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1.一元二次不等式
只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式.
一般形式:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,且a≠0).
2.一元二次不等式的解集
使一元二次不等式成立的未知数的值叫做一元二次不等式的解,所有的解所组成的集合
叫做一元二次不等式的解集.
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
知识点 1 一元二次不等式
知识 清单破
三个“二次”的关系
三个“二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系
知识点 2
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1
x1=x2=- 没有实数根
ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|xx2} x x≠- R
ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1知识辨析
1.如何用函数y=x2-x-6的图象和方程x2-x-6=0的根得到不等式x2-x-6>0的解集 x2-x-6<0的解集
呢
2. <0如何求解 ≤0的解集是什么 <2又如何求解呢
3.一元二次不等式ax2+x+1>0恒成立时,实数a的取值范围是什么
一语破的
1.解x2-x-6=0得x=-2或x=3.函数y=x2-x-6的图象如图所示,所以不等式x2-x-6>0的解
集是{x|x<-2或x>3}(即y>0对应的x的范围),不等式x2-x-6<0的解集是{x|-22. <0即(x-1)(x-2)<0,解得1将 <2移项、通分,整理得 >0,即(x-2)(x-3)>0,所以x>3或x<2,故不等式的解集为{x|x>3或x<2}.
3.一元二次不等式ax2+x+1>0恒成立 二次函数y=ax2+x+1的图象恒在x轴上方(开口向上,与x
轴无交点),因此 解得a> .
定点 1 一元二次不等式的解法
关键能力 定点破
1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)化标准:通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正.
(2)研方程:对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的判别式.
(3)求实根:求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.
(4)画草图:根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.
(5)写解集:根据图象写出不等式的解集.
2.解含参数的一元二次不等式一般要进行分类讨论:
典例 解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0.
解析 (1)当a=0时,原不等式为一元一次不等式,即-2x+4>0,所以x<2.
(2)当a<0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2>0,两根分别为x1=2,x2= ,且 <2,所以不
等式ax2-2(a+1)x+4>0的解集为 .
(3)当a>0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式Δ=4(a-1)2≥0,两根分别为x1=2,x2= .
①若 <2,则a>1,不等式的解集为 x x< 或x>2 ;②若 >2,则0或x> ;③若 =2,则a=1,不等式的解集为{x|x≠2}.
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x<2};当a<0时,不等式的解集为 ;当a>1时,
不等式的解集为 ;当0 ;当a=1时,不等
式的解集为{x|x≠2}.
三个“二次”之间的关系
1.以一元二次不等式的解集为条件的问题的解法
(1)解集的形式确定二次项系数的符号;
(2)解集的端点值对应一元二次方程的根,由根与系数的关系解决问题.
2.一元二次方程根的分布问题的解法
(1)两根分别在两个范围内,作出对应函数的图象,由相应函数值的符号列不等式(组)求解;
(2)两根在同一范围内,作出对应函数的图象,由判别式、相应函数值的符号、对称轴在该范
围内列不等式(组)求解.
定点 2
典例 已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为 x x<-2或x>- ,求不等式ax2-bx+c<0的解集.
解析 由题设知-2,- 是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a<0,
∴ 即
∴不等式ax2-bx+c<0即ax2- ax+a<0,
又a<0,∴x2- x+1>0,即2x2-5x+2>0,
解得x< 或x>2,故所求不等式的解集为 x x< 或x>2 .
一元二次不等式恒(能)成立问题
解决一元二次不等式的恒(能)成立问题的方法
定点 3
不等式 ax2+bx+c>0(a≠0) ax2+bx+c<0(a≠0)
恒成立
能成立 a>0或 a<0或
说明:一元二次不等式在某范围内恒成立问题,可通过分离参数,转化为最大(小)值问题
求解,一般地,已知范围的是变量,待求范围的是参数.
