期中评估测试卷（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级上册

期中评估测试卷
(总分:120分　时间:120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.把方程x(x+1)=5(x-2)化为一般式ax2+bx+c=0(a>0),则a+b+c的值是 (　　)
A.-3 B.7 C.-5 D.1
2.已知点A(-2,b)与点B(a,3)关于原点对称,则a-b的值为 (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
3.学生冬季运动装原来每套的售价是100元,后经连续两次降价,现在的售价是81元,则平均每次降价的百分率是 (　　)
A.9% B.8.5% C.9.5% D.10%
4.若m,n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根,则m2+4m+n的值是 (　　)
A.4　 B.5　 C.6　 D.12
5.抛物线y=2x2经过平移得到抛物线y=2(x-1)2+3,平移方法是 (　　)
A.向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
B.向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
C.向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度
D.向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度
6.如图,在正方形网格中,A,B,C,D,E,F,G,H,M,N是网格线的交点,△ABC与△DEF关于某点对称,则其对称中心是(　　)
A.点G B.点H C.点M D.点N
7.(2024泸州中考)已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、第二、第四象限,则实数a的取值范围为(　　)
A.1≤a< B.08.在平面直角坐标系中,把点P(-5,3)向右平移8个单位长度得到点P1,再将点P1绕原点旋转90°得到点P2,则点P2的坐标是 (　　)
A.(3,-3) B.(-3,3) C.(3,3)或(-3,-3) D.(3,-3)或(-3,3)
9.规定:对于任意实数a,b,c,有【a,b】★c=ac+b,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如【2,3】★1=2×1+3=5.若关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围为 (　　)
A.m< B.m>
C.m>-且m≠0 D.m<且m≠0
10.如图,在等边三角形ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P在AB上,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到OD,要使点D落在边BC上,则AP的长为 (　　)
A.3 B.6 C.3 D.9
11.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0),下列四个结论中错误的是(　　)
A.若ac<1,则当b<2时,ax2+bx+c=0没有实数根
B.若4是方程ax2+bx+c=0的一个根,则是方程cx2+bx+a=0的一个根
C.若方程ax2+bx+c=0的两根符号相同,则方程cx2+bx+a=0的两根符号也相同
D.若方程ax2+bx+c=3没有实数根,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=3没有交点
12.如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为(4,0).关于甲、乙两人的说法,下列判断正确的是 (　　)
甲:关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的解为x1=4,x2=-2;
乙:已知点M(-2,8),N(3,8),将函数图象向上平移m个单位长度,若平移后的函数图象与线段MN只有一个公共点,m的取值范围为≤m≤8.
A.甲、乙的说法都正确 B.甲、乙的说法都不正确　
C.只有甲的说法正确 D.只有乙的说法正确
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.若2是方程x2-m=0的一个根,则m的值为　　　　.
14.点(a,b)在二次函数y=x2+x+2的图象上,则a+b的最小值是　　　　.
15.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=50°,将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置,连接CC'.若AB∥CC',则旋转角的度数为　　　　.
16.将抛物线y=(x+1)2-2向上平移a个单位长度后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点,则a的值为　　　　.
三、解答题(本大题共8 个小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(7分)已知二次函数的图象的顶点为(1,-2),且过点(2,-5).
(1)求此二次函数的解析式.
(2)判断点P(-1,9)是否在这个二次函数的图象上,并说明理由.
18.(8分)如图,每个小方格都是边长为1的正方形(每个小方格的顶点叫格点),以点O为坐标原点建立平面直角坐标系,已知四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0),A(3,2),B(6,2),C(3,0).
(1)画出四边形OABC关于点O中心对称的四边形OA1B1C1,并写出点B1的坐标.
(2)画出四边形OABC绕点O顺时针旋转90°后得到的四边形OA2B2C2,并直接写出顶点B2的坐标.
(3)确定格点D(点O除外),并画出以点A,B,C,D为顶点的四边形,使其为中心对称图形(画一个即可).
19.(8分)如图1,张爷爷用30 m长的隔离网在一段15 m长的院墙边围成矩形养殖园,已知矩形养殖园的边CD靠院墙,AD和BC与院墙垂直,设BC的长为x m.
(1)AB的长为　　　　m.
