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1.函数的有关概念
3.1 函数的概念及其表示
知识点 1 函数的概念
知识 清单破
定义 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y=f(x),x∈A
定义域 x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域
值域 与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合C={f(x)|x∈A}叫做函数的值域
2.函数的三要素
(1)三要素:定义域、对应关系和值域.
(2)同一个函数的判定:两个函数的定义域和对应关系相同(值域是由定义域和对应关系决定
的).
不等式 区间 数轴表示
a≤x≤b [a,b]
a
a≤xax≥a [a,+∞)
3.区间的概念:设a,b∈R,ax>a (a,+∞)
x≤b (-∞,b]
x 实数集R用区间表示为(-∞,+∞).
函数的表示法
1.函数的三种表示法
知识点 2
表示法 定义 特点
解析法 用解析式表示两个变量之间的对应关系 简单、全面,易求函数值
列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 无需计算,查表可得函数值
图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 形象、直观,便于研究函数的性质
2.分段函数
(1)已知函数y=f(x),x∈A,如果自变量x在不同的取值范围内,函数有着不同的对应关系,那么我
们称这样的函数为分段函数.
(2)分段函数是一个函数,其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集;各段函数
的定义域的交集是空集.
知识辨析
1.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示
2.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应 任何一个函数值y是
否都有唯一的自变量x与之对应
一语破的
1.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.
2.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应,但是函数值y不一定有唯一的自变量x与之
对应.如f(x)=x2中,函数值4有两个自变量2,-2与之对应.函数中x,y的对应关系是“一对一”或
“多对一”,不能“一对多”.
定点 1 求函数的定义域
关键能力 定点破
1.已知函数解析式求定义域
(1)根据解析式的运算特点列出使函数有意义的不等式(组),不等式(组)的解集就是函数的定
义域.
(2)函数有意义的依据:①分式的分母不为0;②偶次根式的被开方数非负;③y=x0中要求x≠0等.
2.由实际背景确定的函数,其定义域不仅要使解析式有意义,还要使自变量满足实际意义.
3.求抽象函数的定义域
(1)求抽象函数的定义域,要明确以下几点:
①函数f(x)的定义域是指x的取值范围.
②函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
③f(t), f(φ(x)), f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的取值范围相同.
(2)抽象函数定义域的求解方法:
①已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的取值范围.
②已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知x的取值范围为B,求φ(x)的取值范围,
此范围就是f(x)的定义域.
③已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围为C,求出φ(x)
的取值范围D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就是f(g(x))的定义域.
典例1 求下列函数的定义域.
(1)f(x)= ;(2)y= + ;(3)y= .
解析 (1)由题意可知 解得x< 且x≠- ,所以f(x)的定义域为
.
(2)要使函数有意义,需满足 解得x≤-2或x≥3,所以函数y= + 的定义
域为{x|x≤-2或x≥3}.
(3)要使函数有意义,需满足 解得x≤5,且x≠±3,所以函数y= 的定义域为{x|x≤
5,且x≠±3}.
易错警示 已知函数解析式求函数定义域要注意以下两点:
(1)自变量满足的条件以函数解析式为依据,不可对解析式化简变形.
(2)定义域必须用集合或者区间表示,且用区间表示结果为几部分的定义域时,应该用并集符
号“∪”连接.
典例2 (1)已知函数f(x)的定义域为[1,3],求函数f(2x+1)的定义域;
(2)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(x)的定义域;
(3)已知函数f(2x+1)的定义域为[1,3],求函数f(3x)的定义域;
(4)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求函数g(x)=f(x+m)+f(x-m)(m>0)的定义域.
思路点拨 抓住定义域是自变量的取值范围解题,在函数f(x)、 f(2x+1)、 f(3x)、 f(x+m)、 f(x
-m)中x是自变量,且括号内整体的范围相同.
解析 (1)易知函数f(2x+1)中2x+1的范围与函数f(x)中x的范围相同,
∴2x+1∈[1,3],即x∈[0,1],
∴函数f(2x+1)的定义域为[0,1].
(2)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],
∴函数f(x)的定义域为[3,7].
(3)∵x∈[1,3],∴2x+1∈[3,7],
∴3x∈[3,7],即x∈ ,
∴函数f(3x)的定义域为 .
