 (1)由a+b+c、ab+bc+ca、a2+b2+c2的关系,利用已知(消去a+b+c)及基本不等式求出最大值;(2)利用基本不等式得+≥a、+≥b、+≥c,即可证明结论.
解析 (1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=(2a2+2b2+2c2)+2(ab+bc+ca)≥(2ab+2ac+2bc)+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca),当且仅当a=b=c=时等号成立,
所以ab+bc+ca≤,所以ab+bc+ca的最大值为.
(2)证明:+≥2=a,当且仅当=,即2a=b+c=时等号成立,
+≥2=b,当且仅当=,即2b=c+a=时等号成立,
+≥2=c,当且仅当=,即2c=a+b=时等号成立,
故++≥a+b+c-==,当且仅当a=b=c=时等号成立.
7.答案 12
解析 ∵a=6,b+c=10,∴p==8,
结合三角形的三边关系可得2∴三角形的面积S==4≤4×=12,
当且仅当b=c=5时,等号成立,此时三边可以构成三角形.
因此,该三角形面积的最大值为12.
8.解析 根据题意可设保留旧墙x米,易知0利用旧料来砌的新墙长度为(12-x)米,
又新屋的面积预定为112平方米,所以砌新墙的长度应为2×+x-(12-x)=米,
因此总费用(元)为25%·ax+(12-x)·50%·a+a=a,0利用基本不等式可得+≥2=28,
当且仅当x=8时,等号成立,
又x=8≈11.3<12,满足题意,
所以旧墙保留约11.3米最为合算.
9.解析 (1)依题意得y=+,
把x=10,y=0.065代入上式可得0.065=+,解得k=9,∴y=+(0(2)令t=x2,则y=+(0∴y=×(t+400-t)
=×4+++9
≥×13+2=0.062 5.
当且仅当t=160,即x=4时等号成立,
∴y的最小值为0.062 5.
10.C 根据题意,设天平左、右两臂的长度分别为m、n,
由两次称量的结果分别为a,b,得ma=nG且nb=mG(杠杆原理),且a≠b,
两式联立可得G2=ab,即G=,
而>,则>G,故选C.
11.解析 (1)设天平左臂长为m,右臂长为n,第一次放的黄金为x g,第二次为y g.
则5m=xn,my=5n,得x=,y=,
所以x+y=+≥2=10,当且仅当=,即m=n时取等号,
又m≠n,所以x+y>10,因此顾客购得的黄金大于10 g.
(2)设第三次放的黄金为z g,
则10m=zn(杠杆原理),代入=,可得2x=z,
故三次黄金质量总和为x+y+z=3x+y≥2=10,当且仅当3x=y,即x=,y=5时取等号,
此时λ===,
因此当λ=时,三次黄金质量总和最小.
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