(2)如图2,张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽,需要在中间多加上两道隔离网.已知两道隔离网与院墙垂直,请问此时养殖园的面积能否达到100 m2 若能,求出AB的长;若不能,请说明理由.
图1　　 图2
20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2+2=0.
(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围.
(2)若方程的两个根分别为x1,x2,且满足+=3x1x2-14,求实数m的值.
21.(9分)某公司2月份销售新上市的A产品20套,由于该产品的经济适用性,销量快速上升,4月份该公司销售A产品达到45套,并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同.
(1)求该公司销售A产品每次的增长率.
(2)若A产品每套盈利2万元,则平均每月可售30套,为了尽量减少库存,该公司决定采取适当的降价措施,经调查发现,A产品每套每降0.5万元,公司平均每月可多售出20套.若该公司在5月份要获利70万元,则每套A产品需降价多少万元
22.(9分)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02(x-)2+k的图象,其中OA=1.6 m.
(1)求k的值.
(2)棚顶外沿B距支柱AO的水平距离为7 m.
①若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4.2 m,高DE=1.88 m的矩形,该厢式货车　　　　(填“能”或“不能”)完全停到车棚内.
②若将雨看作一条直线,其与地面的夹角为60°,请通过计算说明雨是否会淋到车箱底部 (车箱底部距地面0.8 m,参考数据:≈1.7)
图1　　　 图2
23.(11分)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,O又是正方形EFGO的一个顶点,且这两个正方形的边长相等.OE与BC相交于点M,OG与CD相交于点N.
(1)求证:△OBM≌△OCN.
(2)嘉淇说:“当正方形EFGO绕点O转动,且OE与BC垂直时,四边形OMCN的面积最小.”你同意嘉淇的说法吗 请说明理由.
(3)若正方形ABCD的边长为a,用含a的代数式表示两个正方形重叠部分的面积为　　　　.
24.(12分)如图,二次函数的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点B,顶点C的坐标为(-2,-1).
(1)求二次函数的解析式.
(2)判断△ABC的形状,并说明理由.
(3)在直线AB上方的抛物线上是否存在一点P,使S△PAB=2S△ABC 若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
　　　
备用图
【详解答案】
1.B　解析:方程x(x+1)=5(x-2)化为一般式为x2-4x+10=0,∴a=1,b=-4,c=10.∴a+b+c=1+(-4)+10=7.故选B.
2.B　解析:∵点A(-2,b)与点B(a,3)关于原点对称,∴a=2,b=-3.∴a-b=2+3=5.故选B.
3.D　解析:设平均每次降价的百分率是x.依题意,得100×(1-x)2=81.解得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意,舍去).∴平均每次降价的百分率是10%.故选D.
4.C　解析:∵m,n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根,∴m+n=-3.∵m是x2+3x-9=0的一个根,∴m2+3m-9=0.∴m2+3m=9.∴m2+4m+n=m2+3m+m+n=9+(m+n)=9-3=6.故选C.
5.D　解析:∵抛物线y=2x2的顶点坐标为(0,0),而平移后抛物线y=2(x-1)2+3的顶点坐标为(1,3),∴平移方法为向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度.故选D.
6.C　解析:AD,CF,BE相交于点M,∴点M是△ABC与△DEF的对称中心.故选C.
7.A　解析:∵图象经过第一、第二、第四象限,∴a>0,-=->0,a-1≥0,Δ=(2a-3)2-4a(a-1)>0.解得1≤a<.∴a的取值范围为1≤a<.故选A.
8.D　解析:∵把点P(-5,3)向右平移8个单位长度得到点P1,∴点P1的坐标为(3,3).将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2,则其坐标为(-3,3);将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P2,则其坐标为(3,-3).故符合题意的点P2的坐标为(3,-3)或(-3,3).故选D.
9.D　解析:根据题意,得x(mx)+x+1=0.整理,得mx2+x+1=0.∵关于x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等的实数根,∴Δ=12-4m>0且m≠0.解得m<且m≠0.故选D.
10.B　解析:如图,连接DP.∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC=9,∠A=∠B=60°,由旋转的性质,得OP=OD,∠POD=60°.∴△DOP为等边三角形.∴OP=DP,∠OPD=60°.∴∠APO+∠BPD=∠APO+∠AOP=180°-60°=120°.∴∠BPD=∠AOP.∴△APO≌△BDP(AAS).∴BP=AO=3,AP=AB-BP=9-3=6.故选B.