(4)依题意有 ∴
∵m>0,∴-m①若m=1-m,即m= ,则x=m= ;
②若m<1-m,即m< ,则m≤x≤1-m;
③若m>1-m,即m> ,则x不存在,与题意不符.
综上,0求函数的值域
求函数的值域时,应根据解析式的不同结构特点,选择不同的方法,常用方法如下:
(1)直接法:对于一些比较简单的函数,可根据其解析式的结构特征,由自变量的范围逐步运算
求出函数值的范围得到值域.
(2)图象法:画出函数的图象,利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域.
(3)配方法:此方法是求二次函数值域的基本方法,通常把函数式通过配方转化成完全平方式
与常量的和(差)的形式.
(4)分离常数法:此方法主要是针对有理分式形式的函数,将“有理分式”的“分子”用“分
母”线性表示,即可分离出常数,利用反比例函数的性质求值域.
(5)换元法:对于一些无理函数(如y=ax±b± ),通过换元把它们转化为我们熟悉的函数,间
接求出原函数的值域,注意换元后新元的取值范围.
定点 2
除此之外还有判别式法、反表示法等,解题时可根据题目特点灵活选择并应用.
典例 求下列函数的值域:
(1)y= ;(2)y= ;
(3)y= ;(4)y=2x- .
解析 (1)对于y= ,由16-x2≥0,解得-4≤x≤4,
∴函数的定义域为[-4,4].
由-4≤x≤4,得0≤x2≤16,
因此-16≤-x2≤0,
∴0≤16-x2≤16,从而0≤ ≤4,
故函数y= 的值域为[0,4].
(2)解法一(分离常数法):y= = =2+ ,显然 ≠0,所以y≠2,故函数的值域为
(-∞,2)∪(2,+∞).
解法二(反表示法):由y= 得x= ,由 有意义得y-2≠0,所以y≠2,
故原函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).
(3)解法一(基本不等式法):当x=0时,y=0;当x>0时,y>0,且y= ≤ =1(当且仅当x=1时,等号
成立),故y∈(0,1];
当x<0时,y<0,且y=- ≥-1(当且仅当x=-1时,等号成立),故y∈[-1,0).
∴函数的值域为[-1,1].
解法二(判别式法):易知y= 的定义域为R,将函数解析式化为yx2-2x+y=0,可以看成关于x
的一元二次方程,则这个方程有实数根,∴Δ=4-4y2≥0,∴y2≤1,∴-1≤y≤1,
∴函数的值域为[-1,1].
(4)设t= ,则t≥0,且x=t2+1,
所以y=2(t2+1)-t=2 + ,t≥0,
画出函数图象如图所示:
由图可得函数的值域为 .
求函数的解析式
1.当函数类型已知时,可采用“先设后求,待定系数”的方法求其解析式.
一次函数的解析式可设为f(x)=ax+b(a≠0);反比例函数的解析式可设为f(x)= (k≠0);二
次函数的解析式可根据条件设为①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0),②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠
0),③交点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.当函数类型未知时,可根据条件选择以下方法求其解析式.
(1)代入法:已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,通常把g(x)作为一个整体替换f(x)中的x.
(2)换元法:已知f(g(x))是关于x的函数,求f(x)的解析式,通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),将x=e(t)
代入f(g(x))中,得到f(t)的解析式,再用x替换t,便可得到f(x)的解析式.
(3)配凑法:将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法,使之变形为关于g(x)的函数解
析式,然后以x代替g(x),即得所求函数解析式,这里的g(x)可以是多项式、分式、根式等.
定点 3
(4)消元法(方程组法):已知有关f(x)与f 、 f(-x)或f(1-x)等的关系式,可根据已知条件用 、
-x或1-x等替换x,再构造出另外一个关系式,组成方程组,通过解方程组求出 f(x).
(5)赋值法:根据题目的特征,可对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而根据找出的
一般规律求出函数解析式.主要适用于抽象函数求解析式.
典例 (1)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的解析式;
(2)已知f( +1)=x+2 ,求f(x)的解析式;
(3)若函数f(x)满足2f(x)+f =2x,x∈R且x≠0,求f(x)的解析式;
(4)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求
f(x)的解析式.