典例 (1)若关于x的不等式(k2+4k-5)·x2+4(1-k)x+3>0恒成立,则实数k的取值范围为 ( )
A.1≤k<19 B.2≤k<18
C.0(2)若关于x的不等式ax2-x+4a>0对任意x>2恒成立,则实数a的取值范围是 .
a≥
A
解析 (1)由k2+4k-5=0得k=-5或k=1.当k=-5时,不等式为24x+3>0,不恒成立;当k=1时,不等式为
3>0,恒成立;当k≠-5且k≠1时,易知不等式对应的二次函数的图象开口向上,且与x轴无交点,
∴ 解得1综上,k的取值范围是1≤k<19.故选A.
(2)不等式ax2-x+4a>0对任意x>2恒成立,即a> 对任意x>2恒成立.
当x>2时, = < ,∴a≥ .
一元二次不等式的实际应用
解与一元二次不等式、基本不等式有关的应用题的关键在于构造不等式或函数模型,选
择其中起关键作用的未知量作为x,用x来表示其他未知量,根据题意列出不等关系或函数关
系,通过解不等式或利用基本不等式求最值得到实际问题的解.
定点 4
典例 某养殖公司欲将一批肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地,运费为每小时60元,
装卸费为1 000元,肉在运输途中的损耗费(单位:元)是汽车速度(单位:千米/时)值的2倍.(说明:
运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)
(1)若运输的总费用不超过1 260元,求汽车行驶速度值的范围;
(2)若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时多少千米的速度行驶
解析 (1)设汽车行驶的速度为x千米/时,运输的总费用为y元,则y= ×60+1 000+2x.
令 ×60+1 000+2x≤1 260,
整理得x2-130x+3 600≤0,解得40≤x≤90.
∴若运输的总费用不超过1 260元,则汽车行驶速度值的范围应为{x|40≤x≤90}.
(2)由(1)得y= ×60+1 000+2x=2x+ +1 000≥2 +1 000=1 240,
当且仅当2x= ,即x=60时取等号,
∴若要使运输的总费用最小,则汽车应以每小时60千米的速度行驶.
解题模板 解不等式应用题,一般可按四步进行:①审题,找出关键量和不等关系;
②引进数学符号,用不等式表示不等关系;
③解不等式;
④回到实际问题.
素养解读
三个“二次”中综合问题解题思路的探究,以二次函数的图象为几何直观,通过其开口
方向、对称轴、端点函数值、对应方程的判别式等,对相关一元二次方程(不等式)进行定量
计算,进而解决相关问题.
学科素养 情境破
素养 通过三个“二次”问题培养直观想象的素养
典例呈现
例题 (多选)已知关于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,且aA.该不等式的解集不可能为
B.该不等式的解集可能为{x|-8≤x≤-6或8≤x≤12}
C.存在实数a,b,使得该不等式的解集为{x|m≤x≤n}(mD.存在唯一一对实数对(a,b),使得该不等式的解集为
CD
解题思路 画出二次函数y=x2-4x-6=(x-2)2-10的图象,如图①.
若b<-10,则不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为 ,因此选项A错误.
若a>-10,则结合图②可知不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为{x|m1≤x≤n1或n2≤x≤m2}的形式.
因为二次函数y=x2-4x-6的图象的对称轴为直线x=2,
所以 =2, =2.
因为 =2, =1≠2,因此选项B错误.
若a≤-10,b>-10,则不等式a≤x2-4x-6≤b的解集为{x|m≤x≤n}(m因此选项C正确.
对于D,如图③所示,
若不等式的解集为 ,
则a≤-10,b>-10,
且方程x2-4x-6=b的两根分别为 ,b,
故b2-4b-6=b,解得b=-1或b=6,
又 <2易得 +b=4,所以a=-12,满足题意.
因此a=-12,b=6,
因此选项D正确.
故选CD.
