3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
基础过关练
题组一 单调性的概念
1.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.(-3,-1)∪(1,4) B.(-5,-3)∪(-1,1)
C.(-3,-1),(1,4) D.(-5,-3),(-1,1)
2.已知函数f(x)在R上单调递增,则下列一定成立的是( )
A.y=-f(x)在R上单调递减
B.y=在R上单调递减
C.y=[f(x)]2在R上单调递增
D.y=af(x)(a为实数)在R上单调递增
3.已知函数f(x)在[a,b]上单调递增,则对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中正确的是( )
A.>0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
C. f(a)≤f(x1)
D. f(x1)>f(x2)
题组二 单调性的判断与证明
4.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y=- B.y=2x C.y=x2 D.y=1-x
5.(教材习题改编)已知函数f(x)=,则以下结论正确的是( )
A. f(x)在(-1,+∞)上单调递增
B. f(x)在(-∞,-1)上单调递减
C. f(x)在(1,+∞)上单调递增
D. f(x)在(-1,1)上单调递减
6.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 x∈R, f(x)≤f(3)恒成立,则函数f(x)的单调递增区间为 .
7.函数f(x)=x|x-1|的单调递减区间为 .
8.函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递减区间是 .
9.已知函数f(x)=
(1)求f(1), f(f(-6))的值;
(2)画出f(x)的图象(无需列表);
(3)根据(2)中的图象,写出f(x)的单调区间和值域.
10.已知函数f(x)=的图象经过点A(1,5),B(2,4).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,2)上的单调性,并用定义证明.
题组三 单调性的应用
11.函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-3) B.(0,+∞)
C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
12.(易错题)已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,2]∪[3,+∞)
B.[2,3]
C.(-∞,-3]∪[-2,+∞)
D.[-3,-2]
13.(易错题)若函数f(x)=是R上的单调函数,则a的取值范围是( )
A. B. C.(0,1] D.(0,1)
14.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是函数图象上的两点,那么|f(x+1)|≥1的解集是( )
A.(-1,2)
B.(1,4)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞)
D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
15.(易错题)若函数f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[3,+∞),则实数a的值是 .
16.若函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 .
17.已知函数f(x)=x2-(3a-2)x+b.
(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(-2,3),求实数a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间上单调递增,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一 单调性的判断
1.若函数f(x)在定义域[-9,9]上单调递增,则函数y=f(x2)的单调递增区间是( )
A.[-9,9] B.[0,9]
C.[-3,3] D.[0,3]
2.(多选题)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足: x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,恒有>0,则称f(x)为“理想函数”.则下列函数中是“理想函数”的是( )
A. f(x)=1 B. f(x)=x2+2
C. f(x)=x3-x D. f(x)=x4
3.函数f(x)=的单调递增区间是 .
4.函数f(x)的定义域为(0,+∞), x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时, f(x)<0.
(1)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递减;
(2)若f=2,求不等式f(x)+f(x-1)+2>0的解集.
题组二 单调性的应用
5.已知函数f(x)=若 x1,x2∈R,且x1≠x2,都有<0,则a的取值范围是 ( )
A.(0,3] B.[2,+∞) C.(0,+∞) D.[2,3]
6.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调,若 x∈(0,+∞),都有f=2,则f=( )
A. B.2 023 C.2 024 D.2 025
7.已知函数f(x)满足对任意x1,x2∈[0,+∞),当x1f(x2)-恒成立,若f(4)=4,则不等式f(2x)<+2的解集为( )
A.[0,2) B.[0,4) C.(2,+∞) D.(4,+∞)
8.已知f(x)=ax2+1是定义在R上的函数,若 x1,x2∈[-3,-1],当x1A.{0} B.[0,+∞)
C. D.
9.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足<0,且f(3)=9,则不等式f(x)>3x的解集为 .
10.已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为 .
答案与分层梯度式解析
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
基础过关练
1.C 2.A 3.A 4.D 5.C 11.C 12.A 13.B
14.D
1.C 由题图知函数f(x)的图象在区间(-3,-1)和(1,4)上是下降的,在区间(-5,-3)和(-1,1)上是上升的,因此该函数的单调递减区间为(-3,-1),(1,4).故选C.
2.A 任取x1,x2∈R,且x1所以-f(x1)>-f(x2),A选项一定成立.
其余三项不一定成立,如当f(x)=x时,B,C不成立,当a≤0时,D不成立.故选A.
3.A 因为f(x)在[a,b]上单调递增,
所以对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),
当x1>x2时, f(x1)>f(x2),所以x1-x2>0, f(x1)-f(x2)>0,所以>0,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;
当x10,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0.
综上,>0,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,因此A正确,B不正确;
由于x1,x2的大小关系不确定,所以f(x1)与f(x2)的大小关系不确定,故C,D不正确.故选A.
4.D
5.C 易得f(x)===1-,
画出函数f(x)的图象,如图所示.
所以函数f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上均单调递增,故选C.
解题模板 对“一次分式”函数,常利用分离常数的方法转化解析式,然后通过反比例函数的图象结合平移变换解决问题.
6.答案 (-∞,3]
解析 因为 x∈R,都有f(x)≤f(3),
所以f(x)的图象开口向下,对称轴是直线x=3,
因此函数f(x)的单调递增区间为(-∞,3].
7.答案
解析 由已知得f(x)=
画出函数f(x)的图象,如图.
由图可得f(x)的单调递减区间是.
8.答案 (-∞,1)和
解析 令x2-3x+2=0,得x=1或x=2,则f(x)=|x2-3x+2|=作出f(x)的图象,如图所示,
由图可知f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和.
易错警示 求函数的单调区间,若单调递减(增)区间有多个,则写出单调区间时不能用“∪”连接.
9.解析 (1)f(1)=12-2×1=-1;f(-6)=-(-6)-3=3, f(f(-6))=f(3)=32-2×3=3.
(2)画出f(x)的图象,如图:
(3)由(2)中图象可知函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),(0,1);单调递增区间为(1,+∞).
函数f(x)的值域为(-3,+∞).
10.解析 (1)∵f(x)的图象过点A(1,5),B(2,4),
∴解得∴f(x)=x+.
(2)函数f(x)=x+在(0,2)上单调递减.
证明:任取x1,x2∈(0,2),且x1则f(x1)-f(x2)=-
=,
∵00,x1x2-4<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在(0,2)上单调递减.
11.C ∵函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),∴2m>-m+9,解得m>3,故选C.