解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
所以 解得
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-1.
(2)解法一(换元法):令t= +1,则x=(t-1)2,t≥1,
所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
解法二(配凑法): f( +1)=x+2 =x+2 +1-1=( +1)2-1.
因为 +1≥1,所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
(3)将x换成 得2f +f(x)= (x≠0),
由 得f(x)= x- (x≠0).
(4)解法一:令y=x,得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1).因为f(0)=1,
所以f(x)-x(x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.
解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)=1-y(-y+1).
令-y=x,得f(x)=1+x(x+1)=x2+x+1.
正确理解与应用分段函数解决问题
1.分段函数是一个函数,而不是几个函数,只是根据自变量的不同范围分成了几段而已.
2.研究分段函数时,应注意“先分后合”,即先由定义域分段考虑,再合并整体把握.
定点 4
典例 (1)已知函数f(x)= 求使f(x)<2成立的x的取值集合;
(2)已知 f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),a≠0,求a的值.
解析 (1)f(x)<2可化为 或 解得1≤x< 或x<- 或 所以使f(x)<2成立的x的取值集合为 x x<- 或 (2)f(1-a)=f(1+a)可化为
或
即 (舍去)或 因此a=- .3.1.2 函数的表示法
基础过关练
题组一 函数的表示法及其应用
1.(教材习题改编)函数y=的图象大致是( )
2.小明同学乘高铁去旅游.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘在家里,于是返回家中取身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图象中与上述事件吻合最好的是( )
3.已知函数y=f(x)的对应关系如表,函数y=g(x)的图象为如图所示的曲线ABC,则g(f(3))的值为 .
x 1 2 3
y=f(x) 2 3 2
题组二 函数的解析式
4.若函数f(x+1)=x2-5,则f(x)=( )
A.x2+2x-6 B.x2+2x-4
C.x2-2x-6 D.x2-2x-4
5.函数f(2x+1)=x2-3x+1,则f(3)=( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
6.已知函数f(2x-1)=3x-5,若f(x0)=4,则x0= .
7.已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)= .
8.(1)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求函数f(x)的解析式;
(2)(易错题)已知f(+1)=x+2,求函数f(x)的解析式.
题组三 分段函数问题
9.已知函数f(x)=若f(f(0))=-2,则实数a=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(教材习题改编)函数f(x)=x+的图象是( )
11.(易错题)已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是( )
A. f(1)=3
B.若f(x)=1,则x=1
C. f(x)的定义域为R
D. f(x)的值域为(-∞,4)
12.已知函数f(x)=若f(x)=10,则x= .
13.已知f(x)=
(1)若f(a)=,求a的值;
(2)若f(f(k))=,求k的值
14.(教材习题改编)某小组4位同学准备乘坐出租车去参加社会实践活动.已知全程30千米,且该城市出租车的收费标准是:起步价11元(乘车不超过3千米);行驶3千米后,每千米车费2.2元;行驶10千米后,每千米车费2.8元.
(1)写出同学们打车的费用f(x)(单位:元)与路程x(单位:千米)的函数关系式;
(2)为了节省支出,他们设计了三种乘车方案:
①不换车:乘一辆出租车行驶30千米;
②分两段乘车:先乘一辆车,行驶15千米后,换乘另一辆车,再行驶15千米;
③分三段乘车:每行驶10千米后,换乘一次车.
哪一种方案最省钱
能力提升练
题组一 函数的表示法及其应用
1.(多选题)设f(x)=(x≠±1),则下列结论错误的有( )
A. f(2x)=
B. f(-x)=f(x)(x≠±1)
C. f=-f(x)(x≠0且x≠±1)
D. f=f(x)(x≠0且x≠±1)
2.函数f(x)=2|x|-(a∈R)的大致图象不可能为( )
3.已知函数y=f(x),y=g(x)的对应关系如下表:
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为 ;满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为 .