直观想象在高中数学中具有以下四个特性:一是经验性,如本题中函数y=x2-4x-6的图象是抛
物线(如图①),由最小值可判断选项A、C是否正确;二是整体性,由函数图象可得到性质,形成
清晰的数学知识结构,如由对称性可以判断选项B是否正确;三是逻辑性,直观想象素养借助
几何直观体现事物的形态与变化,建立数与形的联系,其必然表现出一定的逻辑性,在本题中,
解决选项D时,由函数的图象得到一元二次方程的两根,进而解决一元二次不等式的解集问
题;四是预见性,直观想象的结果通常会表现出新的突破,带有极强的创造性,直接预测问题的
结论,如下面拓展中的问题.
思维升华
拓展问题 已知关于x的不等式a≤x2-4x-6≤b(a∈R,b∈R,a等式的解集为{x|m1≤x≤n1,或n2≤x≤m2}(m1解析 由例题里图②可知a>-10,当b=a+1时,随着a的增大,n1-m1的值越来越小,因此从求n1-m1
的最值入手.
依题意得,x2-4x-6=a的两根分别为n1,n2,x2-4x-6=a+1的两根分别为m1,m2,
则n1+n2=4,n1n2=-6-a,m1+m2=4,m1m2=-7-a,所以n1-n2=- ,m1-m2=- ,
因此n1-m1=
=
= ,
结合a>-10可得n1-m1<1.
故不存在实数a使得当b=a+1时,不等式的解集为{x|m1≤x≤n1,或n2≤x≤m2}(m1式,且n1-m1=1.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
基础过关练
题组一 一元二次不等式的解法
1.已知A={x∈N*|x≤3},B={x|x2-4x≤0},则A∩B=( )
A.{1,2,3} B.{1,2}
C.{x|02.不等式9x2+6x+1≤0的解集是( )
A. B.
C. D.
3.不等式x2-2x-3<0的解集是 .
4.不等式≤0的解集是 .
5.已知集合A={x|x2<1},B={x||2x-1|<1},则A∩B= .
6.求下列不等式的解集:
(1)2x2-7x+3<0;(2)-3x2+6x≤2;
(3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.
7.求下列关于x的不等式的解集.
(1)≤2;
(2)x2+(a-1)x-a>0(a∈R).
题组二 三个“二次”之间的关系
8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A.{x|-21}
C.{x|-2≤x≤1} D.{x|x≤-2或x≥1}
9.已知关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是,则a等于( )
A.2 B.-2 C.- D.
10.不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a-b的值为( )
A.14 B.-14 C.10 D.-10
11.关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-10的解集为( )
A.{x|-22或x<-1}
C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x>1或x<-2}
12.已知不等式x2-(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2}.
(1)求实数a,b的值;
(2)解关于x的不等式:(x-c)(ax-b)>0(c为常数,且c≠2).
题组三 一元二次不等式的恒(能)成立问题
13.若关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,则实数m的取值范围是( )
A.{m|m≤-2或m≥2}
B.{m|-2≤m≤2}
C.{m|m<-2或m>2}
D.{m|-214.“m<2”是“ x∈R,x2-4x+m<0是真命题”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
15.已知关于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成立,则k的取值范围是( )
A.0≤k≤1 B.0C.k<0或k>1 D.k≤0或k≥1
16.(多选题) x∈R,关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立的一个必要不充分条件是( )
A.0-1
C.017.若命题“ x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则实数a的取值范围为 .
18.若不等式ax2+ax-1>0的解集为 ,则实数a的取值范围是 .
题组四 一元二次不等式的实际应用
19.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁,若每套礼服每天的租价为200元,则所有礼服均被租出;若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20,x∈Z),则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为( )
A.220元 B.240元 C.250元 D.280元
20.随着中国经济的腾飞,互联网的快速发展,网络购物需求量不断增大.某物流公司为扩大经营,今年年初用192万元购进一批小型货车,公司每年需要付保险费共计12万元,除保险费外,从第1年到第n年所需维修费等各种费用总额为3n(n-1)万元,且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入.