12.A 易知二次函数y=x2-2ax+1的图象的对称轴为直线x=a,若y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调递增函数,则有a≤2;若y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调递减函数,则有a≥3.故选A.
易错警示 解决二次函数的单调性问题,其关键是确定二次函数图象的对称轴与单调区间之间的位置关系,由此对参数进行分类讨论.
13.B 根据题意,结合y=x2-2ax(x≥1)的图象,知f(x)必定为增函数,
则有解得0易错警示 由分段函数的单调性确定参数的值时,不仅要分别利用每段函数的单调性列出不等式,还要根据在分界点处的函数值的大小关系列出不等式.
14.D |f(x+1)|≥1可化为f(x+1)≤-1或f(x+1)≥1,
因为f(0)=-1, f(3)=1,
所以f(x+1)≤f(0)或f(x+1)≥f(3),
又f(x)为R上的增函数,所以x+1≤0或x+1≥3,解得x≤-1或x≥2,
即不等式的解集为(-∞,-1]∪[2,+∞).故选D.
15.答案 -1
解析 易得f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[2-a,+∞),∴2-a=3,∴a=-1.
易错警示 注意函数在某区间上单调递增(减)与函数的单调递增(减)区间为某区间的区别,对“某区间”:前者为单调递增(减)区间的子集,后者即为单调递增(减)区间.
16.答案 (1,+∞)
解析 函数f(x)==a+,由当x∈(1,+∞)时, f(x)单调递减,得a-1>0(根据反比例函数的单调性),解得a>1,∴a的取值范围为(1,+∞).
17.解析 (1)由关于x的不等式f(x)<0的解集为(-2,3),可得关于x的一元二次方程f(x)=0的两根为-2和3,
所以解得
当a=1,b=-6时, f(x)=x2-x-6=(x-3)(x+2),符合题意,故实数a,b的值分别为1,-6.
(2)由已知得二次函数y=f(x)的图象开口向上,且对称轴方程为x=,
若函数f(x)在上单调递增,
则≤-,解得a≤-,
故实数a的取值范围为.
能力提升练
1.D 2.CD 5.D 6.D 7.C 8.C
1.D 由题意知0≤x2≤9,解得-3≤x≤3,
∴函数y=f(x2)的定义域为[-3,3],
设g(x)=x2,则函数g(x)的单调递增区间为[0,3],单调递减区间为[-3,0],
由复合函数的单调性知,函数y=f(x2)在区间[0,3]上单调递增,故选D.
2.CD 不妨设x1>x2>0,由>0,可得x2 f(x1)-x1 f(x2)>0,∴>,∴函数y=在(0,+∞)上单调递增.
对于A,y==,易知函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以A不符合题意;
对于B,y==x+,易知函数y=x+在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,所以B不符合题意;
对于C,y==x2-1,易知函数y=x2-1在(0,+∞)上单调递增,所以C符合题意;
对于D,y==x3,易知函数y=x3在(0,+∞)上单调递增,所以D符合题意.故选CD.
3.答案 [2,+∞)
解析 由x2-3x+2≥0得x≤1或x≥2,因此函数f(x)的定义域为(-∞,1]∪[2,+∞)易错点.
又y=在[0,+∞)上单调递增,u=x2-3x+2在上单调递减,在上单调递增,
∴f(x)的单调递增区间为[2,+∞).
4.解析 (1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x11,故f<0,
因为f(x2)-f(x1)=f-f(x1)=f+f(x1)-f(x1)=f<0,
所以f(x2)(2)因为f=2,
所以f(x)+f(x-1)+2=f(x)+f(x-1)+f=f>0,
在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,
所以f>f(1),
因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以解得1名师点评 抽象函数问题的解决常用赋值法,赋值应以结论为依据.
5.D 由已知得函数f(x)在R上单调递减,
所以解得2≤a≤3.故选D.
6.D 由题意设f(x)-=c(c>0),故f(x)=c+,且f(c)=c+=2,所以c=1,所以f(x)=+1,则f=2 025.故选D.
7.C 由f(x1)->f(x2)-,得f(x1)--2>f(x2)--2,构建函数F(x)=f(x)--2,
可知 x1,x2∈[0,+∞),当x1F(x2),故F(x)在[0,+∞)上单调递减,
∵f(2x)<+2, f(4)=4,∴F(2x)=f(2x)--2<0,且F(4)=f(4)--2=0,
∴2x>4,解得x>2,因此不等式f(2x)<+2的解集为(2,+∞).故选C.
8.C 由已知得f(x1)-f(x2)>2(x1-x2),即f(x1)-2x1>f(x2)-2x2对任意x1,x2∈[-3,-1],x1设g(x)=f(x)-2x=ax2-2x+1,则g(x)在[-3,-1]上单调递减,
当a=0时,g(x)=-2x+1,符合题意;
当a>0时,易得≥-1,解得a≤-1或a>0,所以a>0;
当a<0时,易得≤-3,解得-≤a<0.
综上,a≥-.故选C.
9.答案 (0,3)
解析 不妨设x1>x2>0,因为<0,
所以x2 f(x1)-x1 f(x2)<0,即<,
令g(x)=,则g(x1)不等式f(x)>3x的两边同时除以x得 >3,
因为f(3)=9,所以g(3)==3,所以g(x)>g(3),
因为g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以0所以原不等式的解集为(0,3).
10.答案
解析 易得二次函数y=-x2+ax+的图象的对称轴方程为x=-=4a,
函数y=|x-a|的单调递减区间为(-∞,a),单调递增区间为[a,+∞),
若函数f(x)在R上单调递增,则解得≤a≤,故实数a的取值范围为.
7(共22张PPT)
3.2 函数的基本性质
知识 清单破
3.2.2 奇偶性
知识点 奇函数、偶函数的定义及图象特征
偶函数 奇函数
定义 设函数f(x)的定义域为D, x∈D,都有-x∈D,且 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)
定义域 关于原点对称 图象 关于y轴对称 关于原点对称
知识拓展 1.函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为
奇函数,即f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b]=b-f(x+a) f(a-x)+f(a+x)=2b.
2.函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数,即f(a-x)=
f(a+x).
知识辨析
1.奇函数f(x)的图象是否一定过原点
2.对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=f(x),则函数y=f(x)一定是偶函数吗
3.是否存在既是奇函数又是偶函数的函数
4.若对f(x)定义域内任意的x都有f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象具有怎样的对称性
一语破的
1.不一定.只有当f(x)在x=0处有意义时,图象才过原点.
2.不一定.例如f(x)=x,存在x=0,使f(-0)=f(0)=0,但函数f(x)=x是奇函数.