题组二 求函数的解析式
4.如图,在一直角墙角内的点P处有一棵树,它到两墙的距离分别是3米和2米.现欲用10米长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD,要求这棵树被围在花圃内或边界上.设BC=x米,则矩形花圃的面积f(x)(单位:平方米)为( )
A. f(x)=-x2+5x(0≤x≤10)
B. f(x)=-x2+10x(0≤x≤10)
C. f(x)=-x2+5x(3≤x≤8)
D. f(x)=-x2+10x(3≤x≤8)
5.(多选题)若函数f(1-2x)=(x≠0),则( )
A. f=15
B. f(2)=-
C. f(x)=-1(x≠0)
D. f=-1(x≠0且x≠1)
6.从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精,然后用水将容器加满,再倒出2升酒精溶液,再用水将容器加满,……,照这样的方法继续下去,设倒完第k次后,前k次共倒出纯酒精x升,倒完第(k+1)次后,前(k+1)次共倒出纯酒精f(x)升,则f(x)的解析式是( )
A. f(x)=(x+2) B. f(x)=x+2 C. f(x)=x+2 D. f(x)=x
7.已知f(x)是一次函数,其图象不经过第四象限,且f(f(x))=4x+6,则f(x)= .
8.(1)已知f(x)+2f=3x-2,求f(x)的解析式;
(2)已知f=,求f(x)的解析式;
(3)已知对任意的x,y都有f(x+y)-2f(y)=x2+2xy-y2+3x-3y,求f(x).
题组三 分段函数问题
9.(多选题)如图所示,函数f(x)的图象由两条线段组成,则下列关于函数f(x)的说法中正确的是( )
A. f(2)>f(0)B. f(f(1))=3
C. f(x)=2|x-1|-x+1,x∈[0,4] D. a>0,使不等式f(x)≤a的解集为
10.(教材习题改编)已知f(x)=|x-5|+|x+3|,则f(x)≥10的解集是( )
A.[-5,7] B.[-4,6]
C.(-∞,-5]∪[7,+∞) D.(-∞,-4]∪[6,+∞)
11.设A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=在[0,a]上的值域为[0,1],则实数a的取值范围是 .
13.已知函数f(x)=当f(f(a))=8时,实数a= .
14.定义:若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的回旋点.已知函数f(x)=其中a为常数且a∈(0,1).
(1)当a=时,求f的值,并判断是不是f(x)的回旋点;
(2)当x∈(a,1]时,求函数y=f(f(x))的解析式,并求出f(x)的回旋点.
答案与分层梯度式解析
3.1.2 函数的表示法
基础过关练
1.C 2.C 4.D 5.A 9.C 10.C 11.D
1.C y==+1,则将反比例函数y=的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y=的图象,故选C.
2.C 因为小明中途回家取身份证,因此图象与x轴有交点(除原点外),排除A,B;第二次坐出租车去高铁站的速度比第一次快,因此直线更陡,结合选项知选C.
3.答案 1
解析 由题表可知f(3)=2,由题图可知g(2)=1,故g(f(3))=g(2)=1.
4.D 由f(x+1)=(x+1-1)2-5,得f(x)=(x-1)2-5=x2-2x-4.故选D.
5.A 令2x+1=3,得x=1,则f(3)=1-3+1=-1.故选A.
6.答案 5
解析 解法一:令t=2x-1,则x=,
故f(t)=-5=t-.
因为f(x0)=4,所以x0-=4,解得x0=5.
解法二:由已知得解得
7.答案 3x-2
解析 设f(x)=kx+b(k≠0),
则解得
所以f(x)=3x-2.
8.解析 (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
所以所以因此f(x)=x2-2x-1.
(2)令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1,
所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
因此f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
易错警示 用换元法求函数的解析式时,要先求出中间变量的取值范围,由此确定所求函数的定义域,解题时防止漏求函数定义域导致解题不完整.
9.C 因为f(x)=所以f(0)=03+1=1,
所以f(f(0))=f(1)=1-a=-2,解得a=3.故选C.
10.C 函数f(x)=x+=作出函数图象,如图,
故选C.
11.D ∵函数f(x)=所以f(1)=12=1,因此A错误;若f(x)=1,则或解得x=-1或x=1,因此B错误;根据分段函数的定义知,函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪(-1,2)=(-∞,2),因此C错误;当x≤-1时,x+2≤1,当-1由分段函数的性质得,函数f(x)的值域为(-∞,1]∪[0,4)=(-∞,4),因此D正确.故选D.