(1)购买该批小型货车后的第几年开始盈利
(2)求购买该批小型货车后的年平均利润的最大值.
能力提升练
题组一 一元二次不等式的解法
1.若关于x的不等式x2+(m+1)x+m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是( )
A.-2≤m<-1
B.-2C.-2≤m<-1或3D.-22.若“x2-3x+2<0”是“x2-(2a+1)x+a2+a>0”的一个充分不必要条件,则a的取值范围是( )
A.02
C.a≤0或a≥2 D.13.(多选题)关于x的不等式ax2+(2-4a)x-8>0,下列说法正确的是( )
A.a=0时,不等式的解集为{x|x>4}
B.a<0时,不等式的解集为xx>4或x<-
C.a<0时,不等式的解集为
D.a=-时,不等式的解集为
4.不等式x≤的解集是 .
5.不等式--3<0的解集是 .
6.已知关于x的不等式ax2-(a+1)x+1>0.
(1)若a=3,解上述关于x的不等式;
(2)若a∈R,解上述关于x的不等式.
题组二 三个“二次”的综合应用
7.(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥3},则下列说法正确的是( )
A.a>0
B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-6}
C.不等式cx2-bx+a<0的解集为
D.a+b+c<0
8.(多选题)已知不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d},则下列四个结论中正确的是( )
A.a2=4b
B.a2+≥4
C.若解x2+ax-b<0得x10
D.若解x2+ax+b9.(多选题)已知关于x的不等式a(x-1)(x+3)+2>0的解集是{x|x1A.x1+x2+2=0 B.-3C.x2-x1>4 D.x1x2+3<0
10.已知二次函数y=ax2+bx+4的图象的顶点坐标为,则不等式bx2+4x+a≥0的解集为 .
11.已知函数y=x2+bx+1(b是实数),且y的取值范围是{y|y≥0},若关于x的不等式x2+bx+1题组三 一元二次不等式的恒(能)成立问题
12.若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
13.关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是R,则实数a的取值范围为( )
A.a≥ B.a≤
C.-≤a≤ D.a≤-或a≥
14.若不等式<0对一切x∈R都成立,则实数m的取值范围是 .
题组四 一元二次不等式的应用
15.若使集合A={x|(kx-k2-2k-2)(2x-5)>0,x∈Z}中的元素个数最少,则实数k的取值范围是 .
16.某公司旗下的某商品原来每件的售价为25元,年销售量为8万件.
(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少0.2万件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元
(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定对该商品进行技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元/件.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.当该商品改革后的销售量a至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和 并求出此时商品的每件定价.
17.如图所示,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求M在射线AB上,N在射线AD上,且对角线MN过点C,已知AB=4米,AD=3米,设AN=x米.
(1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米,则AN的长应在什么范围内
(2)现要在扩建部分铺上大理石,则当AN的长度是多少时,用料最省
答案与分层梯度式解析
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
基础过关练
1.A 2.D 8.A 9.B 10.D 11.D 13.A 14.A
15.A 16.BD 19.C
1.A 由题意得A={x∈N*|x≤3}={1,2,3},B={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4},∴A∩B={1,2,3},故选A.
2.D 不等式9x2+6x+1≤0可化为(3x+1)2≤0,所以x=-,所以该不等式的解集是.
故选D.
3.答案 {x|-1解析 由x2-2x-3<0,得(x-3)(x+1)<0,解得-14.答案 {x|-4解析 由≤0得解得-4易错警示 解分式不等式,一要注意在分母符号不确定时不能直接去分母(必要时移项、通分),而应分析分子、分母之间的符号关系;二要注意分母不能为零.