3.存在.如f(x)=0,x∈D,D是关于原点对称的实数集.
4. f(x)的图象关于直线x= 对称.
定点 1 判断函数的奇偶性
关键能力 定点破
1.判断函数奇偶性的常见方法
(1)定义法:
(2)图象法:
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)g(x) f(g(x))
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不确定 不确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不确定 不确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
(3)函数奇偶性的运算性质
f(x),g(x)在它们的公共定义域上的奇偶性如下:
注意:在f(g(x))中,g(x)的值域是f(x)的定义域的子集.
2.分段函数奇偶性的判断
判断分段函数f(x)的奇偶性,需在每一个区间上任取自变量,再向对称区间转化,验证f(-x)=-f(x)
或f(-x)=f(x)是否成立,也可以作出函数图象,结合对称性判断.
典例 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|x+2|+|x-2|;
(2)f(x)= + ;
(3)f(x)= ;(4)f(x)= ;
(5)f(x)=
解析 (1)易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=|-x+2|+|-x-2|=|x-2|+|x+2|=f(x),故f(x)为偶
函数.
(2)由 得x=±1,则f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,此时f(x)=0,
∵f(1)+f(-1)=0, f(1)-f(-1)=0,即f(x)=±f(-x),∴f(x)既是奇函数,也是偶函数.
(3)易知f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函
数.
(4)由已知得 得-3≤x≤3且x≠0,则f(x)的定义域为[-3,0)∪(0,3],关于原点对称.
∴f(x)= = = ,
∴f(-x)= =- =-f(x),
故f(x)是奇函数.
(5)易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x);
当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=f(x).
故对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=f(x),故函数f(x)是偶函数.
函数奇偶性的应用
1.由函数的奇偶性求参数
若函数解析式中含有参数,则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x),利用待定系数法求参数;若定义
域中含有参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点值之和为0求参数.
2.由函数的奇偶性求函数值
若所给的函数具有奇偶性,则直接利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解;若所给的函数不具有奇
偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数,然后利用其奇偶性求值.
3.由函数的奇偶性求解析式的一般步骤
(1)在哪个区间上求解析式,x就设在哪个区间.
(2)把-x对称转化到已知区间上,代入已知区间的解析式得f(-x).
(3)利用函数的奇偶性把f(-x)改写成-f(x)或f(x),从而求出f(x).
定点 2
典例 (1)若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],求a,b的值;
(2)已知f(x)=x5+ax3+bx-8且f(-2)=10,求f(2)的值;
(3)若函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x3+x2,求f(x)的解析式.
解析 (1)∵偶函数的定义域关于原点对称,∴a-1=-2a且a-1<2a,解得a= ,∴f(x)= x2+bx+b+1,
由f(x)为偶函数,得f(x)=f(-x),即 x2+bx+b+1= (-x)2-bx+b+1,整理得2bx=0,∴b=0.
(2)令g(x)=f(x)+8,则g(x)=x5+ax3+bx,易得g(x)为奇函数.∵f(-2)=10,∴g(-2)=10+8=18,
∴g(2)=-g(-2)=-18,∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
(3)由题意可知f(0)=0.令x<0,则-x>0,
∴f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x3+x2,
又f(x)为奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x3-x2,
即当x<0时, f(x)=x3-x2.
故函数f(x)的解析式为f(x)=
函数单调性、奇偶性的综合应用
1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性
相反.
2.区间[a,b]和[-b,-a](a(1)若f(x)为奇函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M;
(2)若f(x)为偶函数,且在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最大值M.
3.利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小,关键是利用奇偶性把自变量转化
到函数的同一个单调区间内,然后利用单调性比较.
定点 3
典例 已知定义在[-2,2]上的函数f(x)在[0,2]上单调递减,且f(1-m)(1)若f(x)是奇函数,求实数m的取值范围;
(2)若f(x)是偶函数,求实数m的取值范围.
解析 (1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减,
所以f(x)在[-2,2]上单调递减,
所以f(1-m)解得-1≤m< .
所以实数m的取值范围为 .
(2)因为f(x)是偶函数,所以f(x)=f(|x|),
所以f(1-m)=f(|1-m|), f(m)=f(|m|).
因为f(x)在区间[0,2]上单调递减,
所以原不等式等价于
解得-1≤m< .
所以实数m的取值范围是 .
素养解读
新定义问题已经成为高考的热点问题.新定义问题注重考查学生对数学的理解能力、新
情境下的知识迁移能力和自主学习新知识的能力.
函数新定义问题的一般形式:先给出一个新的概念或新的运算法则或抽象函数的性质等,然
后让我们按照这种新定义去解决相关问题.
学科素养 情境破
素养 通过解决函数中的新定义问题发展数学抽象的素养
例题 (多选)若函数f(x)同时满足① x∈R,都有f(-x)+f(x)=0;② x1,x2∈R,且x1≠x2,都有
<0,则称该函数为“优美函数”.以下四个函数中不是“优美函数”的是 ( )
A. f(x)=-x
B. f(x)=-2x3
C. f(x)=1-x
D. f(x)=
典例呈现
CD
解题思路 由题意可得“优美函数”为奇函数且为减函数.根据奇函数的定义及函数的单调
性,对各选项逐一分析.
对于A,B,易知f(x)=-x和f(x)=-2x3均是奇函数,且是减函数,故均为“优美函数”.
对于C,由f(x)=1-x得f(-x)=1+x,因为f(-x)≠-f(x),所以f(x)不是“优美函数”.
对于D,易知f(x)在R上单调递增,所以函数f(x)不是“优美函数”.故选CD.
思维升华
新定义问题的背景是新颖的,虽然概念、运算规则等是新给出的,但是考查的知识是基
础的,方法是常规的.这就要求我们平时学习中要吃透教材,在面对新情境材料时,不仅要读懂
题目,还要深层次挖掘,剖离出新的概念、运算规则,将学过的知识、方法迁移到新情境中.3.2.2 奇偶性
基础过关练
题组一 函数的奇偶性
1.(教材习题改编)下列图形中,是函数图象,且表示的函数具有奇偶性的是( )
2.下列函数中,在定义域上既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1 B.y=-x2 C.y=x3 D.y=
3.设f(x)为R上的奇函数,且当x<0时, f(x)=3x-1,则f(0)+f(4)=( )
A.12 B.-12 C.13 D.-13
4.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3-;
(2)f(x)=|x|,x∈[-4,5];
(3)f(x)=
题组二 函数奇偶性的简单应用
5.若奇函数f(x)在区间[2,5]上单调递增,且最大值为6,则f(x)在区间[-5,-2]上( )
A.单调递增,且最小值为-6 B.单调递增,且最大值为-6
C.单调递减,且最小值为-6 D.单调递减,且最大值为-6
6.(易错题)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.- B. C.- D.