12.答案 -3
解析 当x>0时,-2x<0,所以由f(x)=10,
可得解得x=-3.
13.解析 (1)已知f(x)=
当a>0时, f(a)=a+2=,解得a=;
当a≤0时, f(a)=a2=,解得a=-(正值舍去).
综上,a=或a=-.
(2)易知f(x)的值域为[0,+∞).
不妨令f(k)=t,则f(t)=,且t≥0.
当t>0时, f(t)=t+2=,解得t=,
所以f(k)=,所以或
所以k=-.
当t=0时, f(t)=t2=0≠,舍去.
综上,k=-.
14.解析 (1)当0当3当10所以f(x)=
(2)方案①, f(30)=2.8×30-1.6=82.4,
方案②,2f(15)=2×(2.8×15-1.6)=80.8,
方案③,3f(10)=3×(2.2×10+4.4)=79.2,
因为82.4>80.8>79.2,
所以方案③最省钱.
能力提升练
1.AD 2.C 4.D 5.AD 6.C 9.BC 10.D 11.A
1.AD 因为f(x)=(x≠±1),
所以f(2x)==,
f(-x)==f(x)(x≠±1),
f===-f(x)(x≠0且x≠±1),
f===-f(x)(x≠0且x≠±1),故选AD.
2.C 函数的定义域为{x|x∈R,x≠0}.当a=0时, f(x)=2|x|(x≠0),此时A满足.当a>0时,若x>0,则f(x)=2x-,图象上升;若x<0,则f(x)=-,其中y=2x+(x<0)为对勾函数的一部分,此时D满足.当a<0时,若x>0,则f(x)=2x+,为对勾函数的一部分;若x<0,则f(x)=-2x+,图象下降,此时B满足.故选C.
3.答案 1;2
解析 由题表可得g(1)=3,则f(g(1))=f(3)=1.
当x=1时, f(g(1))=1,g(f(1))=g(1)=3,不满足f(g(x))>g(f(x));
当x=2时, f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,满足f(g(x))>g(f(x));
当x=3时, f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不满足f(g(x))>g(f(x)).
故满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为2.
4.D 因为BC=x米,篱笆总长为10米,
所以CD=(10-x)米,
因此f(x)=x(10-x)=-x2+10x,
又因为这棵树被围在花圃内或边界上,
所以解得3≤x≤8,
因此f(x)=-x2+10x(3≤x≤8).故选D.
5.AD 令1-2x=t,则x=,因为x≠0,所以t≠1,
则f(t)==-1(t≠1),
即f(x)=-1(x≠1),
所以f=-1=16-1=15,
f(2)=-1=4-1=3,
f=-1=-1(x≠0且x≠1).故选AD.
6.C ∵倒完第k次后共倒出纯酒精x升,
∴第k次后容器中含纯酒精(10-x)升,
则第(k+1)次倒出纯酒精2×升,
∴f(x)=x+2×=x+2.故选C.
7.答案 2x+2
解析 由题意可设f(x)=kx+b(k>0,b≥0),
则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x+6,
所以所以
所以f(x)=2x+2.
8.解析 (1)f(x)+2f =3x-2①,
将x用替换,可得2f(x)+f =-2②,
①②联立,消去f,解得f(x)=-x-(x≠0).
(2)令t=,则x=(t≠-1),所以f(t)==(t≠-1),故f(x)=(x≠-1).
(3)令x=y=0,可得f(0)-2f(0)=0,则f(0)=0,令y=0,可得f(x)-2f(0)=x2+3x,故f(x)=x2+3x.
9.BC 根据题意,可知函数f(x)为分段函数,且其图象过点(0,3),(1,0),(4,3),
当0≤x<1时,设f(x)=kx+b,
将(0,3),(1,0)代入,可得所以即f(x)=-3x+3;
当1≤x≤4时,设f(x)=mx+n,
将(1,0),(4,3)代入,可得所以故f(x)=x-1.
故f(x)=
选项A,f(2)=1选项B,f(f(1))=f(0)=3,因此B正确;
选项C,f(x)=2|x-1|-x+1=因此C正确;
选项D,由函数图象知,若 a>0,使f(x)≤a的解集为,则f=f(2)=a,又f=2, f(2)=1,因此D错误.故选BC.