5.答案 {x|0解析 依题意得A={x|x2<1}={x|-16.解析 (1)由2x2-7x+3<0,可得(2x-1)(x-3)<0,解得(2)原不等式可化为3x2-6x+2≥0,易知方程3x2-6x+2=0的两根为1±,结合函数y=3x2-6x+2的图象(图略),可得原不等式的解集为xx≤1-或x≥1+.
(3)原不等式可化为(2x+1)2>0,解得x≠-,所以原不等式的解集为.
(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,即(x-3)2+1<0,无解,所以原不等式的解集为 .
7.解析 (1)不等式≤2即-2≤0,∴≤0,即≤0,即≥0,∴∴x≥1或x<0,
故原不等式的解集为{x|x≥1或x<0}.
(2)由x2+(a-1)x-a>0,可得(x+a)(x-1)>0①,
则当-a<1,即a>-1时,解不等式①,得x<-a或x>1;
当a=-1时,解不等式①,得x≠1;
当-a>1,即a<-1时,解不等式①,得x<1或x>-a.
综上所述,当a>-1时,不等式的解集为{x|x<-a或x>1},当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1},当a<-1时,不等式的解集为{x|x<1或x>-a}.
8.A 由题图易知y>0对应的x的范围是{x|-29.B ∵关于x的不等式(ax-1)(x+1)<0的解集是,
∴方程(ax-1)(x+1)=0的两根为-1与-,且a<0,
故可得=-,解得a=-2,故选B.
10.D ∵不等式ax2+bx+2>0的解集是x-∴-+=-,-×=,解得a=-12,b=-2,
∴a-b=-12-(-2)=-10,故选D.
11.D ∵关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1∴a<0,且-1和2是方程ax2+bx+2=0的两实数根,
则解得
因此不等式bx2-ax-2>0即为x2+x-2>0,解得x<-2或x>1,故选D.
12.解析 (1)因为不等式x2-(a+2)x+b≤0的解集为{x|1≤x≤2},所以1,2是方程x2-(a+2)x+b=0的两实数根,所以解得
(2)将a=1,b=2代入关于x的不等式(x-c)(ax-b)>0,得(x-c)(x-2)>0,
∵c为常数,且c≠2,
∴当c>2时,解集为{x|x>c或x<2},当c<2时,解集为{x|x>2或x13.A ∵关于x的不等式-x2+mx-1≥0有解,且函数y=-x2+mx-1的图象开口向下,∴函数图象与x轴有交点,∴Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.故选A.
14.A 由 x∈R,x2-4x+m<0是真命题,可得Δ=16-4m>0,即m<4,
因为{m|m<2} {m|m<4},所以“m<2”是“ x∈R,x2-4x+m<0是真命题”的充分不必要条件.故选A.
15.A 当k=0时,不等式kx2-6kx+k+8≥0化为8≥0,恒成立;
当k≠0时,要使不等式kx2-6kx+k+8≥0恒成立,需解得0综上,k的取值范围是{k|0≤k≤1}.故选A.
16.BD ∵ x∈R,关于x的不等式x2-ax+a>0恒成立,
∴Δ=(-a)2-4a<0,解得0设所求的必要不充分条件对应的集合是N,则M N,对比选项可知,选项B,D均符合题意.故选BD.
17.答案 {a|-1≤a≤3}
解析 ∵命题“ x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是假命题,∴它的否定: x∈R,x2+(a-1)x+1≥0为真命题,∴Δ=(a-1)2-4≤0,∴-1≤a≤3.
故a的取值范围为{a|-1≤a≤3}.
18.答案 {a|-4≤a≤0}
解析 当a=0时,不等式化为-1>0,解集为 ,满足题意;
当a≠0时,若不等式ax2+ax-1>0的解集为 ,则解得-4≤a<0.
综上,实数a的取值范围是{a|-4≤a≤0}.
19.C 依题意得每天有(300-10x)套礼服被租出,
该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为(300-10x)·(200+10x)=(-100x2+1 000x+60 000)元.