7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时, f(x)=3x2-x+2a+1,若f(2)=13,则a=( )
A.1 B.3 C.-3 D.-1
8.若偶函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增,则下列关系成立的是( )
A. f(2)C. f(2)9.已知定义在R上的函数f(x),当-1≤x≤1时, f(x)=x3.若函数f(x+1)为偶函数,则f(3)= .
10.已知f(x)=x|x|,则满足f(2x-1)+f(x)≥0的x的取值范围为 .
11.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x2-2x.
(1)求函数y=f(x)的解析式,并作出函数y=f(x)的图象;
(2)直接写出函数f(x)的单调递增区间;
(3)直接写出不等式f(x)≥0的解集.
能力提升练
题组一 函数的奇偶性
1.函数f(x)=的图象大致为( )
2.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= .
3.设函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足:①x∈(-1,0)时, f(x)>0;②f(x)+f(y)=f ,x,y∈(-1,1).则f(x)是 函数(填“奇”或“偶”),且f(x)在定义域上单调递 (填“增”或“减”).
4.已知函数f(x)=ax2-|x-a|,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的奇偶性;
(2)当-1≤a≤1时,若对任意的x∈[1,3],恒有f(x)+bx≤0成立,求a2+3b的最大值.
题组二 函数奇偶性的综合运用
5.已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f(3)=0,则不等式f(x)A.(-∞,-3)∪(0,3) B.(-3,0)∪(3,+∞)
C.(-3,3) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
6.如图,一个“心形”曲线由两个函数的图象构成,则“心形”曲线上部分表示的函数的解析式可能为( )
A.y=|x| B.y=x C.y= D.y=
7.(多选题)函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,且对于任意的x1,x2,当x1≠x2时,都有>1成立.若f(m)>m,则实数m的取值可以是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
8.(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(-∞,0]上单调递减,则( )
A. f(f(1))C.g(f(1))9.已知函数f(x)=-1在区间[-2 023,2 023]上的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
10.已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=,且f=-.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的单调性并用单调性的定义证明;
(3)解不等式f(3t)+f(2t-1)<0.
11.定义在R上的单调函数f(x)满足恒等式f(x)=f(y)+f(x-y),且f(1)+f(2)=6.
(1)求f(0), f(1);
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(3)若对于任意的x∈,都有f(kx2+x)+f(x-1)<0成立,求实数k的取值范围.
题组三 函数图象的对称性及其应用
12.f(x)是定义在R上的函数,且y=f+为奇函数,则f(2 023)+f(-2 022)=( )
A.-1 B.- C. D.1
13.(多选题)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是( )
A. f(x)的图象的对称中心为(-1,1)
B. f(x)的值域为R
C. f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增
D. f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f+f+…+f=
14.判断下列函数的图象是否成中心对称图形,若是,求出对称中心.
(1)f(x)=;(2)f(x)=2|x-1|;
(3)f(x)=|x+1|-|x-1|;(4)f(x)=x3-6x2.
答案与分层梯度式解析
3.2.2 奇偶性
基础过关练
1.B 2.C 3.C 5.A 6.B 7.D 8.A
1.B 对于A,易知它是函数图象,但图象既不关于y轴对称,也不关于原点对称,则图象表示的函数不具有奇偶性;对于B,易知它是函数图象,图象关于y轴对称,故图象表示的函数是偶函数;对于C,D,均不是函数图象.故选B.
2.C A,B中函数不是奇函数(A中“非奇非偶”,B中“偶”),D中函数在其定义域上不具有单调性,C中函数在其定义域上为奇函数,且y随x的增大而增大,是增函数,因此选C.
3.C 根据题意,得f(-4)=3×(-4)-1=-13,
又f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0, f(4)=13,则f(0)+f(4)=13.故选C.
4.解析 (1)由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
因为f(-x)=(-x)3-=-x3+=-=-f(x),
所以f(x)=x3-是奇函数.
(2)f(x)的定义域为[-4,5],不关于原点对称,
所以f(x)=|x|,x∈[-4,5]既不是奇函数也不是偶函数.
(3)易知f(x)的定义域关于原点对称,当x∈(1,+∞)时,-x∈(-∞,-1),则f(-x)=(-x)2+3(-x)=x2-3x=f(x),
当x∈(-∞,-1)时,-x∈(1,+∞),则f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x=f(x),
所以f(x)=是偶函数.
5.A 若奇函数f(x)在区间[2,5]上单调递增,且最大值为6,即f(5)=6,
则f(x)在区间[-5,-2]上单调递增,且f(x)的最小值为f(-5)=-f(5)=-6.
故选A.
6.B 依题意得即
∴因此a+b=.故选B.
易错警示 函数具有奇偶性时,其定义域关于原点对称,由此可确定a的值,解题时防止遗漏定义域的特殊性,要注意对隐含条件的运用.
7.D 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(2)=f(-2)=3×(-2)2+2+2a+1=13,解得a=-1.
故选D.
8.A ∵偶函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增,
∴函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,
则f(2)9.答案 -1
解析 因为函数f(x+1)为偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),令x=2,得f(3)=f(-1)=(-1)3=-1.
10.答案
解析 f(x)=x|x|=则f(x)为奇函数且在R上为增函数,
因为f(2x-1)+f(x)≥0,所以f(2x-1)≥-f(x),
因此f(2x-1)≥f(-x),由单调性知2x-1≥-x,
解得x≥,即x的取值范围为.
11.解析 (1)由已知得, f(0)=0,
当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=-f(x),
∴f(x)=-x2-2x,x<0.
∴f(x)=
图象如图所示:
(2)由(1)中图象可得, f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[1,+∞).
(3)由(1)中图象可得,不等式f(x)≥0的解集为[-2,0]∪[2,+∞).
能力提升练
1.B 5.A 6.C 7.CD 8.BD 12.A 13.ACD
1.B 由函数f(x)=,可得x≠±1,故函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),
又f(-x)===f(x),所以f(x)=是偶函数,其图象关于y轴对称,因此A,D错误;
当0解题模板 已知函数解析式判断函数图象,通常由解析式分析性质来选择图象,一般先写出函数的定义域,判断函数的奇偶性,再判断函数值的符号,函数的单调性、最大(小)值等,必要时还可用特殊值判断.