11.A　解析:A.当ac<1且b<2时,判别式Δ=b2-4ac可能小于0,也可能大于0,无法确定方程是否有实数根,故该结论错误;B.若4是方程ax2+bx+c=0的一个根,则16a+4b+c=0.整理,得2c+b+a=0,即是方程cx2+bx+a=0的一个根,故该结论正确;C.∵方程ax2+bx+c=0的两根符号相同,∴Δ≥0且>0.方程cx2+bx+a=0的判别式Δ≥0且两根之积为,∵>0,∴>0.因此两根符号也相同,故该结论正确;D.方程ax2+bx+c=3没有实数根,意味着二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=3没有交点,故该结论正确.故选A.
12.C　解析:由题图可知,抛物线的对称轴是直线x=1.设抛物线与x轴的另一个交点为(x2,0),则有=1,∴x2=-2.∴关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0的解为x1=4,x2=-2.故甲的说法正确;由题意,得抛物线y=-(x+2)(x-4)=-(x-1)2+,抛物线向上平移m个单位长度后,对应的函数解析式为y=-(x-1)2++m,∴平移后的抛物线的顶点坐标为1,+m.①当抛物线的顶点落在MN上时,则+m=8.解得m=.②当抛物线经过点M(-2,8)时,8=-×(-2-1)2++m,解得m=8.当抛物线经过点N(3,8)时,8=-×(3-1)2++m,解得m=.∴当13.4
14.1　解析:∵点(a,b)在二次函数y=x2+x+2的图象上,∴b=a2+a+2.∴a+b=a2+2a+2=(a+1)2+1≥1.当a=-1时,a+b有最小值,最小值为1.
15.100°　解析:∵AB∥CC',∴∠ABC+∠C'CB=180°.∵∠B=90°,∴∠C'CB=90°.∴∠ACC'=90°-∠ACB=90°-50°=40°.∵Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB'C'的位置,∴AC=AC',∠C'AC为旋转角.∴∠AC'C=∠ACC'=40°.∴∠C'AC=180°-40°-40°=100°,即旋转角的度数为100°.
16.2　解析:抛物线y=(x+1)2-2向上平移a个单位长度后得到的抛物线对应的函数解析式为y=(x+1)2-2+a=x2+2x-1+a.∵新抛物线恰好与x轴有一个交点,∴Δ=4-4(-1+a)=0.解得a=2.
17.解:(1)设该二次函数的解析式为y=a(x-1)2-2.
将点(2,-5)代入,得-5=a(2-1)2-2.
解得a=-3.
∴该二次函数的解析式为y=-3(x-1)2-2.
(2)点P(-1,9)不在这个二次函数的图象上.理由如下:
当x=-1时,y=-3×(-1-1)2-2=-14≠9,
∴点P不在这个二次函数的图象上.
18.解:(1)如图,四边形OA1B1C1即为所求作.点B1的坐标为(-6,-2).
(2)如图,四边形OA2B2C2即为所求作.
点B2的坐标为(2,-6).
(3)如图,点D即为所求.(答案不唯一)
19.解:(1)(30-2x)
(2)养殖园的面积不能达到100 m2.理由如下:
∵隔离网的总长为30 m,BC=x m,
∴AB=(30-4x) m.
根据题意,得(30-4x)x=100.
整理,得2x2-15x+50=0.
∵Δ=(-15)2-4×2×50=-175<0,
∴该方程无实数根.
∴养殖园的面积不能达到100 m2.
20.解:(1)∵方程x2-(2m+3)x+m2+2=0有实数根,
∴Δ=[-(2m+3)]2-4(m2+2)=12m+1≥0.解得m≥-.
(2)∵方程x2-(2m+3)x+m2+2=0的两个根分别为x1,x2,
∴x1+x2=2m+3,x1x2=m2+2.
∵+=3x1x2-14,
∴(x1+x2)2-2x1x2=3x1x2-14,即-m2+12m+13=0.
解得m1=13,m2=-1.
当m1=13时,x2-29x+171=0,
Δ=(-29)2-4×1×171=157>0.
∴m1=13符合题意.
当m2=-1时,x2-x+3=0,
Δ=(-1)2-4×1×3=-11<0.
∴m2=-1不符合题意.∴实数m的值为13.
21.解:(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x.