10.D 解法一:由题意得f(x)=|x-5|+|x+3|=当x<-3时, f(x)≥10可化为-2x+2≥10,解得x≤-4;
当-3≤x≤5时, f(x)≥10可化为8≥10,显然不成立;
当x>5时, f(x)≥10可化为2x-2≥10,解得x≥6.
因此f(x)≥10的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞).故选D.
解法二:当x=0时, f(x)=8≥10不成立,可排除A,B.
当x=-4时, f(x)=10≥10成立,可排除C.故选D.
解题模板 解含绝对值的不等式,关键是利用零点分段法去绝对值,再利用分类讨论求解,如本题中f(x)=|x-5|+|x+3|=
11.A 因为x0∈A,即0≤x0<,所以f(x0)=x0+,
又≤x0+<1,所以≤f(x0)<1,即f(x0)∈B,
所以f(f(x0))=3[1-f(x0)]=-3x0∈A,
即0≤-3x0<,解得又0≤x0<,所以12.答案 [1,1+]
解析 画出f(x)=的图象,如图:
由x2-2x=1,解得x=1-(舍)或x=1+,
∴要使函数f(x)=在[0,a]上的值域为[0,1],则实数a的取值范围是[1,1+].
13.答案 8
解析 令f(a)=t,则f(t)=8.
当t≤1时,t2+2t=8,解得t=-4或t=2(舍去);
当t>1时,-5=8,解得t=(舍去),
因此t=-4,所以f(a)=-4.
当a≤1时,a2+2a=(a+1)2-1≥-1,故a2+2a=-4无解;
当a>1时,-5=-4,解得a=8,符合题意.
综上所述,a=8.
14.解析 (1)由题意可得,当a=时,
f(x)=
∴f=2=,
因此f=f=2×=,
又f=≠,∴是f(x)的回旋点.
(2)当x∈(a,1]时, f(x)=,对是否大于a分类讨论,求出y=f(f(x))的解析式
∵a当>a,即x当0≤≤a,即a2-a+1≤x≤1时, f(f(x))=f=·=,
∴y=f(f(x))=
当a(方程的解x0需验证两点:一是x0在分段函数对应的定义域内,二是f(x0)≠x0,从而得到回旋点)
∵00,a2-a+1-==>0,∴a<∵f=,∴x=不是f(x)的回旋点.
当a2-a+1≤x≤1时,由回旋点的定义可知=x,解得x=,
∵00,
1-==>0,∴a2-a+1<<1.
又f=·=≠,∴x=是f(x)的回旋点.
综上,y=f(f(x))=
f(x)的回旋点为.
7第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
基础过关练
题组一 函数的概念
1.下列解析式中,y不是x的函数的是( )
A.y=x B.y=|x| C.x=|y| D.y=x2+2x+3
2.(教材习题改编)下列四组函数中,表示同一个函数的是( )
A.y=|x|与y=B.y=与s=()2
C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x0
3.设M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},给出下列四个图形:
其中,能表示从集合M到集合N的函数关系的是( )
A.① B.② C.③ D.④
题组二 函数的定义域
4.(教材习题改编)函数f(x)=的定义域是 .
5.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=的定义域为 .
6.已知某矩形的一边长为x,周长为定值a,若该矩形的面积是x的函数,则这个函数的定义域是 .
题组三 函数值及函数的值域
7.函数y=f(x)的图象如图所示.观察图象可知函数y=f(x)的定义域、值域分别是( )
A.[-5,0]∪[2,6),[0,5] B.[-5,6),[0,+∞)
C.[-5,0]∪[2,6),[0,+∞) D.[-5,+∞),[2,5]
8.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )
A.y= B.y= C.y= D.y=x2+1
9.函数f(x)=+的值域是 .
10.函数y=的值域为 .
11.已知函数f(x)=(x≠0).
(1)分别计算f(2)+f, f(3)+f的值;
(2)计算f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f+f+…+f的值.