2.答案 1
解析 由已知得f(1)=f(-1),g(1)=-g(-1).在f(x)-g(x)=x3+x2+1中,令x=-1,得f(-1)-g(-1)=1,即f(1)+g(1)=1.
3.答案 奇;减
解析 对于f(x)+f(y)=f ,
令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
又因为f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
所以f(x)为奇函数.
任取x1,x2∈(-1,0),且x1因为-1所以1-x1x2>0,所以<0,
因为+1=>0,所以>-1,
所以-1<<0,
由条件①得f >0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,
又f(x)为奇函数,
所以f(x)在(-1,1)上单调递减.
4.解析 (1)当a=0时, f(x)=-|x|,
易知f(x)的定义域为R,又f(-x)=-|x|=f(x),所以f(x)为偶函数;
当a≠0时,因为f(0)=-|a|≠0,故f(x)不是奇函数,
又因为f(1)=a-|1-a|, f(-1)=a-|1+a|,
显然|1-a|≠|1+a|,所以f(1)≠f(-1),所以f(x)不是偶函数.
综上所述,当a=0时, f(x)是偶函数;
当a≠0时, f(x)既不是偶函数也不是奇函数.
(2)当-1≤a≤1,x∈[1,3]时,x-a≥0,
所以f(x)+bx=ax2-|x-a|+bx=ax2+(b-1)x+a,
由题意得, x∈[1,3],ax2+(b-1)x+a≤0恒成立,
即b≤-a+1恒成立,
所以b≤,x∈[1,3].
易知函数y=x+在[1,3]上单调递增,
若0故当x=3时,y=-a+1取得最小值,为1-a,则b≤1-a,所以a2+3b≤a2-10a+3<3.
若a=0,则b≤1,所以a2+3b≤3.
若-1≤a<0,则y=-a+1在[1,3]上单调递增,
故当x=1时,y=-a+1取得最小值,为1-2a,则b≤1-2a,
所以a2+3b≤a2-6a+3≤10,当且仅当a=-1,b=3时,a2+3b取到最大值10.
综上所述,a2+3b的最大值为10.
5.A ∵f(x)为定义在R上的奇函数,∴不等式f(x)又f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)的单调递减区间为[-1,1],单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),
又f(3)=0,∴f(-3)=-f(3)=0,故当x<-3或03时, f(x)>0,
因此不等式f(x)6.C 由题图可得“心形”曲线的上部分关于y轴对称,
则y=x和y=都不满足要求;
因为当0易知y=的图象过点(0,0),(-2,0),(2,0),且当0当且仅当x=1时,y取得最大值1,因此C满足要求.故选C.
7.CD 因为对于任意的x1,x2,当x1≠x2时,都有>1,
所以当x1>x2时, f(x1)-f(x2)>x1-x2,即f(x1)-x1>f(x2)-x2,
当x1设g(x)=f(x)-x,则g(x)在定义域R上单调递增,
又y=f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(0)=0,所以g(0)=f(0)-0=0,
若f(m)>m,则f(m)-m>0,即g(m)>g(0),所以m>0.故选CD.
8.BD 因为f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)在(-∞,0]上单调递减,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,
因此g(x)在R上是减函数,
于是f(1)g(1)>g(2),可得f(g(1))g(f(2)),所以C不正确;
由g(1)>g(2)可得,g(g(1))9.答案 -2
解析 设函数g(x)=,则f(x)=g(x)-1,
易知g(x)=-g(-x),其定义域为R,故g(x)是奇函数,
又函数f(x)=-1在区间[-2 023,2 023]上的最大值为M,最小值为m,
所以g(x)在区间[-2 023,2 023]上的最大值为M+1,最小值为m+1,
所以(M+1)+(m+1)=0,因此M+m=-2.
10.解析 (1)由已知得f(0)=0,即-b=0,解得b=0,∴f(x)=.
又f=-,∴=-,解得a=1,
∴f(x)=.
(2)f(x)在(-1,1)上单调递增,证明如下:
由(1)得f(x)=,任取a,b∈(-1,1),且a∵-10,
∴f(a)-f(b)<0,即f(a)∴f(x)在(-1,1)上单调递增.
(3)∵f(3t)+f(2t-1)<0,∴f(3t)<-f(2t-1)=f(1-2t),∴解得0∴原不等式的解集为.
11.解析 (1)在f(x)=f(y)+f(x-y)中,令x=y=0,得f(0)=0,令x=2,y=1,得f(2)=2f(1),
∴f(1)+f(2)=3f(1)=6,
∴f(1)=2.
(2)f(x)是奇函数,证明如下:
f(x)的定义域为R,关于原点对称.在f(x)=f(y)+f(x-y)中,令x=0,得f(0)=f(y)+f(-y)=0,
∴f(-y)=-f(y),即f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
(3)∵f(x)是奇函数,且f(kx2+x)+f(x-1)<0在x∈时恒成立,
∴f(kx2+x)又∵f(x)是定义在R上的单调函数,且f(0)=0∴kx2+x<1-x,即k<-2·在x∈时恒成立.
令g(x)=-2·=-1,
∵x∈,∴∈(1,2),
∴-1则实数k的取值范围为(-∞,-1].
12.A ∵f(x)是定义在R上的函数,且y=f+为奇函数,
∴f+=-,∴f+f=-1,
∴f(2 023)+f(-2 022)=f+f=-1.故选A.
13.ACD ∵f(x)==1-,∴f(x)的图象的对称中心为点(-1,1),
f(x)的值域为(-∞,1)∪(1,+∞),且f(x)在(-∞,-1)和(-1,+∞)上均单调递增,故A、C正确,B错误;
由f(x)=,得f(1)=, f=,
∴f(x)+f=+=1,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f+f+…+f
=f(1)+++…+=+2 022=,
因此D正确.故选ACD.
14.解析 (1)因为f(x)===-=-,所以由反比例函数的图象特点及平移变换知f(x)=的图象成中心对称图形,对称中心为.
(2)f(1-x)=2|1-x-1|=2|x|, f(1+x)=2|1+x-1|=2|x|,结合函数图象(图象略)可知, f(x)=2|x-1|的图象关于直线x=1对称,不成中心对称图形.
(3)易知f(x)的定义域为R,又f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数,其图象成中心对称图形,对称中心是(0,0).