依题意,得20(1+x)2=45.
解得x1=0.5=50%,x2=-2.5(不符合题意,舍去).
∴该公司销售A产品每次的增长率为50%.
(2)设每套A产品需降价y万元,则平均每月可售出30+×20套.
依题意,得(2-y)30+×20=70.
整理,得4y2-5y+1=0.
解得y1=,y2=1.
∵尽量减少库存,∴y=1.
∴每套A产品需降价1万元.
22.解:(1)∵OA=1.6 m,
∴点A(0,1.6).
将点A(0,1.6)代入y=-0.02x-2+k.
解得k=2.725.
(2)①能
解析:∵CD=4.2 m,棚顶外沿B距支柱AO的水平距离为7 m,
∴7-4.2=2.8(m).
在y=-0.02x-2+2.725中,当x=2.8时,y=-0.02×2.8-2+2.725=2.283 2,
∵2.283 2>1.88,
∴可判定该厢式货车能完全停到车棚内.
②如图,过点B作BM⊥x轴于点M.设点G为车箱底部最外点,过点G作GH⊥BM于点H.
∴∠BHG=90°.
∴∠BGH=60°.
当x=7时,y=-0.02×7-2+2.725=2.72,
则BH=BM-HM=2.72-0.8=1.92(m).
∵∠BHG=90°,∠BGH=60°,
∴∠GBH=30°.
设GH=x m,则BG=2x m.
∴BH==x=1.92(m).
解得x≈1.1.
∴点C的横坐标为7-1.1-4.2=1.7.
当x=1.7时,y=2.052 2>1.88,
∴雨不会淋到车箱底部.
23.解:(1)证明:∵四边形ABCD与四边形EFGO均为正方形,
∴∠OBM=∠OCN=45°,OB=OC,OB⊥OC,∠EOG=90°.
∴∠BOC=∠EOG=90°.
∴∠BOC-∠COM=∠EOG-∠COM,即∠BOM=∠CON.
∴△OBM≌△OCN(ASA).
(2)不同意.理由如下:
由(1)可知,△OBM≌△OCN,
∴S△OBM=S△OCN.
∴S四边形OMCN=S△OMC+S△OCN=S△OMC+S△OBM=S△OBC=S正方形ABCD,即当正方形EFGO绕点O转动时,四边形OMCN的面积始终等于正方形ABCD面积的.
(3)a2
24.解:(1)设二次函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0).
将顶点C(-2,-1)代入解析式,得y=a(x+2)2-1.
∵二次函数的图象与x轴交于点A(-3,0),
∴0=a(-3+2)2-1.
解得a=1.
∴二次函数的解析式为y=(x+2)2-1.
(2)△ABC是直角三角形.理由如下:
当x=0时,y=(0+2)2-1=3,
∴点B(0,3).
如图1,过点C作CD⊥y轴于点D,过点A作AE⊥CD于点E.
图1
∴点D(0,-1),E(-3,-1).
∵点A(-3,0),C(-2,-1),
∴AB2=OB2+OA2=32+32=18,AC2=AE2+CE2=12+12=2,BC2=CD2+BD2=22+42=20.∴AB2+AC2=20.
∴AB2+AC2=BC2.
∴△ABC是直角三角形.
(3)在直线AB上方的抛物线上存在一点P,使S△PAB=2S△ABC.
∵y=(x+2)2-1=x2+4x+3,
∴设点P的坐标为(m,m2+4m+3).
如图2,过点P作PH⊥AB,垂足为H,过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q.
图2
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),
将点A(-3.0),B(0,3)代入,得
解得
∴直线AB的解析式为y=x+3.
∴点Q的坐标为(m,m+3).
∵S△PAB=2S△ABC,
∴AB·PH=2×AB·AC.
∴PH=2AC=2.
在Rt△AOB中,OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO=45°.
∵PQ∥y轴,
∴∠PQH=∠ABO=45°.
∴QH=PH=2.
在Rt△PQH中,
根据勾股定理,得PQ==4.
∴PQ=m2+4m+3-(m+3)=m2+3m=4.
解得m1=1,m2=-4.
当m=1时,m2+4m+3=8,∴点P(1,8).
当m=-4时,m2+4m+3=3,
∴点P(-4,3).
∴所有符合条件的点P的坐标是(1,8),(-4,3).