能力提升练
题组一 函数的概念
1.(多选题)下列各组函数中,是同一个函数的是( )
A. f(x)=x+2,g(x)=+2
B. f(x)=,g(x)=()2-3
C. f(x)=x2+(x-1)0,g(x)=
D. f(x)=+,g(t)=+
2.(多选题)如果记圆周率π(3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…)的小数点后第n位数字为f(n),则下列说法正确的是( )
A.y=f(n),n∈N*是一个函数B.当n=6时, f(n)=3.141 59
C. f(4)=f(8)D. f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
题组二 函数的定义域
3.若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则y=f(x)的定义域是( )
A.[-1,1] B.[-5,13] C.[-5,1] D.[-1,13]
4.已知f(x2-1)的定义域为[1,3],则f(2x-1)的定义域为( )
A. B. C. D.
5.函数f(x)=的定义域为R的一个充分不必要条件是( )
A.m≥ B.m≥
C.m≥ D.m≥
6.函数y=的定义域为 .(用区间表示)
题组三 函数值及函数的值域
7.函数y=1+x+的值域是( )
A.(-∞,2] B.
C. D.[0,+∞)
8.已知函数f(x)=(1≤x≤2),则函数g(x)=2f(x)+f(x2)的值域为( )
A.[3,2+2] B.
C. D.
9.(多选题)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a,b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”,下列函数是“[0,1]交汇函数”的是( )
A.y= B.y=2-x
C.y= D.y=-|x|
10.已知函数f(x)的定义域为R,若f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1对任意实数x,y都成立,则f(0)= , f(4)-4f(1)= .
11.函数f(x)=的值域是 .
答案与分层梯度式解析
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
基础过关练
1.C 2.C 3.B 7.C 8.B
1.C 对于C,当x=1时,y=1或y=-1,由函数的定义可得x=|y|中的y不是x的函数;由函数的定义知y=x,y=|x|,y=x2+2x+3中的y是x的函数.故选C.
2.C 选项A中,y=|x|和y=的定义域都是R,但y==x与y=|x|的对应关系不相同,故不是同一个函数;选项B中,y=的定义域为R,s=()2的定义域为[0,+∞),两者的定义域不同,故不是同一个函数;选项C中,y=2t+1与y=2u+1的定义域与对应关系均相同,故是同一个函数;选项D中,y=1的定义域为R,y=x0的定义域为{x|x≠0},故不是同一个函数.故选C.
3.B 对于①,在集合M中,当14.答案 [-3,1)∪(1,3]
解析 由题意得解得-3≤x<1或15.答案 ∪(-1,1]
解析 由题意得
解得-≤x≤1且x≠-1,故定义域为∪(-1,1].
6.答案
解析 由矩形的一边长为x得其邻边长为=-x,由得07.C 函数的定义域即自变量x的取值范围,由题图可知此函数的定义域为[-5,0]∪[2,6),
函数的值域即函数值y的取值范围,由题图可知此函数的值域为[0,+∞).故选C.
8.B 函数y=的值域为[0,+∞);
函数y=的值域为(0,+∞);
函数y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞);
函数y=x2+1的值域为[1,+∞).
故选B.
9.答案 {0}
解析 由题意得解得x=±1,所以函数f(x)的定义域为{-1,1},又f(-1)=f(1)=0,所以函数的值域是{0}.
10.答案 [,+∞)
解析 ∵=≥,
∴所求值域为[,+∞).
11.解析 (1)f(2)+f=+=+=1, f(3)+f=+=+=1.
(2)由f(x)=,可得f(1)=,
f(x)+f=+=+==1(x≠0),
故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f+f+…+f=f(1)++f(3)+f+…+=+2 021=.
能力提升练
1.CD 2.ACD 3.B 4.B 5.C 7.A 8.D 9.AB
1.CD 选项A中, f(x)=x+2的定义域为R,g(x)=+2=|x|+2的定义域为R,两函数的定义域相同,但对应关系不相同,故不是同一个函数;选项B中, f(x)==x-3的定义域为(-∞,-3)∪(-3,+∞),g(x)=()2-3=x-3的定义域为[0,+∞),两函数的定义域不同,故不是同一个函数;选项C中, f(x)=x2+(x-1)0=x2+1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),g(x)===x2+1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),两函数的定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数;选项D中, f(x)=+的定义域为(0,+∞),g(t)=+的定义域为(0,+∞),两函数的定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数.故选CD.