(4)设f(x)=x3-6x2的图象成中心对称图形,且对称中心为(a,b),
则函数y=f(x+a)-b为奇函数,可得f(-x+a)-b=-f(x+a)+b,
变形可得f(-x+a)+f(x+a)=2b,即(-x+a)3-6(-x+a)2+(x+a)3-6(x+a)2=2b,
整理可得(6a-12)x2+2a3-12a2=2b,
所以解得所以f(x)=x3-6x2的图象成中心对称图形,对称中心为(2,-16).
7(共22张PPT)
3.2 函数的基本性质
知识点 1 函数的单调性
知识 清单破
3.2.1 单调性与最大(小)值
增函数 减函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,x2∈I,当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减
增函数 减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
单调区间 函数y=f(x)在区间I上单调递增(减)时,区间I叫做y=f(x)的单调区间 函数的最大(小)值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足: x∈D,都有 f(x)≤(≥)M, x0∈
D,使得f(x0)=M,那么,我们称M是函数y=f(x)的最大(小)值.
知识点 2
知识辨析
1.已知函数f(x)的定义域为D,如果定义域内的某个区间I上存在两个自变量x1,x2,当x1f(x1)2.已知f(x)的定义域为D,若 x∈D,都有f(x)≤M,则M一定是函数f(x)的最大值吗
3.若f(x)是定义在R上的减函数,能否得到f(-3)>f(2)
4.函数f(x)= 在(-∞,0)以及(0,+∞)上均单调递减,能否得到f(x)是减函数
一语破的
1.不能.x1,x2必须是区间I上的任意变量.
2.不一定.还需要满足 x0∈D,使得f(x0)=M,才能说M是f(x)的最大值.
3.能.
4.不能.如f(-1)=-1定点 1 判断或证明函数的单调性
关键能力 定点破
1.判断函数单调性的方法
(1)图象法:根据函数图象的升降情况进行判断.
(2)直接法:运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单
调性均可直接得出.
y=f(x) y=g(x) y=f(x)+g(x) y=f(x)-g(x)
增 增 增 不确定
增 减 不确定 增
减 减 减 不确定
减 增 不确定 减
(3)性质法:
①f(x),g(x)在公共区间上的单调性如下:
②复合函数单调性的判断依据如下:
由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合,得到函数y=f(g(x)),其单调性如下:
u=g(x) y=f(u) y=f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
复合函数的单调性可简记为“同增异减”,即内外函数的单调性相同时单调递增,相异
时单调递减.注意函数的定义域.
2.利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值:任取所给区间内的两个值x1,x2,且x1(2)作差、变形:计算f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断
正负的关系式;
(3)判断符号:确定f(x1)-f(x2)的符号;
(4)下结论:根据f(x1)-f(x2)的符号与增函数、减函数的定义确定单调性.
典例 (1)已知函数f(x)= ,判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明;
(2)已知函数f(x)=x+ (a≠0),①判断f(x)在(0,+∞)上的单调性;②画出a>0时f(x)的大致图象.
解析 (1)f(x)= 在(1,+∞)上单调递减.
证明: x1,x2∈(1,+∞),且x1由x1,x2∈(1,+∞),得x1>1,x2>1,
所以 -1>0, -1>0,x1+x2>0.
又x10,
故 >0,即f(x1)>f(x2).
因此, f(x)= 在(1,+∞)上单调递减.
(2)①任取x1,x2∈(0,+∞),且x1易知x1-x2<0,x1x2>0.
当a<0时,x1x2-a>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)当a>0时,若x1所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),若 ≤x10,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增.
②易得a>0时, f(x)在(-∞,- )上单调递增,在(- ,0)上单调递减.
因此,a>0时, f(x)的大致图象如图:
函数单调性的应用
1.利用函数的单调性求解最大(小)值
若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则函数f(x)在x=a处取得最小(大)值f(a),在x=b处取
得最大(小)值f(b).
若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减(增),在区间[b,c]上单调递增(减),则函数f(x)在x=b处取得最
小(大)值f(b).
2.利用函数的单调性解不等式
利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f ”脱掉,列出
关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.
定点 2
3.根据函数的单调性确定参数的取值范围
(1)利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x10)恒成立求
参数的取值范围.
(2)利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图象被对称轴一分为二,可根据对称轴相
对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组),求出参数的取值范围.
注意:①若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间上也是单
调的.
②对于定义域上单调的分段函数求参问题,一般从两方面考虑:一方面考虑每个分段区间上
函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面要考虑分界点处函数值之间的大小关
系,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围.
典例1 (1)已知f(x)在定义域[-1,1]上单调递增,且f(t-2)(2)若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是 ;
(3)若函数f(x)= 是R上的减函数,则实数a的取值范围是 .
(-∞,-4]
[-2,0)
解析 (1)由题意脱掉“f ”得
解得1≤t< ,故实数t的取值范围为 .
(2)f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3,其图象开口向下,对称轴方程为x=-a-1,
所以函数的单调递增区间为(-∞,-a-1].
若f(x)在(-∞,3]上单调递增,则3≤-a-1,解得a≤-4.
故实数a的取值范围为(-∞,-4].
(3)因为f(x)= 是定义在R上的减函数,
所以
解得-2≤a<0.
因此实数a的取值范围是[-2,0).
典例2 已知函数f(x)= ,x∈[1,+∞),求下列条件下的f(x)的最小值.
(1)a=4;(2)a= ;(3)a为正数.
解析 (1)解法一:当a=4时,
f(x)=x+ +2,
∵x≥1,
∴x+ +2≥2 +2=6,
当且仅当x=2时取等号,
故f(x)min=6.
解法二:当a=4时, f(x)=x+ +2.
易知f(x)在[1,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,
故f(x)min=f(2)=6.
(2)当a= 时, f(x)=x+ +2,
易知f(x)在[1,+∞)上单调递增,
故f(x)min=f(1)= .
(3)f(x)= =x+ +2(a>0),
易知f(x)在(0, ]上单调递减,
在[ ,+∞)上单调递增.
当 >1,即a>1时, f(x)在[1, ]上单调递减,在[ ,+∞)上单调递增,则f(x)min=f( )=2 +2.
当 ≤1,即0f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,
则f(x)min=f(1)=a+3.
含参数的二次函数在某闭区间上的最大(小)值
1.解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式,再由a的符号
确定其图象的开口方向,根据对称轴方程x=h得出顶点的位置,再根据函数的定义域结合大致
图象确定最大(小)值.
2.对于含参数的二次函数的最值问题,一般有下列几种类型:(1)区间固定,对称轴变动,求最大
(小)值;(2)对称轴固定,区间变动,求最大(小)值;(3)最大(小)值固定,区间或对称轴变动,求参数.
