专题强化练2　三个“二次”的应用

专题强化练2　三个“二次”的应用
1.若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|20的解集为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
2.已知关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集中有且仅有4个正整数,则a的取值范围是(　　)
A.-3≤a<-2　　　　B.-3C.43.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为 ,则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|a<-2或a≥2}　　　　B.{a|-2C.{a|-24.已知a,b∈R,且aA.aC.a5.(多选题)已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<1或x>3},则下列结论正确的是(　　)
A.c<0
B.a+2b+4c<0
C.cx+a<0的解集为
D.cx2-bx+a>0的解集为
6.设一元二次方程x2+(a-1)x+2a-5=0的两个实根为x1,x2(x1≠x2),则当x1x2(x1+x2+9)>0时,a的取值范围是　　　　　　.
7.已知函数y=x2+2(a+2)x+a2-1,y=0有两根x1,x2.若x1<08.已知正实数x,y满足x++3y+=10,则xy的取值范围是　　　　,的取值范围是　　　　　　.
9.关于x的不等式组的整数解组成的集合为A.
(1)当k=3时,求集合A;
(2)若集合A={-2},求实数k的取值范围;
(3)若集合A中有2 019个元素,求实数k的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　三个“二次”的应用
1.A 2.D 3.C 4.A 5.ABC
1.A　不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|2∴a>0且2,3是ax2+bx+c=0的两个根,
∴即
则不等式cx2+bx+a>0可化为6ax2-5ax+a>0,又a>0,
∴6x2-5x+1>0,解得x>或x<,故选A.
2.D　由x2-(a+1)x+a≤0,得(x-a)(x-1)≤0,
因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集中有且仅有4个正整数,所以a>1,
故原不等式的解集为{x|1≤x≤a},所以4≤a<5,故选D.
3.C　因为不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4≥0的解集为 ,
所以不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R.
当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,符合题意.
当a-2≠0,即a≠2时,
易得解得-2综上,实数a的取值范围是{a|-24.A　解法一:由题可得x1+x2=a+b,x1x2=ab+1.由a0,所以m>0.故x1>a,x2解法二(数形结合):不等式x2-(a+b)x+ab+1<0可化为(x-a)(x-b)<-1,
设y=(x-a)(x-b),画出函数y=(x-a)(x-b)的大致图象与直线y=-1,如图所示,
由图象可知a5.ABC　因为不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<1或x>3},
所以ax2+bx+c=0的两个根为1和3,且a<0,
由根与系数的关系得解得
因为c=3a<0,所以A正确;
因为a+2b+4c=a-8a+12a=5a<0,所以B正确;
不等式cx+a<0可化为3ax+a<0,因为a<0,所以3x+1>0,解得x>-,所以不等式cx+a<0的解集为,选项C正确;
不等式cx2-bx+a>0可化为3ax2+4ax+a>0,因为a<0,
所以3x2+4x+1<0,即(x+1)(3x+1)<0,得-1因此不等式cx2-bx+a>0的解集为,选项D错误.故选ABC.
6.答案　
解析　因为方程x2+(a-1)x+2a-5=0的两个实根为x1,x2(x1≠x2),
所以Δ=(a-1)2-4(2a-5)>0,解得a<3或a>7易错点,
根据根与系数的关系得x1+x2=1-a,x1x2=2a-5,
由x1x2(x1+x2+9)>0得(a-10)(2a-5)<0,
解得又a<3或a>7,所以故a的取值范围是a7.答案　{a|-1解析　若y=0的两根x1,x2满足x1<0(二次函数的图象开口向上,与x轴的两交点分别在x=0的两侧,则只需x=0时的函数值为负)
则a2-1<0,解得-1若y=0的两根x1,x2满足-4(两个根在同一范围内,结合二次函数图象,从0与-4处的函数值、判别式、对称轴三个方面列不等式组)
则解得-故a的取值范围为.
8.答案　1≤xy≤;≤≤2
解析　对已知式左边分组,利用基本不等式构造关于xy和的不等式,解不等式即可.
因为x>0,y>0,所以10=+≥2=2当且仅当x+=+3y=5时取“=”,得3(xy)2-11xy+8≤0,即(xy-1)(3xy-8)≤0,解得1≤xy≤.
因为x>0,y>0,所以10=(x+3y)+≥2=2当且仅当x+3y=+=5时取“=”,得4-11+6≤0,即≤0,解得≤≤2.
9.解析　(1)当k=3时,原不等式组可化为解得-3(2)由x2-x-2>0得x<-1或x>2.
因为有唯一整数解x=-2,
且方程2x2+(2k+5)x+5k=(2x+5)(x+k)=0的两个根为-k和-,所以结合数轴可得-2<-k≤3,(借助数轴得到此不等式,要注意等号能否取到)
所以-3≤k<2.
(3)当-k<-时,由A中有2 019个元素可得A={-3,-4,…,-2 021}(借助数轴找到这2 019个整数),
所以-2 022≤-k<-2 021,解得2 021当-k>-时,由A中有2 019个元素可得A={-2,3,4,…,2 020}(借助数轴找到这2 019个整数,注意-2是A中的元素),
所以2 020<-k≤2 021,得-2 021≤k<-2 020.
所以实数k的取值范围为{k|2 0217