2.ACD 对任意的n∈N*,都有唯一确定的f(n)与之对应,故y=f(n),n∈N*是一个函数,因此A正确;由题可知f(6)=2,因此B错误;由题可知f(4)=f(8)=5,因此C正确;根据f(n)的定义,可知f(n)的值必定是从0到9的十个自然数中的一个,因此f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},因此D正确.故选ACD.
3.B 由函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],
得-2≤x≤4,则-6≤3x≤12,所以-5≤3x+1≤13,
因此函数y=f(x)的定义域是[-5,13].故选B.
4.B ∵f(x2-1)的定义域为[1,3],∴1≤x≤3,
∴1≤x2≤9,∴0≤x2-1≤8,
∴f(x)的定义域为[0,8],
由0≤2x-1≤8,得≤x≤,于是f(2x-1)的定义域为.故选B.
5.C 若f(x)的定义域是R,则mx2+2x+2≥0在R上恒成立,
当m=0时,显然不恒成立;
当m≠0时,只需解得m≥.
故函数f(x)=的定义域为R的充分不必要条件对应的集合是的真子集,结合选项知选C.
6.答案 ∪
解析 要使函数有意义,需满足
解得∴-2≤x≤3,且x≠,
∴函数的定义域为∪.
7.A 令t=,则x=,t≥0,
则原函数即y=1++t=-(t-1)2+2,t≥0,结合二次函数的图象可得该函数的值域为(-∞,2],故函数y=1+x+的值域是(-∞,2].故选A.
8.D 由题可知f(x)的定义域为[1,2],
∴解得1≤x≤,
∴g(x)=2f(x)+f(x2)=+(1≤x≤).
令t=,则≤t≤1,∴g(x)=+可转化为h(t)=t2+2t=(t+1)2-1.
由函数y=h(t)的图象知,当≤t≤1时,h≤h(t)≤h(1),即+≤h(t)≤3.
∴函数g(x)=2f(x)+f(x2)的值域为.故选D.
9.AB 选项A中,y=的定义域A=(-∞,1],值域B=[0,+∞),则A∩B=[0,1],因此A正确;
选项B中,y=2-x的定义域A=[0,+∞),令t=,则t≥0,则原函数即y=2t-t2,t≥0,又y=2t-t2=-(t-1)2+1≤1,所以值域B=(-∞,1],则A∩B=[0,1],因此B正确;选项C中,y==,因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1,因此0<≤1,从而定义域A=R,值域B=(0,1],则A∩B=(0,1],因此C错误;选项D中,令1-x2≥0,得-1≤x≤1,所以定义域A=[-1,1],易得y2=1-x2+x2-2|x|=1-2,由-1≤x≤1,得0≤x2(1-x2)≤,
所以0≤y2≤1,即-1≤y≤1,所以值域B=[-1,1],则A∩B=[-1,1],因此D错误.故选AB.
10.答案 1;9
解析 因为f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1对任意实数x,y都成立,
所以令x=y=0,得f(0)=2f(0)-1,解得f(0)=1,
令x=y=1,得f(2)=2f(1)+1,
令x=y=2,得f(4)=2f(2)+7,
所以f(4)=2[2f(1)+1]+7=4f(1)+9,
因此f(4)-4f(1)=9.
解题模板 解决抽象函数问题常用赋值法,赋值的关键是条件与结论的关系.
11.答案
解析 易知f(x)的定义域为R.
解法一(基本不等式法):当x=0时, f(0)=2.
当x≠0时, f(x)==2+=2+,
当x>0时,∵x+≥2=4,当且仅当x=2时,等号成立,∴0<≤,∴2当x<0时,∵x+=-≤-4,当且仅当x=-2时,等号成立,∴-≤<0,
∴≤f(x)<2.
综上所述, f(x)的值域为.
解法二(判别式法):设y=,则关于x的方程(y-2)x2+(y-3)x+4y-8=0有解.
当y-2=0,即y=2时,x=0;
当y-2≠0,即y≠2时,Δ=(y-3)2-4(y-2)(4y-8)≥0,即(3y-5)(5y-11)≤0,所以≤y≤且y≠2.
综上, f(x)的值域为.
7