求解时通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.
定点 3
典例 求函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a).
解析 由已知得f(x)=(x-a)2-1-a2,其图象的对称轴为直线x=a.
(1)当a≤0时,由图①可知, f(x)min=f(0)=-1, f(x)max=f(2)=3-4a.
图① 图②
(2)当0(3)当1图③ 图④
(4)当a≥2时,由图④可知, f(x)min=f(2)=3-4a, f(x)max=f(0)=-1.
综上,M(a)= m(a)= 第2课时 函数的最大(小)值
基础过关练
题组一 函数的单调性与最大(小)值
1.函数f(x)=-2x在区间[1,2]上的最小值是( )
A.- B. C.1 D.-1
2.函数f(x)=的最大值为( )
A. B. C.1 D.
3.(易错题)已知函数y=,x∈(m,n]的最小值为8,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(1,2] D.[1,2)
4.若函数f(x)=x2-4x-3在区间[n,m]上的值域为[-7,2],则m-n的取值范围是( )
A.[1,5] B.[2,7] C.[3,6] D.[4,7]
5.已知关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x<1或x>3}.
(1)求实数b,c的值;
(2)求函数f(x)=x2+bx+c在[t,t+2]上的最小值g(t).
题组二 函数最大(小)值的应用
6.已知函数f(x)=-x2+4x+m,若 x∈[0,1],使f(x)=0,则m的取值范围是( )
A.[-4,+∞) B.[-3,+∞)
C.[-3,0] D.[-4,0]
7.已知命题“ x0∈[-1,1],-+3x0+a>0”为真命题,则实数a的取值范围是( )
A. B.(4,+∞)
C.(-2,4) D.(-2,+∞)
8.若不等式x2+ax-1≤0对于一切x∈[1,4]恒成立,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C.{a|a>0} D.
9.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a,b,c∈R,且满足a>b>c, f(1)=0.
(1)证明:ac<0;
(2)若函数F(x)=f(x)-g(x)在[2,3]上的最小值为9,最大值为21,试求a,b的值.
能力提升练
题组一 求函数的最大(小)值
1.设函数f(x)=x+2,g(x)=x2-x-1.用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值是( )
A.1 B.3 C.0 D.-
2.设函数f(x)=(a∈R),记f(x)在区间上的最大值为M(a),则M(a)的最小值为( )
A.0 B. C. D.2
3.记函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值为g(a),则g(a)的最小值为( )
A.3-2 B.-1 C. D.1
4.已知函数f(x)=x2-2kx+4在[1,3]上的最大值为-12,则实数k的值为 .
5.一般地,函数f(x)的定义域为D,若存在区间[a,b] D,使得{y|y=f(x),x∈[a,b]}=[a,b],则称[a,b]为函数f(x)的“跟随区间”.若[0,b]是函数f(x)=的一个“跟随区间”,则b= .
题组二 函数最大(小)值的应用
6.设MI表示函数f(x)=|x2-4x+2|在闭区间I上的最大值.若正实数a满足M[0,a]≥2M[a,2a],则a的取值范围是 ( )
A. B.[2-,1]
C.[2,2+] D.[2+,4]
7.(多选题)使命题“对任意的m∈[-1,1],总存在唯一的x∈[0,3],使得x2-2x-am-1=0”成立的一个充分不必要条件是( )
A.-2≤a≤2 B.a=0
C.08.若不等式x2-2>mx对满足|m|≤1的一切实数m都成立,则x的取值范围是 .
9.若对任意实数x,不等式|x-1|+|x-a|≥3恒成立,则实数a的取值范围为 .
10.设函数f(x)=存在最大值,则a的取值范围是 .
11.已知函数f(x)=x-2,g(x)=x2-2mx+4(m∈R).
(1)若对任意x∈R,不等式g(x)>f(x)恒成立,求m的取值范围;
(2)若对任意x1∈[1,2],存在x2∈[4,5],使得g(x1)=f(x2),求m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第2课时 函数的最大(小)值
基础过关练
1.A 2.B 3.D 4.C 6.C 7.D 8.D
1.A 易知函数f(x)=-2x在[1,2]上单调递减,
所以f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)=-4=-.故选A.
2.B 因为x2+x+1=+≥,所以0<≤,因此函数f(x)=的最大值为.故选B.
3.D 函数解析式可变形为y===3+,由反比例函数的图象可知,当x∈(m,n]时,函数单调递减,
因此当x=n时,函数取得最小值,为3+=8,解得n=2,又x≠1易错点,所以1≤m<2.故选D.
4.C ∵f(x)=x2-4x-3=(x-2)2-7,∴f(x)min=f(2)=-7,
令f(x)=2,得x=5或x=-1.
∵f(x)在区间[n,m]上的值域为[-7,2],
∴当n=-1,m=2或n=2,m=5时,m-n取得最小值,为3,当n=-1,m=5时,m-n取得最大值,为6,
因此m-n的取值范围是[3,6].故选C.
5.解析 (1)由已知得关于x的方程x2+bx+c=0的两根为1,3,由根与系数的关系得∴
(2)由(1)得f(x)=x2-4x+3,因此f(x)的图象的对称轴为直线x=2.
当t+2≤2,即t≤0时, f(x)在[t,t+2]上单调递减,∴f(x)min=f(t+2)=t2-1;
当t<2当t≥2时, f(x)在[t,t+2]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=t2-4t+3.
综上所述,g(t)=
6.C ∵函数f(x)=-x2+4x+m的图象开口向下,对称轴方程为x=2,∴函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,∴f(x)max=f(1)=3+m, f(x)min=f(0)=m,即函数f(x)在[0,1]上的值域为[m,m+3].
由方程f(x)=0在x∈[0,1]上有解,知0∈[m,m+3],因此m≤0且m+3≥0,解得-3≤m≤0.故选C.
7.D 命题“ x0∈[-1,1],-+3x0+a>0”为真命题等价于a>x2-3x在x∈[-1,1]上有解,∴a>(x2-3x)min,x∈[-1,1].
令f(x)=x2-3x,x∈[-1,1],易知f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=-2,∴a>-2,故选D.
8.D 若x2+ax-1≤0对于一切x∈[1,4]恒成立,
则a≤=-x在x∈[1,4]上恒成立.
设f(x)=-x,x∈[1,4],易知f(x)单调递减,
所以f(x)min=f(4)=-,所以a≤-.故选D.
9.解析 (1)证明:由f(1)=0,得a+b+c=0,
又a>b>c,∴a>0,c<0,∴ac<0.
