专题强化练1　利用基本不等式求含条件的最大(小)值

专题强化练1　利用基本不等式求含条件的最大(小)值
1.已知x>0,y>0,x+y=1,则的最小值为(　　)
A.4　　B.　　C.+2　　D.2+1
2.正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是(　　)
A.1　　B.3　　C.6　　D.9
3.若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4,则2a+b+c的最小值是(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
4.已知a,b为正实数,且+=,则a+b的最小值为(　　)
A.　　B.1　　C.　　D.2
5.若x,y满足(x-y-1)(y-x-1)=xy,则(　　)
A.x+y≤1　　　　B.x+y≥2　　
C.x2+y2≥1　　　　D.x2+y2≤2
6.(多选题)已知x+y=1,y>0,x≠0,则+的值可能是(　　)
A.　　B.　　C.1　　D.
7.已知正实数a,b满足2a+b+6=ab,则a+2b的最小值为　　　　.
8.设正数a,b满足a++3=16,则+的最大值是　　　　.
9.已知实数x,y满足x>-1,y>-,2x+4y=3,则+的最小值是　　　　.
10.若a,b∈R,且a2+2ab-3b2=1,则a2+b2的最小值为　　　　.
11.已知正实数x,y满足(x+3y-1)(2x+y-1)=1,求x+y的最小值.
12.已知x>0,y>0,4x2+y2+xy=1,求:
(1)4x2+y2的最小值;
(2)2x+y的最大值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练1　利用基本不等式求含条件的最大(小)值
1.D 2.B 3.D 4.C 5.D 6.BCD
1.D　因为x>0,y>0,x+y=1,
所以原式===++1≥2+1=2+1,当且仅当=且x+y=1,即x=-1,y=2-时取等号,
所以的最小值为2+1.故选D.
方法技巧　目标式是分母为单项式的分式,可利用条件配凑为齐次分式,再进行变形化为可用基本不等式的形式,进而求出最值.
2.B　由x>0,y>0,且x2+2xy-3=0,可得y=,0≥2=3,当且仅当x=1,y=1时取“=”.
故2x+y的最小值是3.故选B.
规律方法　求含有条件的关于两个变量的式子的最大(小)值,可先利用条件消去一个变量,转化为基本不等式求最值,解题时要注意消元时变量取值范围的转化.
3.D　因为a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=a(a+b)+ac+bc=(a+c)(a+b)=4,
所以2a+b+c=a+b+(a+c)≥2=4,当且仅当a+b=a+c,即b=c时取等号,故2a+b+c的最小值为4.故选D.
方法技巧　将条件进行因式分解后是积的形式,所求式恰好可变形为这两个因式和的形式,再运用基本不等式求解.
4.C　由已知得a+b=[(a+2b)+(a+3)]-
=[(a+2b)+(a+3)]-
=++≥,当且仅当=,即a=1,b=时等号成立,故a+b的最小值为.故选C.
5.D　由(x-y-1)(y-x-1)=xy,整理得x2+y2=1+xy,
所以(x+y)2=1+3xy,
因为x2+y2≥2xy,所以(x+y)2≥4xy=[(x+y)2-1],所以(x+y)2≤4,故-2≤x+y≤2,当且仅当x=y时取等号,
又x2+y2=1+xy≤1+(x2+y2),所以x2+y2≤2,当且仅当x=y时取等号.故选D.
6.BCD　由x+y=1,得x+y+1=2,
则+=+=++≥+2=+1,当且仅当y+1=2|x|时,等号成立.当x>0时,+≥;当x<0时,+≥,结合选项知+的值可能是,1,.
故选BCD.
7.答案　13
解析　解法一(消参):由a>0,2a+b+6=ab可得a=>0,由于b>0,所以b>2,
故a+2b=+2b=+2(b-2)+5≥2+5=13,当且仅当a=5,b=4时等号成立,故a+2b的最小值为13.
解法二(因式分解):因为2a+b+6=ab,所以(a-1)·(b-2)=8,即(a-1)(2b-4)=16≤=,所以a+2b-5≥8,即a+2b≥13,当且仅当a=5,b=4时等号成立,故a+2b的最小值为13.
8.答案　18
解析　因为16=(a+3b)+≥2=2,
所以+≤18,当且仅当a+3b=+=8时取等号,故+的最大值是18.
9.答案　
解析　因为x,y满足x>-1,y>-,2x+4y=3,
所以(x+1)+(2y+3)=,
则+=[(x+1)+(2y+3)]=≥=,
当且仅当=且2x+4y=3,即x=,y=-时取等号,故+的最小值是.
10.答案　
解析　由a2+2ab-3b2=1得(a+3b)(a-b)=1,
令x=a+3b,y=a-b,则xy=1且a=,b=,
所以a2+b2=+=≥=,当且仅当x2=,y2=时,取等号,故a2+b2的最小值为.
11.解析　因为x>0,y>0,
所以x+3y-1>-1,2x+y-1>-1,
因为(x+3y-1)(2x+y-1)=1,
所以x+3y-1>0,2x+y-1>0,
因此x+y=(x+3y-1)+(2x+y-1)+
≥2+=,
当且仅当(x+3y-1)=(2x+y-1),
即即时取等号,
所以x+y的最小值为.
导师点睛　题中条件是积(x+3y-1)(2x+y-1)为定值,求和x+y的最小值,关键是将x+y用条件中的两个因式表示,可用待定系数法求解,令x+y=m(x+3y)+n(2x+y),可得m=,n=,故x+y=(x+3y)+(2x+y)=(x+3y-1)+(2x+y-1)+,然后利用基本不等式求解最值即可.
12.解析　(1)∵x>0,y>0,∴4x2+y2≥2=4xy=4[1-(4x2+y2)],
∴4x2+y2≥,当且仅当x=,y=时等号成立,∴4x2+y2的最小值是.
(2)由x>0,y>0,且4x2+y2+xy=1,得(2x+y)2-1=3xy=·2x·y≤×,
∴(2x+y)2≤,∴2x+y≤,
当且仅当x=,y=时等号成立,
∴2x+y的最大值是.
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