由题意知-100x2+1 000x+60 000>62 400,
即x2-10x+24<0,解得4因为1≤x≤20且x∈Z,所以x=5,
故要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,则每套礼服每天的租价应定为250元.故选C.
20.解析 (1)由题意,得69n-192-12n-3n(n-1)>0,即-3n2+60n-192>0,
化简得n2-20n+64<0,解得4又n∈N*,所以nmin=5.
所以购买该批小型货车后的第5年开始盈利.
(2)设购买该批小型货车n年后的年平均利润为y万元,
则y==-3+60≤-3×2+60=12,当且仅当n=,即n=8时取“=”.
所以购买该批小型货车后的年平均利润的最大值是12万元.
能力提升练
1.C 2.C 3.AD 7.ABD 8.ABD 9.ACD 12.C 13.A
1.C 不等式x2+(m+1)x+m<0可化为(x+1)(x+m)<0,由已知得m≠1.
当m>1时,-m<-1,解不等式得-m当m<1时,-m>-1,解不等式得-1由不等式的解集中恰有两个整数可得-4≤-m<-3或1<-m≤2,解得32.C 令A={x|x2-3x+2<0},则A={x|(x-1)(x-2)<0}={x|1令B={x|x2-(2a+1)x+a2+a>0},则B={x|(x-a)·[x-(a+1)]>0}={x|x>a+1或x“x2-3x+2<0”是“x2-(2a+1)x+a2+a>0”的一个充分不必要条件,即x∈A是x∈B的充分不必要条件,则A是B的真子集,因此a+1≤1或a≥2,解得a≤0或a≥2.故选C.
3.AD 当a=0时,不等式为2x-8>0,解得x>4,所以不等式的解集为{x|x>4},故A正确.由ax2+(2-4a)x-8>0可得(ax+2)(x-4)>0,当a≠0时,对应方程(ax+2)(x-4)=0的两根为-,4,若即a<-,则原不等式的解集为;若即-易错警示 解决参数的取值范围问题要注意两点:一是对参数进行分类讨论时要全面,二是参数取值范围涉及的端点能否取到需单独考虑.
4.答案 {x|x≤-1或0解析 不等式x≤可化为≤0,即x(x-1)(x+1)≤0且x≠0,利用数轴标根法,
∴不等式的解集为{x|x≤-1或0知识拓展 高次不等式因式分解后,在数轴上标出方程的根,当最高次项系数为正时,最右边一个根的右边为正,向左依次改变符号(偶次项的根符号不变),得出简图写出解集,当最高次项系数为负时,先化为正的再求解.
5.答案
解析 由--3<0可得1-2x-3x2<0(x≠0),即(x+1)(3x-1)>0(x≠0),解得x<-1或x>,
所以不等式的解集为.
6.解析 (1)当a=3时,原不等式可化为3x2-4x+1>0,
解得x>1或x<,
故不等式的解集为.
(2)原不等式可化为(ax-1)(x-1)>0,
当a=0时,-x+1>0,解得x<1.
当a≠0时,原不等式可化为a(x-1)>0,
若a<0,解不等式得若0或x<1,
若a=1,解不等式得x≠1,
若a>1,解不等式得x<或x>1.
综上,当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a<0时,不等式的解集为x或x<1;当a=1时,不等式的解集为xx∈R,x≠1;当a>1时,不等式的解集为xx<或x>1.
7.ABD 因为关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-2或x≥3},所以a>0,且-2,3是方程ax2+bx+c=0的两实数根,所以则
所以bx+c>0即-ax-6a>0,解得x<-6,因此选项A,B正确;不等式cx2-bx+a<0即为-6ax2+ax+a<0,即6x2-x-1>0,解得x<-或x>,因此选项C错误;a+b+c=a-a-6a=-6a<0,因此选项D正确.故选ABD.