(2)由题意及(1)知,F(x)=ax2+2bx+c=ax2+2bx-a-b,
∴函数F(x)的图象的对称轴方程为x=-==1+<1,
又a>0,∴F(x)在[2,3]上单调递增,
∴即解得
能力提升练
1.A 2.B 3.A 6.A 7.BC
1.A 画出M(x)的图象,如图,观察得M(x)min=1.
2.B 设g(x)=x+-a,x∈,易知g(x)在上单调递减,在[1,4]上单调递增,
又g=-a,g(1)=2-a,g(4)=-a,
所以M(a)是,|2-a|,中的最大者,
因此M(a)=
即当a=时,M(a)取得最小值,为.故选B.
3.A 以下只分析函数f(x)=|x2-ax|在x∈[0,1]上的图象及性质,分类讨论如下:
①当a≤0时,如图1,此时函数f(x)在区间[0,1]上单调递增,
故g(a)=f(1)=1-a,则g(a)min=g(0)=1.
②当0所以g(a)=max=max,
令1-a=,得a=2-2(负值舍去).
易知当0因此g(a)min=g(2-2)=1-2+2=3-2.
③当1④当a>2时,如图4,此时f(x)在[0,1]上单调递增,所以g(a)=f(1)=a-1,则g(a)>1.
又1>>3-2,∴g(a)的最小值为3-2.故选A.
4.答案
解析 函数f(x)=x2-2kx+4的图象开口向上,对称轴方程为x=k,
当k≤2时, f(x)max=f(3)=9-6k+4=-12,解得k=>2,不符合k≤2;
当k>2时, f(x)max=f(1)=1-2k+4=-12,解得k=>2,符合条件.
因此k的值为.
5.答案 1或2
解析 由题意可知, f(x)=
当x=时, f(x)取得最小值,为f=0,
∵[0,b]是函数f(x)=的一个“跟随区间”,
∴当x∈[0,b]时, f(x)∈[0,b],∴b≥,
易得f(0)=f=1,当≤b≤时, f(x)max=f(0)=1,∴b=1;
当b>时, f(x)max=f(b)=b-1,
∴b-1=b,解得b=2.
综上所述,b=1或b=2.
6.A 函数f(x)的图象如图:
易知f(x)图象的对称轴方程为x=2, f(2)=2, f(0)=f(4)=2.
分类讨论如下:
(1)当a>4时,M[0,a]=f(a),M[a,2a]=f(2a),
依题意得f(a)≥2f(2a),又函数f(x)在[2+,+∞)上单调递增,且a<2a,所以f(a)(2)当a≤4时,M[0,a]=2,
依题意得2≥2M[a,2a],即M[a,2a]≤1,
令f(x)=1,解得x1=2-,x2=1,x3=3,x4=2+,
则有a≥2-且2a≤1,解得2-≤a≤,或a≥3且2a≤2+,无解.故选A.
7.BC 对任意的m∈[-1,1],总存在唯一的x∈[0,3],使得x2-2x-am-1=0,转化为方程x2-2x=am+1在x∈[0,3]上有唯一解,即函数y=x2-2x的图象与y=am+1的图象有且只有一个交点,
作出y=x2-2x,x∈[0,3]的图象,如图所示:
由图可知,当a=0时,y=am+1=1,符合题意;
当a>0时,对任意的m∈[-1,1],am+1∈[-a+1,a+1],
要使函数y=x2-2x的图象与y=am+1的图象有且只有一个交点,则所以0当a<0时,对任意的m∈[-1,1],am+1∈[a+1,-a+1],
要使函数y=x2-2x的图象与y=am+1的图象有且只有一个交点,
则所以-1综上所述,原命题成立的充要条件为-1充分不必要条件符合“范围小”的特点,分析各选项,知选BC.
8.答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)
解析 因为x2-2>mx,所以mx-x2+2<0.
令f(m)=mx-x2+2,不等式x2-2>mx对满足|m|≤1的一切实数m都成立,即f(m)<0对满足|m|≤1的一切实数m恒成立,即当-1≤m≤1时, f(m)<0恒成立,所以即解得x<-2或x>2,所以x的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞).
易错警示 解决含参数的不等式时,要分清参数与未知数, f(m)=mx-x2+2是关于m的一次函数.
9.答案 (-∞,-2]∪[4,+∞)
解析 令y=|x-1|+|x-a|,
①当a=1时,y=2|x-1|,显然当x=1时,y=0,
所以2|x-1|≥3不恒成立;
②当a<1时,y=所以ymin=1-a,
要使不等式|x-1|+|x-a|≥3恒成立,
则1-a≥3,解得a≤-2;
③当a>1时,y=所以ymin=a-1,要使不等式|x-1|+|x-a|≥3恒成立,
则a-1≥3,解得a≥4.
综上所述,a的取值范围是(-∞,-2]∪[4,+∞).
考场速解 |x-1|+|x-a|表示数轴上的动点x到点a与点1的距离之和,其最小值为|a-1|,则|a-1|≥3,解得a≤-2或a≥4.
10.答案 [0,4]
解析 ①若a<0,则函数f(x)在(-∞,a)上单调递减,因此f(x)不存在最大值.
②若a=0,则f(x)=当x≥0时, f(x)max=f(3)=8>-9,故函数f(x)存在最大值.
③若0当x④若a>3,则当x≥a时, f(x)单调递减,此时f(x)≤f(a)=8-(a-3)2,
当x故若f(x)存在最大值,则8-(a-3)2≥a2-9,解得-1≤a≤4,又a>3,故3综上,a的取值范围是[0,4].
11.解析 (1)g(x)>f(x)恒成立,即x2-(2m+1)x+6>0恒成立,
因此Δ=(2m+1)2-24<0,解得--故m的取值范围为.
(2)当x∈[4,5]时, f(x)=x-2∈[2,3],设当x∈[1,2]时,g(x)∈D,故D [2,3].
易得y=g(x)的图象的对称轴方程为x=m.
①若m≤1或m≥2,则g(x)在区间[1,2]上单调,
则g(x)在x=1,x=2处取得最值(其中一个为最大值,另一个为最小值),所以解得≤m≤,不满足m≤1或m≥2,舍去.
②若m∈(1,2),则g(x)min=g(m)∈[2,3],
即2≤-m2+4≤3,解得1≤m≤或-≤m≤-1,
此时,最大值在x=1或x=2处取到,由①知≤m≤,故≤m≤.
综上所述,m的取值范围是.
7