8.ABD 对于A,不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d},即方程x2+ax+b=0有两个相等的根,Δ=a2-4b=0,即a2=4b,A正确;对于B,由a2=4b,得a2+=a2+≥4,当且仅当a=时等号成立,B正确;对于C,若解x2+ax-b<0得x19.ACD 由题意得a(x-1)(x+3)+2=ax2+2ax-3a+2>0的解集为{x|x1∴a<0,且x1,x2是ax2+2ax-3a+2=0的两个根,则
∴x1+x2+2=0,x1x2+3=<0,则A、D正确;
原不等式可化为a(x-1)(x+3)>-2,其解集为{x|x1由图知x1<-3<14,故B错误,C正确.故选ACD.
10.答案 {1}
解析 由已知得a≠0.∵二次函数y=ax2+bx+4的图象的顶点坐标为,
∴解得a=b=-2,
∴不等式bx2+4x+a≥0即-2x2+4x-2≥0,
即x2-2x+1=(x-1)2≤0,∴x=1,
∴所求不等式的解集为{1}.
11.答案
解析 由已知得二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个交点,则Δ=b2-4=0,解得b=±2,
当b=2时,不等式x2+bx+1由题知该不等式的解集为{x|m-20,
解不等式(x+1)20,符合题意;
当b=-2时,不等式x2+bx+1解得1-0,符合题意.
综上,实数c的值为.
12.C ①当a2-4=0,即a=±2时,
若a=2,则原不等式为4x-1≥0,解得x≥,则不等式的解集为,不是空集;
若a=-2,则原不等式为-1≥0,无解,不符合题意.
②当a2-4≠0,即a≠±2时,
若(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则有解得-2则当不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集时,有a<-2或a≥且a≠2.
综上,实数a的取值范围为.故选C.
13.A 令t=|x|,t≥0,关于x的不等式ax2-|x|+2a≥0的解集是R,
即对于任意t∈{t|t≥0},at2-t+2a≥0恒成立,因此a≥对任意t∈{t|t≥0}恒成立,
当t=0时,a≥0;当t>0时,易知=≤=,当且仅当t=时取“=”,即=,所以a≥.
综上,a≥.故选A.
14.答案 {m|-4解析 ∵x2-8x+20=(x-4)2+4≥4>0,
∴mx2-mx-1<0对一切x∈R都成立,
当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,不等式成立;
当m≠0时,要使mx2-mx-1<0对一切x∈R都成立,需m<0,且Δ=m2+4m<0,得-4综上,m的取值范围为{m|-415.答案 {k|-2≤k≤-1}
解析 ①当k=0时,集合A={x|-2(2x-5)>0,x∈Z}=,则A中元素有无数个,不符合题意.
②当k>0时,(kx-k2-2k-2)(2x-5)>0的解集的形式为{x|xx2}(其中x1,x2为对应方程的根,且x1③当k<0时,易知A=x2+k+故k的取值范围为{k|-2≤k≤-1}.
16.解析 (1)设每件定价为t元,
依题意得t[8-0.2(t-25)]≥25×8,
则t2-65t+1 000=(t-25)(t-40)≤0,
解得25≤t≤40,
所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
(2)依题意得,当x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+有解,
即当x>25时,a≥++有解,
因为+x≥2=10(当且仅当x=30时等号成立),
所以a≥10.2,此时该商品的每件定价为30元,
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
17.解析 (1)由已知得x>3.由DC∥AM,可得=,则=,则AM=,则花坛AMPN的面积(单位:平方米)为AM·AN=,由已知得>54,x>3,
所以2x2-27x+81>0,即(2x-9)(x-9)>0,
所以39,
所以AN的长(单位:米)的取值范围是x39.
(2)根据题意,可得扩建部分的面积(单位:平方米)S=-12,x>3,
令t=x-3(t>0),可得S=-12=4t++12≥2×+12=36,
当且仅当t=3时,等号成立,即AN=x=6米时,用料最省.
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